學(xué)生在幾何解題中的思維誤區(qū)與中考復(fù)習(xí)

1、學(xué)生在幾何解題中的思維誤區(qū)與中考復(fù)習(xí)一、初中學(xué)生在邏輯推理中的思維誤區(qū)學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)是以認(rèn)識(shí)和發(fā)展平面幾何知識(shí)為目的的一種思維活動(dòng)，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生將思維建立在幾何概念和定理的基礎(chǔ)上進(jìn)行邏輯推理，然而推理的過(guò)程并不是一帆風(fēng)順的，學(xué)生解題過(guò)程中會(huì)暴露出思維上的誤區(qū)，嚴(yán)重影響學(xué)生邏輯思維能力的健康發(fā)展幾何的推理論證要求一環(huán)扣一環(huán)，步步有據(jù)但某些學(xué)生在進(jìn)行幾何證明時(shí)，由于邏輯思維往往不夠縝密，致使他們的推理過(guò)程漏洞百出，歸納起來(lái)他們?cè)谶M(jìn)行邏輯推理的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)以下幾種思維上的誤區(qū)（一）移花接木圖（1）所謂“移花接木”指的是推導(dǎo)出的結(jié)論與條件不相符，它是根據(jù)學(xué)生的需要生拉硬拽得出的結(jié)論，這種錯(cuò)

2、誤常常出現(xiàn)在全等三角形證明的過(guò)程中這種錯(cuò)誤不是學(xué)生的有意行為，而是一種無(wú)意行為，是他們沒(méi)有意識(shí)到自己在思維上的一個(gè)誤區(qū)案例一、如圖（1），已知在矩形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，BEAC于E，CFBD于F求證：BE=CF有個(gè)學(xué)生的解答是：在矩形ABCD中，AB=DCAC與BD是矩形ABCD的對(duì)角線，OA=OC，OB=ODAOBCODBAO=CDO又BEAC于E，CFBD于F，BEA=CFD在ABE與DCF中，BAO=CDO，BEA=CFD，AB=DC，ABEDCFBE=CF他在得到AOBCOD后，誤認(rèn)為A點(diǎn)與D點(diǎn)對(duì)應(yīng)，B點(diǎn)與C點(diǎn)對(duì)應(yīng)，從而得到BAO=CDO，在不知不覺(jué)中實(shí)行了移花接木，在他

3、的思維當(dāng)中，他認(rèn)為BAO=CDO是很自然、正確的，卻沒(méi)有認(rèn)真思考這兩個(gè)角是否是對(duì)應(yīng)角筆者認(rèn)為出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的原因固然與他的基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)有關(guān)，同時(shí)也與他的嘻嘻哈哈、不注重細(xì)節(jié)的性格有關(guān) （二）無(wú)中生有“無(wú)中生有”指的是學(xué)生在答題的過(guò)程中，常常根據(jù)答題的需要，自己杜撰定理或條件有些學(xué)生將看起來(lái)成立的但未經(jīng)證明的結(jié)論或者某些定理的逆命題理所當(dāng)然地認(rèn)為是定理，而不假思索地應(yīng)用到證明當(dāng)中，有時(shí)也會(huì)根據(jù)圖形的形狀以及自己的需要杜撰條件案例二、如圖（2），在四邊形ABCD中，ABCD，AC平分BAD，CEAD交AB于E，求證：四邊形AECD是菱形某些學(xué)生的證明過(guò)程是：連結(jié)ED交AC于點(diǎn)F，圖（2）ABCD，

