微積分基礎(chǔ)知識講座

1、微積分基礎(chǔ)知識講座一：引入【例】問均勻帶電的立方體角上一點的電勢是中心的幾倍。分析：根據(jù)對稱性，可知立方體的八個角點電勢相等；將原立方體等分為八個等大的小立方體,原立方體的中心正位于八個小立方體角點位置；而根據(jù)電勢疊加原理，其電勢即為八個小立方體角點位置的電勢之和，即U1=8U2；那么立方體角點的電勢的表達(dá)式是什么那?令電荷密度；二立方體的邊長a；二：導(dǎo)數(shù)tv物理量的變化率我們經(jīng)常對物理量函數(shù)關(guān)系的圖像處理，比如v-t圖像，求其斜率可以得出加速度a，求其面積可以得出位移s，而斜率和面積是幾何意義上的微積分。我們知道，過v-t圖像中某個點作出切線，其斜率即a= eq f(v,t) .下面我們從代

2、數(shù)上考察物理量的變化率：【例】若某質(zhì)點做直線運動，其位移與時間的函數(shù)關(guān)系為s=3t+2t2,試求其t時刻的速度的表達(dá)式。（所有物理量都用國際制單位，以下同）分析：我們知道，公式v= eq f(s,t) 一般是求t時間內(nèi)的平均速度，當(dāng)t取很小很小，才可近似處理成瞬時速度。s(t)=3t+2t2s(t+t)=3(t+t)+2(t+t)2s=s(t+t)-s(t)=3(t+t)+2(t+t)2-3t-2t2=3t+4tt+2t2v= eq f(s,t) = eq f(3t+4tt+2t2,t) =3+4t+2t當(dāng)t取很小，小到跟3+4t相比忽略不計時，v=3+4t即為t時刻的瞬時速度。【練】假設(shè)一個

3、閉合線圈匝數(shù)為100匝，其磁通量為=3t+4t3,求感應(yīng)電動勢隨時間t的函數(shù)關(guān)系?！拘〗Y(jié)】回顧我們求物理量y=f(t)的變化率瞬時值z的步驟：寫出t時刻y0=f(t)的函數(shù)表達(dá)式；寫出t+t時刻y1=f(t+t)的函數(shù)表達(dá)式；求出y=y1-y0=f(t+t)-f(t)；求出z= eq f(y,t) = eq f(f(t+t)- f(t),t) ；注意t取很小，小到與有限值相比可以忽略不計。無窮小當(dāng)t取很小時，可以用V= eq f(s,t) 求瞬時速度，也可用i= eq f(Q,t) 求瞬時電流,用= eq f(N,t) 求瞬時感應(yīng)電動勢。下面，我們來理解t：t是很小的不為零的正數(shù)，它小到什么程

4、度呢？可以說，對于我們?nèi)我饨o定一個不為零的正數(shù)，都比t大，即：t。或者從動態(tài)的角度來看，給定一段時間t，我們進行如下操作：第一次，我們把時間段平均分為2段，每段時間t= eq f(t,2) ；第二次，我們把時間段平均分為3段，每段時間t= eq f(t,3) ；第三次，我們把時間段平均分為4段，每段時間t= eq f(t,4) ；第N次，我們把時間段平均分為N+1段，每段時間t= eq f(t,N+1) ；一直這樣進行下去，我們知道，t越來越小，雖然它不為零，但永遠(yuǎn)逼近零，我們稱它為無窮小，記為t0。或者，用數(shù)學(xué)形式表示為t=0。其中“”表示極限，意思是t的極限值為0。常規(guī)計算：（t+C）=C

5、Ct=0f(t)=f(0)f(t+t)=f(t) eq f(sin(t),t) =1附錄常用等價無窮小關(guān)系（）；導(dǎo)數(shù)前面我們用了極限“”的表示方法，那么物理量y的變化率的瞬時值z可以寫成:z= eq f(y,t) ,并簡記為z= eq f(dy,d t) ,稱為物理量y函數(shù)對時間變量t的導(dǎo)數(shù)。物理上經(jīng)常用某物理量的變化率來定義或求解另一物理量，如v= eq f(dx,d t) 、a= eq f(dv,d t) 、i= eq f(dq,d t) 、=N eq f(d,d t) 等，甚至不限于對時間求導(dǎo)，如F= eq f(dWF,d x) 、Ex= eq f(dU,dx) 、= eq f(dm,d

