代數(shù)(equation)

1、代數(shù)Use letter symbols and distinguish their different roles in algebra 7年級Use, read and write, spelling correctly: algebra, unknown, symbol, variable equals brackets evaluate, simplify, substitute, solve term, expression, equation squared commutative強調(diào)未知數(shù)的思想, 會解下面這類問題: 5+=173-5=7如果+=4, 那么,可以是哪些數(shù)?兩個數(shù)的

2、積是24, 這兩個數(shù)是多少?知道在代數(shù)中, 通常用字母表示一個數(shù), 并開始區(qū)分字母的不同用處. 如:在方程3n+2=11中, n是一個特別的未知數(shù), 而在a+b=12中, a和b可以取許多不同的值.認識代數(shù)規(guī)則, 如:3n或者n3可以看作是 “3個n”, 或者n+n+n, 并且可以縮寫為3n;在表達式3n中, n可以取任意的值, 但如果表達式的值已知, 那么就形成了一個方程. 例如, 如果3n是18, 那么對應(yīng)的方程就是3n=18.恰當(dāng)而正確地運用方程符號.知道: 如果a=b, 那么b=a; a+b=c可以寫成c=a+b; 等在寫運算步驟時, 避免如下的錯誤: 38+29=38+30=68-1

3、=67根據(jù)的背景的意義, 用字母符號寫出表達式:一個數(shù)加7: n+7一個數(shù)減4: n-44減去一個數(shù): 4-n一個數(shù)乘以2再加上5: (n2)+5 或者2n+5一個數(shù)除以2: n2, 或者n/2一個數(shù)加7再乘以10: (n+7) 10, 或者10(n+7)一個數(shù)乘以它自己: nn, 或者n2.理解下列表達式的差異: 2n和n2, 3(c+5)和3c+5, n2和2n, 2n2和(2n)2.8年級Use vocabulary from previous year and extend to: algebraic expression, formula, function partition, m

4、ultiply out cubed, to the power ofKnow that an algebraic expression is formed from letter symbols and numbers, combined withoperation signs such as +, , , ( ), and /.在不同形式上運用符號, 并能夠區(qū)分符號的不同意義. 如:在方程 4x+3=47中, x是一個特殊的未知數(shù);在公式V=IR中, V,I和R是和這個公式有關(guān)的變量; 在這個公式中, 知道了其中兩個變量的值, 就可以計算第三個變量的值;在函數(shù)y=3x-4中, 對于任意的一個

5、x的值, 都可以計算相應(yīng)的y的值.知道乘除法在代數(shù)式中的表示法. 如:2n可以寫成2n;pq可以寫成pq;a(b+c)可以寫成a(b+c);(x+y) z可以寫成.恰當(dāng)和正確地使用等號.知道符號 “=”表示相等.避免錯誤地使用等號, 如56+37=56+30=86+7=93.避免只是用等號表示最后的結(jié)果, 如32+7=13.開始擴展等號的意義, 包括兩邊都有代數(shù)式的方程. 如認識不同形式的方程, 如 a+b=c+d, 8=15-x可以寫成c+d=a+b和15-x=8.知道類似2a+2的表達式和2(a+1)永遠有相同的值.9年級Use vocabulary from previous years

6、 and extend to: identity, identically equal, inequality subject of theformula common factor, factorise index law linear, quadratic, cubic and the identity sign ).解釋方程,公式和函數(shù)的區(qū)別. 如在方程5x+4=2x-34中, x是一個特定的未知數(shù);在公式v=u+at中, v, u a和t是與這個公式相關(guān)的變量. 一旦知道其中的三個變量的值, 那么就可以計算第四個變量的值.在函數(shù)y=8x+11中, 對于x的任意一個給定的值, 都可以計算

