數(shù)學(xué)與審美——奇異美分析研究應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)、

1、數(shù)學(xué)與審美奇異美目錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc24652 摘要 PAGEREF _Toc24652 1 HYPERLINK l _Toc16202 Abstract PAGEREF _Toc16202 1 HYPERLINK l _Toc22081 引言 PAGEREF _Toc22081 2 HYPERLINK l _Toc2361 1 奇異美的含義 PAGEREF _Toc2361 2 HYPERLINK l _Toc3500 2.奇異美之定理美 PAGEREF _Toc3500 2 HYPERLINK l _Toc22897 3.奇異美之公式美 PAGE

2、REF _Toc22897 9 HYPERLINK l _Toc5937 4.奇異美之圖形美 PAGEREF _Toc5937 11 HYPERLINK l _Toc13686 結(jié)語(yǔ) PAGEREF _Toc13686 31 HYPERLINK l _Toc25612 參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc25612 32 HYPERLINK l _Toc19529 致謝 PAGEREF _Toc19529 33摘要數(shù)學(xué)不僅是一種科學(xué)，更是一種美學(xué)，而奇異美便是數(shù)學(xué)美中最為重要的一個(gè)特征。針對(duì)美學(xué)，著名數(shù)學(xué)家徐利治教授曾經(jīng)說(shuō) :“奇異是一種美，奇異到極點(diǎn)更是一種美。”數(shù)學(xué)具備奇異美的特性，其表現(xiàn)是

3、多方面的，其中奇巧、突變是數(shù)學(xué)奇異美最為重要的特征，能夠?yàn)閿?shù)學(xué)以無(wú)限生機(jī)。，數(shù)學(xué)中的奇異美，常常會(huì)讓人們感覺(jué)震驚，從數(shù)學(xué)奇異美角度出發(fā)進(jìn)行思考，還可以解決大量數(shù)學(xué)問(wèn)題，故而本文將從三個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)的奇異美進(jìn)行分析，以為他人更好的了解數(shù)學(xué)提供參考，同時(shí)使更多的人喜歡數(shù)學(xué)。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；審美；奇異美AbstractThe singular beauty of mathematics is one of the important characteristics of mathematics beauty. Professor Xu Lizhi，a famous mathematician，point

4、ed out: Singularity is a kind of beauty，and singularity is a kind of beauty. The singularity and mutation in mathematics is an important manifestation of the singular beauty of mathematics. It reflects a side of the unconventional phenomenon in the real world. Give mathematics unlimited life. The si

5、ngular beauty of mathematics often gives people an unexpected and shocking experience. This article will analyze the singular beauty of mathematics from three aspects，in order to provide a reference for others to better understand mathematics，and at the same time make more people like mathematics.Ke

6、y words: mathematics; aesthetics; singular beauty引言新穎的以及不常見(jiàn)的東西通常都會(huì)引起人們的遐想，而遐想實(shí)際上便是一種樂(lè)趣，在遐想中，能夠引起人們對(duì)這些新穎東西的思考，勾起人們的好奇心，從而得到全新的觀念。從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)，其中很多數(shù)學(xué)分支，實(shí)際上都是人們?cè)阱谙胫羞M(jìn)行的進(jìn)一步探索，在不斷的探索中獲得新的知識(shí)。從數(shù)學(xué)發(fā)展角度來(lái)說(shuō)，正是數(shù)學(xué)自身的奇異性的魅力，吸引著數(shù)學(xué)家向更新、更深的層次探索。故而本文從奇異性角度出發(fā)，對(duì)數(shù)學(xué)的奇異美進(jìn)行探究。1 奇異美的含義數(shù)學(xué)的奇異美通常包括兩大方面的內(nèi)容，即奇妙以及變異。數(shù)學(xué)中的不少結(jié)論巧妙無(wú)比，令人贊嘆，正是

