讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的價值　激發(fā)自身潛能

1、PAGE PAGE 6讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的價值激發(fā)自身潛能一、讓學(xué)生了解：數(shù)學(xué)是思維的體操，智慧的火化數(shù)學(xué)是一門古老的科學(xué)。在人類懂得在地上種植食物之前，人類已懂得在樹木上刻劃橫線以記錄數(shù)目。可以說，數(shù)學(xué)是人類最古老的科學(xué)之一。數(shù)學(xué)是根據(jù)某些假設(shè)，用邏輯的推理得到結(jié)論。從本質(zhì)上看，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)?；蚝喲灾茄芯繑?shù)與形的科學(xué)。對這里的數(shù)與形應(yīng)做廣義的理解，它們隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，將不斷取得新的內(nèi)容。數(shù)學(xué)來源于人類的生產(chǎn)實踐活動，它隨著人類社會生產(chǎn)力的發(fā)展而發(fā)展。一般的，可以把數(shù)學(xué)的發(fā)展分為四個時期：數(shù)的產(chǎn)生(公元前3000年至公元前5世紀(jì))；常量數(shù)學(xué)即初等數(shù)學(xué)(公元前5世

2、紀(jì)至公元17世紀(jì))；變量數(shù)學(xué)即近代數(shù)學(xué)(公元17世紀(jì)至19世紀(jì)末)；現(xiàn)代數(shù)學(xué)(19世紀(jì)末至今)。初等數(shù)學(xué)時期，從公元前5世紀(jì)到17世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)研究的主要對象是常數(shù)、常量和不變的圖形。在這一時期，數(shù)學(xué)經(jīng)過漫長時間的萌芽階段，在生產(chǎn)的基礎(chǔ)上積累了豐富的有關(guān)數(shù)與形的感性認識。到公元前6世紀(jì)的希臘幾何學(xué)這一轉(zhuǎn)折點，從此由具體的、試驗的階段過渡到抽象的、理論的階段，開始創(chuàng)立初等數(shù)學(xué)，經(jīng)過發(fā)展的交流，最后形成了幾何、算術(shù)、代數(shù)、三角等獨立學(xué)科。這一時期的成果可以用“初等數(shù)學(xué)”來概括，它構(gòu)成了中小學(xué)數(shù)學(xué)課的主要內(nèi)容。變量數(shù)學(xué)時期，從17世紀(jì)中葉到19世紀(jì)20年代，數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容是數(shù)量的變化及幾何變換。

3、這一時期的主要成就是解析幾何、微積分、高等代數(shù)等學(xué)科，它們構(gòu)成大學(xué)數(shù)學(xué)(非數(shù)學(xué)專業(yè))的主要內(nèi)容?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)時期，由19世紀(jì)20年代至今，數(shù)學(xué)主要研究的是最一般的數(shù)量關(guān)系和空間形式，數(shù)和量僅僅是它的極特殊的情形，通常的一維、二維、三維空間的幾何形象僅僅是特殊情形。抽象代數(shù)、拓撲學(xué)、泛函分析是整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)的主體部分，它們是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的課程。變量數(shù)學(xué)時期新興起的許多學(xué)科，蓬勃的向前發(fā)展，內(nèi)容和方法不斷地充實、擴大和深入。二、讓學(xué)生了解：數(shù)學(xué)思維的魅力“數(shù)學(xué)是思維的體操”。其實，數(shù)學(xué)不僅是思想體操而已。數(shù)學(xué)思維具有無窮的威力，也有令人醉心的魅力。2001年3月22日，俄羅斯“和平”號空間站準(zhǔn)確地墜

4、毀在南太平洋指定海域。在這場舉世矚目的行動中，有兩門數(shù)學(xué)起著關(guān)鍵的作用：1948年仙農(nóng)建立的數(shù)學(xué)信息論，以及1946年維納開創(chuàng)的數(shù)學(xué)控制論。首先，這需要由地面遠距離傳送指令信息，這肯定要受到噪聲的干擾。如何保證“和平”號上接收的指令完全正確，這需要用抗干擾的通信理論和數(shù)學(xué)濾波設(shè)計。至于如何指揮空間站上計算機啟動閥門，調(diào)整飛行姿態(tài)，控制進入大氣層的地點和速度，都必須準(zhǔn)確地運用控制論技術(shù)。時至今日，宇航專家對這門數(shù)學(xué)控制技術(shù)的運用已經(jīng)駕輕就熟，因而這次墜毀可說無驚無險。 在“和平”號墜毀時，俄羅斯的地面指揮中心及其派往南太平洋的觀測組，以及南太平洋周邊地區(qū)的許多地面觀測站都在工作。在這些觀測活動中

