概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：第3講 條件概率

1、 在實(shí)際問(wèn)題中, 除了要考慮某事件A的概率P(A)外，有時(shí)還要考慮在“事件B已經(jīng)發(fā)生”的條件下，事件A發(fā)生的概率。1.4.1 條件概率I. 條件概率的概念 通常記事件B發(fā)生的條件下, 事件A發(fā)生的概率為 P(A|B)。一般情況下， P(A|B) P(A) 。1.4 條件概率例1：100件產(chǎn)品中有5件不合格品，而5件不合格品中又有3件是次品，2件是廢品?，F(xiàn)從100件產(chǎn)品中任意抽取一件，假定每件產(chǎn)品被抽到的可能性都相同，求(1).抽到的產(chǎn)品是次品的概率；(2).在抽到的產(chǎn)品是不合格品條件下, 產(chǎn)品是 次品的概率。解：設(shè) A=抽到的產(chǎn)品是次品， B=抽到的產(chǎn)品是不合格品。(1). 按古典概型計(jì)算公式

2、，有 可見(jiàn)，P(A) P(A|B)。(2). 由于5件不合格品中有3件是次品，故可得 雖然 P(A) 與 P(A|B) 不同，但二者間存在什么關(guān)系呢? 先來(lái)計(jì)算P(B)和P(AB)。 因?yàn)?00件產(chǎn)品中有5件是不合格品，所以P(B)=5/100。P(AB)=3/100。而P(AB)表示事件“抽到的產(chǎn)品是不合格品、又是次品”的概率，再由100件產(chǎn)品中只有3件即是不合格品又是次品，得通過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算，得有P(A)=1/6，又如：擲一顆均勻骰子，A=擲出2點(diǎn)， B=擲出偶數(shù)點(diǎn)，求P(A|B)。 已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B。于是，P(A|B)= 1/3。 B中共有3個(gè)元素，每個(gè)元

3、素出現(xiàn)是等可能的，且其中只有1個(gè)(2點(diǎn))在集合A中。可以得到：受此啟發(fā)，對(duì)條件概率進(jìn)行 如下定義。 若事件B已發(fā)生, 則為使 A也發(fā)生 , 試驗(yàn)結(jié)果必須是既在 B 中又在A中的樣本點(diǎn) , 即此點(diǎn)必屬于AB。 由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生, 故B就變成了新的樣本空間 , 于是 就有(1)。II. 條件概率定義為在事件B發(fā)生條件下，事件A的條件概率。定義1: 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)0，稱III. 條件概率的性質(zhì)設(shè)B是一事件，且P(B)0, 則1. 對(duì)任一事件A，0P(A|B)1;2. P(|B)=1；而且，前面對(duì)概率所證明的一切性質(zhì)，也都適用于條件概率。3. 設(shè)A1, A2,互斥，則例2：有外

4、觀相同的三極管6只，按電流放大系數(shù)分類,4只屬甲類, 兩只屬乙類。不放回地抽取三極管兩次, 每次只抽一只。求在第一次抽到是甲類三極管的條件下, 第二次又抽到甲類三極管的概率。解:記Ai= 第 i 次抽到的是甲類三極管, i=1,2,A1A2=兩次抽到的都是甲類三極管,由第2講中的例1.3.3，可知再由P(A1)=4/6=2/3，得由條件概率的定義：即 若P(B)0, 則 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2)而 P(AB) = P(BA)，1.4.2 乘法公式在已知P(B), P(A|B)時(shí), 可反解出P(AB)。將 A、B的位置對(duì)調(diào)，有故 P(A)0，則P(AB)=P(A)P(B|A)

5、 。 (3)若 P(A)0, 則P(BA)=P(A)P(B|A) ， (2)和(3)式都稱為乘法公式, 利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率。當(dāng) P(A1A2An-1) 0 時(shí)，有 P (A1A2An）= P(A1) P(A2|A1) P(An| A1A2An-1) .多個(gè)事件乘法公式的推廣: 例 3: 一批燈泡共100只，其中10只是次品，其余為正品，作不放回抽取，每次取一只，求: 第三次才取到正品的概率。解：設(shè) Ai =第 i 次取到正品, i=1,2,3。 A =第三次才取到正品。則:例4：袋中有同型號(hào)小球b+r個(gè)，其中b個(gè)是黑球，r個(gè)是紅球。每次從袋中任取一球，觀其顏色后放回,并再放入

6、同顏色，同型號(hào)的小球c 個(gè)。若 B=第一、第三次取到紅球,第二次取到黑球，求P(B)。解: 設(shè)Ai=第 i 次取到紅球, i =1,2,3, 則 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率, 它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用。 綜合運(yùn)用加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0 1.4.3 全概率公式與貝葉斯公式例5: 有三個(gè)箱子, 分別編號(hào)1, 2, 3。1號(hào)箱裝有1紅球, 4白球; 2號(hào)箱裝有2紅球, 3白球; 3號(hào)箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱, 再?gòu)南渲腥稳∫磺?，求取到紅球的概率。解：記 Ai=球取自 i

