高斯投影與高斯平面直角坐標系概述通用PPT課件

1、第三章 高斯投影及高斯平面直角坐標系13.1 地圖投影概述3.1.1 地圖投影的意義與實現(xiàn)由橢球面投影到平面,大地經(jīng)緯度B,L，與平面坐標x,y的關(guān)系因橢球面是不可展曲面,要建立一一對應的關(guān)系,必然會產(chǎn)生投影變形，控制投影變形有各種不同的方法，對應于不同的投影。23.1.2 地圖投影變形及其表述1、投影長度比、等量緯度及其表示式長度比：投影平面上微分長度與橢球面上相應微分長度之比。投影平面上微分長度：橢球面上微分長度：33.1.2 地圖投影變形及其表述上式中q為等量緯度，計算公式為 引入等量緯度后，使相同角度量的dq與dL所對應的橢球面上的弧長相同。43.1.2 地圖投影變形及其表述上式中q為

2、等量緯度，計算公式為 引入等量緯度后，使相同角度量的dq與dL所對應的橢球面上的弧長相同。53.1.2 地圖投影變形及其表述上式中q為等量緯度，計算公式為 引入等量緯度后，使相同角度量的dq與dL所對應的橢球面上的弧長相同。63.1.2 地圖投影變形及其表述引入等量緯度后，投影公式為：求微分，得：其中：l = L - L073.1.2 地圖投影變形及其表述根據(jù)微分幾何，其第一基本形式為：其中：83.1.2 地圖投影變形及其表述則，長度比公式為：將 代入上式，得：93.1.2 地圖投影變形及其表述當A=0或180 ，得經(jīng)線方向長度比：當A = 90或270 ，得緯線方向長度比： 要使長度比與方向

3、無關(guān)，只要：F = 0, E = G，則長度比可表示為：103.1.2 地圖投影變形及其表述長度比與1之差，稱為長度變形，即：vm0，投影后長度變大，反之，投影后長度變短。113.1.2 地圖投影變形及其表述2、主方向和變形橢圓主方向：在橢球面上正交的兩個方向投影到平面上后仍然正交，則這兩個方向稱為主方向。性質(zhì)：主方向投影后具有最大和最小尺度比。對照第一基本形式，得：且：123.1.2 地圖投影變形及其表述代入長度比公式，得：若使：使長度比為極值的方向：由三角公式得：133.1.2 地圖投影變形及其表述由此得，長度比極值為：將三角展開式代入得：因此，最大長度比a與最小長度比b可表示為：143.

4、1.2 地圖投影變形及其表述不難得出下列關(guān)系：153.1.2 地圖投影變形及其表述 若對應于最大和最小長度比方向在橢球面上為x軸和y軸方向，在投影面上為x1和y1方向，則有：橢球面上投影面上163.1.2 地圖投影變形及其表述3、方向變形與角度變形某方向（以主方向起始） 投影后為1，則有：由三角公式，得：顯然，當 +1 = 90或 270 時，方向變形最大173.1.2 地圖投影變形及其表述若與1表示最大變形方向，則最大變形量可表示為：顧及：解得最大變形方向為：183.1.2 地圖投影變形及其表述兩方向、所夾角的變形稱為角度變形，用表示。即： 顯然，當 +1 = 90、 + 1 = 270 或

5、 +1 = 270、 + 1 = 90 時，角度變形最大，最大角度變形可表示為：193.1.2 地圖投影變形及其表述4、面積比與面積變形 橢球面上單位圓面積為 ，投影后的面積為ab，則面積變形為：203.1.3 地圖投影的分類1、按投影變形的性質(zhì)分類 (1). 等面積投影 a b = 1 (2). 等角投影 a = b (3). 等距離投影 某一方向的長度比為1。213.1.3 地圖投影的分類2、按采用的投影面和投影方式分類(1). 方位投影 投影面與橢球面相切，切點為投影中心，按一定條件將橢球面上的物投影到平面上。223.1.3 地圖投影的分類(2). 正軸或斜、橫軸圓柱投影 正軸圓柱投影：

6、投影圓柱面與某緯線相切(切圓柱投影)、或相割(割圓柱投影) 切圓柱投影：投影圓柱面與赤道相切，緯線投影成 一組平行直線，經(jīng)線投影成與緯線正交 的另一組平行直線。 割圓柱投影：投影圓柱面與兩條對稱緯線相割，緯線 投影成一組平行直線，經(jīng)線投影成與緯 線正交的另一組平行直線。233.1.3 地圖投影的分類橫軸圓柱投影：投影圓柱面與某經(jīng)線相切。斜軸圓柱投影：用于小比例尺投影，將地球視為圓球， 投影圓柱體斜切于圓球進行投影。(3). 圓錐投影：圓錐面與橢球面相切或相割，將橢球面上 物投影到圓錐面上，展開圓錐面得投影平 面。 根據(jù)圓錐頂點位置不同，分正圓錐 投影、斜圓錐投影。243.1.3 地圖投影的分類