7、因?yàn)檫@一點(diǎn)，數(shù)學(xué)才有無(wú)窮的魅力。變異是指，數(shù)學(xué)理論拓廣后或統(tǒng)一性遭到破壞后，出現(xiàn)另一種新的方法、新思想、新概念、新理論的起點(diǎn)。而變異實(shí)際上是與人們的想象以及期望相悖的，這些都能夠使人們產(chǎn)生更多的好奇。本文將從數(shù)學(xué)的定理美、公式美以及圖形美三個(gè)角度出發(fā)，探究數(shù)學(xué)的奇異美。2.奇異美之定理美為探究數(shù)學(xué)的定理美，筆者將從最基礎(chǔ)的勾股定理出發(fā)，對(duì)數(shù)學(xué)的奇異美進(jìn)行分析。勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)是一個(gè)重要的定理，這一定理極為常見(jiàn)，是勾股定理的代數(shù)表達(dá)式，很多人均耳熟能詳。 為了更好的對(duì)其進(jìn)行記憶，又將、稱(chēng)為勾股數(shù)組(以它們?yōu)檫叺娜切畏Q(chēng)為畢達(dá)哥拉斯三角形)，比如，便是其中一組。勾股數(shù)組極多，它們的一般表

8、達(dá)式為：， (、為正整數(shù))。不過(guò)，是否存在正整數(shù)滿(mǎn)足仔或者更加普通的，是否存在正整數(shù)、，滿(mǎn)足()(費(fèi)馬猜想)?1640年前后，費(fèi)馬在他閱讀古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的著作整數(shù)論中關(guān)于畢達(dá)哥拉斯三角形一節(jié)的空白處寫(xiě)道：“時(shí)，方程沒(méi)有非零的整數(shù)解(費(fèi)馬大定理)。我找到了這個(gè)定理的奇妙的證明，可惜這里太窄，無(wú)法把它寫(xiě)下?！边@段迷人的話語(yǔ)吸引了無(wú)數(shù)著名的數(shù)學(xué)家涉足它。直到三百多年后，人們才找到了它的證明，雖然此前數(shù)學(xué)大師歐拉于1730年對(duì)，的情形，給出了猜想的證明；狄利克雷給出了時(shí)的證明；德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺?848年在某些更高次冪的情形下，對(duì)猜想進(jìn)行了證明。同時(shí)利用庫(kù)默爾的方法，借助于大型高速計(jì)算機(jī)，證得當(dāng)時(shí)(

9、包括它們的倍數(shù))結(jié)論成立。法國(guó)科學(xué)院曾于1816年和1850年兩度以3000法朗懸賞猜想證明者，德國(guó)也于1908年設(shè)了十萬(wàn)馬克的獎(jiǎng)金，這筆基金是沃夫斯凱爾博士當(dāng)年遺贈(zèng)的。這個(gè)貌似不很困難的問(wèn)題曾令不少人躍躍欲試，因而論證該問(wèn)題的文章像雪片一樣從四面八方飛來(lái)。據(jù)說(shuō)，當(dāng)年的數(shù)論專(zhuān)家蘭道，為了應(yīng)付“解答者”，曾印了不少明信片，上面寫(xiě)道：“親愛(ài)的先生或女士，你對(duì)費(fèi)馬猜想的證明已收到，現(xiàn)予退回，第一個(gè)錯(cuò)誤出現(xiàn)在第 頁(yè)第 行?！比藗円苍鴳岩僧?dāng)年的費(fèi)馬是否真的找到了問(wèn)題的證明。1993年夏，英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯?jié)撔钠吣暄芯浚K于在劍橋大學(xué)的學(xué)術(shù)報(bào)告會(huì)上，宣布他已證得費(fèi)馬猜想，可人們?cè)谘芯克膱?bào)告中同樣發(fā)現(xiàn)了漏洞