4、CEAD，四邊形ADCE是平行四邊形，AC與ED互相平分，AF為DE的中線，又AC為BAD的平分線，ADE是等腰三角形，AD=AE，ADCE是菱形證明過(guò)程中，他們理所當(dāng)然地認(rèn)為“等腰三角形的三線合一”會(huì)有一個(gè)逆定理，即：如果三角形中一個(gè)角的角平分線是對(duì)邊的中線，則這個(gè)三角形是等腰三角形基于這個(gè)考慮，她認(rèn)為AF既是ED的中線又是頂角的平分線，所以ADE是等腰三角形，在這里，這些同學(xué)不由自主地犯了杜撰定理的錯(cuò)誤（三）望“圖”生義望“圖”生義就是學(xué)生根據(jù)圖形主觀認(rèn)定某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的存在，主要表現(xiàn)在習(xí)題的已知條件中并不存在的數(shù)學(xué)對(duì)象，而在圖形中看起來(lái)象存在這種數(shù)學(xué)對(duì)象，而證明過(guò)程中恰好又可以使用，于是就

5、順理成章地被學(xué)生拿過(guò)來(lái)作為條件或結(jié)論加以使用案例三、如圖（3），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上的一點(diǎn)，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG，連接GD，求證：ADGABE圖（3）相當(dāng)多學(xué)生的證明是：四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，AB=AD，AE=AG且ABE=ADC=90，ADG=90，GDA與ABE都是直角三角形在RtADG與RtABE中， AE=AG ，AB=ADADGABE（HL）在這里，他們沒(méi)有注意到題中的“連接GD”的含義意謂著C、D、G三點(diǎn)可能不在同一直線上，這些學(xué)生僅是根據(jù)圖形的形狀就主觀臆測(cè)得出ADG=90，因而錯(cuò)誤地運(yùn)用“HL

6、”定理證明了ADGABE （四）“思”無(wú)反顧“思”無(wú)反顧指的某些學(xué)生善于從正面入手解題，但不善于使用逆向思維進(jìn)行邏輯分析邏輯思維具有多向性，它不僅可以正向思維，也可以逆向思維在證明題中，如果從條件出發(fā)很難直接得到結(jié)論，我們可以采用逆向思維，從結(jié)論出發(fā)，采取倒推的方法，逐步分析在存在性探索題中，如果要探索的這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象憑直覺(jué)無(wú)法猜出，也可以先假設(shè)這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象已經(jīng)存在，同樣地從結(jié)論出發(fā)，采用逆向思維向上回溯，逐步分析，最后得出所需要的數(shù)學(xué)對(duì)象由于這類題要求的思維度比較高、難度較大，不善于使用逆向思維方法進(jìn)行思考的同學(xué)往往會(huì)感到束手無(wú)策圖（4）案例四、如圖（4），將一張矩形紙片ABCD（ADAB）折

7、疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開(kāi)，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，分別連接AF和CE在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE2=ACAP？若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由某女生在解答這道題時(shí)，在嘗試著猜測(cè)幾個(gè)特殊點(diǎn)無(wú)果以后，認(rèn)為AC上不存在這樣的P點(diǎn)老師提示她，能否采用逆向思維進(jìn)行分析，先假設(shè)這個(gè)P點(diǎn)已經(jīng)找到，再將2AE2=ACAP中的數(shù)學(xué)“2”化去，然后化為比例式再求解她順著這條思路將2AE2=ACAP轉(zhuǎn)化為AE2=OAAP，再化為，她發(fā)現(xiàn)，AE與OA分別是RtAOE的斜邊與直角邊，對(duì)應(yīng)地，AP、AE也應(yīng)分別為RtAEP的斜邊、直角邊，因此，只要過(guò)E點(diǎn)作AD的

8、垂線交AC于一點(diǎn)，這點(diǎn)就是要尋找的P點(diǎn)，問(wèn)題迎刃而解仔細(xì)分析這位女生的思維軌跡不難發(fā)現(xiàn)，她還沒(méi)有形成較系統(tǒng)的逆向思維的意識(shí)與習(xí)慣，因此，她只會(huì)采用正向思考并猜測(cè)的方法來(lái)解題，當(dāng)要找到的點(diǎn)不是已知的幾個(gè)特殊點(diǎn)之外，其結(jié)果可想而知在幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中，某些學(xué)生除了上述思維上的誤區(qū)以外，還存在著：證明過(guò)程中的“因?yàn)?、所以”的上下語(yǔ)句之間不存在因果關(guān)系，濫用同理可證等一些似是而非的證明，稍不留神，就有可能被這個(gè)證明蒙混過(guò)關(guān)，給他將來(lái)的學(xué)習(xí)埋下隱患二、學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法的使用中的思維誤區(qū)（一）不能正確使用分類討論的數(shù)學(xué)思想分類討論的思想方法是人們認(rèn)識(shí)客觀世界過(guò)程中長(zhǎng)期積累形成的一種策略思想在數(shù)學(xué)中，我們常常

