2022屆河北省博野縣高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者，有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明，如“費馬大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容

2、是：對于每一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則將它乘以再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以；如此循環(huán)，最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個程序框圖.若輸入的值為，則輸出i的值為（ ）ABCD2已知為等腰直角三角形，為所在平面內(nèi)一點，且，則（ ）ABCD3已知雙曲線的右焦點為，過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，延長交右支于點，若，則雙曲線的離心率是（ ）ABCD4在我國傳統(tǒng)文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五個物質(zhì)類別，在五者之間，有一種“相生”的關(guān)系，具體是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個，這二者具有相生關(guān)系的概率是（ ）A0.2B0.5C0.4D0.8

3、5要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）A向右平移個單位B向右平移個單位C向左平移個單位D向左平移個單位6我國南北朝時的數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問各得金幾何？”則在該問題中，等級較高的二等人所得黃金比等級較低的九等人所得黃金（ ）A多1斤B少1斤C多斤D少斤7 若x,y滿足約束條件的取值范圍是A0,6B0,4C6, D4, 8若滿足約束條件則的最大值為（ ）A10B8C5D39如下的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”執(zhí)行該程序框圖，

4、若輸入的a，b分別為176，320，則輸出的a為（ ）A16B18C20D1510下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ）ABC D11設(shè)是虛數(shù)單位，則（ ）ABCD12已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為（ ）A10B9C7D1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a值范圍為_.14已知雙曲線(a0，b0)的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_15已知一組數(shù)據(jù)1.6，1.8，2，2.2，2.4，則該組數(shù)據(jù)的方差是_16已知拋物線的焦點為，斜率為2的直線與的交點為，若，則直線的方程為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）

5、某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買每滿元的商品即可抽獎一次.抽獎規(guī)則如下：抽獎?wù)邤S各面標有點數(shù)的正方體骰子次，若擲得點數(shù)大于，則可繼續(xù)在抽獎箱中抽獎；否則獲得三等獎，結(jié)束抽獎，已知抽獎箱中裝有個紅球與個白球，抽獎?wù)邚南渲腥我饷鰝€球，若個球均為紅球，則獲得一等獎，若個球為個紅球和個白球，則獲得二等獎，否則，獲得三等獎（抽獎箱中的所有小球，除顏色外均相同）.若，求顧客參加一次抽獎活動獲得三等獎的概率；若一等獎可獲獎金元，二等獎可獲獎金元，三等獎可獲獎金元，記顧客一次抽獎所獲得的獎金為，若商場希望的數(shù)學(xué)期望不超過元，求的最小值.18（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的中心為坐標原點焦點在軸上，右

6、頂點到右焦點的距離與它到右準線的距離之比為（1）求橢圓的標準方程；（2）若是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩點，設(shè)，連接交橢圓于另一點求證：直線過定點并求出點的坐標；（3）在（2）的條件下，過點的直線交橢圓于兩點，求的取值范圍19（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）時，若對一切恒成立，求a的取值范圍.20（12分）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，（1）若，求不等式的解集；（2）證明：對任意的，恒有.21（12分）已知正項數(shù)列的前項和.（1）若數(shù)列為等比數(shù)列，求數(shù)列的公比的值；（2）設(shè)正項數(shù)列的前項和為，若，且.求數(shù)列的通項公式；求證：.22（10分）已知（1）若的解集為，求的值；（2）若對任意

7、，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步，即可得出輸出結(jié)果.【詳解】輸入，不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)不成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；成立，跳出循環(huán)，輸出i的值為.故選：B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2D【解析】以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標系，結(jié)合向量的坐標運算，可求得點的坐標，進而求得，由平面向量的數(shù)量積

8、可得答案.【詳解】如圖建系，則，由，易得，則.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的運用、數(shù)量積的運算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.3D【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，設(shè)，則，和中，利用勾股定理計算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，設(shè)，則，根據(jù)對稱性知四邊形為矩形，中：，即，解得；中：，即，故，故.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.4B【解析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個，所有可能的方法為：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火