7、25習 題1. 給出等量緯度的定義，引入等量緯度有何作用。2. 投影變形與長度無關(guān)時應滿足哪些條件？并給出證明。3. 變形主方向有什么性質(zhì)？4. 最大方向變形與最大角度變形的方向滿足什么條件？5. 地圖投影按變形性質(zhì)分哪幾類？按投影方式分哪幾類？263.2 正形投影與高斯-克呂格投影3.2.1 正形投影的概念和投影方程 長度比與方位角無關(guān)的投影稱為正形投影，必須滿足條件E = G, F = 0，即：由第二式解得：1273.2.1 正形投影的概念和投影方程代入第一式，得：考慮到導數(shù)的方向，開方根得：再代入 式，得：123283.2.1 正形投影的概念和投影方程2 ， 式稱為Kauchi-Rima

8、nn方程，滿足該方程的復變函數(shù)為解析函數(shù)，可展開成冪級數(shù)，即有：3其反函數(shù)也是復變函數(shù)，可以寫成：293.2.2 高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)高斯-克呂格投影的條件： 1. 是正形投影 2. 中央子午線不變形303.2.2 高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)高斯投影的性質(zhì)：1. 投影后角度不變 2. 長度比與點位有關(guān)，與方向無關(guān) 3. 離中央子午線越遠變形越大 為控制投影后的長度變形，采用分帶投影的方法。常用3度帶或6度帶分帶，城市或工程控制網(wǎng)坐標可采用不按3度帶中央子午線的任意帶。313.2.2 高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)323.2.2 高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì) 中央子午線在平面上的投影是

9、x 軸，赤道的投影是 y 軸，其交點是坐標原點。x 坐標是點至赤道的垂直距離；y 坐標是點至中央子午線的垂直距離，有正負。為了避免 y 坐標出現(xiàn)負值，其名義坐標加上 500 公里。 為了區(qū)分不同投影帶中的點，在點的Y坐標值上加帶號N 所以點的橫坐標的名義值為 y = N1000000+500000+y333.3 高斯投影坐標正算和反算公式3.2.1 高斯投影正算公式赤 道因正形投影的導數(shù)與方向無關(guān)，將投影點坐標在H點展開，得：343.3.1 高斯投影正算公式 因此，高斯投影級數(shù)展開式可表示為：其各階導數(shù)為：353.3.1 高斯投影正算公式 將導數(shù)代入展開式，虛實分開后，得到高斯投影正算公式如下

10、：363.3.1 高斯投影正算公式為便于編程計算，可將正算公式改寫成如下形式：373.3.2 高斯投影反算公式 在中央子午線投影成的x軸上取點 Xf = x，該點稱為底點，用子午弧長反算公式求得底點的緯度 Bf 和相應的等量緯度qf ，以底點為展開點進行級數(shù)展開，得：383.3.2 高斯投影反算公式相應的各階導數(shù)為：393.3.2 高斯投影反算公式代入級數(shù)展開式，虛實分開得：4403.3.2 高斯投影反算公式將大地緯度展開成等量緯度的級數(shù)式其中：5413.3.2 高斯投影反算公式由 式，得：4代入 式，得：5423.3.2 高斯投影反算公式將各系數(shù)代入上式，得緯度 B 的反算公式：433.3.

11、2 高斯投影反算公式為便于編程計算，可將反算公式改寫成如下形式：443.3.2 高斯投影反算公式 利用高斯投影的正反算公式，亦可進行不同投影帶坐標的換帶計算。其計算步驟如下： 1. 根據(jù)高斯投影坐標 x, y，反算得緯度B和經(jīng)度差l； 2. 由中央子午線的經(jīng)度L0, 求得經(jīng)度 L = L0 +l； 3. 根據(jù)換帶后新的中央子午線經(jīng)度L0 ，計算相應的經(jīng)差： 4. 由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐標 x，y。45習 題1. 高斯投影的條件是什么？2. 簡述高斯投影投影正算公式的推導；3. 已知某點的坐標：B = 290405.3373 L = 1211033.2012 計算：1). 該點的3