9、需要根據(jù)研究對(duì)象性質(zhì)的差異，分各種不同情況進(jìn)行討論這種分類思考的方法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)也是一種解題策略1在運(yùn)用分類討論思想時(shí)，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題有：（1）對(duì)于某些應(yīng)該討論的問(wèn)題，因思維不嚴(yán)謹(jǐn)，發(fā)現(xiàn)不了可能出現(xiàn)的不同情況，想不到需要討論；（2）發(fā)現(xiàn)需要討論的問(wèn)題時(shí)，劃分情況又難以做到不重不漏；（3）不善安排討論時(shí)機(jī)案例五、潘婧昳同學(xué)是一個(gè)心無(wú)城府、性格豪爽的女生，做事風(fēng)風(fēng)火火，但完成的質(zhì)量不夠精細(xì)，作業(yè)本上書(shū)寫(xiě)的文字也頗具男生特點(diǎn)，被同學(xué)戲稱為“山東大漢”例5、 如圖（3），ABBC，CDBC，AB=2，CD=3，BC=7，在直線BC上求一點(diǎn)M，使ABMDCM 圖（3） 圖（4）她的

10、解答是：如圖（4），點(diǎn)M是線段BC上的一點(diǎn)，設(shè)BM= x，則MC=7xABMDCM，解得x=.所以當(dāng)BM=cm時(shí)，點(diǎn)M為滿足條件的點(diǎn)在解答這道題時(shí)，她沒(méi)有認(rèn)真思考，只注意到點(diǎn)M在線段BC上，而忽視了題設(shè)條件中提到的點(diǎn)M是直線BC上的點(diǎn)，所以點(diǎn)M還可以在線段CB的延長(zhǎng)線上在老師的提示下，她意識(shí)到應(yīng)該進(jìn)行分類討論她將該題分成“點(diǎn)M在線段BC上與點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上”這兩種情況進(jìn)行了討論，從而得到了當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上且BM=cm或點(diǎn)M在CB的延長(zhǎng)線且BM=14cm時(shí)，點(diǎn)M為滿足條件的點(diǎn)這一正確結(jié)論但通過(guò)這道題并沒(méi)有真正解決她在分類討論中存在的問(wèn)題，有了分類的意識(shí)，并不意味著她就一定會(huì)進(jìn)行分類討論例6

11、、如圖（5），在平面直角坐標(biāo)系中，等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，試在第一象限內(nèi)確定一點(diǎn)，使與相似，求出點(diǎn)的坐標(biāo)圖（5）在解答中，她意識(shí)到象這種找一個(gè)點(diǎn)使兩個(gè)三角形相似的習(xí)題應(yīng)該進(jìn)行分類討論首先她直觀感覺(jué)到點(diǎn)C是要找的第一個(gè)M點(diǎn)，然后過(guò)B點(diǎn)作x軸的垂線，可以找到第二個(gè)M點(diǎn)，她的具體解答如下：，OA=4，AOB=60又四邊形是等腰梯形，BC=OA=4，CBO=AOB=60連結(jié)OC，OB=BO，COBABO，點(diǎn)C是第一個(gè)要找的M1（6，2）如圖（6），過(guò)B點(diǎn)作x軸的垂線交OA的延長(zhǎng)線于M，MBO=90BC=4，AC=4，AC=BC，CAB=CBA圖（6）ACOB，CAB=ABO，CBA=ABO又AO