10、。沉寂了一年后，1994年10月25日，懷爾斯和他的學(xué)生泰勒修補(bǔ)了上述文章的缺陷，且將他們的論文圓曲線與費(fèi)馬大定理和某些Hecke代數(shù)的環(huán)論性質(zhì)預(yù)印本以電子郵件的形式向世界各地散發(fā)。次年5月，美國(guó)數(shù)學(xué)年刊全文刊出上面兩篇文章，至此宣告：困繞人們?nèi)齻€(gè)世紀(jì)之久的“費(fèi)馬大定理”被攻克。談到數(shù)學(xué)的奇異性，我們當(dāng)然會(huì)想到代數(shù)方程的求根問(wèn)題。其實(shí)關(guān)于代數(shù)方程根的定理，即代數(shù)基本定理是這樣的：復(fù)數(shù)域上的次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)至少有一個(gè)根。關(guān)于它，早在1629年，法國(guó)學(xué)者日拉爾便有猜想; 1746年法國(guó)的達(dá)朗貝爾給出定理的一個(gè)不太嚴(yán)格的證明; 直到1799年，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯給出了這個(gè)定理的嚴(yán)格證明，后來(lái)他又給出了

11、三種其它證法。由上述定理，我們看到，代數(shù)方程的根的存在性已無(wú)庸置疑，但是要具體找出它們卻遠(yuǎn)非易事。對(duì)于一元二次方程，九世紀(jì)時(shí)，中亞細(xì)亞的學(xué)者穆罕默德阿里花拉子米給出了它的求根公式，即方程()的解為。一元三次方程的解法較復(fù)雜。公元四世紀(jì)，希臘人已知道某些特殊的三次方程的解法；公元十一世紀(jì)，阿拉伯學(xué)者卡牙姆也系統(tǒng)地研究過(guò)三次方程的解法，但一般三次方程的求根公式則是1545年意大利的卡爾達(dá)諾在他的大法一書(shū)中給出的。爾后，卡爾達(dá)諾的學(xué)生費(fèi)拉里給出了一元四次方程的求根公式。人們希望能循著二次、三次、四次方程的成果去尋找次方程的求根公式。然而事與愿違，經(jīng)過(guò)許多數(shù)學(xué)家近三百余年的努力，結(jié)果仍然渺茫。年輕的挪

12、威數(shù)學(xué)家阿貝爾總結(jié)了前人的教訓(xùn)，開(kāi)始從反面考慮這個(gè)問(wèn)題。他在拉格朗日、魯菲尼等人的成果的基礎(chǔ)上，證明了：一般五次和五次以上的代數(shù)方程的解不能用公式給出(由此開(kāi)辟了研究近世代數(shù)包括群論等內(nèi)容的嶄新學(xué)科)。 這里所講的“不能用公式解”是指一般的代數(shù)方程的情形，對(duì)于某些特殊的方程，如，它的解當(dāng)然可用公式給出。法國(guó)青年數(shù)學(xué)家伽羅瓦徹底解決了這個(gè)問(wèn)題，他給出了次方程可用公式解的充要條件(且由此創(chuàng)立了伽羅瓦理論這個(gè)數(shù)學(xué)分支)。調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散是數(shù)學(xué)史上最令人意想不到的事情。如果注意到質(zhì)數(shù)在自然數(shù)中分布越來(lái)越稀疏的事實(shí)， 則級(jí)數(shù)(取遍全部質(zhì)數(shù))發(fā)散，更令人覺(jué)得奇妙! 然而,“怪事”還不止于此，比如：從調(diào)和級(jí)數(shù)中