12、帶和6 帶帶號； 2). 該點的3 帶高斯投影坐標并反 算檢核；463.4 平面子午線收斂角和長度比3.4.1 平面子午線收斂角的計算公式平行圈子午線沿平行圈緯度不變，求微分得：473.4.1 平面子午線收斂角的計算公式對高斯投影公式求偏導數(shù)，得：483.4.1 平面子午線收斂角的計算公式代入上式，得：將 展開成 tg 的級數(shù)，得：493.4.1 平面子午線收斂角的計算公式 由此可見， 是經(jīng)差的奇函數(shù)，在 x 軸為對稱軸，東側(cè)為正，西側(cè)為負。 子午線收斂角在赤道為0，在兩極等于經(jīng)差 l，其余點上均小于經(jīng)差 l 。503.4.1 平面子午線收斂角的計算公式子午線收斂角也可以表示成高斯平面坐標的級

13、數(shù)展開式。平行圈L =常數(shù)L+dl = 常數(shù)P點沿與y軸平行方問微分變動到P點，子午線收斂角可表示為：沿y坐標的微分，得：513.4.1 平面子午線收斂角的計算公式代入子午線收斂角公式，得：由高斯投影反算公式求出偏導數(shù)，得：523.4.1 平面子午線收斂角的計算公式代入上式子午線收斂角計算公式，得：將 展開成 tg 的級數(shù)，得：533.4.2 長度比計算公式由高斯投影長度比的定義式，得：將前面的偏導數(shù)代入上式，得：開方后得出以大地坐標表示的長度比公式：543.4.2 長度比計算公式 為給出由高斯投影坐標表示的長度比公式，反解高斯投影的 y 坐標正算公式，得：對上式求平方和四次方，得：553.4

14、.2 長度比計算公式代入用大地坐標表示的長度比公式，得：顧及：代入上式，得：可見，長度比是y坐標的偶函數(shù)，且只與y坐標有關(guān)。563.5 高斯投影距離與方向改化以及坐標方位角3.5.1 高斯投影的距離改化 橢球面上的大地線投影到高斯平面上為曲線，與平面上兩點相連的直線相比， 其微分線段間的差異極小，可表示為：其中：573.5.1 高斯投影的距離改化此弧線與直線間的最大偏角即為方向投影改化，本為二次小項,故此相對長度差異僅為4次項,相對于距離測量的最高精度亦可忽略,因此可認為： 用辛卜生公式數(shù)值積分得：583.5.1 高斯投影的距離改化將長度比公式代入上式，得：593.5.1 高斯投影的距離改化距

15、離改化S可表示為：其中： 在城市及工程應用中測邊離中央子午線不會超過45公里，則距離改化公式可進一步簡化為：603.5.2 高斯投影方向改化1、高斯投影曲線的形狀 高斯投影曲線的形狀向 x 軸彎曲，并向兩極收斂。613.5.2 高斯投影方向改化2、高斯投影方向改化保角投影前后角度相同，即：623.5.2 高斯投影方向改化將球面角超計算公式代入上式，得： 因方向值順時針方向增加，考慮其正負號后，方向改化公式可表示如下： 上式具有0.1 的計算精度，適用于三、四等控制網(wǎng)的方向改化計算。改化公式中的曲率半徑可足夠近似地取6370km633.5.3 坐標方位角和大地方位角的關(guān)系式A12T1264習 題

16、1. 已知某點的坐標：B = 290405.3373 L = 1211033.2012 計算：1). 該點的3 帶高斯投影后的中央子午 線收斂角； 2). 該點的3 帶高斯投影的長度比。2. 已知起始點坐標：x3 = 3239387.624 m y3 = 40446822.368m 起始平面方位角T31=1923708.51， 距離S31=7619.245m，各方向觀測值如下： 13：00000.00 23：00000.00 31： 00000.00 12：2571747.71 21：395112.50 32：372636.65 將上述邊長和方向歸算到高斯平面上。312653.6 通用橫軸墨卡

17、托投影3.6.1 墨卡托投影 墨卡托投影為等角割圓柱投影，圓柱與橢球面相割于B0的兩條緯線，投影后不變形。特性：等角航線在投影平面上為直線。因此，該投影便于在航海中應用。663.6.2 通用橫軸墨卡托投影 簡稱為UTM，與高斯投影相比，僅僅是中央子午線的尺度比為0.9996，其投影公式如下：673.6.2 通用橫軸墨卡托投影長度比和子午線收斂角計算公式。683.6.2 通用橫軸墨卡托投影通用橫軸墨卡托投影的反算步驟：1. 先由通用橫軸墨卡托投影坐標計算高斯投影坐標； 2. 再利用高斯投影反算公式，計算大地緯度和經(jīng)度。693.6.2 通用橫軸墨卡托投影與高斯投影的比較703.7 局部區(qū)域中的高斯投影及其相應的區(qū)域性橢球 局部區(qū)域中常采用地方獨立坐標系，其高斯坐標以往并非由經(jīng)緯度求得，而是直接將邊長投影到邊長歸算的高程基準面（投影面）, 再選定過測區(qū)中心附近的坐標縱軸，計算高斯投影邊長和方向