2022屆廣東省揭陽市華僑高三適應性調研考試數學試題含解析

1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1等差數列中，已知，且，則數列的前項和中最小的是（ ）A或BCD2已知，為兩條不同直線，為三個不同平面，下列命題：若

2、，則；若，則；若，則；若，則.其中正確命題序號為( )ABCD3已知直線，則“”是“”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4已知，且，則（ ）ABCD5已知平面向量，滿足，且，則與的夾角為（ ）ABCD6已知雙曲線的左、右焦點分別為，P是雙曲線E上的一點，且.若直線與雙曲線E的漸近線交于點M，且M為的中點，則雙曲線E的漸近線方程為( )ABCD7若復數滿足（為虛數單位），則其共軛復數的虛部為（ ）ABCD8點在曲線上，過作軸垂線，設與曲線交于點，且點的縱坐標始終為0，則稱點為曲線上的“水平黃金點”，則曲線上的“水平黃金點”的個數為（ ）A0B1C2D39命題：

3、存在實數，對任意實數，使得恒成立；：，為奇函數，則下列命題是真命題的是（ ）ABCD10根據如圖所示的程序框圖，當輸入的值為3時，輸出的值等于（ ）A1BCD11已知函數，則在上不單調的一個充分不必要條件可以是（ ）ABC或D12我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數（即質數）的和”，如，在不超過20的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于20的概率是（ ）ABCD以上都不對二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽，有兩人獲獎.在比賽結果揭曉之前，四人的猜測如下表，其中“”表示猜

4、測某人獲獎，“”表示猜測某人未獲獎，而“”則表示對某人是否獲獎未發(fā)表意見.已知四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的，那么兩名獲獎者是_.甲獲獎乙獲獎丙獲獎丁獲獎甲的猜測乙的猜測丙的猜測丁的猜測14已知函數，則關于的不等式的解集為_15在中，則繞所在直線旋轉一周所形成的幾何體的表面積為_.16已知函數f(x)若關于x的方程f(x)kx有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知在等比數列中，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列前項的和.18（12分）已知函數.（）若是第二象限角，且，求的值；（）求函數的定義域和值域

5、.19（12分）設函數（1）若，求函數的值域；（2）設為的三個內角，若，求的值；20（12分）若數列前n項和為，且滿足（t為常數，且）（1）求數列的通項公式：（2）設，且數列為等比數列，令，.求證：.21（12分）如圖，在矩形中，點是邊上一點，且，點是的中點，將沿著折起，使點運動到點處，且滿足.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.22（10分）已知首項為2的數列滿足.（1）證明：數列是等差數列（2）令，求數列的前項和.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】設公差為，則由題意可得，解得，可得.令，可得當時，

6、當時，由此可得數列前項和中最小的.【詳解】解：等差數列中，已知，且，設公差為，則，解得，.令，可得，故當時，當時，故數列前項和中最小的是.故選：C.【點睛】本題主要考查等差數列的性質，等差數列的通項公式的應用，屬于中檔題.2C【解析】根據直線與平面，平面與平面的位置關系進行判斷即可.【詳解】根據面面平行的性質以及判定定理可得，若，則，故正確；若，平面可能相交，故錯誤；若，則可能平行，故錯誤；由線面垂直的性質可得，正確；故選：C【點睛】本題主要考查了判斷直線與平面，平面與平面的位置關系，屬于中檔題.3C【解析】先得出兩直線平行的充要條件，根據小范圍可推導出大范圍，可得到答案.【詳解】直線，的充要

7、條件是，當a=2時，化簡后發(fā)現兩直線是重合的，故舍去，最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為C.【點睛】判斷充要條件的方法是：若pq為真命題且qp為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；若pq為假命題且qp為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；若pq為真命題且qp為真命題，則命題p是命題q的充要條件；若pq為假命題且qp為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系4B【解析】分析：首先利用同角三角函數關系式，結合題中所給的角的范圍，求得的值，之后借助于倍角公式，將待求

8、的式子轉化為關于的式子，代入從而求得結果.詳解：根據題中的條件，可得為銳角，根據，可求得，而，故選B.點睛：該題考查的是有關同角三角函數關系式以及倍角公式的應用，在解題的過程中，需要對已知真切求余弦的方法要明確，可以應用同角三角函數關系式求解，也可以結合三角函數的定義式求解.5C【解析】根據， 兩邊平方，化簡得，再利用數量積定義得到求解.【詳解】因為平面向量，滿足，且， 所以，所以，所以 ，所以，所以與的夾角為.故選：C【點睛】本題主要考查平面向量的模，向量的夾角和數量積運算，屬于基礎題.6C【解析】由雙曲線定義得，OM是的中位線，可得，在中，利用余弦定理即可建立關系，從而得到漸近線的斜率.【

9、詳解】根據題意，點P一定在左支上.由及，得，再結合M為的中點，得，又因為OM是的中位線，又，且，從而直線與雙曲線的左支只有一個交點.在中.由，得. 由，解得，即，則漸近線方程為.故選：C.【點睛】本題考查求雙曲線漸近線方程，涉及到雙曲線的定義、焦點三角形等知識，是一道中檔題.7D【解析】由已知等式求出z，再由共軛復數的概念求得，即可得虛部.【詳解】由zi1i，z ，所以共軛復數=-1+，虛部為1故選D【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算和共軛復數的基本概念，屬于基礎題8C【解析】設,則,則,即可得,設,利用導函數判斷的零點的個數,即為所求.【詳解】設,則,所以,依題意可得,設,則,當時,則單

