電磁場(chǎng)與波課件：第一章矢量分析

1、第一章 矢量分析2022/7/1211.1 矢量代數(shù)1.2 常用正交曲線坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度1.6 無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理2022/7/1221.1矢量代數(shù)一、標(biāo)量和矢量二、矢量的代數(shù)運(yùn)算 一、標(biāo)量和矢量2022/7/123矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示 注意：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶俊?矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不

2、變的矢量。 矢量的幾何表示2022/7/124矢量用坐標(biāo)分量表示zxy二、矢量的代數(shù)運(yùn)算 2022/7/125（1）矢量的加減法 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加法矢量的減法 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律交換律2022/7/126（2）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積符合交換律q矢量 與 的夾角2022/7/127（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量 與 的叉積用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為2022/7/128（5）矢量的混合運(yùn)算 分配律 分配律 標(biāo)量三重積 矢量三重積2022/7/129

3、1.2 常用正交曲線坐標(biāo)系一、直角坐標(biāo)系 二、圓柱面坐標(biāo)系三、球面坐標(biāo)系四、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 2022/7/1210 三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。 在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。一、直角坐標(biāo)系 2022/7/1211位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面） o x y z0 xx=（平面）0zz=（平面）P 直角坐標(biāo)系 x yz直角坐標(biāo)

4、系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元 odzd ydx二、圓柱面坐標(biāo)系2022/7/1212坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量圓柱面坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元三、球面坐標(biāo)系2022/7/1213坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元四、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 2022/7/1214直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系oqrz單位圓 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq ofxy單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 f2022/7/12151.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度一、標(biāo)量場(chǎng)的等值面二、方向?qū)?/p>

5、數(shù)三、標(biāo)量場(chǎng)的梯度2022/7/1216如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。 例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。 例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。如果場(chǎng)與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為： 場(chǎng)是表征確定空間區(qū)域中各點(diǎn)物理量的時(shí)空分布函數(shù)。每一時(shí)刻在區(qū)域中每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定值。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：一、標(biāo)量場(chǎng)的等值面2022/7/1217標(biāo)量場(chǎng)的等值線(面)等值面: 標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的

6、等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。 等值面的特點(diǎn)：意義: 形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。二、方向?qū)?shù)2022/7/1218意義：方向性導(dǎo)數(shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。概念： u(M)沿 方向增加； u(M)沿 方向減??； u(M)沿 方向無變化。 M0M方向?qū)?shù)的概念 特點(diǎn)：方向性導(dǎo)數(shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與 方向有關(guān)。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？ 的方向余弦。 式中： 三、標(biāo)量場(chǎng)的梯度2022/7/1219梯度的計(jì)算式：意義：描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念： ，其中 取得最大值的方向2022/

7、7/1220梯度的表達(dá)式：圓柱面坐標(biāo)系 球面坐標(biāo)系直角面坐標(biāo)系 梯度的性質(zhì)2022/7/1221標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度運(yùn)算的基本公式：標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）討論一2022/7/1222 例1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù) (x,y,z) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求： (1) 該函數(shù) 在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量； (2) 求該函數(shù) 沿單位矢量 el= ex cos60ey cos45 ez cos

8、60方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。 解 (1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為2022/7/1223表征其方向的單位矢量 (2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對(duì)于給定的P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為討論一討論一2022/7/1224而該點(diǎn)的梯度值為 顯然，梯度 描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。討論二2022/7/1225解：2022/7/12262022/7/1227在電磁場(chǎng)中，通常以表示源點(diǎn)的坐標(biāo)，以表示場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)，因此上述運(yùn)算結(jié)果在電磁場(chǎng)中非常有用. 2022/7/1

9、2281.4 矢量場(chǎng)的通量與散度一、矢量線 二、矢量場(chǎng)的通量 三、矢量場(chǎng)的散度四、散度定理一、矢量線 2022/7/1229意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分 布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng) 的方向。矢量線oM 二、矢量場(chǎng)的通量 2022/7/1230問題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大??？ 引入通量的概念。 通量的概念：其中：面積元矢量；面積元的法向單位矢量；穿過面積元 的通量； 如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是：面積元矢量2022/7/1231通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與