5、，離不開一項關(guān)鍵數(shù)學(xué)技術(shù)卡爾曼濾波。眾所周知，由于受各種干擾的影響，地面觀察到的飛船位置和真實的飛船位置會出現(xiàn)誤差。1960年，美國數(shù)學(xué)家卡爾曼（R.Kalman）提出了一種數(shù)學(xué)方法，可以把隨機出現(xiàn)的干擾“濾”掉，使地面監(jiān)測的數(shù)據(jù)和真實的位置達到最佳吻合。這便是著名的卡爾曼濾波。1968年，美國阿波羅飛船登月，地面上四座雷達監(jiān)控飛船的位置，并發(fā)出指令使阿波羅飛船軟著陸，如果地面觀測誤差太大，控制飛船計算機調(diào)節(jié)指令出現(xiàn)失誤，登月計劃就將前功盡棄?？柭鼮V波技術(shù)于是在登月航行中大顯身手，經(jīng)受了實踐的檢驗。時至今日，任何航行（包括每一架噴氣客機）都離不開卡爾曼濾波，“和平”號的墜落自然也不例外?？?/p>

6、曼濾波技術(shù)現(xiàn)在已推廣到地震監(jiān)測和經(jīng)濟趨勢的監(jiān)控。是的，我們雖然看不見數(shù)學(xué)技術(shù)的巨大威力，卻無時無刻不在享受它的恩惠。三、讓學(xué)生了解：理性思維的精華數(shù)學(xué)的思維是嚴密的，最講究秩序的。確實，五花八門的幾何圖形，如三角形、圓、多邊形、長方體、圓錐面等等，居然可以從一組平凡的公理出發(fā)，步步為營，依次展開，推論出一系列的前后有序的定理鏈條，最后構(gòu)成了歐氏幾何學(xué)。另外，我們能從一堆亂麻似的數(shù)據(jù)中，找到一些關(guān)系，寫成方程式，而且可以按部就班地把未知數(shù)一一解出來。一個數(shù)學(xué)命題的正確與否，通常都有方法，按照一定的程序，絲絲入扣地給以證明。這一切，都是反映數(shù)學(xué)思維的“秩序化”特征。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就是要學(xué)會邏輯，使人的

7、頭腦有條理，能夠按照事物發(fā)展的邏輯順序安排工作，辦起事來有條不紊。 有人說，數(shù)學(xué)思維太死板。例如，“三角形的三內(nèi)角之和是180度”。這需要證明嗎？用量角器量一量，大概差不多不就得了？數(shù)學(xué)卻說不行，非得證明不可。我們說，這是一種理性的思維方式，是數(shù)學(xué)科學(xué)中所獨有的。當(dāng)然我們并非“數(shù)學(xué)至上”論者。數(shù)學(xué)思維只是思維方式的一種，但卻是最有特點的一種。我們不妨從各種思維中有關(guān)“證明”的方法來考察數(shù)學(xué)思維。證明，是人們?yōu)榱苏f服別人相信某個結(jié)論而使用的方法。說服人的證明方法有很多種：引用權(quán)威的話；相信大家的看法；觀察實驗證實；例如，我的眼睛看到太陽是繞地球轉(zhuǎn)的；舉例說明；舉不出反例等。 以上的證明，是日常所

8、用的，都有其重要的證明價值（決無加以否定的意思），但是又都可能出錯（如所舉各例）。惟獨數(shù)學(xué)證明，則是千真萬確的，不可動搖的。數(shù)學(xué)的邏輯證明，其價值也正在這里。因此，“三角形內(nèi)角和為180度”在數(shù)學(xué)上必須從平行公理出發(fā)進行證明，人們從小就要學(xué)會這樣思考，認這個死理。值得注意的是，中國傳統(tǒng)文化中缺乏這種打破砂鍋問到底的理性思維。因此，吸收古希臘數(shù)學(xué)家的這份科學(xué)遺產(chǎn)，把人類文明的理性精華融入中華文化，是我們的責(zé)任。四、讓學(xué)生了解：數(shù)學(xué)不僅是自然科學(xué)的基礎(chǔ)也是高科技的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究早就超出了“數(shù)”與“形”的范疇。一般說來，數(shù)學(xué)的對象可以包括客觀現(xiàn)實中

