結(jié)構(gòu)力學(xué)I-第五章-虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計(jì)算(荷載位移-圖乘法)

1、第一部分 靜定結(jié)構(gòu)結(jié) 構(gòu) 力 學(xué) I結(jié) 構(gòu) 力 學(xué) I第五章 虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計(jì)算2022年7月14日作業(yè)點(diǎn)評(píng)3-23(c)求壓力線；1kN/m10kNADBCE4m4m6m6m4m回顧集中力的情況 繪出力多邊形及其射線； 繪出索多邊形；FRAFRBFP1FP2FP3O1223分布力的情況：FRAFRBO10kNFCE難點(diǎn)：這一段的索多邊形？思路： 壓力線就是合理拱軸線； 合理拱軸線： y(x) = M0(x)/FH， FH = 11.25kN解：作等代梁的彎矩圖，并縮放42/FH3/FH412.5/FH回顧主要內(nèi)容應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移 結(jié)構(gòu)體位移計(jì)算的單位荷載法荷載作用下的位移計(jì)算

2、及案例圖乘法溫度改變時(shí)的位移計(jì)算變形體的虛功原理互等定理思考與小結(jié)回顧：剛體體系的虛功原理回顧16:53基本概念可能位移：符合約束條件的無限小剛體體系位移（可以是真實(shí)位移或其它） 平衡力系：使剛體保持力學(xué)平 衡狀態(tài)的力系；（包括主動(dòng)力和約束反力） 理想約束：約束力在可能位移上做功恒為零的約束（光滑鉸接、剛性鏈接） 虛功原理對(duì)于具有理想約束的剛體體系，平衡力系中的主動(dòng)力在可能位移上所作的虛功總和恒為零。F1F2r1r2F1r1+ F2r2 = 0剛體體系的虛功原理應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移16:53基本概念單位荷載法求剛體體系位移虛功原理虛位移原理：虛設(shè)位移，求未知力虛力原理：虛設(shè)力系，求位移

3、單位位移法單位荷載法虛力原理 虛力方程，實(shí)質(zhì)為幾何方程； 虛力與實(shí)際位移狀態(tài)無關(guān)，故可設(shè)單位廣義力 P = 1；單位荷載法 關(guān)鍵是找出找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關(guān)系。應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移16:53 在要求的位移處，施加相應(yīng) 的單位荷載； 利用力平衡條件，求出支座 反力FRK； 由虛力方程解出擬求位移 =- FRKcK局部變形時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算AB1M 在要求的位移處，施加相應(yīng)的單位荷載； 利用力平衡條件，求出局部變形處對(duì)應(yīng)的 內(nèi)力M，F(xiàn)N，F(xiàn)Q； 由虛力方程解出擬求位移：d = ( M + FN + FQ0 ) ds 支座移動(dòng)時(shí)靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式結(jié)構(gòu)體位移計(jì)算的單位荷

4、載法16:53 = ( M + FN + FQ0 ) ds- FRKcK = M ds 彎曲變形 對(duì)位移的影響； = FN ds 軸向變形 對(duì)位移的影響； = FQ0ds 剪切變形0對(duì)位移的影響； c= - FRKcK 支座位移cK對(duì)位移的影響； 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般步驟ABBA 虛設(shè)A對(duì)應(yīng)的單位荷載；根據(jù)平衡條件，求出結(jié)構(gòu)內(nèi)力和支座反力；根據(jù)一般公式，算出位移；11/l1第五章 虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計(jì)算主要內(nèi)容應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移 結(jié)構(gòu)體位移計(jì)算的單位荷載法荷載作用下的位移計(jì)算及舉例圖乘法溫度改變時(shí)的位移計(jì)算變形體的虛功原理互等定理思考與小結(jié)結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉

5、例16:53普遍性： 變形因素：荷載引起的位移、溫度或支座移動(dòng)引起的位移； = ( M + FN + FQ0 ) ds- FRKcK 求出各截面的內(nèi)力MP、FNP、FQP；求出相應(yīng)的彎曲、拉伸和剪切應(yīng)變 曲率 = MP / EI ; I是截面慣性矩； 拉伸 = FNP / EA; A是截面面積； 剪切 0 = kFQP / GA; k是形狀系數(shù)；下標(biāo)P表示由荷載引起荷載引起的位移的計(jì)算公式bhI = bh3112k =1.2前提是什么？荷載引起的位移的計(jì)算公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53兩類力 實(shí) 際 荷 載 引 起 的 內(nèi) 力 MP，F(xiàn)NP ，F(xiàn)QP ； 虛設(shè)單位荷載引起的內(nèi)力 M，

