不等式的性質(zhì)及一元二次不等式(講)(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專題7.1 不等式的性質(zhì)及一元二次不等式1.了解現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實際背景；2.會從實際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系；4.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖.知識點一 兩個實數(shù)比較大小的依據(jù)(1)ab0ab.(2)ab0ab.(3)ab0ab.知識點二 不等式的性質(zhì)(1)對稱性：abba；(2)傳遞性：ab，bcac；(

2、3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方性：ab0anbn(nN，n1)；(6)可開方性：ab0eq r(n,a) eq r(n,b)(nN，n2)知識點三 一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有兩相異實數(shù)根x1，x2(x1x2)有兩相等實數(shù)根x1x2eq f(b,2a)沒有實數(shù)根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|xx1或xx2eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco

3、1(,)xf(b,2a)R一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2由二次函數(shù)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系判斷不等式恒成立問題的方法 1.一元二次不等式ax2bxc0對任意實數(shù)x恒成立eq blcrc (avs4alco1(a0，, b24ac0.)2.一元二次不等式ax2bxc0對任意實數(shù)x恒成立eq blcrc (avs4alco1(a0，, b24ac0.)考點一 不等式的性質(zhì)及應(yīng)用【典例1】（湖南雅禮中學(xué)2019屆質(zhì)檢）(1)已知實數(shù)a，b，c滿足bc64a3a2，cb44aa2，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.cba B.acbC.cba D.acb(2)若eq f(1

4、,a)eq f(1,b)0，給出下列不等式：eq f(1,ab)eq f(1,ab)；|a|b0；aeq f(1,a)beq f(1,b)；ln a2ln b2.其中正確的不等式是()A. B.C. D.【答案】(1)A(2)C【解析】(1)cb44aa2(a2)20，cb.又bc64a3a2，2b22a2，ba21，baa2a1eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)eq sup12(2)eq f(3,4)0，ba，cba.(2)方法一因為eq f(1,a)eq f(1,b)0，故可取a1，b2.顯然|a|b1210，所以錯誤；因為ln a2ln(1)20，ln b2ln(2

5、)2ln 40，所以錯誤.綜上所述，可排除A，B，D.方法二由eq f(1,a)eq f(1,b)0，可知ba0.中，因為ab0，ab0，所以eq f(1,ab)0，eq f(1,ab)0.故有eq f(1,ab)eq f(1,ab)，即正確；中，因為ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故錯誤；中，因為ba0，又eq f(1,a)eq f(1,b)0，則eq f(1,a)eq f(1,b)0，所以aeq f(1,a)beq f(1,b)，故正確；中，因為ba0，根據(jù)yx2在(，0)上為減函數(shù)，可得b2a20，而yln x在定義域(0，)上為增函數(shù)，所以ln b2ln a2，故錯誤.由

6、以上分析，知正確.【方法技巧】比較大小的方法(1)作差法，其步驟：作差變形判斷差與0的大小得出結(jié)論(2)作商法，其步驟：作商變形判斷商與1的大小得出結(jié)論(3)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小(4)賦值法和排除法：可以多次取特殊值，根據(jù)特殊值比較大小，從而得出結(jié)論【變式1】（河北辛集中學(xué)2019屆模擬）設(shè)f(x)ax2bx，若1f(1)2，2f(1)4，則f(2)的取值范圍是_.【答案】5，10【解析】方法一設(shè)f(2)mf(1)nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得eq blc(avs4alco1(mn4，,nm2，)解

7、得eq blc(avs4alco1(m3，,n1.)f(2)3f(1)f(1).又1f(1)2，2f(1)4.53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法二由eq blc(avs4alco1(f（1）ab，,f（1）ab，)得eq blc(avs4alco1(af(1,2)f（1）f（1），,bf(1,2)f（1）f（1），)f(2)4a2b3f(1)f(1).又1f(1)2，2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法三由eq blc(avs4alco1(1ab2，,2ab4)確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，當(dāng)f(2)4a2b過點Aeq blc(rc)(avs4alco

8、1(f(3,2)，f(1,2)時，取得最小值4eq f(3,2)2eq f(1,2)5，當(dāng)f(2)4a2b過點B(3，1)時，取得最大值432110，5f(2)10.考點二 一元二次不等式的解法【典例2】（山西平遙中學(xué)2019屆模擬）解關(guān)于x的不等式ax222xax(aR)?！窘馕觥吭坏仁娇苫癁閍x2(a2)x20.當(dāng)a0時，原不等式化為x10，解得x1.當(dāng)a0時，原不等式化為eq blc(rc)(avs4alco1(xf(2,a)(x1)0，解得xeq f(2,a)或x1.當(dāng)a0時，原不等式化為eq blc(rc)(avs4alco1(xf(2,a)(x1)0.當(dāng)eq f(2,a)1，即a