9、土，共種，其中由相生關(guān)系的有金水、木水、木火、火土、金土，共種，所以所求的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查古典概型的計算，屬于基礎(chǔ)題.5D【解析】直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可；【詳解】解：函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位故選：D【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題6C【解析】設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列 則 由等差數(shù)列的性質(zhì)得 ，故選C7D【解析】解：x、y滿足約束條件，表示的可行域如圖：目標函數(shù)z=x+2y經(jīng)過C點時，函數(shù)取得最小值，由解得C（2，1），目標函數(shù)的最小值為：4目標函數(shù)的范圍是4，+）故選D8

10、D【解析】畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標函數(shù),即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當(dāng)直線過時,直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為 的形式,在可行域內(nèi)通過平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時,邊界線的虛實問題.9A【解析】根據(jù)題意可知最后計算的結(jié)果為的最大公約數(shù).【詳解】輸入的a，b分別為,根據(jù)流程圖可知最后計算的結(jié)果為的最大公約數(shù)，按流程圖計算,易得176和320的最大公約數(shù)為16，故選:A.【點睛

11、】本題考查的是利用更相減損術(shù)求兩個數(shù)的最大公約數(shù),難度較易.10C【解析】由每個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到本題答案.【詳解】因為函數(shù)和在遞增，而在遞減.故選：C【點睛】本題主要考查常見簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬基礎(chǔ)題.11A【解析】利用復(fù)數(shù)的乘法運算可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12B【解析】根據(jù)分段函數(shù)表達式，先求得的值，然后結(jié)合的奇偶性，求得的值.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，.故選：B【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值，考查數(shù)形結(jié)合思想.意在考查學(xué)生的運算能力，分析問題、解決問題的能力.二、填空

12、題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由在上恒成立可求解【詳解】，令，又，從而，令，問題等價于在時恒成立，解得故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，解題關(guān)鍵是問題轉(zhuǎn)化為恒成立，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)易求解14【解析】根據(jù)題意，由雙曲線的漸近線方程可得，即a2b，進而由雙曲線的幾何性質(zhì)可得cb，由雙曲線的離心率公式計算可得答案【詳解】根據(jù)題意，雙曲線的漸近線方程為yx，又由該雙曲線的一條漸近線方程為x2y0，即yx，則有，即a2b，則cb，則該雙曲線的離心率e；故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是分析a、b之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題150.08【解析】先求解這組數(shù)據(jù)

13、的平均數(shù)，然后利用方差的公式可得結(jié)果.【詳解】首先求得，故答案為：0.08.【點睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的方差，明確方差的計算公式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).16【解析】設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，得到A，B點橫坐標的關(guān)系式，代入到中，解出t的值，即可求得直線l的方程【詳解】設(shè)直線由題設(shè)得，故，由題設(shè)可得由可得，則，從而，得，所以l的方程為,故答案為：【點睛】本題主要考查了直線的方程，拋物線的定義，拋物線的簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17；.【解析】設(shè)顧客獲得三等獎為事件，因為顧客擲

14、得點數(shù)大于的概率為，顧客擲得點數(shù)小于，然后抽將得三等獎的概率為，求出；由題意可知，隨機變量的可能取值為，相應(yīng)求出概率，求出期望，化簡得，由題意可知，即，求出的最小值.【詳解】設(shè)顧客獲得三等獎為事件，因為顧客擲得點數(shù)大于的概率為，顧客擲得點數(shù)小于，然后抽將得三等獎的概率為，所以；由題意可知，隨機變量的可能取值為， 且，所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望，化簡得，由題意可知，即，化簡得，因為，解得，即的最小值為.【點睛】本題主要考查概率和期望的求法，屬于?？碱}.18（1）；（2）證明詳見解析，；（3）.【解析】(1)根據(jù)題意列出關(guān)于的等式求解即可.(2)先根據(jù)對稱性,直線過的定點一定在軸上,再設(shè)直線的方程為,