6、l) 等。這個dt（也可以是dx、dv、dm等）其實相當(dāng)于微元法中的時間微元t，當(dāng)然每次這樣用來求物理量變化率的瞬時值太繁瑣了，畢竟微元法只是草創(chuàng)時期的微積分。如果能把常見導(dǎo)數(shù)計算的基本規(guī)律弄懂，那么我們可以簡單快速地求解物理量變化率的瞬時值（導(dǎo)數(shù)）了。同學(xué)們可以課后推導(dǎo)以下公式：導(dǎo)數(shù)的四則運算 eq f(d(uv),d t) = eq f(du,d t) eq f(dv,d t) eq f(d( eq f(u,v) ),d t) = eq f( eq f(du,d t) v - u eq f(dv,d t) eq f(u,v) ,v2) eq f(d(uv),d t) = eq f(du,d

7、 t) v+u eq f(dv,d t) eq f(u,v) 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) eq f(dC,dt) =0(C為常數(shù))； eq f(dcost,dt) =-sint； eq f(dtn,dt) =ntn-1(n為實數(shù))； eq f(det,dt) =et； eq f(dsint,dt) =cost；復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)上，把u=u(v(t)稱為復(fù)合函數(shù)，即以函數(shù)v(t)為u(x)的自變量。 eq f(du(v(t),d t) = eq f(du(v(t),d v(t) eq f(dv(t),d t) 復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)稱為鏈?zhǔn)椒▌t。

8、【練】1、某彈簧振子在X軸上做直線運動，其位移x與時間t的關(guān)系為x=Asint，即，質(zhì)點在坐標(biāo)原點附近往復(fù)運動，最大位移為A（A稱為振幅），周期為 eq f(2,) （稱為角頻率），物理上把這種運動叫簡諧運動。請完成以下幾問：求出t時刻的速度v寫出合力F與位移x的關(guān)系驗證簡諧運動中質(zhì)點的機械能守恒。三：微分和積分簡單問題Q0Q1q【例】電容器是一種存儲電荷的元件，它的基本工作方式為充電和放電，我們先考察電容器放電時的情況。某電容為C的電容器，其已充電的電量為Q0，若讓該電容與另一個阻值為R的的電阻串聯(lián)起來，該電容器將會放電，其釋放的電能轉(zhuǎn)化電阻的焦耳熱（內(nèi)能）。試討論，放電時流過電阻R的電流隨

9、時間t的變化關(guān)系如何？分析：根據(jù)電荷守恒定律，當(dāng)通過電阻R的電量為q時，電容器的電量從Q0變成Q1，滿足Q0=Q1+q，即q=Q0-Q1；流過電阻R的電流i與通過電阻R的電量q滿足關(guān)系式：i= eq f(dq,d t) 根據(jù)電容電量公式Q=CU,有Q1=CU=CRi，那么q=Q0-CRi；聯(lián)立上式，有i= eq f(dq,d t) = eq f(d(Q0- CRi),d t) =-CR eq f(di,d t) 進行公式變形，令x=- eq f(t,CR) ,則有i=-CR eq f(di,d t) = eq f(di,dx) 同學(xué)們思考一下，i應(yīng)該是什么函數(shù)，才能滿足i= eq f(di,d

10、x) ？，或者說什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)本身？我們觀察到，只有y=Cex形式的函數(shù)才滿足i= eq f(di,dx) 關(guān)系，C為待定常數(shù)。故可以知道，i=Cex=Ce-t/CR當(dāng)t=0時，U0= eq f(Q0,C) ，i0= eq f(U0,R) = eq f(Q0,CR) ；而把t=0代人，得i=Ce-t/CR=C；故C= eq f(Q0,CR) 所以，流過電阻R的電流隨時間t的變化關(guān)系為：i= eq f(Q0,CR) e-t/CR【練】對于上例電容器放電問題，試討論，放電時電容器的電量Q隨時間t的變化關(guān)系如何？微分1、從上面式子可以看出，理論上雖然我們說是要經(jīng)過無窮長的時間電容才放完電，電

11、流為零，但實際上只需要電流減少足夠小時，電流計就檢測不到有電流了。2、對于i=-CR eq f(di,d t) 或i= eq f(di,dx) ，我們稱之為微分方程，最直觀的解決方法是觀察有哪些函數(shù)滿足該微分方程的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)然，我們要注意比如上題中的t=0之類的初始條件。3、一般來說，微積分可以幫助同學(xué)們深刻理解物理概念和公式，但微元法可以幫助同學(xué)們更細(xì)致地明了物理過程。下面我們用微元法的方式來處理這個問題。在t的時間內(nèi)，通過電阻R的電量為q。雖然電流隨時間發(fā)生變化，但在很短的時間t內(nèi)，可以認(rèn)為電流幾乎不變，當(dāng)成恒定電流處理，故有q=it。對電容有Q=CU=CRi，Q=i；由電量守恒，Q=q