6、FN ，F(xiàn)Q ；內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定 軸力FNP ，F(xiàn)N 以拉力為正； 剪力FQP ，F(xiàn)Q 使微段順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)者為正； 彎矩 MP ，M MP 與 M使桿件同側(cè)受拉，則 MP M 為正； 定義正負(fù)號(hào)一定要便于計(jì)算！荷載引起的位移的計(jì)算公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例：正負(fù)號(hào)的規(guī)范用法aP求a桿軸力 表述一：FNa = -P (受壓) 表述二：FNa = P (受壓為正) （給計(jì)算帶來不便） 表述三： FNa = - P（統(tǒng)一采用默認(rèn)規(guī)范）PDl求D處彎矩 表述一：MD = - Pl （正負(fù)？） 表述二：MD = Pl (順時(shí)針為正) （內(nèi)力成對(duì)，一個(gè)順時(shí)針，一個(gè)逆時(shí)針） 表述三：MD =

7、- Pl (前文已作圖) 表述四： MD = - Pl (內(nèi)側(cè)受拉為正) D各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例5-3 試求圖示懸臂梁在A端的豎直位移，并比較彎曲變形和剪切變形對(duì)位移的影響。設(shè)梁的截面為矩形，泊松比1/3。彎曲變形拉伸變形剪切變形各類結(jié)構(gòu)中三種變形的影響所占比重各不相同，故可簡(jiǎn)化；qABlx 解：應(yīng)用單位荷載法AB1xbh各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例5-3 試求圖示懸臂梁在A端的豎直位移，并比較彎曲變形和剪切變形對(duì)位移的影響。設(shè)梁的截面為矩形，泊松比1/3。qABlxAB1xbh0.5ql2(下方受拉為正)lql-1-I = bh

8、3112A =bh荷載，彎矩圖凸各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例5-3 試求圖示懸臂梁在A端的豎直位移，并比較彎曲變形和剪切變形對(duì)位移的影響。設(shè)梁的截面為矩形，泊松比1/3。qABlxAB1xbh變形類型真實(shí)荷載虛設(shè)荷載截面參數(shù)彎曲剪切I = bh3112A =bh，k = 1.2 彎曲變形引起的位移 剪切變形引起的位移各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例5-3 試求圖示懸臂梁在A端的豎直位移，并比較彎曲變形和剪切變形對(duì)位移的影響。設(shè)梁的截面為矩形，泊松比1/3。qABlxAB1xbh變形類型真實(shí)荷載虛設(shè)荷載引起的位移彎曲剪切 位移比較 總位移E/G

9、 = 2(1+) = 8/3各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例5-3 試求圖示懸臂梁在A端的豎直位移，并比較彎曲變形和剪切變形對(duì)位移的影響。設(shè)梁的截面為矩形，泊松比1/3。qABlbh懸臂梁簡(jiǎn)支梁？qABl結(jié)論： 剪力影響 /彎矩影響 h2/l2； 若h/l 1/5 ，則剪力影響變得重要；各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53梁和剛架彎曲變形主導(dǎo)桁架只受軸力桁梁組合結(jié)構(gòu)梁式桿彎矩主導(dǎo)， 鏈桿只受軸力拱彎矩軸力都重要彎曲變形拉伸變形剪切變形各類結(jié)構(gòu)中三種變形的影響所占比重各不相同，故可簡(jiǎn)化；（一般EA和軸力是常數(shù)）拱壩等拱形結(jié)構(gòu)，因厚度較大，其剪力也是不可忽