12、B=CBO=60，ABO=30 ，OAB=90 AOB=BOM，OAB=MBO，MOBBOA，BM=OBtan60=M2（8，）綜上所述，在第一象限內(nèi)存在點(diǎn)M（6，2）或M（8，），使與相似在解題過(guò)程中，她遺漏了第三種情況：M還可以是過(guò)B點(diǎn)的垂線與OC的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，究其原因，她只知道此題要進(jìn)行分類討論，但具體怎樣進(jìn)行分類討論，討論的標(biāo)準(zhǔn)是什么，她不得而知，只是機(jī)械地跟著感覺(jué)走如果她按照相似的分類標(biāo)準(zhǔn)即根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的不同進(jìn)行分類，她可以發(fā)現(xiàn)共有6種不同的情況：MOBAOB，MOBBAO，MOBOAB，MOBABO，MOBBOA，MOBOBA其中第種的M與A重合，第種的點(diǎn)M在y軸上，均不合題意，應(yīng)

13、舍去第種分別是已經(jīng)求出的M1與M2，剩下的第種中的最后一個(gè)點(diǎn)M（8，）就不會(huì)被遺漏從這里我們可以看出，學(xué)生頭腦中分類討論概念的形成不是一蹴而就的，因此在教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)逐步給學(xué)生滲透分類討論的意識(shí)，在滲透分類討論思想的過(guò)程中，首要的是分類教師要培養(yǎng)學(xué)生分類的意識(shí)，然后才能引導(dǎo)學(xué)生在分類的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論在討論中要堅(jiān)持互斥、不漏、最簡(jiǎn)的原則，具體就是：（1）分類中的每一部分是相互獨(dú)立的；（2）一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；（3）分類討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行 （二）不能有效地借助類比思維方法類比思維是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象在一系列屬性上相同或相似，由其中一個(gè)對(duì)象具有某種屬性推測(cè)出另一個(gè)對(duì)象也具有這種屬性的思維方法3在數(shù)學(xué)上，它是

14、一種非常重要的思想方法很多探索題的解答如果能借助類比思維方法，就能起到觸類旁通的作用由于類比思維對(duì)學(xué)生的要求比較高，不少學(xué)生面對(duì)這種習(xí)題會(huì)選擇放棄，也有些學(xué)生會(huì)躍躍欲試，但由于不能有效地借助類比思維的方法進(jìn)行分析，往往會(huì)功虧一簣案例六、鄒駿程同學(xué)的思維比較活躍，喜歡挑戰(zhàn)一些有難度的試題，但由于他自制力比較差，控制不住自己思維的信馬由韁，在挑戰(zhàn)難題時(shí)，經(jīng)常會(huì)因?yàn)樗季S上的偏差、并且不善于借助類比思維的方法而前功盡棄例7、如圖（9），在ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是DB、EC的中點(diǎn)（1）易證：AFGABC，其相似比為： ；（2）若AB=AC，將ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖（

15、10）的位置，判斷AFG的形狀，并證明！（3）若ABAC，將ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖（11）的位置，AFG與ABC有什么關(guān)系？說(shuō)明理由！ 圖（9） 圖（10） 圖（11）他在順利解答出前兩問(wèn)之后，在解答第（3）問(wèn)時(shí)卡殼了，他也試圖類比第（2）問(wèn)的解法來(lái)解決第（3）問(wèn)，但在第（2）問(wèn)中，由于AB=AC，AD=AE可以證明ABDACE，從而得到AF=AG而第（3）問(wèn)顯然要復(fù)雜得多，由于ABAC，因此ADAE，因而不可能得到ABD與ACE全等他只想到用類比的方法證明全等，卻沒(méi)有想到相似三角形判定定理其實(shí)是類比全等三角形的判定定理得到的，此題也可以類比第（2）問(wèn)中全等的證明，得到第（3）問(wèn)AB

