八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)勾股定理知識(shí)點(diǎn)和典型例習(xí)題1人教新課標(biāo)版

1、新人教版八年級(jí)下冊(cè)勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)和典型例習(xí)題一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：.勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a, b,斜邊為c,那么a2+b2 = c2勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理， 在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理. 我國古代把直 角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了 “勾三， 股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明 了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是

2、圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理 常見方法如下：方法：4s4+S正方形efgh =Se方形abcd, 4 ab *(b a) =c ,化簡(jiǎn)可證.方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S =4父1 ab+c2 = 2ab+c2大正方形面2積為 S=(a+b =2a2ab2b 所以 a2+b2=c方法三：S弟形二(a +b) (a +b)，S弟形=2Sde +S密be =2 ,-ab *c，化間得證 222.勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角

3、形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形.勾股定理的應(yīng)用 已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在MBC中，/C=90)則c = Ja2 +b2 , b = Jc2 -a2 , a = Jc2 -b2知道直角三角形一邊， 可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題.勾股定理的逆定理如果三角形三邊長 a, b, c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形

4、的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和 a2+b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時(shí)，以a, b, c為三邊的三角形是直角三角形；若a2 +b2 c2 ,時(shí)，以a , b ,c為三邊的三角形是銳角三角形；定理中a, b, c及a2+b2 =c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a, b, c滿足a2+c2=b2,那么以a, b, c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形即 a2 +b2 =c2 中，a , b , c 為.勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)

5、正整數(shù)稱為勾股數(shù),3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25 等正整數(shù)時(shí)，稱a, b, c為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如用含字母的代數(shù)式表示 n組勾股數(shù)：n21,2n,n2+1 （門至2,門為正整數(shù)）；2n +1,2n2 +2n,2n2 +2n +1 （ n 為正整數(shù)）2222m -n ,2mn,m +n （ mn, m , n 為正整數(shù)）切不可不加思C.勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題.在使用勾股定理時(shí)， 必須把握直角三角形的前提條件， 了解直角三角形中， 斜邊 和直角邊各是什么，以便運(yùn)

6、用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解.8.勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較, 考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.9.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體.通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，形10、互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè), 命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做

7、它的逆命題。 二、經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例 1 .在 MBC 中，ZC =90.這樣的兩個(gè)命題叫做互逆已知已知ACAB=6 , BC =8 .求 AB 的長=17, AC =15,求BC的長分析：直接應(yīng)用勾股定理解：ABf AC2 BC2 =10又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對(duì)問題的解決.常 BC = ：AB -AC =8題型二：利用勾股定理測(cè)量長度例題1如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米?A解析：這是一道大家熟知的典型的 “知二求的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后,已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利

8、用勾股定理!根據(jù)勾股定理 AC+BC=AB2,即 AC2+92=152,所以 AC2=144，所以 AC=12.例題2如圖（8）,水池中離岸邊 D點(diǎn)1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度 AC.因2解析：同例題1 一樣，先將實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖 2.由題意可知 ACD中,/ACD=90 ,在RtACD中，只知道CD=1.5,這是典型的利用勾股定理 “知二求的類型。標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下（僅供參考）：解：如圖2,根據(jù)勾股定理， AC2+CD=AD設(shè)水深 AC= x 米，刃B么 AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+

9、1.5 2= ( x+0.5 ) 2解之得x=2.故水深為2米.題型三：勾股定理和逆定理并用例題3 如圖3,正方形 ABC邛，E是BC邊上的中點(diǎn),F是AB上一點(diǎn),1且FB =-AB那么 DEF是直角三角形嗎？為什么？4解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。仔細(xì)讀題會(huì)意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件,日1FB =- AB可以設(shè)AB 4=4a,那么 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在 RtAAFD、RtBEF和 Rt CDE中，分別利用勾股定理求出 DF,EF和DE的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷DEF是否是直角三角形。詳細(xì)解題步驟如下:解：

10、設(shè)正方形 ABCD勺邊長為4a,則BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在 RtCDE中,DF=cD+cE=(4a) 2+(2 a) 2=20 a 2同理 EF2=5a2, DF 2=25a2在 DEF中，EF2+ DE2=5a2+ 20a 2=25a2=DF.DEF是直角三角形，且/ DEF=90 .注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型四：利用勾股定理求線段長度一一例題4如圖4,已知長方形 ABC邛 AB=8cm,BC=10cm在邊CD上取一點(diǎn) E,將 ADEf疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F,求CE的長.解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是Jr、|口

11、關(guān)鍵。詳細(xì)解題過程如下： rj解：根據(jù)題意得 RtAADE RtAAEFfl L/ AFE=90 , AF=10cm, EF=DE設(shè) CE=xcm貝U DE=EF=CDCE=8- x在Rt ABF中由勾股定理得：Ag+B1=AF2,即 82+BF=102,BF=6cm.CF=BC- BF=10- 6=4(cm)在RtECF中由勾股定理可得：EF!=cE+CF2,即(8x) 2=x2+42.64- 16x+x2=2+16. .x=3(cm),即 CE=3 cm注：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直一一A| D例題5如圖5,王師傅想要檢測(cè)桌子的表面AD

