2022屆廣東省惠州市高三適應性調(diào)研考試數(shù)學試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1是定義在上的增函數(shù)，且滿足：的導函數(shù)存在，且，則下列不等式成立的是（ ）ABCD2已知全集，集合，則（ ）ABCD3一個四面體所有棱長都是4，四個頂點在同一個球上，則球的表面積為（

2、）ABCD4設是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則（ ）ABCD5已知橢圓：的左，右焦點分別為，過的直線交橢圓于，兩點，若，且的三邊長，成等差數(shù)列，則的離心率為（ ）ABCD6圓心為且和軸相切的圓的方程是（ ）ABCD7如圖，在三棱錐中，平面，現(xiàn)從該三棱錐的個表面中任選個，則選取的個表面互相垂直的概率為（ ）ABCD8已知集合，則中元素的個數(shù)為( )A3B2C1D09已知函數(shù)的圖象如圖所示，則可以為（ ）ABCD10已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內(nèi)角為，若對任意的恒成立，則實數(shù)（ ）.A6B5C4D311我國古代數(shù)學名著數(shù)書九章中有“天池盆測雨”題：在下雨

3、時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；一尺等于十寸；臺體的體積公式）.A2寸B3寸C4寸D5寸12把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)的最小值是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知雙曲線的一條漸近線為,則焦點到這條漸近線的距離為_14已知為等差數(shù)列，為其前n項和，若，則_.15設、為互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出下列四個命題：若mn，則m；若m，n，m，n，則；若，m，n，則mn；若

4、，m，n，mn，則n；其中正確命題的序號為_16若奇函數(shù)滿足，為R上的單調(diào)函數(shù)，對任意實數(shù)都有，當時，則_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知數(shù)列，其前項和為，若對于任意，且，都有.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）若數(shù)列滿足，且等差數(shù)列的公差為，存在正整數(shù)，使得，求的最小值.18（12分）在平面直角坐標系中，已知點，曲線：（為參數(shù)）以原點為極點，軸正半軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（）判斷點與直線的位置關系并說明理由；（）設直線與曲線的兩個交點分別為，求的值.19（12分）已知函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）已知，若對任意的，總存在，使得成

5、立，求的取值范圍.20（12分）超級病菌是一種耐藥性細菌，產(chǎn)生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對相應的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；（2）混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗

6、結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為次，假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；（2）現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.（i）試運用概率統(tǒng)計的知識，若，試求p關于k的函數(shù)關系式；（ii）若，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望

7、值更少，求k的最大值.參考數(shù)據(jù)：，21（12分）如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，.（1）若，求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值22（10分）的內(nèi)角、所對的邊長分別為、，已知.（1）求的值；（2）若，點是線段的中點，求的面積.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得，構建新函數(shù)，利用導數(shù)可得為上的增函數(shù)，從而可得正確的選項.【詳解】因為是定義在上的增函數(shù)，故.又有意義，故，故，所以.令，則，故在上為增函數(shù)，所以即，整理得到.故選：D.【點睛】本題考查導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用，一

8、般地，數(shù)的大小比較，可根據(jù)數(shù)的特點和題設中給出的原函數(shù)與導數(shù)的關系構建新函數(shù)，本題屬于中檔題.2D【解析】根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合，由補集和交集定義可求得結果.【詳解】，.故選：.【點睛】本題考查集合運算中的補集和交集運算問題，涉及到函數(shù)定義域的求解，屬于基礎題.3A【解析】將正四面體補成正方體，通過正方體的對角線與球的半徑關系，求解即可【詳解】解：如圖，將正四面體補形成一個正方體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同，四面體所有棱長都是4，正方體的棱長為，設球的半徑為，則，解得，所以，故選：A【點睛】本題主要考查多面體外接球問題，解決本題的關鍵在于，巧妙構造正方體，利用正方體的

