matlab在信號(hào)與系統(tǒng)中的應(yīng)用

1、第 6章 在信號(hào)與系統(tǒng)中的應(yīng)用例6.1 連續(xù)信號(hào)的MATLAB描述 （1）單位沖激函數(shù) （2）單位階躍函數(shù)： （3）復(fù)指數(shù)函數(shù)例6.2 LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) n階線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程 已知y及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值為y(0),y(1)(0)，y(n-1)(0)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。解：方程的解為p1, p2,pn是方程a1n+a2n-1+ an+ an+1 =0的根, C1，Cn由y及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值來(lái)確定。 例6.2 LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)(續(xù))C1+ C2+Cn = y0 y0 = y(0)p1C1+ p2C2+ pnCn=Dy0例6.2 LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)(續(xù))即 VC =

2、Y0其解為 C =V Y0式中 V為范德蒙矩陣，在MATLAB的特殊矩陣庫(kù)中有vander。調(diào)用方法: V=vander(p)例6.3 n階LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng) n階微分方程，寫(xiě)成系統(tǒng)函數(shù)為：沖擊響應(yīng)就是H(s)的拉普拉斯反變換，可以把H(s)展開(kāi)為極點(diǎn)留數(shù)式。 其反變換為例6.4 卷積的計(jì)算 根據(jù)卷積公式：因此編程的過(guò)程為：（1）寫(xiě)出h(t)的MATLAB表達(dá)式；（2）寫(xiě)出u(t)的MATLAB表達(dá)式；（3）利用MATLAB的卷積語(yǔ)句y=conv(u，h)求解（4）畫(huà)曲線plot(t,y)。例6.5 LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)設(shè)二階連續(xù)系統(tǒng)求其沖激響應(yīng)。若輸入為u = 3t + cos (0.1

3、t)，求其零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。解：特征方程 2+2 + 8 = 0求出其特征根為p1，p2及相應(yīng)的留數(shù)r1，r2，則沖擊響應(yīng)為：輸出y(t)可用輸入u(t)與沖擊響應(yīng)h(t)的卷積求得。 例6.6 有重極點(diǎn)時(shí)的計(jì)算n級(jí)放大器，每級(jí)的傳遞函數(shù)均為0/(s+0)，求階躍響應(yīng)，畫(huà)出n不同時(shí)的波形和頻率特性。解：階躍信號(hào)下系統(tǒng)的輸出為求Y(s)的拉普拉斯反變換，即得到階躍響應(yīng)y(t)。遇到的困難是重極點(diǎn)，公式復(fù)雜，且結(jié)果不穩(wěn)定。為了避開(kāi)重極點(diǎn)問(wèn)題，可以有意把極點(diǎn)拉開(kāi)一些，例如設(shè)n個(gè)極點(diǎn)散布在-0.950到1.050之間，那樣也就可當(dāng)非重極點(diǎn)來(lái)列程序。 例6.7 方波分解為多次正弦波之和圖示的周期性方波

4、，其傅里葉級(jí)數(shù)為分別計(jì)算 直到9次諧波，并做圖。圖6.7-1 輸入周期性方波-x例6.8 全波整流信號(hào)的頻譜周期信號(hào)f(t)可展開(kāi)為直流與各次諧波之和，即其中， 是基波角頻率，T為周期。 全波整流電壓Us(t)的波形如圖所示。用傅里葉級(jí)數(shù)可求得其偶次諧波幅值k=2,4,6,奇次諧波為零。例6.8 全波整流信號(hào)功率（續(xù)）信號(hào)每周期的有效值Us1可由數(shù)字積分求得取前n項(xiàng)分量的功率求出的有效值Us2為 用可以衡量所取諧波是否包含了原波形的主體。例6.9 周期信號(hào)的濾波圖示濾波電路，如激勵(lì)電壓us(t)為全波整流信號(hào)，求負(fù)載R兩端的直流和各次諧波分量。解：輸入信號(hào)為多頻的網(wǎng)絡(luò)的輸出由分壓確定例6.9

5、周期信號(hào)的濾波(續(xù))信號(hào)幅度隨頻率而變?cè)拖到y(tǒng)函數(shù)都是頻率的函數(shù)因此輸出電壓為由此式可求得UR的各次諧波。例6.10 調(diào)幅信號(hào)通過(guò)帶通濾波器已知帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為激勵(lì)電壓u1(t) = (1+cost ) cos (100t)求（1）帶通濾器的頻率響應(yīng)； （2）輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)u2(t)并畫(huà)出波形。 解：將激勵(lì)信號(hào)u1(t)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù) 例6.10 調(diào)幅信號(hào)通過(guò)濾波器(續(xù))帶通濾波器的頻率響應(yīng)為可畫(huà)出其頻率響應(yīng)，并求各個(gè)分量通過(guò)濾波器后的幅度和相位變化，再將各分量疊合，得到按此信號(hào)作出圖形與原有信號(hào)比較。例6.11 方波的頻譜分析將積分上下限定為010s，并將t分成N等份，用求和代替積