10、調遞減；當時,則單調遞增,所以,且,有兩個不同的解,所以曲線上的“水平黃金點”的個數為2.故選:C【點睛】本題考查利用導函數處理零點問題,考查向量的坐標運算,考查零點存在性定理的應用.9A【解析】分別判斷命題和的真假性，然后根據含有邏輯聯(lián)結詞命題的真假性判斷出正確選項.【詳解】對于命題，由于，所以命題為真命題.對于命題，由于，由解得，且，所以是奇函數，故為真命題.所以為真命題. 、都是假命題.故選：A【點睛】本小題主要考查誘導公式，考查函數的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結詞命題真假性的判斷，屬于基礎題.10C【解析】根據程序圖，當x0繼續(xù)運行，x=1-2=-10，程序運行結束，得，故選C【點睛】本題

11、考查程序框圖，是基礎題11D【解析】先求函數在上不單調的充要條件，即在上有解，即可得出結論.【詳解】，若在上不單調，令，則函數對稱軸方程為在區(qū)間上有零點（可以用二分法求得）.當時，顯然不成立；當時，只需或，解得或.故選:D.【點睛】本題考查含參數的函數的單調性及充分不必要條件，要注意二次函數零點的求法，屬于中檔題.12A【解析】首先確定不超過的素數的個數，根據古典概型概率求解方法計算可得結果.【詳解】不超過的素數有，共個，從這個素數中任選個，有種可能；其中選取的兩個數，其和等于的有，共種情況，故隨機選出兩個不同的數，其和等于的概率故選：.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎題.二、

12、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13乙、丁【解析】本題首先可根據題意中的“四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目分為四種情況，然后對四種情況依次進行分析，觀察四人所猜測的結果是否沖突，最后即可得出結果.【詳解】從表中可知，若甲猜測正確，則乙，丙，丁猜測錯誤，與題意不符，故甲猜測錯誤；若乙猜測正確，則依題意丙猜測無法確定正誤，丁猜測錯誤；若丙猜測正確，則丁猜測錯誤；綜上只有乙，丙猜測不矛盾，依題意乙，丙猜測是正確的，從而得出乙，丁獲獎.所以本題答案為乙、丁.【點睛】本題是一個簡單的合情推理題，能否根據“四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目所給條件分為四種情況并通過推理判

13、斷出每一種情況的正誤是解決本題的關鍵，考查推理能力，是簡單題.14【解析】判斷的奇偶性和單調性，原不等式轉化為，運用單調性，可得到所求解集【詳解】令，易知函數為奇函數，在R上單調遞增，即，即x故答案為：【點睛】本題考查函數的奇偶性和單調性的運用：解不等式，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題15【解析】由題知該旋轉體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，根據圓錐側面積計算公式可得.【詳解】解：由題知該旋轉體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，在中，如下圖所示，底面圓的半徑為，則所形成的幾何體的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查旋轉體的表面積計算問題，屬于基礎題.16【解析】由圖可知，當直線ykx在

14、直線OA與x軸(不含它們)之間時，ykx與yf(x)的圖像有兩個不同交點，即方程有兩個不相同的實根三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）【解析】（1）由基本量法，求出公比后可得通項公式；（2）求出，用裂項相消法求和【詳解】解：（1）設等比數列的公比為又因為，所以解得（舍）或所以，即（2）據（1）求解知，所以所以【點睛】本題考查求等比數列的通項公式，考查裂項相消法求和解題方法是基本量法基本量法是解決等差數列和等比數列的基本方法，務必掌握18（）（）函數的定義域為，值域為【解析】（1）由為第二象限角及的值，利用同角三角函數間的基本關系求出及的值，再代入中即可

15、得到結果.（2）函數解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個角的正弦函數，根據的范圍，即可得到函數值域.【詳解】解：（1）因為是第二象限角，且，所以.所以，所以.（2）函數的定義域為.化簡，得，因為，且，所以，所以.所以函數的值域為.（注：或許有人會認為“因為，所以”，其實不然，因為.）【點睛】本題考查同角三角函數的基本關系式，三角函數函數值求解以及定義域和值域的求解問題，涉及到利用二倍角公式和輔助角公式整理三角函數關系式的問題，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力，屬于?？碱}型.19（1）（2）【解析】（1）將，利用三角恒等變換轉化為：，再根據正弦函數的性質求解，（2）根據，得，又為的內角，得

16、到，再根據，利用兩角和與差的余弦公式求解，【詳解】（1），即的值域為；（2）由，得，又為的內角，所以，又因為在中，所以，所以.【點睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數的性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題，20（1）（2）詳見解析【解析】（1）利用可得的遞推關系，從而可求其通項.（2）由為等比數列可得，從而可得的通項，利用錯位相減法可得的前項和，利用不等式的性質可證.【詳解】（1）由題意，得：（t為常數，且），當時，得，得.由，故，故.（2）由，由為等比數列可知：，又，故，化簡得到，所以或（舍）.所以，則.設的前n項和為.則，相減可得【點睛】數列的通項與前項和 的關系式，我們常利用這個關

17、系式實現與之間的相互轉化. 數列求和關鍵看通項的結構形式，如果通項是等差數列與等比數列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數列與等比數列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現，則用并項求和法.21（1）見解析；（2）【解析】（1）取的中點，連接，由，進而，由，得. 進而平面,進而結論可得證（2）（方法一）過點作的平行線交于點，以點為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中點，上的點，使，連接，得，得二面角的平面角為，再求解即可【詳解】（1）證明：取的中點，連接，由已知得，所以，又點是的中點，所以.因為，點是線段的中點，所以.又因為，所以，從而平面，所以，又，不平行，所以平面.（2）（方法一）由（1）知，過點作的平行線交于點，以點為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則點，所以，.設平面的法向量為，由，得，令，得.同理，設平面的法向量為，由，得，令，得.所以二面角的余弦值為.（方法二）取的中點，上的點，使，連接，易知，.由（1）得，所以平面