9、外接球的直徑為正方體的對角線，從而將問題巧妙轉化，屬于中檔題4C【解析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，比較即可.【詳解】解：顯然，所以是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，所以故選：C【點睛】本題考查對數(shù)的運算及偶函數(shù)的性質(zhì)，是基礎題.5C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)設出，利用勾股定理列方程，結合橢圓的定義，求得.再利用勾股定理建立的關系式，化簡后求得離心率.【詳解】由已知，成等差數(shù)列，設，.由于，據(jù)勾股定理有，即，化簡得；由橢圓定義知的周長為，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，離心率.故選：C【點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的定義，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.6A【解析】求出所求圓的半

10、徑，可得出所求圓的標準方程.【詳解】圓心為且和軸相切的圓的半徑為，因此，所求圓的方程為.故選：A.【點睛】本題考查圓的方程的求解，一般求出圓的圓心和半徑，考查計算能力，屬于基礎題.7A【解析】根據(jù)線面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，這樣可確定垂直平面的對數(shù)，再求出四個面中任選2個的方法數(shù)，從而可計算概率【詳解】由已知平面，可得，從該三棱錐的個面中任選個面共有種不同的選法，而選取的個表面互相垂直的有種情況，故所求事件的概率為故選：A【點睛】本題考查古典概型概率，解題關鍵是求出基本事件的個數(shù)8C【解析】集合表示半圓上的點，集合表示直線上的點，聯(lián)立方程組求得方程組解的個數(shù)，即為交集中元素的個

11、數(shù).【詳解】由題可知：集合表示半圓上的點，集合表示直線上的點，聯(lián)立與，可得，整理得，即，當時，不滿足題意；故方程組有唯一的解.故.故選：C.【點睛】本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關系的判斷，屬基礎題.9A【解析】根據(jù)圖象可知，函數(shù)為奇函數(shù)，以及函數(shù)在上單調(diào)遞增，且有一個零點，即可對選項逐個驗證即可得出【詳解】首先對4個選項進行奇偶性判斷，可知，為偶函數(shù)，不符合題意，排除B；其次，在剩下的3個選項,對其在上的零點個數(shù)進行判斷, 在上無零點, 不符合題意，排除D；然后,對剩下的2個選項,進行單調(diào)性判斷, 在上單調(diào)遞減, 不符合題意，排除C.故選：A【點睛】本題主要考查圖象的識別和函數(shù)性

12、質(zhì)的判斷，意在考查學生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于容易題10C【解析】若對任意的恒成立，則為的最大值，所以由已知，只需求出取得最大值時的n即可.【詳解】由已知，又三角形有一個內(nèi)角為，所以，解得或（舍），故，當時，取得最大值，所以.故選：C.【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和的最值問題，考查學生的計算能力，是一道基礎題.11B【解析】試題分析：根據(jù)題意可得平地降雨量，故選B.考點：1.實際應用問題；2.圓臺的體積.12A【解析】先求出的解析式，再求出的解析式，根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性可求實數(shù)滿足的等式，從而可求其最小值.【詳解】的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)解析式為，故.令，解

13、得，.因為為偶函數(shù)，故直線為其圖象的對稱軸，令，故，因為，故，當時，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，注意平移變換是對自變量做加減，比如把的圖象向右平移1個單位后，得到的圖象對應的解析式為，另外，如果為正弦型函數(shù)圖象的對稱軸，則有，本題屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。132.【解析】由雙曲線的一條漸近線為，解得求出雙曲線的右焦點，利用點到直線的距離公式求解即可【詳解】雙曲線的一條漸近線為 解得： 雙曲線的右焦點為焦點到這條漸近線的距離為：本題正確結果：【點睛】本題考查了雙曲線和的標準方程及其性質(zhì)，涉及到點到直線距離公式的考查，屬于基

