指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系

1、. 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系一、目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)理解反函數(shù)的概念、互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系；指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的關(guān)系.重點(diǎn)反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)圖象間的關(guān)系.難點(diǎn)反函數(shù)概念.二、知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一、反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)兩函數(shù)間的關(guān)系1.反函數(shù)概念：當(dāng)一個(gè)函數(shù)是一一映射時(shí)，可以把這個(gè)函數(shù)的因變量作為一個(gè)新的函數(shù)的自變量，而把這個(gè)函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量，我們稱這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù). 函數(shù)的反函數(shù)通常用表示.要點(diǎn)詮釋：(1)對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，不一定總有反函數(shù)，只有當(dāng)確定一個(gè)函數(shù)的映射是一一映射時(shí)，這個(gè) 函數(shù)才存在反函數(shù)；(2)反函數(shù)也是函數(shù)，因?yàn)樗虾瘮?shù)的定義.2.互為

2、反函數(shù)的圖象關(guān)系：關(guān)于直線對(duì)稱；3.互為反函數(shù)的定義域和值域關(guān)系：反函數(shù)的定義域與值域是原函數(shù)的值域和定義域.4.求反函數(shù)的方法步驟：(1)由原函數(shù)y=f(*)求出它的值域；(2)由原函數(shù)y=f(*)反解出*=f-1(y)；(3)交換*, y改寫(xiě)成y=f-1(*)；(4)用f(*)的值域確定f-1(*)的定義域.知識(shí)點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).定義定義域值域圖象性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y=a*(a0且a1)叫指數(shù)函數(shù)(-，+)(0，+)(1)圖象過(guò)點(diǎn)(0，1)(2)a1，當(dāng)*0，y1；當(dāng)*=0，y=1；當(dāng)*0時(shí)0y1。0a0，0y1；當(dāng)*=0，y=1；當(dāng)*1。(3)a1，y

3、=a*為增函數(shù)；0a0且a1)叫對(duì)數(shù)函數(shù)(0，+)(-，+)(1)圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)(2)a1時(shí)，當(dāng)*1，y0；當(dāng)*=1，y=0；當(dāng)0*1，y0.0a1時(shí)，當(dāng)0*0；當(dāng)*=1，y=0；當(dāng)*1，y1，y=loga*為增函數(shù)；0a1，y=loga*是減函數(shù).注意：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖象分布規(guī)律.(1)y=a* y=b*y=c*y=d* 則：0ba1dc 又即：*(0，+)時(shí)，b*a*d*a*d*c*(2)y=loga* y=logb* y=logc* y=logd* 則有：0ba1dc 又即：*(1，+)時(shí)，loga*logb*0logc*logb*0logc*logd*三、規(guī)律方法指導(dǎo)

4、互為反函數(shù)與的圖象關(guān)于直線y=*對(duì)稱.可知：1函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=*對(duì)稱；2點(diǎn)A(m，n)在函數(shù)的反函數(shù)的圖象上A(m，n)關(guān)于直線y=*的對(duì)稱點(diǎn) B(n，m)在的圖象上.經(jīng)典例題透析類型一、求函數(shù)的反函數(shù)1f(*)= (0*4)， 求f(*)的反函數(shù).思路點(diǎn)撥：這里要先求f(*)的圍(值域).解：0*4，0*216， 925-*225， 3y5， y=， y2=25-*2， *2=25-y2. 0*4，*= (3y5)將*， y互換， f(*)的反函數(shù)f-1(*)= (3*5).2f(*)=，求f-1(*).思路點(diǎn)撥：求分段函數(shù)的反函數(shù)問(wèn)題，應(yīng)逐段求其反函數(shù)，再合并.解：當(dāng)*0時(shí)，y=*+

5、11，y1，+)， f-1(*)=*-1 (*1)；當(dāng)*0時(shí)，y=1-*21， y(-，1)，反解 *2=1-y， *=- (y1)， f-1(*)=- (*1)； 綜上f-1(*)=.類型二、利用反函數(shù)概念解題3f(*)=(*3)， 求f-1(5).思路點(diǎn)撥：這里應(yīng)充分理解和運(yùn)用反函數(shù)的自變量就是原函數(shù)的函數(shù)值，所求的反函數(shù)的函數(shù)值就是原函數(shù)的自變量這一事實(shí)，轉(zhuǎn)化成方程問(wèn)題.解：設(shè)f-1(5)=*0， 則 f(*0)=5，即 =5 (*03) *02+1=5*0-5， *02-5*0+6=0.解得*0=3或*0=2(舍)， f-1(5)=3.舉一反三：【變式1】記函數(shù)y=1+3-*的反函數(shù)為

6、，則g(10)=( )A2 B-2 C3 D-1(法一)依題意，函數(shù)的反函數(shù)y=-log3(*-1)，因此g(10)=-2. (法二)依題意，由互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系，得方程1+3-*=10，解得*=-2，即g(10)=-2.答案B.4設(shè)點(diǎn)(4，1)既在f(*)=a*2+b (a0)的圖象上，又在它的反函數(shù)圖象上，求f(*)解析式.思路點(diǎn)撥：由前面總結(jié)的性質(zhì)我們知道，點(diǎn)(4，1)在反函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)(1，4)必在原函數(shù)的圖象上.這樣就有了兩個(gè)用來(lái)確定a，b的點(diǎn)，也就有了兩個(gè)求解a，b的方程.解：解得.a=-， b=， f(*)=-*+.另：這個(gè)題告訴我們，函數(shù)的圖象假設(shè)與其反函數(shù)的圖象相

