2022屆上海市培佳雙語學校高三第三次測評數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數(shù)，其中，記函數(shù)滿足條件：為事件，則事件發(fā)生的概率為ABCD2如圖，在矩形中的曲線分別是，的一部分，在矩形內(nèi)隨機取一點，若此點取自陰影部分的概率為，取自非陰影部分的概率為，則（）ABCD大小關(guān)系不能確定3已知復(fù)數(shù)，其中，是虛數(shù)單位

2、，則（ ）ABCD4下圖為一個正四面體的側(cè)面展開圖，為的中點，則在原正四面體中，直線與直線所成角的余弦值為（ ）ABCD5九章算術(shù)中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的表面積為（ ）A4B8CD6已知全集，集合，則陰影部分表示的集合是（ ）ABCD7已知集合，ByN|yx1，xA，則AB（ ）A1，0，1，2，3B1，0，1，2C0，1，2Dx1x28已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，且拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，那么該雙曲線的離心率為（ ）ABCD9已知函數(shù)，的零點分別為，則（ ）ABCD10己知函數(shù)若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點對稱的點有2

3、對，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD11已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（ ）ABCD12已知，其中是虛數(shù)單位，則對應(yīng)的點的坐標為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在四棱錐中，底面為正方形，面分別是棱的中點，過的平面交棱于點，則四邊形面積為_.14若方程有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是_.15已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，則實數(shù)a_，|z|_16的展開式中的系數(shù)為_（用具體數(shù)據(jù)作答）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知橢圓，上頂點為，離心率為，直線交軸于點，交橢圓于，兩點，直線，分別交軸于點，（）求橢圓

4、的方程；（）求證：為定值18（12分）已知等差數(shù)列中，數(shù)列的前項和.（1）求；（2）若，求的前項和.19（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2是圓心為（2，），半徑為1的圓（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程；（2）設(shè)M為曲線C1上的點，N為曲線C2上的點，求|MN|的取值范圍20（12分）如圖，已知拋物線：與圓： （）相交于， ， ，四個點，（1）求的取值范圍；（2）設(shè)四邊形的面積為，當最大時，求直線與直線的交點的坐標.21（12分）已知是拋物線：的焦點，點在上，到軸的距離比小1.（1）求的方程；

5、（2）設(shè)直線與交于另一點，為的中點，點在軸上，.若，求直線的斜率.22（10分）如圖，已知四棱錐，底面為邊長為2的菱形，平面，是的中點，（） 證明：；（） 若為上的動點，求與平面所成最大角的正切值參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】由得，分別以為橫縱坐標建立如圖所示平面直角坐標系，由圖可知，.2B【解析】先用定積分求得陰影部分一半的面積，再根據(jù)幾何概型概率公式可求得【詳解】根據(jù)題意，陰影部分的面積的一半為：，于是此點取自陰影部分的概率為又，故故選B【點睛】本題考查了幾何概型，定積分的計算以及幾何意義，屬于中檔

6、題3D【解析】試題分析：由,得,則，故選D.考點：1、復(fù)數(shù)的運算；2、復(fù)數(shù)的模.4C【解析】將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，三點重合，記作，取中點，連接，即為與直線所成的角，表示出三角形的三條邊長，用余弦定理即可求得.【詳解】將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中三點重合，記作：則為中點，取中點，連接，設(shè)正四面體的棱長均為，由中位線定理可得且，所以即為與直線所成的角， ，由余弦定理可得，所以直線與直線所成角的余弦值為，故選：C.【點睛】本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題.5B【解析】由三視圖判斷出原圖，將幾何體補

7、形為長方體，由此計算出幾何體外接球的直徑，進而求得球的表面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜邊為2，側(cè)棱長為2且與底面垂直，因為直三棱柱可以復(fù)原成一個長方體，該長方體外接球就是該三棱柱的外接球，長方體對角線就是外接球直徑，則，那么.故選：B【點睛】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查幾何體外接球的有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.6D【解析】先求出集合N的補集，再求出集合M與的交集，即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由，可得或，又所以.故選：D.【點睛】本題考查了韋恩圖表示集合，集合的交集和補集的運算，屬于基礎(chǔ)題.7A【解析】解出集合A和B即可求得兩個

8、集合的并集.【詳解】集合xZ|2x31，0，1，2，3，ByN|yx1，xA2，1，0，1，2，AB2，1，0，1，2，3故選：A【點睛】此題考查求集合的并集，關(guān)鍵在于準確求解不等式，根據(jù)描述法表示的集合，準確寫出集合中的元素.8A【解析】由拋物線的焦點得雙曲線的焦點，求出，由拋物線準線方程被曲線截得的線段長為，由焦半徑公式，聯(lián)立求解.【詳解】解：由拋物線，可得，則，故其準線方程為，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，又，則雙曲線的離心率為故選：【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過雙曲線的焦點的弦長求離心率. 弦過焦點時，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長9C【解析】轉(zhuǎn)化函

9、數(shù)，的零點為與，的交點，數(shù)形結(jié)合，即得解.【詳解】函數(shù)，的零點，即為與，的交點，作出與，的圖象，如圖所示，可知故選：C【點睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點，考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.10B【解析】考慮當時，有兩個不同的實數(shù)解，令，則有兩個不同的零點，利用導(dǎo)數(shù)和零點存在定理可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為的圖象上關(guān)于原點對稱的點有2對，所以時，有兩個不同的實數(shù)解.令，則在有兩個不同的零點.又， 當時，故在上為增函數(shù)，在上至多一個零點，舍.當時，若，則，在上為增函數(shù)；若，則，在上為減函數(shù)；故，因為有兩個不同的零點，所以，解得.又當時，且，故在上存在一個零點.又，其中.令