13、除去所有含有數(shù)字的項(xiàng)而得到的級(jí)數(shù)收斂(且它的和小于)。從調(diào)和級(jí)數(shù)中剔除含有其它數(shù)字(，)的項(xiàng)后，所得到的級(jí)數(shù)也同樣收斂。用帶有數(shù)字的骨牌，按照某種規(guī)定砌滿(mǎn)整個(gè)平面的問(wèn)題與圖論有關(guān)。比如，我們要求用有限種形如上圖的骨牌(圖中、為該邊上的某種賦值)去布滿(mǎn)平面，使兩張骨牌在鄰接處有相同的賦值(不許轉(zhuǎn)動(dòng)或反射每張骨牌面上的四個(gè)數(shù)字)。用下面六種骨牌可按上面要求砌滿(mǎn)整個(gè)平面： 事實(shí)上，砌滿(mǎn)整個(gè)平面是通過(guò)上面的矩形(注意它的對(duì)邊上的數(shù)字分別相等)一再重復(fù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。然而，人們不難發(fā)現(xiàn)，用下面三種規(guī)格的骨牌，按照上面的要求是鋪不滿(mǎn)整個(gè)平面的。 著名的希爾伯特第三問(wèn)題，也是這種數(shù)學(xué)奇異性的精彩例證。若兩個(gè)幾何圖

14、形的面積相等，則稱(chēng)它們大小相等；若能將其中之一經(jīng)有限次分割后組成另一個(gè)圖形，則稱(chēng)它們組成相等。長(zhǎng)方形和組成相等1832年，匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶、1833年德國(guó)人蓋爾文證明了：兩個(gè)大小相等的多邊形一定組成相等。他們的證明依據(jù)了下面的五條引理(這里“”表示組成相等)(1)圖形，又，則；(2)任何三角形某矩形；(3)等底等積的兩平行四邊形組成相等；(4)等積的兩矩形組成相等；(5)多邊形矩形。然而，若把這里的結(jié)論推廣到空間，情況如何? 也就是說(shuō)，兩個(gè)體積相等的多面體，是否也組成相等(希爾伯特第三問(wèn)題)?1900年，希爾伯特的學(xué)生戴恩證明了：存在這樣的兩個(gè)四面體，它們的體積相等，但不是組成相等。這使得希爾

15、伯特第三問(wèn)題得到了否定的解決。從平面向空間的推廣遇到了麻煩，這與人們的猜想相悖。平面中的點(diǎn)、線、面積又是什么? 在歐幾里得幾何中，“點(diǎn)”被定義(嚴(yán)格地講是被描述成)沒(méi)有長(zhǎng)、沒(méi)有寬、沒(méi)有厚的幾何圖形；“線”被定義成“有長(zhǎng)無(wú)寬”的幾何圖形。下面的例子說(shuō)明了上述定義的欠缺。取面積為的正方形(單位正方形，見(jiàn)下圖(1)，從中挖去一個(gè)十字(圖(2)，其寬度是使挖去部分的面積為。在剩下的四個(gè)小正方形中，仿照上面的辦法重復(fù)上面的步驟，且使每次挖去的十字形面積為上一次挖去面積的一半(圖(3)，(4)。其“極限圖形”，雖然像散開(kāi)的一個(gè)個(gè)點(diǎn)(因?yàn)榱粝碌恼叫卧絹?lái)越小)，卻仍然有正的面積。實(shí)際上，每次挖去的十字形面積

16、依次為，,，在極限情形留下的圖形面積為.我們?cè)賮?lái)看看皮亞諾曲線，它是一個(gè)可以充滿(mǎn)正方形的曲線，這種曲線是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在1890年給出的。我們把正方形分成，個(gè)相同的小正方形，然后從每個(gè)小正方形中去掉一些邊，然后形成極為曲折的“密紋迷宮”，這些迷宮的中位曲線(圖中的虛線)越來(lái)越密。中位曲線的極限情形，是一個(gè)可以充滿(mǎn)整個(gè)正方形的曲線皮亞諾曲線。波蘭數(shù)學(xué)家謝爾品斯基也給出了一個(gè)可以充滿(mǎn)平面的曲線。如下圖(1)，方格中所給的曲線稱(chēng)為第級(jí)曲線；仿照?qǐng)D(1)，將每個(gè)小正方形加細(xì)，再將每個(gè)田字格子曲線溝通成第級(jí)曲線。 重復(fù)上面的過(guò)程，可以得到、級(jí)曲線。如此下去，在極限情形下得到的曲線即可填滿(mǎn)整個(gè)正方形。