9、2時，解得1xeq f(2,a)；當(dāng)eq f(2,a)1，即a2時，解得x1滿足題意；當(dāng)eq f(2,a)1，即2a0時，解得eq f(2,a)x1.綜上所述，當(dāng)a0時，不等式的解集為x|x1；當(dāng)a0時，不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(x|xf(2,a)或x1)；當(dāng)2a0時，不等式的解集為eq blc(avs4alco1(xblc|rc(avs4alco1(f(2,a)x1)；當(dāng)a2時，不等式的解集為1；當(dāng)a2時，不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(x|1xf(2,a).【方法技巧】 1.解一元二次不等式的一般方法和步驟(1)化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于

10、零的標(biāo)準(zhǔn)形式.(2)判：計算對應(yīng)方程的判別式，根據(jù)判別式判斷方程有沒有實根(無實根時，不等式解集為R或).(3)求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根.(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集.2.含有參數(shù)的不等式的求解，首先需要對二次項系數(shù)討論，再比較(相應(yīng)方程)根的大小，注意分類討論思想的應(yīng)用.【變式2】（遼寧師大附中2019屆模擬）求不等式12x2axa2(aR)的解集 【解析】原不等式可化為12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1eq f(a,4)，x2eq f(a,3).當(dāng)a0時，不等式的解集為eq blc(rc)(avs4alco1(

11、，f(a,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,3)，)；當(dāng)a0時，不等式的解集為(，0)(0，)；當(dāng)a0時，不等式的解集為eq blc(rc)(avs4alco1(，f(a,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,4)，).考點三 一元二次不等式的恒成立問題（在實數(shù)R上恒成立）【典例3】（ 黑龍江雙鴨山一中2019屆模擬）若不等式(a2)x22(a2)x40對一切xR恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，2B2,2C(2,2 D(，2)【答案】C【解析】當(dāng)a20，即a2時，不等式為40對一切xR恒成立當(dāng)a2時，則eq blcrc (avs4alco1(a20，,

12、4(a2)216(a2)0，)即eq blcrc (avs4alco1(a20，,a24，)解得2a2.實數(shù)a的取值范圍是(2,2【方法技巧】在R上的恒成立問題解決此類問題常利用一元二次不等式在R上恒成立的條件，注意如果不等式ax2bxc0恒成立，不要忽略a0時的情況【變式3】（江蘇揚州中學(xué)2019屆質(zhì)檢）對于任意實數(shù)x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(，2) B.(，2C.(2，2) D.(2，2【答案】D【解析】當(dāng)a20，即a2時，40恒成立；當(dāng)a20，即a2時，則有eq blc(avs4alco1(a20，,2（a2）24（a2）（4）0，)解得2

13、a2.綜上，實數(shù)a的取值范圍是(2，2.考點四 一元二次不等式的恒成立問題（在給定區(qū)間上恒成立）【典例4】（浙江余姚中學(xué)2019屆模擬）設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1.若對于x1,3，f(x)m5恒成立，求實數(shù)m的取值范圍?！窘馕觥恳筬(x)m5在x1,3上恒成立，即mx2mxm60在x1,3上恒成立有以下兩種方法：法一：令g(x)mx2mxm6meq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2eq f(3,4)m6，x1,3當(dāng)m0時，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)，即7m60，所以meq f(6,7)，所以0meq f(6,7)；當(dāng)m0時，60恒成立；當(dāng)m0時

14、，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0.綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(，f(6,7).法二：因為x2x1eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2eq f(3,4)0，又因為mx2mxm60，所以meq f(6,x2x1).因為函數(shù)yeq f(6,x2x1)eq f(6,blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2f(3,4)在1,3上的最小值為eq f(6,7)，所以只需meq f(6,7)即可所以實數(shù)m的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(，f(6,7).【方法技

15、巧】 在給定區(qū)間上的恒成立問題(1)若f(x)0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)f(x)的值域為m，n，則f(x)a恒成立f(x)mina，即ma；f(x)a恒成立f(x)maxa，即na. 【變式4】（安徽蚌埠二中2019屆模擬）若不等式x2ax10對一切xeq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)恒成立，則a的最小值是()A.0 B.2 C.eq f(5,2) D.3【答案】C【解析】由于xeq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)，若不等式x2ax1

16、0恒成立，則aeq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)，xeq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)時恒成立，令g(x)xeq f(1,x)，xeq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)，易知g(x)在eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)上是減函數(shù)，則yg(x)在eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)上是增函數(shù).yg(x)的最大值是eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq f(5,2).因此aeq f(5,2)，則a的最小值為eq f(5,2).考點五 一元二次不等式的恒成立問題（給定參數(shù)范

17、圍的恒成立問題）【典例5】（福建泉州五中2019屆模擬）若對任意m1,1，函數(shù)f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范圍?！窘馕觥坑蒮(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由題意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，所以eq blcrc (avs4alco1(g(1)(x2)(1)x24x40，,g(1)(x2)x24x40，)解得x1或x3.故x的取值范圍為(，1)(3，)【方法技巧】給定參數(shù)范圍求x的范圍的恒成立問題1.對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.2.解決恒成立問題一