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文檔簡介

1、1微積分2回憶:一、內(nèi)積 3定義內(nèi)積，推廣到n維向量空間記作若 為行向量，42. 內(nèi)積運算規(guī)律定義了內(nèi)積的向量空間稱為歐氏空間.5對稱性線性性非負性推廣63. 長度 （或稱為模(長)，或范數(shù))(2) 單位向量 若則對任一非零向量可將其單位化:7為了引入夾角的概念4. 定理 Cauchy-Schwarz(柯西施瓦茲)不等式證8910則稱向量與向量正交.勾股定理（2）零向量與任何向量都正交.5. 夾角注（1）零向量與一個向量的夾角可以取 的任意值11解例12二 、標準正交基 1. 正交向量組若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組注意 :正交向量組的每個向量均要求非零.13例 設(shè)

2、A 是 n 階反對稱矩陣，x 是 n 維列向量，且 Ax=y , 證明：x 與 y 正交 . 證反對稱矩陣即證內(nèi)積為零14正交向量組的性質(zhì)證明定理:15反之不對：線性無關(guān)向量組未必是正交向量組。定理:16解例解之得17 2. 標準正交向量組 18線性無關(guān)向量組不一定是標準正交向量組但是任一線性無關(guān)向量組都可標準正交化 .19 將一組線性無關(guān)的向量化為與之等價的標準正交向量組的方法三、施密特正交化方法利用施密特正交化方法，20設(shè)向量 是線性無關(guān)的.第一步:取第二步:取第三步:?。?）正交化21第三步:取22得非零正交向量組:此方法稱為施密特正交化方法（2）單位化，取23（1）正交化，取 ，一般地

3、24（2）單位化，取25例 用施密特正交化方法，將下列向量組標準正交化解 先正交化，取26再單位化，得標準正交向量組如下27解練一練28單位化29解取兩個線性無關(guān)的解：例30把其正交化：31定義性質(zhì)(2)正交矩陣是可逆矩陣，且四、正交矩陣32證明定理 A為正交矩陣的充要條件是A的行(列)向量組都是標準正交向量組當且僅當A的行(列)向量組都是標準正交向量組設(shè)A按行分塊一般的：33解 （1）所以它不是正交矩陣考察矩陣的第一列和第二列，由于例 判別下列矩陣是否為正交陣34所以它是正交矩陣或35解練一練36求與都正交的全部向量解問題化為解方程組例37問題化為解方程組解為求與都正交的全部向量38求與都正交的單位向量例39練一練分析40 證41 例 設(shè) A 是奇數(shù)階正交矩陣, 且 detA=1 .證明 ： 1 是 A 的特征值 .證或分析所以1 是 A 的特征值 .42小 結(jié)1. 內(nèi)積2. 長度 3. 夾角434將一組基標準正交化的方法： 先用施密特正交化方法將基正交化，然后再將其單位化

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