15、聯(lián)立直線與橢圓的方程, 進而求得的方程,并代入,化簡分析即可.(3)先分析過點的直線斜率不存在時的值,再分析存在時,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得出韋達定理再代入求解出關(guān)于的解析式,再求解范圍即可.【詳解】解：設(shè)橢圓的標準方程焦距為,由題意得,由,可得則,所以橢圓的標準方程為；證明：根據(jù)對稱性,直線過的定點一定在軸上,由題意可知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消去得到,設(shè)點,則所以,所以的方程為,令得,將,代入上式并整理,整理得,所以,直線與軸相交于定點當(dāng)過點的直線的斜率不存在時,直線的方程為,此時,當(dāng)過點的直線斜率存在時,設(shè)直線的方程為,且在橢圓上,聯(lián)立方程組,消去,整理得,

16、則所以所以,所以,由得,綜上可得,的取值范圍是【點睛】本題主要考查了橢圓的基本量求解以及定值和范圍的問題,需要分析直線的斜率是否存在的情況,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據(jù)韋達定理以及所求的解析式,結(jié)合參數(shù)的范圍進行求解.屬于難題.19（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為 ；（2） 【解析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可求出.（2）解法一：分類討論：當(dāng)時，觀察式子可得恒成立；當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，可知；當(dāng)時，令，由，根據(jù)零點存在性定理可得，進而可得在上，單調(diào)遞減，即不滿足題意；解法二：通過分離參數(shù)可知條件等價于恒成立，進而記，問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值問題，通過二次求導(dǎo)，結(jié)合洛

17、比達法則計算可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)，令，解得，當(dāng)時，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解法一：當(dāng)時，函數(shù)，若時，此時對任意都有， 所以恒成立；若時，對任意都有，所以，所以在上為增函數(shù)，所以，即時滿足題意；若時，令，則，所以在上單調(diào)遞增，可知，一定存在使得，且當(dāng)時，所以在上，單調(diào)遞減，從而有時，不滿足題意；綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為. 解法二：當(dāng)時，函數(shù)，又當(dāng)時，對一切恒成立等價于恒成立，記，其中，則，令，則，在上單調(diào)遞增，恒成立，從而在上單調(diào)遞增，由洛比達法則可知，解得. 實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與不等式恒成立問題，考查了分類與整合的解題思想，涉

18、及分離參數(shù)法等技巧、涉及到洛比達法則等知識，注意解題方法的積累，屬于難題.20（1） （2）證明見解析【解析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性解函數(shù)型不等式；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷在區(qū)間上單調(diào)遞減，結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】（1）若，則.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，所以所以在上單調(diào)遞增，又，所以不等式的解集為.（2）設(shè)，再令，在上單調(diào)遞減，又，.即【點睛】本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性來解決不等式問題，屬于較難題.21（1）；（2）；詳見解析.【解析】（1）依題意可表示，相減得，由等比數(shù)列通項公式轉(zhuǎn)化為首項與公比，解得答案，并由其都是正項數(shù)列舍根； （2）由題意可表示，兩式相減得，由其都是正項并整理可得遞推關(guān)系，由等差數(shù)列的通項公式即可得答案；由已知關(guān)系，表示并相減即可表示遞推關(guān)系，顯然當(dāng)時，成立，當(dāng)，時，表示，由分組求和與正項數(shù)列性質(zhì)放縮不等式得證.【詳解】解：（1）依題意可得，兩式相減，得，所以，因為，所以，且，解得.（2）因為，所以，兩式相減，得，即.因為，所以，即.而當(dāng)時，可得，故，所以對任意的正整數(shù)都成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，首項為1，所以數(shù)列的通項公式為.因為，所以，兩式相減，得，即，所以對任意的正整數(shù)，都有.令，而當(dāng)時，顯然