9、的任何形式和關(guān)系，數(shù)學(xué)首要和基本的對象是數(shù)量的和空間的關(guān)系和形式。一切事物都離不開“數(shù)”與“形”這兩個側(cè)面。因此，數(shù)學(xué)就成為諸如物理、力學(xué)、天文化學(xué)生物等科學(xué)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)為它們提供了描述大自然的語言與探索大自然奧秘的工具。正如偉大科學(xué)家伽里略說的：“自然界這部偉大的書是用數(shù)學(xué)寫成的?！被仡櫩茖W(xué)發(fā)展的歷史，許多天文的，物理學(xué)的重大發(fā)展無不與數(shù)學(xué)的進步相關(guān)。牛頓萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)依賴于微積分，而愛因斯坦的相對論則與黎曼幾何及其他數(shù)學(xué)的發(fā)展有關(guān)。這是人所共知的歷史事實。今天，我們正處在高科技時代，自然科學(xué)的各研究領(lǐng)域都進入了更深的層次和更廣的范疇，這就更加需要數(shù)學(xué)。許多十分抽象的數(shù)學(xué)概念與理論出人意

10、外地在其他領(lǐng)域中找到了它們的原型與應(yīng)用.數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的關(guān)系從來沒有像今天這樣的密切。一百年前恩格斯說過“數(shù)學(xué)在化學(xué)中的應(yīng)用是線性方程組，而在生物學(xué)中的應(yīng)用是零”。但這樣的時代早已經(jīng)過去了，許多數(shù)學(xué)的高深理論與方法正在廣泛地滲透到自然科學(xué)研究的各個領(lǐng)域。比如，分子生物學(xué)中的關(guān)于DNA的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的研究與拓撲中的紐結(jié)理論有關(guān)，而理論物理中的規(guī)范場論與微分幾何中的纖維叢理論緊密相關(guān)。自然科學(xué)的研究正在呈現(xiàn)一種數(shù)學(xué)化的趨勢。數(shù)學(xué)不僅是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，而且也是一切重大技術(shù)革命的基礎(chǔ)。20世紀(jì)最偉大的技術(shù)成就應(yīng)當(dāng)是電子計算機的發(fā)明與應(yīng)用，它使人類進入了信息時代。然而，無論是計算機的發(fā)明，還是它的廣泛使用，

11、都是以數(shù)學(xué)為其基礎(chǔ)的。而在當(dāng)今的計算機的重大應(yīng)用中都包含著數(shù)學(xué)的理論與技術(shù)。1985年美國國家研究委員會在一份報告中指出：“數(shù)學(xué)是推動計算機技術(shù)發(fā)展和促進這種技術(shù)在其他領(lǐng)域應(yīng)用的基礎(chǔ)科學(xué)”。該委員會還強調(diào)指出“數(shù)學(xué)是一個大有潛力的資源”，有待人們?nèi)ゴ罅﹂_發(fā)。今天，信息技術(shù)應(yīng)用于人類生活的方方面面，使人們無處不感到它的存在。然而，享用這些技術(shù)的人們往往只看到了技術(shù)現(xiàn)象，而看不到這些技術(shù)背后的數(shù)學(xué)。正像前美國總統(tǒng)科學(xué)顧問艾德華大衛(wèi)所說的：“很少人認識到當(dāng)今如此被廣泛稱頌的高技術(shù)在本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)。”這句話可能會招致某些爭論。但是，它并不是否定各種硬件技術(shù)發(fā)展的意義，而是強調(diào)很少人認識到數(shù)學(xué)在高

12、技術(shù)中的重要性這個事實，強調(diào)高技術(shù)中數(shù)學(xué)的不可或缺性。從這個意義上講，他的見解是正確的，并且是富有遠見的。事實上，從醫(yī)療上的CT技術(shù)到中文印刷排版的自動化，從飛行器的模擬設(shè)計到指紋的識別，從石油地震勘探的數(shù)據(jù)處理到信息安全技術(shù)等等，這些形形色色的技術(shù)的背后，數(shù)學(xué)扮演著十分重要的不可缺少的重要角色.數(shù)學(xué)在這些領(lǐng)域內(nèi)不是什么增補營養(yǎng)的“鈣片”，也不是可有可無的一項參考，而是問題的關(guān)鍵，是真正能解決問題的關(guān)鍵。信息技術(shù)的發(fā)展使得數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)中的地位發(fā)生了重大變化。當(dāng)今數(shù)學(xué)不再只是通過其他基礎(chǔ)學(xué)科間接地應(yīng)用于技術(shù)領(lǐng)域，而是廣泛地直接地應(yīng)用于各種技術(shù)。高科技的發(fā)展使科學(xué)計算提升為一種研究方法，與理論推