10、略的。各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例1：圖示剛架，已知各桿的彈性模量E和截面慣性矩I均為常數(shù)，試求B點(diǎn)的豎向位移BV，水平位移BH，和位移量B；解: 剛架可忽略軸向變形，故只要作出荷載作用下的彎矩圖，寫出各桿的彎矩方程；BCAqa2/2 橫梁BC 豎柱CA MP思考：根據(jù)彎矩圖，能否估計(jì)剛架變形后的形狀？ B點(diǎn)豎直位移； C點(diǎn)水平位移； 因忽略軸向變形，故有：C點(diǎn)無豎直位移；B點(diǎn)水平位移同C 曲率正比于彎矩；BC各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例1：圖示剛架，已知各桿的彈性模量E和截面慣性矩I均為常數(shù)，試求B點(diǎn)的豎向位移BV，水平位移BH，和位移

11、量B；解: 求B點(diǎn)的豎向位移BV ； 橫梁BC 豎柱CA BCAqa2/2MP 作單位力，寫出各桿單位力作用下的彎矩方程式，畫出彎矩圖（外側(cè)受拉為正）；BCA1a 計(jì)算位移正值，說明位移與虛設(shè)力方向相同各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例1：圖示剛架，已知各桿的彈性模量E和截面慣性矩I均為常數(shù)，試求B點(diǎn)的豎向位移BV，水平位移BH，和位移量B；解: 求B點(diǎn)的水平位移BH ； 橫梁BC 豎柱CA BCAqa2/2MP 作單位力，畫出彎矩圖（外側(cè)受拉為正）；BCA1a 計(jì)算位移負(fù)值，說明位移與虛設(shè)力方向相反位移量各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例2：平面桁

12、架如圖，已知各桿截面積均為A=0.410-2m2彈性橫量 E=200GPa，試求B點(diǎn)和D點(diǎn)的豎向位移BV 、DV。解: 求出實(shí)際荷載狀態(tài)下各桿的內(nèi)力； 求BV ；DD004040-32-32-24思考：能否預(yù)估桁架變形情況？各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例2：平面桁架如圖，已知各桿截面積均為A=0.410-2m2彈性橫量 E=200GPa，試求B點(diǎn)和D點(diǎn)的豎向位移BV 、DV。解: 求BV ：在B點(diǎn)施加向下的單位荷載； 求此單位力引起的各桿軸力FN；D004040-32-32-24D1005/35/3-4/3-4/3-1D1各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例1

13、6:53例2：平面桁架如圖，已知各桿截面積均為A=0.410-2m2彈性橫量 E=200GPa，試求B點(diǎn)和D點(diǎn)的豎向位移BV 、DV。解: 求DV ：在D點(diǎn)施加向下的單位荷載； 求此單位力引起的各桿軸力FN；D004040-32-32-241- 5/605/600-1/2各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例5-5：如圖所示為一等截面圓弧形曲桿AB，截面為矩形，圓弧AB的圓心角為0，半徑為r。設(shè)均布豎向荷載 q 沿水平線分布。試求B點(diǎn)的豎向位移BV。解: 在B點(diǎn)虛設(shè)向下的單位荷載； 求出實(shí)際荷載和虛設(shè)荷載作用下的內(nèi)力；內(nèi)力類型實(shí)際荷載虛設(shè)單位荷載彎矩軸力剪力是拱嗎？各類結(jié)構(gòu)的

14、位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例5-5：如圖所示為一等截面圓弧形曲桿AB，截面為矩形，圓弧AB的圓心角為0，半徑為r。設(shè)均布豎向荷載 q 沿水平線分布。試求B點(diǎn)的豎向位移BV。解: 代入位移公式，求得彎矩、軸力、剪力對(duì)位移的貢獻(xiàn)；各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例5-5：如圖所示為一等截面圓弧形曲桿AB，截面為矩形，圓弧AB的圓心角為0，半徑為r。設(shè)均布豎向荷載 q 沿水平線分布。試求B點(diǎn)的豎向位移BV。解: 利用 x = rsin， s = r可得：同理，可得各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例5-5：如圖所示為一等截面圓弧形曲桿AB，

