三重積分計算課件

1、第三節(jié)一、三重積分二、三重積分的計算機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三重積分的計算 第六章 定義. 設(shè)存在,稱為體積元素, 若對 作任意分割: 任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作下列“乘積和式” 極限記作機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、三重積分二、三重積分的計算1. 利用直角坐標(biāo)計算三重積分方法1 . 投影法 (“先單后重”)方法2 . 截面法 (“先重后單”) 方法3 . 三次積分法 先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計算. 的密度函數(shù) , 方法:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方法1

2、. 投影法 (“先單后重” ) 該物體的質(zhì)量為細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為微元線密度記作機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方法2. 截面法 (“先重后單”)為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度記作機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 投影法方法3. 三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果 ,把二重積分化成二次積分即得:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號時, 因?yàn)榫鶠榉秦?fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計算.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其中 為三個坐標(biāo)例1. 計算三重積分所圍成的閉區(qū)域 .解:面及平面機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 計算三重

3、積分解: 用“先重后單 ” 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三重積分的換元積分三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對應(yīng)雅可比行列式為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 利用柱坐標(biāo)計算三重積分 就稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1) 積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單 ;2) 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量互相分離.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其中為由例3. 計算三重積分所圍解: 在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回

4、結(jié)束 例4. 計算三重積分解: 在柱面坐標(biāo)系下所圍成 .與平面其中由拋物面原式 =機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 利用球坐標(biāo)計算三重積分 就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1) 積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單;2) 被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量互相分離.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例5. 計算三重積分解: 在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中 與球面機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例6.求曲面所圍立體體積.解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,利用對稱性, 所求立體體積為yoz面對稱, 并與xoy面相切, 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于 xoz 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔, 或坐標(biāo)系 體積元