13、導(dǎo)和科學(xué)實驗相并列，作為科學(xué)探索的三大手段之一?？茖W(xué)計算在某些領(lǐng)域里事實上已經(jīng)替代或部分替代了一些價值昂貴的實驗。大規(guī)?？茖W(xué)工程計算已在材料學(xué)的研究中以及航天和軍事工程設(shè)計中發(fā)揮著巨大作用。正是因為這些原因，許多發(fā)達國家十分重視數(shù)學(xué)的研究，把優(yōu)先發(fā)展數(shù)學(xué)看成是保持國家科技領(lǐng)域可持續(xù)發(fā)展的戰(zhàn)略需要。鑒于數(shù)學(xué)在科技中的特殊地位和當(dāng)今科技的數(shù)學(xué)化的進程，美國自然科學(xué)基金委員會決定要將對數(shù)學(xué)的支持強度翻兩番。我國的公眾對數(shù)學(xué)了解甚少，大多數(shù)人認為數(shù)學(xué)只不過是研究一些古老難題而已，更多的學(xué)生只是高考得分而已。在我的網(wǎng)頁的留言欄有這樣的留言：“我因為要考MBA, 所以要復(fù)習(xí)中學(xué)的數(shù)學(xué)。令我感到感慨的是，大

14、學(xué)畢業(yè)9年，我對數(shù)學(xué)一點概念都沒有了，連三角函數(shù)都忘記了，更別說其它的東西了，例如不等式，令人捧腹不已的是，我高考92年的理科數(shù)學(xué)，還考了150分的滿分。所以我覺得基礎(chǔ)教育，還是在于打基礎(chǔ)，明概念。而您的教案就是如此。有了您的資料，我很快就把過去的東西撿起來的。謝謝老師”。我們的數(shù)學(xué)工作者沒有重視必要的輿論和傳播工作，而在我們的中小學(xué)的數(shù)學(xué)教育中，又很少講到數(shù)學(xué)的應(yīng)用，而是在一些枝節(jié)問題上做不必要的文章，應(yīng)付考試。這樣，公眾得出這樣的結(jié)論在所難免。目前，不僅是社會上對數(shù)學(xué)科學(xué)缺乏了解，而且我們數(shù)學(xué)工作者或數(shù)學(xué)教育工作者也在不同程度上對數(shù)學(xué)存在著不完整的理解及認識.如果我們只強調(diào)數(shù)學(xué)的美，只強調(diào)

15、數(shù)學(xué)邏輯的嚴謹，而不講數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值和科學(xué)價值，這就容易使那些不以數(shù)學(xué)為職業(yè)的學(xué)生感到厭倦；使學(xué)生看不到數(shù)學(xué)與社會及時代發(fā)展的聯(lián)系，看不到科學(xué)與技術(shù)當(dāng)今數(shù)學(xué)化的趨勢，那我們就忘記了數(shù)學(xué)中最重要的和最本質(zhì)的東西。因此，使學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)僅僅處在為了高考分數(shù)而學(xué)的被動狀態(tài)。正如前面的留言，高考雖得了150的滿分，“大學(xué)畢業(yè)9年，我對數(shù)學(xué)一點概念都沒有了”。五、讓學(xué)生了解：數(shù)學(xué)的發(fā)展正在迅速改變著數(shù)學(xué)學(xué)科的面貌數(shù)學(xué)在過去的幾十年中發(fā)展是非常迅猛的，其發(fā)展速度超出了以往的任何時代。在這幾十年中，數(shù)學(xué)的發(fā)展呈現(xiàn)了以下兩個顯著的特征.第一，數(shù)學(xué)內(nèi)部各個分支學(xué)科之間的相互交叉和相互滲透。原有的分支學(xué)科之間的