6、分。這樣，傅立葉變換式可寫(xiě)為求和可以用f(t)行向量乘以e-jtn列向量來(lái)實(shí)現(xiàn)。式中t是t的增量，在程序中，用dt表示。例6.11 方波的頻譜分析(續(xù))求不同處的F值，都用同一公式，這就可以利用MATLAB中的元素群運(yùn)算。將設(shè)為一個(gè)行數(shù)組，代入上式，則可寫(xiě)為（程序中用w表示） 其中，F(xiàn)是與w等長(zhǎng)的行向量，t 是列向量，w是行向量，t *w是一矩陣，其行數(shù)與t相同，列數(shù)與w相同。這樣，此式就完成了傅里葉變換。類似地也可得到傅里葉逆變換表示式為 例6.11 方波的頻譜分析(續(xù))算得的時(shí)域信號(hào)波形及其頻譜圖如右。下圖為采樣周期較低時(shí)的情況，有明顯的頻率泄漏。例6.12 信號(hào)通過(guò)濾波器計(jì)算幅度為1，寬

7、度為5s的矩形脈沖（同例6.11）通過(guò)下列濾波器的響應(yīng)。（1）理想低通濾波器，（2）低通濾波器解：濾波器輸出的頻譜Y(j)=F(j)H(j)其時(shí)間響應(yīng)y(t)是Y(j)的傅里葉反變換。例6.12 信號(hào)通過(guò)濾波器(續(xù))（1）理想低通濾波器的截止角頻率c=10，故只取F(j)中 = 010的部分，用MATLAB語(yǔ)言表述，輸出頻率分量對(duì)應(yīng)的的下標(biāo)數(shù)組為n2 = find (w= wc) & (w= wc)其對(duì)應(yīng)的頻率數(shù)組為w2 = w(n2)頻段內(nèi)的頻譜數(shù)組為F2 = F(n2:)，它就是濾波后的頻譜數(shù)組Y2，其逆變換即y2 = F2*exp(j*n2*t)/pi*dw例6.12 信號(hào)通過(guò)濾波器(續(xù)

8、)（2）三階低通濾波器的頻率響應(yīng)濾波器的輸出為例6.13 離散信號(hào)的MATLAB表述 編寫(xiě)MATLAB程序，產(chǎn)生下列基本脈沖序列：（1）單位脈沖序列，起點(diǎn)n0，終點(diǎn)nf，在ns處有一單位脈沖(n0nsnf)。n1=n0:nf; x1=zeros(1,ns-n0),1,zeros(1,nf-ns);用邏輯關(guān)系編程：n1 = n0:nf; x1=(n1-ns)=0 （2）單位階躍序列，起點(diǎn)n0，終點(diǎn)nf，在ns前為0,在ns后為1(n0nsnf)。 n2=n0:nf;x2=zeros(1,ns-n0),ones(1,nf-ns+1); （3）復(fù)數(shù)指數(shù)序列。 n3 = n0:nf; x3=exp(-

9、0.2+0.5j)*n3); 例6.14 解差分方程的遞推程序描述線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的差分方程為編寫(xiě)解上述方程的通用程序。解： 建?？捎眠f推法解差分方程，移項(xiàng)如下：于是得y(n)=(b*us - a(2:na)*ys)/a(1) 這里需要n = 0之前的y和u， 而MATLAB變量下標(biāo)不能取負(fù)數(shù)。需要作一些技巧性的處理。 例6.14 遞推解差分方程(續(xù))本例中的處理方法是另設(shè)兩個(gè)變量ym和um，使ym(k) = ys(k-na+1)，um(k) = us(k-na+1)，這相當(dāng)于把y和u右移na-1個(gè)序號(hào)，故ym和um的第1到na-1位相當(dāng)于y和u在起點(diǎn)之前的初值。注意在程序中，隨著計(jì)算點(diǎn)的右