17、 數(shù)學(xué)中的奇異現(xiàn)象還有另一種含義：當(dāng)人們沒(méi)有認(rèn)清它而做出錯(cuò)誤的判斷、結(jié)論或給出不盡完美的方法時(shí)，將會(huì)出現(xiàn)一些“反例”(這是數(shù)學(xué)自身嚴(yán)格性的必然)。要證明一個(gè)結(jié)論，須考慮全部情形和所有情況；而要推翻一個(gè)結(jié)論，只須舉出一個(gè)反例即可。反例的出現(xiàn)，既體現(xiàn)了制造者的匠心，也從另一方面說(shuō)明了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與和諧(容不得半點(diǎn)虛假)。我們有理由這樣說(shuō)：數(shù)學(xué)中那些最美妙、最令人意想不到的反例，從另一角度來(lái)說(shuō)，是數(shù)學(xué)的一種奇異美。也就是說(shuō)，無(wú)論從定理的哪一個(gè)角度出發(fā)，其均能展現(xiàn)出奇異美。3.奇異美之公式美奇異美之公式美的表現(xiàn)如下：與整數(shù)僅差，就是說(shuō)，(它不是一個(gè)整數(shù)，而是個(gè)超越數(shù))一直算到小數(shù)點(diǎn)后第位仍然都是(第位便

18、不再是)。又如，當(dāng)，一直到時(shí)，才是整數(shù)(值為)。這還不算稀罕，再看，當(dāng)，一直到時(shí)，才是整數(shù)(即才是完全平方數(shù))。這些奇異的數(shù)字現(xiàn)象，無(wú)疑會(huì)引起人們的興趣與關(guān)注。這些事實(shí)當(dāng)然有其深刻的數(shù)學(xué)背景：對(duì)于前者，我們可從解析數(shù)論及代數(shù)數(shù)論中找到答案；對(duì)于后者，實(shí)際上與Pell方程中展成連分?jǐn)?shù)時(shí)的周期有關(guān)。若它的周期很長(zhǎng)，則上述方程的第一組整數(shù)解將很大。比如時(shí)，使為整數(shù)的最小有位，而當(dāng)時(shí)，則使為整數(shù)的最小為位數(shù)。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家切巴塔廖夫依據(jù)下面的事實(shí)：曾斷言：將分解成不能再分解的且具有整系數(shù)的因式以后，各系數(shù)的絕對(duì)值都不超過(guò)。但依萬(wàn)諾夫卻發(fā)現(xiàn)：有下面的因式：其中和的系數(shù)均為，其絕對(duì)值大于，這就是說(shuō)當(dāng)從到時(shí)，

19、前面的斷言都正確，而到了卻出現(xiàn)了反例。下面的兩個(gè)事實(shí)也耐人琢磨、耐人尋味：方程有無(wú)數(shù)組有理解，但卻沒(méi)有有理解；方程有無(wú)數(shù)組有理解，但卻沒(méi)有有理解。它們看上去(形式上)相差無(wú)幾(或者說(shuō)只差一點(diǎn)點(diǎn))，但結(jié)果是“差之毫厘，謬之千里”！以埃及分?jǐn)?shù)為例，這種分?jǐn)?shù)的性質(zhì)同樣為人們關(guān)注。人們甚至將它抽象、升華成為不定方程的形式去研究。1950年愛(ài)爾特希和斯特盧斯猜測(cè)：方程對(duì)任何自然數(shù)均有整數(shù)解。后來(lái)，斯特盧斯又加強(qiáng)了此猜想：時(shí)，方程 有整數(shù)解，且互不相等。他也對(duì)的情形進(jìn)行了驗(yàn)證(結(jié)論無(wú)誤)。1963年，我國(guó)四川大學(xué)的柯召教授證明上面兩個(gè)猜想是等價(jià)的，同時(shí)對(duì)的數(shù)進(jìn)行了驗(yàn)證(現(xiàn)已驗(yàn)證至的情形)。由于對(duì)數(shù)學(xué)中這些

