07函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)

1、1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)（2課時）教學目標：1了解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關系； 2能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對多項式函數(shù)一般不超過三次；教學重點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間教學難點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間教學過程：一創(chuàng)設情景函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的贈與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解下面，我們運用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會導數(shù)在研究函數(shù)中的作用二新課講授 1

2、問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數(shù)的圖像運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)相應地，從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數(shù)相應地，2函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)正負的關系如圖3.3-3，導數(shù)表示函數(shù)在點處的切線的斜率在處，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)

3、在附近單調(diào)遞減結論：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減說明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)3求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間三典例分析例1已知導函數(shù)的下列信息：當時，；當，或時，；當，或時，試畫出函數(shù)圖像的大致形狀解：當時，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當，或時，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當，或時，這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示例2判斷下列函

4、數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間（1）； （2）（3）； （4）解：（1）因為，所以， 因此，在R上單調(diào)遞增，如圖3.3-5（1）所示（2）因為，所以， 當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)的圖像如圖3.3-5（2）所示（3）因為，所以， 因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，如圖3.3-5（3）所示（4）因為，所以 當，即 時，函數(shù) ；當，即 時，函數(shù) ；函數(shù)的圖像如圖3.3-5（4）所示注：（3）、（4）生練如圖3.3-6，水以常速（即單位時間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應的水的高度與時間的函數(shù)關系圖像分析：以容器（2）為例，由于容器上細下粗，所以水以

5、常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快反映在圖像上，（A）符合上述變化情況同理可知其它三種容器的情況 解：思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢結合圖像，你能從導數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？ 一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些如圖3.3-7所示，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”，在或內(nèi)的圖像“平緩”求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)證明：因為當即時，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)說明：證明可導函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟：（1）求導函數(shù)；（2）判斷在內(nèi)的符號；（3）做出結論：為增函數(shù)，為減函數(shù)已知函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍解：，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，解之得：所以實數(shù)的取值范圍為說明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解四課堂練習1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1.f(x)=2x36x2+7 2.f(x