14、礎題141【解析】試題分析：因為是等差數(shù)列，所以，即，又，所以，所以故答案為1【考點】等差數(shù)列的基本性質(zhì)【名師點睛】在等差數(shù)列五個基本量，中，已知其中三個量，可以根據(jù)已知條件，結合等差數(shù)列的通項公式、前項和公式列出關于基本量的方程(組)來求余下的兩個量，計算時須注意整體代換思想及方程思想的應用.15【解析】根據(jù)直線和平面，平面和平面的位置關系依次判斷每個選項得到答案.【詳解】對于，當mn時，由直線與平面平行的定義和判定定理，不能得出m，錯誤；對于，當m，n，且m，n時，由兩平面平行的判定定理，不能得出，錯誤；對于，當，且m，n時，由兩平面平行的性質(zhì)定理，不能得出mn，錯誤；對于，當，且m，n，

15、mn時，由兩平面垂直的性質(zhì)定理，能夠得出n，正確；綜上知，正確命題的序號是故答案為：【點睛】本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關系，意在考查學生的空間想象能力和推斷能力.16【解析】根據(jù)可得,函數(shù)是以為周期的函數(shù)，令，可求，從而可得，代入解析式即可求解.【詳解】令，則，由，則，所以，解得，所以，由時，所以時，；由，所以，所以函數(shù)是以為周期的函數(shù)，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）用數(shù)學歸納法證明即可；（2）

16、根據(jù)條件可得，然后將用，表示出來，根據(jù)是一個整數(shù)，可得結果【詳解】解：（1）令，則即，成等差數(shù)列，下面用數(shù)學歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列，假設成等差數(shù)列，其中，公差為，令，即，成等差數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列；（2），若存在正整數(shù)，使得是整數(shù)，則，設，是一個整數(shù)，從而又當時，有，綜上，的最小值為【點睛】本題主要考查由遞推關系得通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，關鍵是利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列，屬于難題18（）點在直線上；見解析（）【解析】（）直線：，即，所以直線的直角坐標方程為，因為，所以點在直線上；（）根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可得.【詳解】（）直線：，即，所以直線的直角坐標方程為，因為，所以點

17、在直線上；（）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的普通方程為，將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程得，設兩根為，所以，故與異號，所以，所以.【點睛】本題考查在極坐標參數(shù)方程中方程互化，還考查了直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.19（1）；（2）【解析】（1）由,可求出的值,進而可求得的解析式;（2）分別求得和的值域,再結合兩個函數(shù)的值域間的關系可求出的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,解得,故.（2）因為,所以,所以，則,圖象的對稱軸是.因為,所以,則,解得,故的取值范圍是.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,考查了二次函數(shù)及三角函數(shù)值域的求法,考查了學生的計算求解能力,屬于中檔題.

18、20（1）（2）（i）（，且）.（ii）最大值為4.【解析】（1）設恰好經(jīng)過2次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A,利用古典概型、排列組合求解即可；（2）（i）由已知得,的所有可能取值為1,則可求得,即可得到,進而由可得到p關于k的函數(shù)關系式；（ii）由可得,推導出,設（）,利用導函數(shù)判斷的單調(diào)性,由單調(diào)性可求出的最大值【詳解】（1）設恰好經(jīng)過2次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A,則,恰好經(jīng)過兩次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率為（2）（i）由已知得,的所有可能取值為1,若,則,則,p關于k的函數(shù)關系式為（,且）（ii）由題意知,得,設（）,則,令,則,當時,即在上單調(diào)增減,又,又,k的最大值為4【點睛】本題考查古典概型的概率公式的應用,考查隨機變量及其分布,考查利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性21（1）詳見解析（2）【解析】（1）如圖，作，交于，連接.因為，所以是的三等分點，可得.因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以， 因為，所以，所以，因為平面，平面，所以平面.又，平面，平面，所以平面.因為，、平面，所以平面平面，所以平面.（2）因為是等邊三角形，所以.又因為，所以，所以.又，平面，