10、，則，當時，故為減函數(shù)，所以即.因為，所以在上也存在一個零點.綜上，當時，有兩個不同的零點.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)的零點，一般地，較為復(fù)雜的函數(shù)的零點，必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理說明零點的存在性，本題屬于難題.11B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知，0f(0)a1，f(1)1ba0，所以1b2.又f(x)2xb，所以g(x)ex2xb，所以g(x)ex20，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)1b0，g(1)e2b0，根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理可知，函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間是(0，1)，故選B.12C【解析】利用復(fù)數(shù)相等的條件求得，則答案可求【詳解】由，得，

11、對應(yīng)的點的坐標為，故選：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設(shè)是中點，由于分別是棱的中點，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形.由于平面，所以，而，所以平面，所以.由于，所以，也即，所以四邊形是矩形. 而.從而.故答案為：.【點睛】本小題主要考查空間平面圖形面積的計算，考查線面垂直的判定，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.14【解析】由知x0，故.令，則.當時，；當時，.所以在（0，e）上遞增，在（e，+）上遞減.故，即.151 1 【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則計算復(fù)數(shù)z，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和模長

12、公式計算得解.【詳解】復(fù)數(shù)z，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，解得a1，zi，|z|1，故答案為：1，1【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的概念和模長計算，根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)建立方程求解，計算模長，關(guān)鍵在于熟練掌握復(fù)數(shù)的運算法則.16【解析】利用二項展開式的通項公式可求的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為，令，故，故的系數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查二項展開式中指定項的系數(shù)，注意利用通項公式來計算，本題屬于容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（）；（），證明見解析【解析】（）根據(jù)題意列出關(guān)于，的方程組，解出，的值，即可得到橢圓的方程；（）設(shè)點，點，易求直線的方程為：，令得，同理可得，

13、所以，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理代入上式，化簡即可得到【詳解】（）解：由題意可知：，解得，橢圓的方程為：；（）證：設(shè)點，點，聯(lián)立方程，消去得：，點，直線的方程為：，令得，同理可得，把式代入上式得：，為定值【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、定值問題的求解；關(guān)鍵是能夠通過直線與橢圓聯(lián)立得到韋達定理的形式，利用韋達定理化簡三角形面積得到定值；考查計算能力與推理能力，屬于中檔題18（1），；（2）.【解析】（1）由條件得出方程組 ，可求得的通項，當時，可得，當時，得出是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，可求得的通項；（2）由（1）可知，分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)分別求得.【詳解】（1）由條件知，

14、 ，當時，即，當時，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列， ；（2）由（1）可知，當n為偶數(shù)時， 當n為奇數(shù)時， 綜上，【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項的求得，以及其前n項和，注意分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況分別求得其數(shù)列的和，屬于中檔題.19（1）C1：y21，C2 ：x2+（y2）21；（2）0，1【解析】（）消去參數(shù)可得C1的直角坐標方程，易得曲線C2的圓心的直角坐標為（0，2），可得C2的直角坐標方程；（）設(shè)M（3cos，sin），由三角函數(shù)和二次函數(shù)可得|MC2|的取值范圍，結(jié)合圓的知識可得答案【詳解】（1）消去參數(shù)可得C1 的普通方程為y21，曲線C2 是圓心為（2，），半徑為

15、1 的圓，曲線C2 的圓心的直角坐標為（0，2），C2 的直角坐標方程為x2+（y2）21； （2）設(shè)M（3cos，sin），則|MC2| ，1sin1，1|MC2|，由題意結(jié)合圖象可得|MN|的最小值為110，最大值為1，|MN|的取值范圍為0，1【點睛】本題考查橢圓的參數(shù)方程，涉及圓的知識和極坐標方程，屬中檔題20（1）（2）點的坐標為【解析】將拋物線方程與圓方程聯(lián)立,消去得到關(guān)于的一元二次方程, 拋物線與圓有四個交點需滿足關(guān)于的一元二次方程在上有兩個不等的實數(shù)根,根據(jù)二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)即可得到關(guān)于的不等式組,解不等式即可.不妨設(shè)拋物線與圓的四個交點坐標為，據(jù)此可表示出直線、的方程,聯(lián)立方

16、程即可表示出點坐標,再根據(jù)等腰梯形的面積公式可得四邊形的面積的表達式,令,由及知,對關(guān)于的面積函數(shù)進行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性和最值,即可求出四邊形的面積取得最大值時的值,進而求出點坐標.【詳解】（1）聯(lián)立拋物線與圓的方程消去，得.由題意可知在上有兩個不等的實數(shù)根.所以解得，所以的取值范圍為.（2）根據(jù)（1）可設(shè)方程的兩個根分別為，（），則，且，所以直線、的方程分別為，,聯(lián)立方程可得,點的坐標為，因為四邊形為等腰梯形,所以，令，則，所以，因為,所以當時,；當時,， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當時，四邊形的面積取得最大值，因為,點的坐標為,所以當四邊形的面積取得最大值時,點的坐標為.【點睛

17、】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值、拋物線及其標準方程及直線與圓錐曲線相關(guān)的最值問題；考查運算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和知識的綜合運用能力;利用函數(shù)的思想求圓錐曲線中面積的最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.21（1）（2）【解析】（1）由拋物線定義可知，解得，故拋物線的方程為；（2）設(shè)直線：，聯(lián)立，利用韋達定理算出的中點，又，所以直線的方程為，求出，利用求解即可.【詳解】（1）設(shè)的準線為，過作于，則由拋物線定義，得，因為到的距離比到軸的距離大1，所以，解得，所以的方程為（2）由題意，設(shè)直線方程為，由消去，得，設(shè)，則，所以，又因為為的中點，點的坐標為，直線的方程為，令，得，點的坐標為，所以，解得，所以直線的斜率為.【點睛】本題主