15、截面為矩形，圓弧AB的圓心角為0，半徑為r。設(shè)均布豎向荷載 q 沿水平線分布。試求B點(diǎn)的豎向位移BV。解: 若0 = 90，h/r =0.1，E/G=8/3，矩形截面I/A=h2/12，k=1.2。各種變形的貢獻(xiàn)：變形類型位移貢獻(xiàn)/M彎曲1拉伸剪切彎矩主導(dǎo)各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例3*：如圖所示為一等截面半圓形拱ABC，截面為矩形，圓弧ABC的圓心角為20=180，半徑為r。設(shè)均布豎向荷載 q 沿水平線分布。試求B點(diǎn)的豎向位移BV。ABC20 r Oq解: 利用對(duì)稱性，只討論左半邊結(jié)構(gòu)即可。AB0 r Oq思考：1 該結(jié)構(gòu)和例5-5有何不同？2 彎矩依然主導(dǎo)么？為

16、什么？各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例3*：如圖所示為一等截面半圓形拱ABC，截面為矩形，ABC的圓心角為20=180，半徑為r。設(shè)均布豎向荷載 q 沿水平線分布。試求B點(diǎn)的豎向位移BV。解: 在B點(diǎn)虛設(shè)向下的單位荷載；AB0 r OqxyAB0 r O1x 求出實(shí)際荷載和虛設(shè)荷載作用下的內(nèi)力；內(nèi)力實(shí)際荷載虛設(shè)單位荷載彎矩軸力剪力各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例3*：如圖所示為一等截面半圓形拱ABC，截面為矩形，ABC的圓心角為20=180，半徑為r。設(shè)均布豎向荷載 q 沿水平線分布。試求B點(diǎn)的豎向位移BV。解: 求出實(shí)際荷載和虛設(shè)荷載作用下的內(nèi)

17、力；AB0 r OqxyAB0 r O1x 利用x = rsin， y = rcos簡(jiǎn)化 ；內(nèi)力實(shí)際荷載虛設(shè)單位荷載彎矩軸力剪力各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例3*：如圖所示為一等截面半圓形拱ABC，截面為矩形，ABC的圓心角為20=180，半徑為r。設(shè)均布豎向荷載 q 沿水平線分布。試求B點(diǎn)的豎向位移BV。AB0 r OqxyAB0 r O1x解: 代入位移公式，求得變形對(duì)位移的貢獻(xiàn)；同理，各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例3*：如圖所示為一等截面半圓形拱ABC，截面為矩形，ABC的圓心角為20=180，半徑為r。設(shè)均布豎向荷載 q 沿水平線分布

18、。試求B點(diǎn)的豎向位移BV。AB0 r OqxyAB0 r O1x解: 若h/r =0.1，E/G=8/3，矩形截面k = 1.2，I/A=h2/12。各種變形的貢獻(xiàn)：變形類型位移貢獻(xiàn)/M彎曲1，M/0M = 10.6%拉伸剪切各類結(jié)構(gòu)的位移公式荷載作用下的位移計(jì)算及舉例16:53例3*：如圖所示為一等截面半圓形拱ABC，截面為矩形，ABC的圓心角為20=180，半徑為r。設(shè)均布豎向荷載 q 沿水平線分布。試求B點(diǎn)的豎向位移BV。AB0 r OqxyAB0 r O1x結(jié)論： 彎曲變形減小，軸力、剪力對(duì)位移的貢獻(xiàn)明顯增加； 遠(yuǎn)離合理拱軸線，軸力、剪力對(duì)位移的貢獻(xiàn)依然很小；課后：拱軸線為合理拱軸線時(shí)

19、，比較各變形的貢獻(xiàn)。已有基礎(chǔ)圖乘法16:53靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算：M圖，F(xiàn)N圖， FQ圖；利用位移計(jì)算公式求靜定結(jié)構(gòu)的位移；剛架與梁在荷載作用下的位移計(jì)算公式：常用的求解方法： 直接積分；桿件數(shù)量多的情況下，不方便； 數(shù)值積分；近似解，如高斯積分法，見有限元書籍； 圖乘法； 精確解，較復(fù)雜結(jié)構(gòu)關(guān)鍵位置的估算；（Vereshagin，1925）圖乘法及其應(yīng)用條件圖乘法16:53計(jì)算（等截面桿件）（直桿）（Mi圖為直線）MK圖對(duì)y軸的面積矩A : MK圖面積；x0: MK圖形心x值圖乘法 積分 = MK圖面積 MK圖形心C處 直線彎矩圖Mi值； 若A與y0同側(cè)，則積分取正值；關(guān)鍵： MK圖的面積與形