12、邊是否垂直與 AB邊和CD邊，他測(cè)得 AD=80cm AB=60cm BD=100cm AD邊與 AB邊垂直嗎？怎樣去 日11匕圖5驗(yàn)證AD邊與CD邊是否垂直？解析：由于實(shí)物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測(cè)量。我們通常截取部分長度來驗(yàn)證。如圖4,矩形ABC常示桌面形狀，在 AB上截取AM=12cm在AD上截取AN=9cm想想 為什么要設(shè)為這兩個(gè)長度？），連結(jié)MN測(cè)量MN的長度。如果MN=15則AM+AN=MN,所以AD邊與AB邊垂直；如果 MN=F 15,則 92+122=81 + 144=225, a 2w 225,即 92+122W a 2,所以/ A不是直角。A圖6利用勾股定理解決實(shí)

13、際問題一一例題6有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高 4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖6所示，A點(diǎn)表示控制燈，BM表示人的高度，BC/ MN,BCL AN當(dāng)頭（B點(diǎn)）距離A有5米時(shí)，求BC的長度。已知 AN=4.5米，所以AC=3米，由勾股定理，可計(jì)算BC=4米.即使要走到離門4米的時(shí)候燈剛好打開。題型六：旋轉(zhuǎn)問題:例1、如圖， ABC是直角三角形，BC是斜邊，將 ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與

14、ACP重合，若AP=3,求PP的長。變式1:如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=2 J3 ,PC=4,求 ABC的邊長.分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將 BP圈點(diǎn)B逆時(shí)針選擇60。，將三條線段集中到同一個(gè)三角形中, 根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形B變式2、如圖， AB等腰直角三角形，/ BAC=90 , E、F是BC的點(diǎn)，且/ EAF=45 ,試探究BE2、CF2、EF 2間的關(guān)系，并說明理由題型七：關(guān)于翻折問題例1、如圖，矩形紙片ABCD勺邊AB=10cm BC=6cm E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿 AE折疊, 點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長.變式：如圖

15、，AD是4ABC的中線，/ ADC=45 ,把 ADC沿直線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置，BC=4,求BC的長.A題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：A例1、如圖，公路 M港口公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn) A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距 離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN?皆PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？題型九：關(guān)于最短性問題日6匚例5、如右圖1 19,壁虎在一座底面半徑為 2米，高為4米的油罐的下底邊沿 A TOC o 1-5 h z

16、 處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，卬）為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從h州陵背后對(duì)害蟲進(jìn)行突然襲擊.結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐.請(qǐng)問j ）壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲？（兀取3.14 ,結(jié)果保留1位小數(shù)，可以.二一代H用計(jì)算器計(jì)算）變式：如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為 9個(gè)小正*方形，其邊長都是1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行 2cm,則它從下地面 A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn),最少要花幾秒鐘？ 三、課后訓(xùn)練： 一、填空題出4.6 cm,問吸管要做cm。cm,吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要

17、露米.3.已知：如圖， ABC中，/C = 90 ,點(diǎn) 。為 ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，ODL BG OEL AG OF AB,點(diǎn)D、E、F分別是垂足，且BC = 8cm, CA = 6cm,則點(diǎn)。到邊AB, AC和BC的距離分別等cm4 .在一棵樹的10米高處有兩只猴子， 一只猴子爬下樹走到離樹 20米處的池塘的A處。另一只爬到樹頂 D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高5.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長寬和高分別為20dm 3dm2dm, A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到 B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是

18、二、選擇題.已知一個(gè)Rt的兩邊長分別為 3和4,則第三邊長的平方是（）A 、25B、14C、7D 7 或 25. Rt一直角邊的長為11,另兩邊為自然數(shù)，則 Rt的周長為（）A 、121 B 120C 132D 不能確定.如果Rt兩直角邊的比為 5 ： 12,則斜邊上的高與斜邊的比為（）A 、60 ： 13 B、5 ： 12C、12 ： 13 D 60 ： 169.已知 RtABC中，/ C=90 ,若 a+b=14cm, c=10cm,則 RtABC的面積是（）A 、24cm2B、36cm2C 48cm2D 60cm2.等腰三角形底邊上的高為8,周長為32,則三角形的面積為（）A 、56B

19、48C 40D 326.某市在舊城改造中， 計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境,售價(jià)a元，則購買這種草皮至少需要（450a 元B、 225a 元)C、 150a 元DX 300a 元20m30m.150。,第6題圖已知這種草皮每平方米7.已知,的面積為A 、如圖長方形 ABCD43, AB=3cm( )AD=9cm將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為 EF,則4 ABE26cm2B、8cmC、 10cm D 12cm8.在 ABC43, AB=15, AG13,高 AtD=12,則 ABC勺周長為A 42B. 32C.9.如圖，正方形網(wǎng)格中的 ABC若小方格邊長為（A）直角三角形（B）銳角三角形（C）鈍角三角形42 或 32D. 37 或 331,則 ABC是（）（D）以上答案都不對(duì)三、計(jì)算1、如圖，A 離為d（已知300m和500m,兩村莊之間的距B是筆直公路l同側(cè)的兩個(gè)村莊，且兩個(gè)村莊到直路的距離分別是 d2=400000m2）,現(xiàn)要在公路上建一汽車停靠站，使兩村到?？空镜木嚯x之和最小。問最小是多少?2、如圖1-3-11 ,有一塊塑料矩形模板 ABCD長為10cm,