北師大版小學數(shù)學五年級下冊第八單元《平均數(shù)的再認識》拓展資源：“去掉最高分和最低分”的啟示

1、“去掉最高分和最低分”的啟示近幾年來，電視屏幕上不斷出現(xiàn)各種競賽的實況。當一個演員表演完畢后，先由10個（或若干個）評委亮分，裁判長用這10個數(shù)據(jù)判分時，總要去掉最高分和最低分，再用其余的8個數(shù)據(jù)的平均值作為該演員的最后得分?，F(xiàn)在這已是人們的常識了。這一常識背后的數(shù)學，就是數(shù)據(jù)處理中的代表數(shù)問題。算術平均數(shù)是最常用的技巧，在我國也是最普及的數(shù)學知識之一。任何一個干部和工人，至少都懂得平均數(shù)和百分比這兩個概念。“我廠工人平均工資是多少，這次有百分之幾的人可以加工資”這類話人人都能懂。學生的成績用總分來衡量，也會用總平均來衡量。比較兩班學生的某科成績，也用各班該科得分數(shù)的平均數(shù)作為衡量標準。至此，

2、人們將平均值奉為至寶，似乎是金科玉律、無可更改的科學定則。實際上不盡然，用算術平均數(shù)來作為代表數(shù)，有兩個缺點：一是容易受異常值的影響；二是計算比較復雜，不能一眼看出。前面所說的去掉最高分和最低分就是為了避免第一個缺點。讓我們看一個極端的例子。如果一個班級有30個學生，其中兩個學生逃學曠課，數(shù)學考試只得2分和10分。此外，有5個學生得90分，22個得80分，1個得78分。此時，該班數(shù)學成績的平均分是：（2+10+590+2280+78）=230076.67(分)確實，如以76.67分作為該班平均分，太受那兩個得2分和10分的同學牽連了。結果不能反映大多數(shù)人的真實狀況。從直觀上看，應在80分或80

3、分以上才對。于是我們就去掉一個最低分，總平均約是229879.2分；如果去掉兩個最低分，總平均則是228881.7分。這似乎比較符合實際了。但是這種去掉最高分或最低分的方法，在計算全班總成績時未免有“弄虛作假”之嫌。明明是本班的學生，為何不計入總分呢？所以去掉最高分和去掉最低分的方法，不見得都合適。上述的以平均數(shù)作為代表數(shù)，由于異常值的影響往往不能反映中等水平，一般以為的平均數(shù)就是中等水平，乃是誤解。上述30個學生的數(shù)學成績中，總平均數(shù)是76.67分。某同學得78分，超過平均數(shù)，似乎該是“中上”水平了，其實他是倒數(shù)第三名！那么我們用什么辦法來刻畫“中等水平”呢？這就是數(shù)據(jù)的中位數(shù)。其定義為：設

4、有n個數(shù)據(jù)，將它們從小到大依次排列為。如果n是奇數(shù)，則第項是中位數(shù)；若n是偶數(shù)，則取第項和第+1項的平均值作為中位數(shù)。中位數(shù)的特征是比它大的數(shù)據(jù)個數(shù)和比它小的數(shù)據(jù)個數(shù)一樣多，它恰在中間位置。例1 在體操比賽中，規(guī)定有四個裁判給一個運動員打分。例如： 9.30，9.35，9.45，9.90。其中位數(shù)是當中兩項的平均值：（9.35+9.45）=9.40（分）。這相當于去掉最低分9.30分和最高分9.90分而得出的平均分。體操比賽規(guī)定這樣給分，就避免了過高分數(shù)9.90分的影響，同時9.40分處于裁判分的中間數(shù)，不偏不倚，十分公正。例2 上面的30個學生的數(shù)學成績中，若依大小排列后，第15位和第16位

5、都是80分，所以中位數(shù)就是80分。那么78分低于此數(shù)，當然是中下水平無疑了。例3 若一個生產小組有15個人工作，每人每天生產某零件的數(shù)目是6，7，7，8，8，8，8，9，10，10，11，12，12，17，18。如此平均數(shù)作為標準日產量則是15110.07。若取中位數(shù)則是第8個數(shù)字9。比9大的有7個人，比9小的也有7個人。以9為標準日產量，則有半數(shù)人可超產。管理者若希望多數(shù)人超產，則應定得比中位數(shù)低；若希望少數(shù)人超產，則應定得比中位數(shù)大一些。這些數(shù)都是中位數(shù)提供的信息。眾數(shù)也是常常使用的代表數(shù)，即數(shù)據(jù)中重復出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)。例如，全班30人所穿鞋子尺寸為：33號的5人，34號的6人，35

6、號的15人，36號3人和37號1人。如取平均數(shù)得34.63，此數(shù)沒有多大意義，鞋廠不生產34.63號碼的鞋。如取眾數(shù)，則為35號。該班穿35號鞋的人最多。通常評“最佳”“最受歡迎”“最暢銷”等往往都和眾數(shù)有關系。比如，美國某廠職工的月工資數(shù)統(tǒng)計如下：如何來選取該廠的月工資代表數(shù)呢？經計算，平均值為1387美元，中位數(shù)為900美元，眾數(shù)為800美元。工廠主為了顯示本廠職工的收入高，用少數(shù)人的高工資來提高平均數(shù)，故采用1387美元。工會領導人則不同意，主張用眾數(shù)800美元（職工中以拿每月800美元的人最多）。而稅務官則希望取中位數(shù)，以便知道目前的所得稅率會對該廠的多數(shù)職工有利還是不利，以便尋求對策。我們常說“