10、穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。通量的物理意義三、矢量場(chǎng)的散度2022/7/1232 為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場(chǎng)的散度。 散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。2022/7/1233柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式：2022/7/1234直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) 由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為oxy在直

11、角坐標(biāo)系中計(jì)算FzzDxDyDP 不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積V 為一直平行六面體，如圖所示。則2022/7/1235根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P 穿出該六面體的凈通量為四、散度定理2022/7/1236體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。2022/7/12371.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度一、矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源二、矢量場(chǎng)的旋度三、Stok

12、es定理四、散度和旋度的區(qū)別 一、矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源2022/7/1238 例如：流速場(chǎng) 不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。二、矢量場(chǎng)的旋度2022/7/1239 如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。 2022/7/1240如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是

13、磁場(chǎng)的旋渦源。環(huán)流的概念 矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C 的線積分，即二、矢量場(chǎng)的旋度2022/7/1241 過點(diǎn)M 作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時(shí)，極限稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M 處沿方向n的環(huán)流面密度。 矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。 特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M 處的方向n有關(guān)。（1）環(huán)流面密度2022/7/1242而 推導(dǎo) 的示意圖如圖所示。oyDz DyCMzx1234計(jì)算 的示意圖 直角坐標(biāo)系中 、 、 的表達(dá)式2022/7/1243于

14、是 同理可得故得概念：矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面 密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法 線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場(chǎng)的旋度旋度用于表示旋渦源產(chǎn)生的旋渦場(chǎng)，矢量線為包圍旋渦源的無頭無尾的閉曲線，繞行方向與旋渦源方向呈右旋關(guān)系2022/7/1244旋度的計(jì)算公式:直角坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系2022/7/1245旋度的有關(guān)公式：矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零三、Stokes定理2022/7/1246 Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相

15、等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即四、散度和旋度的區(qū)別 2022/7/12472022/7/1248梯度、散度和旋度的比較 (1)三個(gè)度均用于描述某點(diǎn)場(chǎng)的空間變化率，但變化方式不同，揭示了場(chǎng)的特性也不同。 下圖表示梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)和旋度場(chǎng)變化方式的比較。2022/7/1249 (2)三個(gè)度均用于表述某點(diǎn)場(chǎng)與場(chǎng)源的相依關(guān)系，不同變化規(guī)律的場(chǎng)對(duì)應(yīng)于不同性質(zhì)的場(chǎng)源。 (3)標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量函數(shù)，矢量場(chǎng)的散度是標(biāo)量函數(shù)，矢量場(chǎng)的旋度是矢量函數(shù)。這些函數(shù)分別表示梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)和旋度場(chǎng)。 2022/7/12501.6 無旋場(chǎng)與無

16、散場(chǎng)一、矢量場(chǎng)的源二、矢量場(chǎng)按源的分類一、矢量場(chǎng)的源2022/7/1251散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量 場(chǎng)在該點(diǎn)的散度； 旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。二、矢量場(chǎng)按源的分類2022/7/1252（1）無旋場(chǎng)性質(zhì)： ，線積分與路徑無關(guān)，是保守場(chǎng)。僅有散度源而無旋度源的矢量場(chǎng)，無旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為例如：靜電場(chǎng)2022/7/125

17、3（2）無散場(chǎng) 僅有旋度源而無散度源的矢量場(chǎng)，即性質(zhì)：無散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度例如，恒定磁場(chǎng)2022/7/1254（3）無旋、無散場(chǎng)（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無旋場(chǎng)部分和無散場(chǎng)部分無旋場(chǎng)部分無散場(chǎng)部分2022/7/12551.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理一、拉普拉斯運(yùn)算二、格林定理 一、拉普拉斯運(yùn)算2022/7/1256標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算概念： 拉普拉斯算符直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系2022/7/1257 矢量拉普拉斯運(yùn)算概念：即注意：對(duì)于非直角分量，直角坐標(biāo)系中：如：二、格林定理 2022/7/1258 設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及 滿足下列等式。 根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成式中S 為包圍V 的閉合曲面， 為標(biāo)量場(chǎng) 在 S 表面的外法線 en 方向上的偏導(dǎo)數(shù)。以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。SV,2022/7/1259基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。 格林定理說明了區(qū)域 V 中的場(chǎng)與邊界 S 上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問題。 此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