《理論力學(xué)》第八章_剛體的平面運(yùn)動(dòng)習(xí)題解

1、 #2 2 #第八章剛體的平面運(yùn)動(dòng)習(xí)題解習(xí)題8-1橢圓規(guī)尺AB出曲柄0C帶動(dòng)，曲柄以勻角速度叫繞0軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。如0C=BC=AC=r,并取C為基點(diǎn)，求橢圓規(guī)尺AB的平面運(yùn)動(dòng)方程。解：橢圓規(guī)尺AB的平面運(yùn)動(dòng)方程為:Xc=tcos0=rcosqtyc=rsiii(p=rsiiicoJi(P=-Ofat(順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù))o習(xí)題8-2半徑為的齒輪由曲柄0A帶動(dòng)，沿半徑為R的固定齒輪滾動(dòng)。如曲柄0A以勻加速度。繞0軸轉(zhuǎn)動(dòng)，且當(dāng)運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，角速度轉(zhuǎn)角=0,求動(dòng)齒輪以中心A為基點(diǎn)的平面運(yùn)動(dòng)方程。解：dco=adtdw=adtco=ttt+C0=ax0+GC=0co=at=CD=(Acltd(p=otdt1(p

2、=-at+C2-1“0=ax0+Cc2-C.=0(p=-cdatxA=(R+t)cos0=(R+r)cos2yA=(R+i)sin0=(R+r)sill弓vA=OA-co=(R+r)m=rcokR+r=&tcitrd(pA=R+01dt0=冬蘭axO+Cs212r故，動(dòng)齒輪以中心A為基點(diǎn)的平面運(yùn)動(dòng)方程為:Xa=(R+i)cos牛yA=(R+r)sin0A=R+r2r6Zt2 #2 # 2 #T習(xí)題8-3試證明：作平面運(yùn)動(dòng)的平面圖形內(nèi)任意兩點(diǎn)的連線中點(diǎn)的速度等于該兩點(diǎn)速度的矢量和之一半。已知：如圖所示，AC=CB,vA,vBT1TT求證：vc=-(VA+VB)證明：TTTTTvB=vA+Vba=

3、vA+ABcoTTT-TTTTITT%=Va+Vca=Va+亍ABB=Va+亍(Vb_Va)=，(Va+Vb)o本題得證。習(xí)題8-4兩平行條沿相同的方向運(yùn)動(dòng)，速度大小不同：Vx=6m/s,v2=2m/So齒條之間夾有一半徑=05m的齒輪，試求齒輪的角速度及其中心0的速度。A6m/sT0.5m0.5m2m#/-V2I #2 # #2 #vo-20.56-2T%=丄x4+2=4(111/s)(齒輪中心0的速度，方向如圖所示。)2AL6V6-2AI=1.5(ni)齒輪的角速度為:V1669=4(rad/s)AL1.5習(xí)題8-5用具有兩個(gè)不同直徑的鼓輪組成的餃車來提升一圓管，設(shè)BECD,輪軸的轉(zhuǎn)速n=

4、10r/min,r=50mm,R=150mm,試求圓管上升的速度。解:CD=2加1602x3.14x1060=1.047(rad/s)vE=R69=150 x1.047=157.05(nmi/s)(向上)vD=rco=50 x1.047=52.35(mm/s)(向下)鋼管作平面運(yùn)動(dòng)，其中心的速度(習(xí)題83結(jié)論)為：%=丄(157.05-5235)=5235(mm/s)(方向：向上。)2習(xí)題8-6兩剛體N用餃C連結(jié)，作平面平行運(yùn)動(dòng)。己知AC=BC=600mm,在圖示位置，va=20Omm/s,vB=100mm/s,方向如圖所示。試求C點(diǎn)的速度。解:TTTVc=VB+VcBTTVBIbC=(VCI

5、bC0=VCxVCx=TTTVC=VA+VCAVaLc=VcLcvAcos30=-vcos30vcy=-vA=200(nmi/s)%=-200111111/s(方向沿著負(fù)y軸方向)習(xí)題8-7題8-6中若與BC的夾角為60,其它條件相同，試求C點(diǎn)的速度。 2 # #2 # 2 #解：運(yùn)動(dòng)分析如圖所示。TTTVC=VB+VCBTTVBIbC=%IbCVBcos60=.x7j=100 x0.5=50(nun/s)TTTVC=Va+%ATTVaLc=%LcvAcos30=-vcycos30+vcxcos60200 x0.866=-vrvx0.866+50 x0.5cy173.2=7/0.866+252

6、5173.2w/、v=-171.13(mm/s)cy0.866Vc=Jvj+vj=3+(-171.13)，178.29(nmi/s)VAVa=arccos=aiccos50178.29=73.71習(xí)題8-8桿OB以3=2rad/s的勻角速度繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)桿AD：桿AD的A點(diǎn)沿水平軸Ox運(yùn)動(dòng)，C點(diǎn)沿鉛垂軸Oy運(yùn)動(dòng)。已知AB=OB=BC=DC=120mm，求當(dāng)4)=45時(shí)桿上D點(diǎn)的速度。 2 #解：vB=OEco=120 x2=240(111111/s)備涪箸2)ED=7lC2+CD2-2ICCDcosl35(120V2)2+1202+2xl20/2xl20 x=1205=268.33(nmi)