7、y的值.知道不等式和排序是關(guān)于兩個表達式大小的命題. 如x1表示x比1小或者等于1;x2表示x比2大或者等于2.知道恒等式的意義及其相應(yīng)的符號 “”, 如4(a+1) 4a+4是恒等式, 因為4(a+1) 和4a+4對于任意的a總是有相同的值.7年級Know that algebraic operations follow the same conventions and order as arithmetic operations; use index notation and the index lawsBegin to generalise from arithmetic that mu

8、ltiplication anddivision have precedence over addition and subtraction.和算術(shù)一樣, 在一個代數(shù)式中, 乘除法總是優(yōu)先于加減法. 如在2+5a中, 應(yīng)該先算的是乘法.知道在代數(shù)中, 交換律和結(jié)合律仍然成立. 如(略)知道加法和減法是互為逆運算, 乘法和除法也是互為逆運算. 如運算 “乘5加6”的逆運算是 “減6除5”.有一個數(shù), 乘以6再加上4, 等于24. 這個數(shù)是多少?8年級Recognise that algebraic operations follow the same conventions and order

9、as arithmetic operations.知道運算的優(yōu)先級: 先口號, 后乘除, 再加減. 如知道小的正數(shù)指數(shù)的意義. 如nn, nnn, nnnn分別可以寫成n2, n3, n4.化簡: 2x2+3x2, n2n3, p3p2.理解和運用逆運算. 如下面表示的是同一個方程:a+b=c, b+a=c, c-a=b, c-b=a;ab=c, ba=c, b=c/a, a=c/b.利用圖形表示關(guān)系. 如可將關(guān)系式 y=2r+w, w=y-2r, r=(y-w)/2表示成:學(xué)會運用逆運算. 例: 如果m/4-7=n, 則m=4(n+7). 并利用電子數(shù)據(jù)表驗證這一結(jié)果.9年級Apply si

10、mple instances of the index laws for multiplication and division of small integer powers.指數(shù)運算律的簡單運用. 如n2n3=n2+3=n5;p3p2=p3-2=p在正整數(shù)指數(shù)的運算中會用指數(shù)運算律的一般形式. 如papb = pa+b papb = pa-b (pa)b = pab7年級Simplify or transform algebraic expressionsSimplify linear expressions by collecting like terms; begin to multi

11、ply a single term over a bracket.通過拆分一個數(shù)字, 可將一個乘法分解為一系列的步驟. 如可將38拆分為30+8, 由此387=(30+8) 7=307+87 30 8 7 210 56并能將上述結(jié)果一般化:(a+b) c = ac + bc = ac + bc知道在一個問題中, 字母表示的是一個數(shù).化簡代數(shù)式: a+a+a = 3a; 3n+2n = 5n; x+6+2x = 3x+6; 3(n+2) = 3n+6; 2a/a = 2; 在下面的 “金字塔”中, 每個方框中的數(shù)都是它下面兩個數(shù)的和. 用最簡單的形式寫出最上面的方框中的數(shù); ? m+n n+p

12、m n p下面是一些代數(shù)卡: n2 2+n n+2 n2 n 2n n-2 n+n n3 2n-n哪張卡的結(jié)果和n/2一樣?哪張卡總是等于nn?哪兩張卡總是等于2n?哪三張卡的和總是等于5n?寫一張新卡使它的結(jié)果和3n+2n相同.畫一個圖形使它的周長等于6x+12.編一個問題, 使它的答案是3a+5b.7年級Simplify or transform expressions by taking out single-term common factors.理解分配律的一般形式及應(yīng)用.知道在一個問題中, 字母表示一個數(shù).化簡: 3a+2b+2a-b;4x+7+3x-3-x;3(x+5);12-(

13、n-3);m(n-p);4(a+2b)-2(2a+b).用不同的形式寫出下圖中所有線段的和, 并化簡. a b在幻方中, 各行各列及對角線上的數(shù)字之和都相等. 證明下面的圖形是一個幻方. m-p m+p-q m+q m+p+q m m-p-q m-q m-p+q m+p下面方框中的數(shù)均是其下面的兩和數(shù)的和. 求出?所表示的數(shù). ? 3t+6u 2u-3t ? 2u -3t8年級Simplify or transform linear expressions by collecting like terms; multiply a single term over a bracket.化簡:3(