20、奇異現(xiàn)象的探求，人們不斷發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論。1969年，數(shù)學(xué)家布累策在一本名為數(shù)學(xué)游覽的書(shū)中寫(xiě)道：無(wú)法將表為項(xiàng)數(shù)少于三項(xiàng)的單位分?jǐn)?shù)之和，同時(shí)，但開(kāi)始時(shí)人們不知道上式中的最大分母是否為可能的最小值? 1983年，華東交通大學(xué)的劉潤(rùn)根發(fā)現(xiàn)：。 同時(shí)，中國(guó)四川峨嵋療養(yǎng)院的一位醫(yī)務(wù)工作者王曉明給出了另外三組等式：，。 以上這些表達(dá)式中，最大的分母都比要小。它們是否是最小? 不得而知。分?jǐn)?shù)的這些奇特性質(zhì)中蘊(yùn)含的奧妙，遠(yuǎn)比“看上去”的要多得多，否則，古埃及人研究的東西，今人為何對(duì)它仍有興趣?在平面幾何的尺規(guī)作圖中，等分圓周成，份均可做到，而等份圓周卻無(wú)法實(shí)現(xiàn)。關(guān)于等分圓周問(wèn)題，我們有下列重要結(jié)果：若(是或自然數(shù)

21、)，且是質(zhì)數(shù)時(shí)(即是費(fèi)馬質(zhì)數(shù))，則利用尺規(guī)可將圓周 (包括它的倍)等份(高斯定理)。例如，當(dāng)時(shí)，是質(zhì)數(shù)，故利用尺規(guī)可將圓等分成、份。4.奇異美之圖形美本文對(duì)圖形美的探究，主要從“有限性”與“圖形”的關(guān)系來(lái)展現(xiàn)出來(lái)，具體如下：世界是無(wú)限的，宇宙是無(wú)限的，數(shù)學(xué)也是無(wú)限的。無(wú)限的世界、無(wú)限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同。數(shù)，無(wú)窮無(wú)盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓觥Ｆ矫嫔嫌袩o(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，而確定一個(gè)平面僅需要三個(gè)點(diǎn)(當(dāng)然它們不共線)就可以。一副撲克牌洗多少次才算最勻凈? 答案是次(并非越多越好，要知道一副撲克可能的排列方式有種，它大約為)。美國(guó)哈佛大學(xué)的數(shù)學(xué)家戴柯尼斯

22、和哥倫比亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家貝爾發(fā)現(xiàn)了這一奧秘。他們把張牌編上號(hào)，先按的遞增順序排列。洗牌時(shí)分成兩疊，一疊是，另一疊是。洗一次后會(huì)出現(xiàn)這樣的數(shù)列：，它是兩組遞增數(shù)列：，和，的混合。此后再繼續(xù)洗牌，若遞增數(shù)列的組數(shù)多于時(shí)，這副牌已完全看不出原來(lái)的樣子(順序)。計(jì)算表明，當(dāng)洗牌次數(shù)為時(shí)，可實(shí)現(xiàn)上述效果(多于此數(shù)，過(guò)猶不及)。再如廣告，商家也許以為所做次數(shù)越多，效果越好，其實(shí)不然。廣告費(fèi)用的投入與效果，遵循經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中著名的曲線(下圖)，從圖上可以看出：投入費(fèi)用在某一段區(qū)間內(nèi)時(shí)，廣告最為有效。 另一方面，廣告播出次數(shù)以次左右為最佳。美國(guó)著名廣告學(xué)家克魯曼認(rèn)為：消費(fèi)者是在漫不經(jīng)心地接觸廣告：第一次只了解信息的