7、帶動(dòng)桿AC在套管B內(nèi)滑動(dòng)，套管B及vD=EDcDq=26&33x2=563666(mm/s)習(xí)題8-9圖示一曲柄機(jī)構(gòu)，曲柄0A可繞0軸轉(zhuǎn)動(dòng),與其剛連的BD桿又可繞通過B狡而與圖示平面垂直的水平軸運(yùn)動(dòng)。已知：OA=BD=300mm,OB=40Omm,當(dāng)OA轉(zhuǎn)至鉛宜位置時(shí)，其角速度32rad/s,試求D點(diǎn)的速度。解： # 2 #BD桿與AC桿的角速度相同，即：撿=%,確定了3心問題便可解決。AC桿作平面運(yùn)動(dòng)。0A與BD作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖1所示，I為AC桿此時(shí)的速度瞬心，圖中Vb為AC桿上此瞬時(shí)與狡B重合的B的速度。OA300AB500cosa=-AB500ALAL25003(nun)vA=OA-q=

8、300 x2=600(rad/s)=BD=300 x0.72=216(nmi/s)習(xí)題8-10圖示一傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，當(dāng)0A往復(fù)搖擺時(shí)可使圓輪繞O|軸轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)OA=150mm,0IB=10Omm,在圖示位置，a)=2rad/s,試求圓輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。解：0A作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，AB作平|何運(yùn)動(dòng)。圓輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。vA=OA-co=150 x2=300(nmi/s) # A解：0點(diǎn)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，AB作平面運(yùn)動(dòng)。圓輪0及0B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。Va=OA=750 x6=4500(inin/s)TTTVB=VA+VBAVbIab=vaabvB=vAcos30=4500 x0.866=3897(mm/s)=-=22?=3.75(

9、rad/s)OB2x300館AL=3000(mm)sill300.569=胡Al=4500=1.5(rad/s)3000兩輪嚙合點(diǎn)(OB的中點(diǎn))的速度：vilhd=(BIr3)-co=(3000 x0.866-300 x1.732)x1.5=3117.6(nnn/s)3117.61一1Uxd-1】習(xí)題8-12=6(rad/s)300 x1.732活塞C由繞固定軸0轉(zhuǎn)動(dòng)的齒站帶動(dòng)齒條而上下運(yùn)動(dòng)。在題8-12附圖所示位置，曲柄OA的角速度30=3rad/s,己知r=20Omm,a=10Omm,b=200mm,求活塞C的速度。解：vA=OA-列=200 x3=600(rad/s)TTTVB=vA+v

10、BA嵐AB=應(yīng)山vBcos30=vA=600vB=6000.866=692.84(nun/s) # # # # #=v=r=3-464(rad/s)方向向上）vc=v嚙合點(diǎn)=a%B=lx3464=3464(inm/s)(活塞的速度,習(xí)題8-13在圖示機(jī)構(gòu)中，桿OC可繞0轉(zhuǎn)動(dòng)。套筒AB可沿OC桿滑動(dòng)。與套筒AB的A端牽連運(yùn)動(dòng)：AC桿上與A相重點(diǎn)相對于地面的運(yùn)動(dòng)。相狡連的滑塊可在水平直槽內(nèi)滑動(dòng)。已知3=2rad/s200mm,求“=30時(shí)套筒B端的速度。解:動(dòng)點(diǎn):A點(diǎn)。動(dòng)系:固連于AC桿的坐標(biāo)系。靜系:固連于地1何的坐標(biāo)系。相對運(yùn)動(dòng)：A對于AC的運(yùn)動(dòng)。絕對運(yùn)動(dòng)：A相對于地面的運(yùn)動(dòng)。VA=Ve+Vr

11、b200 x2=x2=462(nun/s)cos304620.866=533(nnn/s)TTTVB=VA+VBA%=ABft?=200 x2=400(min/s)VB=7va2+VBA2-2vavbaCOS1500=a/5332+4002+2x533x400 x0.866 # # #q902（nnii/s）習(xí)題8-14圖示矩形板BDHF用兩根長0.15m的連桿懸掛，已知圖示瞬時(shí)連桿AB的角速度為4rad/s,其方向?yàn)轫槙r(shí)針。試求：板的角速度；（2）板中心G的速度：（3）板上F點(diǎn)的速度：（4）找出板中速度等于或小于015m/s的點(diǎn)。(J4H0.2mI # # # #解：（1）求板的角速度Vb_

12、AB%0.15x40.2=3(rad/s)(2)求板中心G的速度U=0.2cos30=0.1732(ni)IG=0.1732一=0.0482(m)vG=IG=0.0482X3=0.1446(111/s)求板上F點(diǎn)的速度IF=7012+(0.25-0.1732)2=0.1243(ni)vF=IF1243x3=0.373(m/s)求板中速度等于或小于0.15n)/s的點(diǎn)vx=x-網(wǎng)(20.15x0.15/3=0.05(m)板中速度等于或小于0.15m/s的點(diǎn)在以瞬心I為圓心，半徑為0.05m的圓內(nèi)：圓周上速度為0.15111/s圓內(nèi)速度小于0.15m/so習(xí)題8-15圖示一靜定剛架，設(shè)G支座向下沉