10、移，要隨時(shí)更新相應(yīng)于公式中的向量us和ys。 例6.15 離散系統(tǒng)對(duì)輸入的響應(yīng) 描述LTI系統(tǒng)的差分方程為y(n) - y(n-1) + 0.9y(n-2) - 0.5y(n-3) = 5u(n) - 2u(n-1) + 2u(n-2)（1）如已知y(0) = -2，y(-1) = 2，y(-2) = -0.5，求零輸入的響應(yīng)，計(jì)算20步。（2）求單位脈沖的響應(yīng)h(n)，計(jì)算20步。（3）求單位階躍的響應(yīng)g(n)，計(jì)算20步。解：利用例6.14的通用程序（1）令us = zeros(1，20); ym = -1/2， 2，-2；（2） 令us = 1，zeros(1，19) ；ym = 0，0

11、，0 （3）令um = ones (1, 20)； ym = 0，0，0； 例6.16 二階數(shù)字濾波器的頻響。低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（傳遞函數(shù)）為求其頻率響應(yīng)。解：利用多項(xiàng)式求值的函數(shù)polyval，分別求出分子分母多項(xiàng)式在z=exp(jw)時(shí)的值，求其比值。它是對(duì)應(yīng)于w數(shù)組的復(fù)數(shù)數(shù)組，其幅值為幅特性，相角為相特性。然后繪圖。也可用信號(hào)處理工具箱中的freqz函數(shù)快速求解，但為了弄清原理，這里不提倡。 6.4.1 模型的典型表達(dá)式1連續(xù)系統(tǒng) 狀態(tài)空間型設(shè)x為狀態(tài)變量，u為輸入，y為輸出，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：如果系統(tǒng)是n階的，輸入有nu個(gè)，輸出有ny個(gè)，則A為nn階，B為nnu階，C為nyn階，而D

12、為nynu階矩陣，對(duì)單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)，ny=nu=1。 6.4.1 模型的典型表達(dá)式(續(xù)) 傳遞函數(shù)型單輸入單輸出(SISO)n階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為知道分子系數(shù)矢量f =f (1)，f (2)，f (m + 1)，分母系數(shù)矢量g =g(1)，g(2)，g (n+1)，就惟一地確定了系統(tǒng)的模型（注意系統(tǒng)的階次n）。而對(duì)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，必有nm。6.4.1 模型的典型表達(dá)式(續(xù)) 零極增益型對(duì)傳遞函數(shù)分子和分母進(jìn)行因式分解，可得令z = z(1)，z(2)，z(m)為系統(tǒng)的零點(diǎn)矢量，p = p(1)，p(2)，p(n)為系統(tǒng)的極點(diǎn)矢量，k為系統(tǒng)增益，它是一個(gè)標(biāo)量?？梢钥闯?，H(s)有m

13、個(gè)零點(diǎn)、n個(gè)極點(diǎn)。物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的nm，系統(tǒng)的模型將由矢量z，p及增益k惟一確定，故稱為零極增益模型。零極增益模型通常用于描述SISO系統(tǒng)。并可以推廣到MISO系統(tǒng)。 6.4.1 模型的典型表達(dá)式(續(xù)) 極點(diǎn)留數(shù)型如果零極增益模型中的極點(diǎn)都是單極點(diǎn)，將它分解為部分分式，可得 其中p =p(1)，p(2)，p(n)仍為極點(diǎn)矢量，而r =r(1)，r(2)，r(n)為對(duì)應(yīng)于各極點(diǎn)的留數(shù)矢量，p，r兩個(gè)矢量及常數(shù)h惟一地決定了系統(tǒng)的模型。 6.4.1 典型表達(dá)式的比較比較一下這四種情況下模型系數(shù)的總個(gè)數(shù)。假定都是SISO系統(tǒng)，階數(shù)為n，則狀態(tài)空間型有n2+2n+1個(gè)系數(shù)；傳遞函數(shù)型為m+n+1個(gè)(不

14、含g(1) (注意，由于mn，系數(shù)的數(shù)目小于等于2n+1)；零極增益型的系數(shù)個(gè)數(shù)為n+m+1；而極點(diǎn)留數(shù)型為2n+1。因此，傳遞函數(shù)法的待定系數(shù)最少，而狀態(tài)空間法的待定系數(shù)最多。這說(shuō)明了狀態(tài)空間法中有許多冗余的系數(shù)。事實(shí)上，同一個(gè)系統(tǒng)可以有無(wú)數(shù)個(gè)狀態(tài)空間矩陣A，B，C，D的組合來(lái)描述，其他描述方法則都是惟一的。6.4.1 離散模型的表達(dá)式2離散系統(tǒng)以上四種表示模型的方法可以全部推廣至離散系統(tǒng)。只是將系數(shù)矩陣后面加小寫(xiě)字母d，便有： 狀態(tài)空間型 xn + 1 = Adxn + Bdunyn = Cdxn + Ddun傳遞函數(shù)型零極增益型6.4.1 離散模型的表達(dá)式(續(xù)) 極點(diǎn)留數(shù)型 數(shù)字信號(hào)處理