7、交，交點(diǎn)不一定都在直線y=*上.5f(*)=的反函數(shù)為f-1(*)=，求a，b，c的值.思路點(diǎn)撥：注意二者互為反函數(shù)，也就是說(shuō)函數(shù)f-1(*)=的反函數(shù)就是函數(shù)f(*).解：求f-1(*)=的反函數(shù)，令f-1(*)=y有y*-3y=2*+5.(y-2)*=3y+5 *=(y2)，f-1(*)的反函數(shù)為 y=.即=， a=3， b=5， c=-2.類型三、互為反函數(shù)圖象間關(guān)系6將y=2*的圖象先_，再作關(guān)于直線y=*對(duì)稱的圖象，可得到函數(shù)y=log2(*1)的圖象()A先向上平行移動(dòng)一個(gè)單位B先向右平行移動(dòng)一個(gè)單位C先向左平行移動(dòng)一個(gè)單位D先向下平行移動(dòng)一個(gè)單位解析：此題是關(guān)于圖象的平移變換和對(duì)

8、稱變換，可求出解析式或利用幾何直觀推斷答案：D總結(jié)升華：此題主要考察互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象的對(duì)稱關(guān)系與函數(shù)圖象的平移變換等根本知識(shí)，以及根本計(jì)算技能和幾何直觀思維能力舉一反三：【變式1】函數(shù)y=f(*+1)與函數(shù)y=f-1(*+1)的圖象( )A.關(guān)于直線y=*對(duì)稱 B.關(guān)于直線y=*+1對(duì)稱C.關(guān)于直線y=*-1對(duì)稱 D.關(guān)于直線y=-*對(duì)稱解：y=f(*+1)與y=f-1(*+1)圖象是分別將y=f(*)， y=f-1(*)的圖象向左平移一個(gè)單位所得， y=f(*)與y=f-1(*)的圖象關(guān)于直線y=*對(duì)稱，y=*向左平移一個(gè)單位而得y=*+1. 應(yīng)選B.【變式2】函數(shù)y=log2*的

9、反函數(shù)是y=f1(*)，則函數(shù)y= f1(1-*)的圖象是( ) 【答案】由y=log2*得f1(*)2*，所以y=f1(1-*)21-*， 選擇C.【變式3】2011 理7假設(shè)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則的反函數(shù)的圖象大致是 解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，值域?yàn)?，此時(shí)，其反函數(shù)單調(diào)遞減且圖象在與之間，應(yīng)選A類型四、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題7函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)求其單調(diào)增區(qū)間的反函數(shù)解：復(fù)合函數(shù)y=fg(*)的單調(diào)性與y=f(t)，t=g(*)的單調(diào)性的關(guān)系：同增異減(1)函數(shù)的定義域*|*2，又t=*2-2*=(*-1)2-1 *(-，0)，t是*的減函數(shù)而是減函數(shù)， 函數(shù)f(*)

10、在(-，0)為增函數(shù)(2)函數(shù)f(*)的增區(qū)間為(-，0)， 令，則 ， *0，總結(jié)升華：研究函數(shù)單調(diào)性首先要確定定義域；在函數(shù)的每個(gè)單調(diào)區(qū)間存在反函數(shù)，因此要注意反函數(shù)存在的條件學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)一、選擇題1.2011 全國(guó)理2函數(shù)的反函數(shù)為( )A. B. C. D. 2.函數(shù)的反函數(shù)是 A BC D3.函數(shù)的定義域是，則值域是( )AR B C D4.函數(shù)，則的定義域是( )AR B C D5.設(shè)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，其反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則等于 A3 B4 C5 D66.將函數(shù)的圖象向左平移兩個(gè)單位，再將所得圖象關(guān)于直線對(duì)稱后所得圖象的函數(shù)解析式為( )A. B. C. D.7.函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是( )A. B. C. D.8.函數(shù)y=1+a*(0a1)的反函數(shù)的圖象大致是 ( )9.函數(shù)，f(*)的反函數(shù)為，當(dāng)y0時(shí)，的圖象是10.方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為( )A0 B1 C2 D3二、填空題11.求函數(shù)的反函數(shù)=_，反函數(shù)的定義域是_，值域 是_.12.假設(shè)函數(shù)，且的反函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則_13.函數(shù)，假設(shè)此函數(shù)的最大值比最小值大1，則_.14.函數(shù)在上的最大值比最小值大1，則_.15.函數(shù)的圖象過(guò)，則函數(shù)的反函數(shù)過(guò)點(diǎn)_.三、解答題16.假設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，數(shù)的取值圍.17.求函數(shù)的反函數(shù).18.函數(shù)(1)求函數(shù)的定義域和值域；(2)求出與的圖象關(guān)于