13、陷一微小距離，求各部分的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的位置及H與G點(diǎn)微小位移之間的關(guān)系。D&AB/Asc1lAse1勺GEFAsbHASHA # # # #解：整個(gè)剛架的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心如圖所示。3勺ASb2AsA=vAAt=At=AsGaAt2血_Va_Asa%7=aAt2Al】AsrAsh=vHAt=HL=aAt=AsGaAt即*ASjj=ASq習(xí)題8-16機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，曲柄OA垂直于AB,AB平行于OO,試求A、D兩點(diǎn)微小位移之間的關(guān)系。己知CD=400mm,BC=BO解:血_VD_ASD如玩CD“1Atsill30Asd800AtIiASc=%At=CI】撿At=(800 x-At800At=TASd

14、Asb=yAsc=-AsdSd：30/ZSa=VaM=Al?%&=cos304asdSd習(xí)題8-17橋由三部分組成，支承悄況如圖所示。（1）當(dāng)B支座有一微小水平位移；（2）A支座向下沉陷一微小距離：（3）C處發(fā)生一微小水平位移。試分別繪出三種悄況下橋各個(gè)部分的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心。解：v0+vB0=ve+vr在y軸上的投影為:vQsin30Q=yvr=v0siii30+vBO=0.2x0.5+Rou=0.1+0.5x0.5=0.3(m/s)由輪0的平面運(yùn)動(dòng)得:由B的復(fù)合運(yùn)動(dòng)得: # #aBD式中,=R=5J=0-4(rad/s)TTTTaB=ae+ar+ac故，ae+ar+ac=a0+a+aTTtTT

15、TTaj+a+ar+ac=ao+3bd+aeo式中，a0=0dt故,a；+a；+ar+ac=a：上式在x軸上的投影為：3eaC=aBOOB.%a-2%aS=-R&Rtaii60Qqa_2ftblAvr=R&1Rtan60 # # # #=0.0462(rad/s)-R號(hào)+2%逼Rtan60-0.5x0.42+2x02x030.5x1.732習(xí)題8-25等邊三角板ABC,邊長1=400mm,在其所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。已知某瞬時(shí)A點(diǎn)的速度VA=800mm/s,加速度aA=320Omm/s方向均沿AC,B點(diǎn)的速度大小vB=400mm/s,加速度大小aB=800mm/s2o試求該瞬時(shí)C點(diǎn)的速度及加速度。解：

16、(I)求c點(diǎn)的速度TTTVB=VA+VBA上式在X軸上的投影為:vBcos=vacos60cos=vAcos60/vB=800 x0.5/400=10=0VbABtan30BI=400taii30=231(111111)CI=a/2312+4002-2x231x400cos150=611l(mm)vc=CLco=611.1x1.732=105&4(mm/s)(2)求C點(diǎn)的加速度假定角加速度順時(shí)針轉(zhuǎn)，如圖所示。TTTTTaBx+aBy=aA+aRA+aL上式在X軸上的投影為：=aAcos60-a=3200 x0.5-400 x(a/3)2=400(nmi/s2)=73b(aBx)2=a/8002

17、-4002=692.82(mm/s2)TTTTTIBx+aBy=aA+aRA+aL在y軸上的投影為：-Hfiy=aAsill60a二aBy=-aAsiii6Oo+aaL=aBy+aasin60=692.82+3200 x0.866=3464.02(111111/s2)=346402=8.66(rad/s2)4003cA=ACft?=400 x(3)2=1200(111111/s3)趙a=ACa=400 x8.66=3464(nmi/s2)ac=7(aA-3cA)2+(aca)2=J(3200-1200f+3464?=4000(lllin/$?)假定角加速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)，如圖所示。TTTTaB=aA

18、+aRA+3Bk=aAcos60-a=3200 x0.5-400 x(73)2=400(nmVs2)agy=aasill60+a曲=3200 x0.866+a：=2771.2+血a：=a；a；=8002400,=480000agy=692.822771.2+a：=692.82a=-2078.38(nmi/s2)(與圖示方向相反)a=-=-5.2(rad/s-)AB400礙a=AC69?=400 x(3)2=1200(nmi/s2)aA=ACa=400 x(-5.2)=2080(nmi/s2)(與圖示方向相反)ac=7(aA-acA)3+(aca)2=7(3200-1200)3+(-2080)2=2885.6(111111/s2)習(xí)題826反平行四邊形機(jī)構(gòu)中，AB=CD=40Omm,BC=AD=20Omm,曲柄AB以勻角速度3=3rad/s繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，求CD垂直于AD時(shí)BC桿的角速度及角加速度。 # #CE+ED=CD=400200cos6+400sin6=400cos&+2sin&=2cos&=2(1-siii071-sin20=2(1_sill6)1-sill204-8sin&+4siiF05sin2&-8sin&+3=