12、，故iti，然后把“”形式改寫成微積分語言的“d”形式，就有idtdi（dt和di稱之為微分）,數(shù)學(xué)變形為i=-CR eq f(di,dt) ，即以上解法中的微分方程。微分與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系呢？對某自變量為時間t的函數(shù)F(t)，它的極其微小的變化，我們記它為微分dF，它與時間微分dt滿足關(guān)系式：dF= eq f(dF,dt) dt，其中 eq f(dF,dt) 為F對t的導(dǎo)數(shù)。下面是常見的微分公式與微分運算法則：積分在上例問題中，在t的時間內(nèi)，通過電阻R的電量為q=it，q稱為電量微元。如果我們把0到t時間內(nèi)的q加起來，用求和符號“”表示，則有：q=it。由于t=Nt,當(dāng)t取無窮小時，那么it就

13、有N個，也就是，我們要把無窮個it進行相加操作，為了方便，我們用微積分符號表示q=it=，稱為對i在時間上求積分。我們來看一下這么做有什么意義：從幾何上看，對于i-t圖像，q=it=就是圖像中的面積。對于恒定電流，很簡單，q=it，即小塊矩形面積；對于變化的電流，用q=it來計算，發(fā)現(xiàn)有一小塊近似三角形面積的誤差，不過當(dāng)我們?nèi)‘?dāng)t取無窮小時，用極限處理后，該誤差會無窮逼近零，可以忽略不計，那么計算的面積就無限精確接近實際面積了。前面我們求導(dǎo)用了i= eq f(dq,dt) ，積分用了q=?？梢钥闯?，從某種程度上說，積分實際是求導(dǎo)的逆運算，比如：q=Q0-Q=Q0(1-e-t/CR),i= eq

14、 f(Q0,CR) e-t/CR滿足求導(dǎo)和積分的運算關(guān)系i= eq f(dq,d t) 、q=。對于一般函數(shù)F，如果有f= eq f(dF,dt) ，那么就有=F+C。請思考，為什么積分中會出現(xiàn)常數(shù)C？下面是常見的積分公式，請同學(xué)們對照求導(dǎo)公式理解：f現(xiàn)在我們用微積分書寫方式來來解答上題。怎么來求呢？我們知道 eq f(det,d t) =et，令F(t)=et，有t=lnF；則有 eq f(dF,d t) =F，即 eq f(dF,F) =dt=d(lnF)；那么=lnQ+C。=？請同學(xué)們自己推導(dǎo)。由Q0=Q+q；Q=Q0-q；則dQ=-dq=-idt=- eq f(U,R) dt=- eq

15、 f(Q,CR) dt；即 eq f(dQ, Q) =- eq f(1,CR) dt；對等號兩邊積分：=；有l(wèi)nQ=- eq f(t,CR) C，或者Q=Ce-t/CR；當(dāng)t=0時，Q(0)=C=Q0；所以電容器電量為Q=Q0e-t/CR。定積分【例】某質(zhì)點在X軸上做直線運動，其速度v滿足函數(shù)關(guān)系v=3t2,求從t=1s到t=3s時間內(nèi)質(zhì)點發(fā)生的位移。分析：在dt時間內(nèi)，質(zhì)點可以認(rèn)為做勻速直線運動，即ds=vdt,那么對等號兩邊積分，有，則有：s=t3+C；現(xiàn)在有問題了：當(dāng)t=0時，S(0)等于多少我們不知道！而且已知條件中的時間“從t=1s到t=3s”也沒有用上！下面我們從物理上考察C這個常

16、數(shù)的意義。t=0時，s(0)=C。當(dāng)我們令C=0時，相當(dāng)于質(zhì)點在零時刻從坐標(biāo)原點開始運動；當(dāng)我們令C=1時，相當(dāng)于質(zhì)點在零時刻從坐標(biāo)位置X=1m處開始運動；。tv我們發(fā)現(xiàn)，C這常數(shù)的取值相當(dāng)于選取觀察質(zhì)點運動的靜止參考系位置，然而所求的從t=1s到t=3s時間內(nèi)質(zhì)點發(fā)生的位移應(yīng)該與所選取的靜止參考系無關(guān)，也就是對任意靜止參考系，質(zhì)點發(fā)生的位移應(yīng)該是一致的，如圖所示。那么我們就隨便選取某一參考系，使質(zhì)點在零時刻從坐標(biāo)位置X=Cm處開始運動，則位移與時間的函數(shù)關(guān)系式為：s(t)=t3+C。題目中所求的1到3秒的位移為：s1=s(3)-s(1)=（33+C）-（13+C）=8m。題目中所要求的位移（速度積分）與積分式=F+C中的C無關(guān)，當(dāng)要求t=t1到t=t2時間內(nèi)位移時，s(t1t2)=s(t2)-s(t2)。這個相當(dāng)于我們用s=vt來求v-t圖像中的從t=t1到t=t2范圍內(nèi)的面積。我們用一種簡