7、號(hào)箱, i =1,2,3; B =取得紅球。即 B= (A1B)(A2B)(A3B)， 且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥。B發(fā)生總是伴隨著A1,A2,A3 之一同時(shí)發(fā)生，于是，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)運(yùn)用加法公式將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式。對(duì)和式中的各項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得 設(shè)A1, A2, An是樣本空間的一個(gè)劃分,且P(Ai)0, i =1, 2, , n; 另有一事件B, 它總是與A1, A2, , An 之一同時(shí)發(fā)生，則 全概率公式 在較復(fù)雜情況下，直接計(jì)算P(B)不容易, 但總可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的Ai , 使

8、B伴隨著某個(gè)Ai 的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個(gè) P( Ai B) 容易計(jì)算?？捎盟?P( Ai B) 之和計(jì)算 P(B)。由公式“全部概率” P(B)，可分成多個(gè)“部分概率” P( Ai B) 之和。它的理論和實(shí)用意義在于:不難看出: 某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因Ai (i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是 每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式。P(AiB)=P(Ai)P(B |Ai) 我們還可以從另一個(gè)角度去理解全概率公式。 由此可以形象地把全概率公式看成是：由原因推結(jié)果，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可

9、能性與各種原因的“作用”大小有關(guān)。全概率公式表達(dá)了因果之間的關(guān)系 。諸Ai是原因B是結(jié)果實(shí)際中還有下面一類問(wèn)題：已知結(jié)果求原因。 這一類問(wèn)題在實(shí)際中常見(jiàn)，它所求的是條件概率，是某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小。接上例，考慮如下問(wèn)題：或者問(wèn)：“該球取自各箱的可能性大小” 。某人從任意一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率?？紤]上邊例子：記 Ai = 球取自 i 號(hào)箱， i =1, 2, 3; B = 取得紅球。所求為 P(A1|B)。運(yùn)用全概率公式 計(jì)算P(B)將上述公式一般化，就得貝葉斯公式。 該公式于1763年由貝葉斯 (Bayes) 給出。 它是在觀察到事件B已

10、發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率。貝葉斯公式 設(shè)A1, A2, An是的一個(gè)劃分，且P(Ai)0，i=1, 2, , n; 另有一事件B, 它總是與A1, A2, , An 之一同時(shí)發(fā)生，則 例6: 某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，問(wèn)此人是癌癥患者的概率有多大?則 表示“抽查的人不患癌癥”。 解：設(shè) A = 抽查的人患有癌癥, B = 試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性。求 P(A|B)。已知:現(xiàn)在來(lái)分析一下結(jié)果的意義：代入數(shù)據(jù)計(jì)算，得 P(A | B)= 0.1066。 (2).

11、檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥? (1). 該試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌有無(wú) 意義？ 由貝葉斯公式，得 如果不做試驗(yàn)，抽查一人, 他是癌癥患者的概率 P(A)=0.005 。 患者陽(yáng)性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗(yàn)后呈陽(yáng)性反應(yīng)，則根據(jù)試驗(yàn)得到的信息：此人是癌癥患者的概率為 P(A|B)= 0.1066 。 說(shuō)明試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患癌癥有意。概率從0.005增加到0.1066, 約增加了21倍。(1). 該試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú) 意義？(2). 檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥? 試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，此人確患癌癥的概率為 P(A|B)=0.1066。 即使你檢出陽(yáng)性，尚可不必過(guò)早下結(jié)論你有癌癥，這

12、種可能性只有10.66% (平均來(lái)說(shuō)，1000個(gè)人中大約只有107人確患癌癥)，此時(shí)醫(yī)生常要通過(guò)其他試驗(yàn)來(lái)確認(rèn)。 貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分別稱為原因的驗(yàn)前概率和驗(yàn)后概率。P(Ai) ( i =1, 2, n ) 是在沒(méi)有進(jìn)一步的信息(不知道事件B是否發(fā)生) 的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)。當(dāng)有了新的信息(知道B發(fā)生)，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小 P(Ai | B) 有了新的認(rèn)識(shí)。例7：8支步槍中有5支已校準(zhǔn)過(guò),3支未校準(zhǔn)。一名射手用校準(zhǔn)過(guò)的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.8；用未校準(zhǔn)的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.3?，F(xiàn)從8支槍中任取一支用于射擊，結(jié)果中靶。 求：所用的槍是校準(zhǔn)過(guò)的概率。解：設(shè) A=射擊時(shí)中靶，B1=槍校準(zhǔn)過(guò), B2=槍未校準(zhǔn)，則 B1,B2 是一個(gè)劃分，由貝葉斯公式，得例8：一批同型號(hào)的螺釘由編號(hào)為I,II,III的三臺(tái)機(jī)器共同生產(chǎn)。各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)谋壤謩e為35%,40%, 25%。各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺釘?shù)拇纹仿史謩e為3%, 2%和1%?，F(xiàn)從該批螺釘中抽到一顆次品。求:這顆螺釘由I, II, III號(hào)機(jī)器生產(chǎn)的概率各為多少?解：設(shè) A=螺釘是次品, B1=螺釘由I號(hào)機(jī)器生產(chǎn)