23、大概，第二次開(kāi)始關(guān)心廣告的內(nèi)容與自己是否有關(guān)，第三次便會(huì)對(duì)產(chǎn)品加深印象與了解。廣告以次為最佳，否則會(huì)無(wú)效或產(chǎn)生厭倦情緒和逆反心理。三角形數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，但其中僅有六個(gè)是由同一數(shù)字組成的：()，()，()，()，()，()。又如棱錐數(shù)(金字塔數(shù))：中， 僅有()和()是完全平方數(shù)， 這是1875年呂卡斯猜測(cè)的，直至1918年才由沃森給出證明。著名的斐波那契數(shù)列，中的完全平方數(shù)僅有，和這三項(xiàng)(由四川大學(xué)的柯召等人于1964年解決)。由前文我們知道，方程僅有一組非平凡的整數(shù)解，；方程，即有且僅有，和三組正整數(shù)解。1842年，卡塔蘭曾猜想：和是唯一一對(duì)都是正整數(shù)冪的相繼自然數(shù)(對(duì)于方冪中有一平方數(shù)的

24、情形，被柯召于1962年解決；1976年Tiideman證明：若兩相繼自然數(shù)均為正整數(shù)冪，則每個(gè)正整數(shù)的冪均應(yīng)小于常數(shù)，已證得)。 是唯一一個(gè)夾在兩個(gè)方冪52和33之間的整數(shù)，即方程僅有一組整數(shù)解。而有兩組整數(shù)解和；僅有一組整數(shù)解。歐拉早就指出：僅有一組整數(shù)解(此與卡塔蘭猜想等價(jià))；有三組整數(shù)解，和；但無(wú)整數(shù)解(形如的方程稱(chēng)為Modell方程，而稱(chēng)為Pell方程)。多面體千姿百態(tài)、種類(lèi)繁多，歐拉卻從中找出了它們的共性：對(duì)于(單連通面組成的)簡(jiǎn)單多面體(表面連續(xù)變形，可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w)，他在其頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間建立了一個(gè)等式：(歐拉公式)。在眾多的場(chǎng)合下，它是適用的(上面括號(hào)內(nèi)的文字已給出

25、公式的適用范圍)。人們正是依據(jù)這一點(diǎn)證明了：正多面體(各個(gè)面都是全等的正多邊形的幾何體)僅有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。 此外，與它們共軛的多面體(若兩多面體的棱數(shù)相同，且其中一個(gè)的頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)，恰好是另一多面體的面數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)，則這兩個(gè)多面體互稱(chēng)共軛)也只有種，它們每面的邊數(shù)和交于一點(diǎn)的棱數(shù)，以及，的關(guān)系如下： 正四面體及其共軛圖形(正四面體) 正六面體及其共軛圖形(正八面體) 正八面體及其共軛圖形 正十二面體及其共軛圖形 正二十面體及其共軛圖形(正六面體) (正二十面體) (正十二面體)我們也知道：平面上與單位圓(半徑為的圓)相切的單位圓最多只能有個(gè)(它的證明

26、不難)。有人將問(wèn)題推廣到空間情形。起初(1694年)，英國(guó)天文學(xué)家格雷戈里猜測(cè)：一個(gè)單位球(半徑為1的球)可與個(gè)單位球相切，而牛頓則認(rèn)為這個(gè)數(shù)目應(yīng)是。大約260年后(1953年)，許特和范德瓦爾登給出“至多可與個(gè)單位球相切”的論證。1956年，利奇又給了一個(gè)簡(jiǎn)化證明。順便講一句，上述結(jié)論與自然界的某些現(xiàn)象與構(gòu)造是協(xié)調(diào)的。十九世紀(jì)，法國(guó)結(jié)晶學(xué)家布拉維利用群論的研究成果，確定了晶體僅有種可能的結(jié)構(gòu)(這一點(diǎn)已被現(xiàn)代科學(xué)所證實(shí))，這種有限種類(lèi)的結(jié)構(gòu)已被無(wú)限的自然界所認(rèn)可。完美矩形(用規(guī)格完全不同的正方塊拼成的矩形)有無(wú)窮多種，但是階數(shù)(即組成它的小正方形個(gè)數(shù))最小的完美矩形(階)僅有兩個(gè)(見(jiàn)下圖，圖中