15、模型二階環(huán)節(jié)型表6.1列出了連續(xù)和離散線性系統(tǒng)的模型式。 6.4.2 模型轉(zhuǎn)換MATLAB中各種模型轉(zhuǎn)換的函數(shù)6.4.2 模型轉(zhuǎn)換（續(xù)） 傳遞函數(shù)型到零極增益型已知f，g，求z，p，k，即知道多項(xiàng)式求根?？捎肕ATLAB內(nèi)部函數(shù)roots，z=roots(f)，p=roots(g)，k= f(1)/g(1) 零極增益型到傳遞函數(shù)型已知z，p，k，求f，g，即已知根求多項(xiàng)式。可用MATLAB內(nèi)部函數(shù)poly，它是roots的逆運(yùn)算，即有 f=poly(z)*k，g=poly(p)6.4.2 模型轉(zhuǎn)換（續(xù)） 傳遞函數(shù)型到極點(diǎn)留數(shù)型及反向變換知道傳遞函數(shù)的系數(shù)g求其極點(diǎn)p，方法同上，而求其中某極點(diǎn)處

16、留數(shù)r，可用專用函數(shù)residue，格式為 r，p，h=residue(f，g)可直接由f，g求出r，p，k。由極點(diǎn)留數(shù)型到傳遞函數(shù)型仍可用同一函數(shù)。 f，g = residue(r，p，h)residue函數(shù)根據(jù)輸入變?cè)臄?shù)目為二或三個(gè)，決定變換的方向。例6.17 由傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極增益和狀態(tài)空間模型 已知描述系統(tǒng)的微分方程為（1）（2）求出它的傳遞函數(shù)模型、零極增益模型、極點(diǎn)留數(shù)模型和狀態(tài)空間模型。解：（1）f = 2，-5，3; g = 2，3，5，9; （2）f = 1，3，2; g = 1，5，7，3;本例中用MATLAB的基本函數(shù)編程，在熟練后均可用工具箱函數(shù)tf2zp，tf

17、2ss及residue函數(shù)求得。 例6.18 由狀態(tài)空間轉(zhuǎn)為傳遞函數(shù)設(shè)SISO系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：如果系統(tǒng)是n階的，則A為nn階，B為n1階，C為1n階，而D為11階。給定A，B，C，D，就建立了系統(tǒng)模型。對(duì)狀態(tài)方程取拉氏變換，解出H(s)= f(s)/ g(s)，得故有f(s) = Cadj(s I-A) B +Dg(s)。 g = poly(eig(A) = det(sI-A) 例6.19 系統(tǒng)的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋 系統(tǒng)的串聯(lián)由圖所示，YB= WBUB = WBWAUA = WU故W(s) = WA(s) WB(s)多項(xiàng)式相乘由卷積函數(shù)conv實(shí)現(xiàn)，其表示式為： f = conv(fA，fB)

18、， g = conv(gA，gB) 系統(tǒng)的并聯(lián) Y= WAU + WBU = (WA+WB) U = WU故 W(s) = WA(s) + WB(s) f = polyadd(conv(fA，gB)，conv(fB，gA) g = conv(gA，gB) 例6.19 系統(tǒng)的串并聯(lián)和反饋 系統(tǒng)的反饋系統(tǒng)的連接方法如圖6.18-3。復(fù)合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)故MATLAB表達(dá)式為 f=conv(fA，gB) g=polyadd(conv(fA，fB)，conv(gA，gB)例6.20 復(fù)雜系統(tǒng)的信號(hào)流圖計(jì)算設(shè)信號(hào)流圖中有ki個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)，k個(gè)中間和輸出節(jié)點(diǎn)，它們分別代表輸入信號(hào)ui（i=1，2，ki）和系統(tǒng)狀態(tài)xj（j=1，2，k）。信號(hào)流圖代表它們之間的聯(lián)結(jié)關(guān)系。用拉普拉斯算子表示后，任意狀態(tài)xj可以表為ui和xj的線性組合用矩陣表示，可寫(xiě)成：從而得到傳遞函數(shù) H = (I -Q)-1P 這個(gè)簡(jiǎn)明的公式就等價(jià)于梅森公式。 例6.20由圖列出方程為x1 = ux2 = x1-x3-x5x3 =