16、界線淡化了，而形成了許多新的綜合的研究領(lǐng)域。它們是數(shù)學(xué)新的生長點，有很強的活力。在這些領(lǐng)域中，代數(shù)的、分析的、幾何的、拓撲的、乃至隨機的方法，緊密地結(jié)合在一起，出現(xiàn)了“你中有我，我中有你”新格局.過去不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家們又重新認識到他們正從事同一項研究.這是數(shù)學(xué)內(nèi)部統(tǒng)一性的反映，也是數(shù)學(xué)生命力所在.著名數(shù)學(xué)家希爾伯特說過，“數(shù)學(xué)科學(xué)是一個統(tǒng)一的整體，他的生命力在于各部分之間的聯(lián)系?！碑?dāng)代數(shù)學(xué)的發(fā)展已經(jīng)證明了這一點。數(shù)學(xué)的這種綜合交叉發(fā)展的趨勢不僅為數(shù)學(xué)研究提供了新的生長點，而且也有力地避免數(shù)學(xué)研究的繁瑣傾向，使其研究更集中于更有價值的問題上。第二，數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)的廣泛結(jié)合，形成了許多新的應(yīng)用數(shù)學(xué)

17、學(xué)科和不少的邊緣學(xué)科，應(yīng)用數(shù)學(xué)得到普遍的關(guān)注和空前的發(fā)展，出現(xiàn)了形形色色的新的分支，非線性科學(xué)、生物信息、金融數(shù)學(xué)、計算材料學(xué)、信息安全等等。如果說，上述數(shù)學(xué)內(nèi)部各分支的交叉是數(shù)學(xué)內(nèi)部的統(tǒng)一性的表現(xiàn)，那么，當(dāng)今數(shù)學(xué)與其他科學(xué)技術(shù)結(jié)合則是數(shù)學(xué)與外部世界統(tǒng)一性的表現(xiàn)。數(shù)學(xué)發(fā)展的這種趨勢使得數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域大大擴大了，正在改變著自己的面貌.數(shù)學(xué)已經(jīng)不再是那種純而又純的學(xué)科，而是與當(dāng)今許多其他領(lǐng)域結(jié)合在一起發(fā)展，更加面向社會實際。這是不可忽視的事實。數(shù)學(xué)上述發(fā)展趨勢再一次證明了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，數(shù)學(xué)，無論是純數(shù)學(xué)還是應(yīng)用數(shù)學(xué)，它們是一個不可分的整體.純數(shù)學(xué)的某些理論或方法往往是構(gòu)成應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而應(yīng)用數(shù)學(xué)的

18、研究又反過來促進純數(shù)學(xué)的發(fā)展。近年來發(fā)展起來的、在信息技術(shù)中有重要應(yīng)用的小波理論就是一個非常突出的例子。因此，在如何看待純數(shù)學(xué)的價值時，不可簡單片面。六、讓學(xué)生了解：數(shù)學(xué)與人才高科技時代充滿著激烈的競爭，但歸根到底是人才的競爭.培養(yǎng)一大批有創(chuàng)新能力的各種專門人才是在這場競爭中獲勝的重要環(huán)節(jié)之一。眾所周知，數(shù)學(xué)教育在人才培養(yǎng)中有重要的地位和不可替代的作用，這自然無須多談。在近幾十年中，我們在國外及國內(nèi)都看到了一種十分有趣的現(xiàn)象：一批原來從事數(shù)學(xué)研究的人轉(zhuǎn)身投向于其他研究領(lǐng)域或某些技術(shù)開發(fā)領(lǐng)域，特別是在信息技術(shù)，金融及經(jīng)濟，和各種工程計算等領(lǐng)域，并在這些領(lǐng)域內(nèi)取得重大成就，甚至成為其中的領(lǐng)袖人物。這種現(xiàn)象在發(fā)達國家常見不鮮。即使在我國，也是可以舉出許多這樣的著名例子。我國計算機領(lǐng)域或信息技術(shù)領(lǐng)域中許多代表人物是數(shù)學(xué)專業(yè)的畢業(yè)生，如果調(diào)查一下國外國內(nèi)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的就業(yè)狀況，也就不難發(fā)現(xiàn)其中有相當(dāng)比例的學(xué)生畢業(yè)后不是從事數(shù)學(xué)研究，而是到其他領(lǐng)域工作，在一些發(fā)達國家中，計算機業(yè)，信息技術(shù)業(yè)，金融與保險業(yè)，軍工乃至安全部門等等是吸納大批數(shù)學(xué)博士或碩士的主要行業(yè).這已是人們熟知的現(xiàn)實，而不是對未來的美麗展望。如果說在我國80年代人才市場對數(shù)學(xué)人才的重要性還重視不足的話，那么到了90年代這種情況已經(jīng)發(fā)生了相當(dāng)?shù)淖兓?/p>