27、的數(shù)字表示該正方形邊長(zhǎng))。考慮周長(zhǎng)一定的畢達(dá)哥拉斯三角形的個(gè)數(shù)問(wèn)題。當(dāng)個(gè)數(shù)為時(shí)，有周長(zhǎng)是的情形存在: 三邊分別為、的三角形都是周長(zhǎng)為的畢達(dá)哥拉斯三角形；當(dāng)個(gè)數(shù)為時(shí)，在周長(zhǎng)小于的情形中僅有例，其中最小者周長(zhǎng)為，三邊分別為、的三角形都是周長(zhǎng)為的畢達(dá)哥拉斯三角形。這類(lèi)問(wèn)題首先是追求形式上的美(因而限制增加了)，想不到解竟是如此稀少！數(shù)學(xué)中的有限性的另一層意思是：“項(xiàng)”與“個(gè)數(shù)”最少問(wèn)題。比如，我們前面提到的完美矩形的階數(shù)最小是，完美正方形的最小階數(shù)是等。此外，還有許多此類(lèi)問(wèn)題，比如：正方形被剖分成銳角三角形，其個(gè)數(shù)不少于(上圖(1)；鈍角三角形被剖分成銳角三角形，其個(gè)數(shù)不少于(上圖(2)。數(shù)學(xué)中的唯

28、一性問(wèn)題，是特殊的有限。比如，兩相交直線有唯一一個(gè)交點(diǎn); 螺旋式三階反幻方(各行、各列、各對(duì)角線上諸數(shù)和皆不相等)，不計(jì)其平移、旋轉(zhuǎn)、反射等變換，其解是唯一的。用同一種數(shù)字構(gòu)造數(shù)、用同一種圖構(gòu)造圖形，里面也含有單一問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題在數(shù)學(xué)中有很多。比如，平面的鑲嵌問(wèn)題，即問(wèn)：用什么樣的單一圖形可以鋪滿(mǎn)(無(wú)縫隙、無(wú)重疊)平面(完美正方形也是一種鑲嵌)?圓顯然不行，因?yàn)閳A與圓之間會(huì)有空隙。最簡(jiǎn)單的圖形恐怕要數(shù)正多邊形了?？墒悄阆脒^(guò)沒(méi)有，是否所有的正多邊形都可以? 回答是否定的。其實(shí)，只有三種正多邊形正三角形、正四邊形、正六邊形能夠鋪滿(mǎn)平面。 通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算， 我們不難證實(shí)這一點(diǎn)。設(shè)正邊形的內(nèi)角為。 若它能鋪滿(mǎn)平面(如圖)，則必有，使得。 由正多邊形的內(nèi)角公式，代入上式,便有，即，而只能是整數(shù)，這僅當(dāng)時(shí)，即為，時(shí)才可以做到(據(jù)說(shuō)早在畢達(dá)哥拉斯時(shí)代，人們對(duì)這個(gè)問(wèn)題已有研究)。我們知道，平行四邊形可以鋪滿(mǎn)平面，梯形也可以(兩個(gè)梯形可拼成一個(gè)平行四邊形)。 其實(shí)，任何同樣規(guī)格的四邊形也都可以鋪滿(mǎn)平面。 然而，并非所有五邊形皆可鋪滿(mǎn)平面。對(duì)五邊形而言，能用它們鋪滿(mǎn)平面的有種(1978年，由沙特斯奈德發(fā)現(xiàn))。 第1種第