20、心位置；應(yīng)用條件 等截面抗彎剛度的直桿； 至少一個(gè)彎矩圖為直線。圖乘法及其應(yīng)用條件圖乘法16:53關(guān)鍵： 求得MK圖面積與形心位置；常見圖形的面積與形心；hlC2l/3l/3直角三角形 A= 圖乘法及其應(yīng)用條件圖乘法16:53例4：如圖所示剛架，由于長(zhǎng)期使用，側(cè)壁AC段產(chǎn)生向外的彎曲w0(y)，現(xiàn)于C點(diǎn)施加一個(gè)作用力FC，使得AC桿件產(chǎn)生向內(nèi)的水平撓度w(y)。問FC為何值時(shí)，才能使得 | w0(y) - w(y)dy|? 由位移荷載法知，h2aABCDq=1 EIAC， EIAB，EIBD 分別為各桿的彎曲剛度；FC 求 w(y)dy，施加單位荷載如圖；解： 剛架只需考慮彎曲變形；圖乘法及其

21、應(yīng)用條件圖乘法16:53例4：如圖所示剛架，由于長(zhǎng)期使用，側(cè)壁AC段產(chǎn)生向外的彎曲w0(y)，現(xiàn)于C點(diǎn)施加一個(gè)作用力FC，使得AC桿件產(chǎn)生向內(nèi)的水平撓度w(y)。問FC為何值時(shí)，才能使得 | w0(y) - w(y)dy|?h2aABCD解： 用圖乘法求各桿彎矩積分；FCBCDhFCq=1MCM0.5h2圖乘法及其應(yīng)用條件圖乘法16:53例4：如圖所示剛架，由于長(zhǎng)期使用，側(cè)壁AC段產(chǎn)生向外的彎曲w0(y)，現(xiàn)于C點(diǎn)施加一個(gè)作用力FC，使得AC桿件產(chǎn)生向內(nèi)的水平撓度w(y)。問FC為何值時(shí)，才能使得 | w0(y) - w(y)dy|?h2aABCD解： 用圖乘法求各桿彎矩積分；FCBCDhFC

22、q=1MCM0.5h2故積分，圖乘法及其應(yīng)用條件圖乘法16:53例4：如圖所示剛架，由于長(zhǎng)期使用，側(cè)壁AC段產(chǎn)生向外的彎曲w0(y)，現(xiàn)于C點(diǎn)施加一個(gè)作用力FC，使得AC桿件產(chǎn)生向內(nèi)的水平撓度w(y)。問FC為何值時(shí)，才能使得 | w0(y) - w(y)dy|?h2aABCD解： 確定FC 的范圍：由要求知，F(xiàn)CBCDhFCq=1MCM0.5h2代入 ， 可得其中 ，幾個(gè)具體問題圖乘法16:53y0只能取自直線圖形；復(fù)雜圖形處理； 分段法； 疊加法；A1A2A3 分段法A1A2 同側(cè)組合abcd 異側(cè)組合A與y0同側(cè)，取正值；幾個(gè)具體問題圖乘法16:53復(fù)雜圖形處理；+=+=幾個(gè)具體問題圖乘

23、法16:53例5：求MPMi應(yīng)用舉例圖乘法16:53例1：已知EI為常數(shù)，求CD兩點(diǎn)的相對(duì)水平位移 CD。hlABCDhEq=p(hE - y)q=phE解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖MP11Mih若h = 0.8l，則應(yīng)用舉例圖乘法16:53例2：圖示梁EI 為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。l/2ql/2MP應(yīng)用舉例圖乘法16:53例2：圖示梁EI 為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。l/2ql/2MP思考：還能更快么？提示：延長(zhǎng)Mi應(yīng)用舉例圖乘法16:53例3：試求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)豎向位移。解：剛架彎曲主導(dǎo)MPMi隨堂練習(xí)應(yīng)用舉例圖乘法16:53例4：已知EI為常數(shù)，求鉸C兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角C 解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖lqllqMP應(yīng)用舉例圖乘法16:53例5：已知 EI 為常數(shù)，求A點(diǎn)豎向位移 A。qlllqMP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖應(yīng)用舉例圖乘法16:53例6：求B點(diǎn)水平位移B。解：作荷載彎矩圖和單位荷