16、D與ACE相似，證明方法也同樣可以類比，第（2）問(wèn)是用SAS證明ABDACE，第（3）問(wèn)可用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等”類比證明ABDACE類比思維的教學(xué)應(yīng)從簡(jiǎn)單的類比入手，如：首先從結(jié)論與證明過(guò)程可以完全類比得出的習(xí)題著手，然后逐步過(guò)渡到結(jié)論可以完全類比得出，但證明過(guò)程有所差異，最后過(guò)渡到結(jié)論與證明過(guò)程可以部分類比得出，但差異逐步加大，只有在完成了一定量的類比思維練習(xí)以后，學(xué)生才會(huì)逐漸掌握這種類比思維的方法，摸到其中的脈絡(luò)，提高解題能力，使自己的思維能力更上一個(gè)臺(tái)階三、中考復(fù)習(xí)由于學(xué)生思維不可能是統(tǒng)一的，他們對(duì)同一道證明題給出的證法是多種多樣的，其中不乏錯(cuò)誤的做法，但這些錯(cuò)誤是真實(shí)美麗的，可遇

17、而不可求的，這就要求我們教師及時(shí)捕捉一些有用的信息，順勢(shì)利導(dǎo)，將這些信息轉(zhuǎn)化為教學(xué)資源。針對(duì)這些思維誤區(qū)，我準(zhǔn)備在中考復(fù)習(xí)中采用了以下幾個(gè)步驟進(jìn)行矯治：1、辨：將學(xué)生做的幾種不同的證法全部展示在全體學(xué)生面前，其中的錯(cuò)誤證法可能不只一種，由學(xué)生自己仔細(xì)辨別這些證法，給其中的錯(cuò)誤證法進(jìn)行糾錯(cuò)，這種做法可以提高學(xué)生的興趣，也可以提高學(xué)生的辨別正誤的能力培養(yǎng)學(xué)生具有一雙慧眼，遠(yuǎn)比老師在辛辛苦苦地講授，學(xué)生昏昏欲睡地被動(dòng)接受的效果好得多當(dāng)然，在辨別糾錯(cuò)的過(guò)程中，學(xué)生難免有誤判，這就給了我們進(jìn)行下一步的契機(jī)2、辯：俗話說(shuō)：“理不辯不明”很多學(xué)生知道某些幾何題的證法是錯(cuò)誤的，但只知其然卻不知其所以然，他們并

18、沒(méi)有從思想深處真正理解邏輯推理的思想方法因此，有必要讓學(xué)生參與到辯論當(dāng)中來(lái)，采用的形式可以是學(xué)生與學(xué)生進(jìn)行辯論，也可以是老師與學(xué)生進(jìn)行辯論。在辯論的過(guò)程中，讓學(xué)生在思維的碰撞中產(chǎn)生思想火花，產(chǎn)生解題的靈感，達(dá)到“理越辯越明”的目的，同時(shí)也可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，鍛煉學(xué)生的口頭表達(dá)能力3、變：在完成上述兩個(gè)步驟之后，可以讓多數(shù)同學(xué)明白邏輯推理中可能存在哪些誤區(qū)，使得他們免去誤入歧途的危險(xiǎn)但這一招還不足以使所有的學(xué)生都能順利地掌握邏輯推理的精髓，需要反復(fù)訓(xùn)練，由此可以采用第三個(gè)步驟“變”教師可準(zhǔn)備多道變式練習(xí)，這些習(xí)題或者是改變了原題的條件，或者是改變了原題的結(jié)論，或者是改變了題型，如將證明題改編成開(kāi)放題或改編成計(jì)算題或改編成探索題，總之，要讓學(xué)生在“變”的過(guò)程中領(lǐng)略到幾何證明題并不是一成不變的，它可以有多種變換形式，“變”可以起到舉一反三、融會(huì)貫通的作用，它對(duì)學(xué)生所學(xué)知識(shí)的掌握，技能的發(fā)展，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的提高，起著舉足輕重的作用4、遍：所謂“遍”指的是遍訪每一個(gè)學(xué)生，找出所有在經(jīng)歷上述三個(gè)步驟之后依然存在各種不同思維誤區(qū)的學(xué)生臨時(shí)組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組，