數(shù)理統(tǒng)計第三章點估計 估計的優(yōu)良性準(zhǔn)則

1、 點估計的優(yōu)良性準(zhǔn)則 對于同一參數(shù)，用不同的估計方法求出的估計量可能不相同。 問題：采用哪一個估計量好?1X1, X2, Xn為來自該總體的樣本。設(shè)總體X F(x, ), 其中 為未知參數(shù)。為 的一個估計量。2估計量而當(dāng)樣本(X1, , Xn)有觀測值(y1, , yn)時，估計值為 是一個隨機變量，當(dāng)樣本(X1, , Xn)有觀測值(x1, , xn)時，估計值為 3由不同的觀測結(jié)果，就會求得不同的參數(shù)估計值. 因此評價一個估計量的好壞，不能僅僅依據(jù)一次試驗的結(jié)果來判斷，而必須根據(jù)估計量的分布從整體上來做評價。當(dāng)樣本值取不同的觀測值時， 我們希望相應(yīng)的估計值在未知參數(shù)真值附近擺動，而它的均值

2、與未知參數(shù)的真值的偏差越小越好. 當(dāng)這種偏差為0時，就導(dǎo)致無偏性這個標(biāo)準(zhǔn) . 41無偏性56無偏性說明71. 無系統(tǒng)性偏差.2. 要求估計量大量重復(fù)使用，在多次重復(fù) 使用下給出接近真值 的估計.由于估計量是隨機變量，故評價它是否合理，不能根據(jù)一次估計的結(jié)果，而應(yīng)該根據(jù)多次反復(fù)使用這個統(tǒng)計量的“平均”效果來評價由此給出無偏估計的“頻率解釋”。8假定在同一個模型（同樣的總體分布與樣本容量）下，對同一個參數(shù)函數(shù) 用同一個無偏估計進行多次估計，記第i次估計為 , 由大數(shù)定律得 9證明：10例2 設(shè)總體X N (， 2)，其中參數(shù)， 2未知，試用極大似然估計法求， 2的估計量，并問是否是無偏估計？111

3、2例3 設(shè)總體X 的概率密度為其中, 參數(shù) 0 為未知, X1, , Xn為來自總體的樣本. 試證, 和nZ=nmin(X1, , Xn)都是 的無偏估計.解：因為故是 的無偏估計X的分布函數(shù)為13先求Z的分布函數(shù)14對其求導(dǎo)數(shù)得到Z的密度函數(shù)為：指數(shù)分布即Z的分布函數(shù)15故因此,nZ是 的無偏估計.16 例4 設(shè)X1, X2, Xn是來自總體X的樣 本，且E(X)=。以下兩個估計是否為 的無偏估計（答：是）（答：是）17 無偏估計以方差小者為好, 這就引進了有效性這一概念 .的大小來決定二者和一個參數(shù)往往有不止一個無偏估計, 若和都是參數(shù) 的無偏估計量，比較我們可以誰更優(yōu) .18舉個例子說明

4、有效性19到商店購買電視機，看中了其中兩種品牌，分別由甲乙兩廠生產(chǎn)，外觀、音質(zhì)和畫面都不錯.根據(jù)市場調(diào)查，甲乙兩廠生產(chǎn)的兩種電視機平均使用壽命相同，都是20年.甲廠生產(chǎn)的電視機質(zhì)量較穩(wěn)定，最低使用壽命18年，最高可以使用22年；乙廠生產(chǎn)的電視機質(zhì)量穩(wěn)定性差一些，最差的使用10年就壞了，但是最好的可以使用30年.選用哪一個廠家生產(chǎn)的電視機呢？20若將電視機的使用壽命視為隨機變量，甲乙兩廠生產(chǎn)的電視機使用壽命均值相等，但是乙廠的質(zhì)量不穩(wěn)定，即方差較大.從穩(wěn)健的角度出發(fā)，顯然愿意購買甲廠生產(chǎn)的電視機，其風(fēng)險較小，即方差較小，質(zhì)量穩(wěn)定.21集中或分散程度用DX 衡量散集中EXEX定義3.1.3:2.有

5、效性22 例5 設(shè)X1, X2, Xn是來自總體X的樣本，以下兩個估計誰更有效？1:它們都是總體均值的無偏估計2:由于因此2324大量實踐表明：隨著樣本容量的增加，估計量 與被估計參數(shù)的偏差越來越小這是一個良好估計量應(yīng)該具有的性質(zhì)試想，若不然，無論做多少次試驗，也不能把 估計到任意指定的精度，這樣的估計量顯然不可取.定義3.1.4:3.相合性2526注：估計量的相合性是對大樣本提出的要求，是估計量的一種大樣本性質(zhì).根據(jù)概率論可知上述三種相合性的關(guān)系如下：1 強相合推出弱相合，反之不一定；2 對任何r0,有r階矩相合推出弱相合， 反之不一定273 強相合與有r階矩相合之間沒有包含關(guān)系282930無偏估計31當(dāng)n1時，即修正的極大似然估計 比矩估計 有效.當(dāng)n=1時，兩個估計相同3233矩估計的無偏性34樣本k階原點矩為1.設(shè)總體X的k階原點矩存在,記為 因此樣本k階原點矩是總體k階原點矩的無偏估計X1, X2, Xn為來自總體的樣本，352.對于 ，樣本k階中心矩不是總體 k階中心矩的無偏估計由于將其修正