14、x-2)-2(4-3x);*(n+1)2-(n+1)+1因式分解:3a+6b=3(a+2b);x3+x2+2x=x(x2+x+2).用最簡單的形式寫出下圖中問好表示的代數(shù)式: 3b+1 2a+2 5a+4 ? b ?一個矩形的面積是2x2+4x, 它的長寬分別可以是多少? 如果一個矩形的周長是2x2+4x呢?證明三個連續(xù)整數(shù)的和一定是3的倍數(shù).設(shè)這三個整數(shù)分別是n, n+1和n+2則 和=n+(n+1)+(n+2) =3n+3 =3(n+1), 這是3的倍數(shù).想一個數(shù), 將它乘以3, 加上15, 再除以3, 減去5, 記下所得的結(jié)果. 然后, 重新再試一個數(shù). 你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎? 用代數(shù)的方

15、法證明你的發(fā)現(xiàn).*如果x是一個整數(shù), 那么x2-x的最小值是多少? 如果x不一定是整數(shù)呢?*證明: 對于任意的整數(shù), x3-x+9一定被3整除.8年級Explore general algebraic relationships.通過用不同方式分割一個矩形, 可以得到陰影部分面積的各種等價的代數(shù)式, 并在此基礎(chǔ)上進行化簡. 如:50-2a 102(10-a)+303a+5(10-a) 2 5 a利用圖形計算器證明: 對于任意的x, 等式(x+4)-(x-1)=5恒成立.在圖形計算器上畫兩條件直線: y = x + 4和y = x 1, 并證明: 它們之間的距離恒等于5.9年級Add simpl

16、e algebraic fractions.說明下面的解法為什么是錯誤的?利用分配律計算: 5337 = (50+3)(30+7) =5030+330+507+375729 = (50+7)(30-1) =5030+730-501-71利用下面的恒等式:(a + b)( c + d ) = ac+bc+ad+bd; a b(a + b)(a + b ) = a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2 c ac bc ac+bc(a + b)(c d ) = ac+bc+ad+bd; d ad bd ad+bd(a + b)(a b ) = a2 ab + ab b2 = a2 b2 ac+

17、bc+ad+bd展開下面的代數(shù)式, 證明它們是等價的, 并通過分割所給的圖形進行說明.a2 b2 ;a( a b ) + b( a b ); b2b( a b ) + ( a b ) ( a b ); b( a + b ) ( a b ). a a如圖是由四個斜邊為c的直角三角形所圍成的圖形. 證明其內(nèi)部是一個邊長為c的正方形, 外部是一個邊長為a+b的正方形. 并利用這個圖形證明勾股定理:c2 = (a + b)2 4(1/2ab ) a b =(a2 + 2ab + b2) 2ab b c =a2 + b2. c a a c c b b a如圖, 在一個房間里鋪一塊地毯(陰影部分). 通過

18、分割矩形的方法用各種等價的代數(shù)式表示房間沒有被地毯覆蓋的部分的面積. 如:A = 2xy + b(a x ),并展開這些代數(shù)式, 以驗證它們是等價的.證明兩個奇數(shù)的積仍然是奇數(shù).在下面的圖形中, h, j, k可以是任何整數(shù). 空格中的每一個數(shù)都等于它下面兩個數(shù)的和. 證明: 最頂端空格中的數(shù)一定是偶數(shù). 并考慮: 如果j換成j+1, 或者2h換成h, 會發(fā)生什么變化? ? ? ? 2h j 2k證明: (n + 1)2 = n2 + 2n + 1. 并利用這一結(jié)果計算912, 8012.7年級Construct and solve linear equations, selecting an

19、 appropriate method Use, read and write, spelling correctly: equation, solution, unknown, solve, verify, prove, therefore ).Construct and solve simple linear equations with integer coefficients, the unknown on one side only.Choose a suitable unknown and form expressions leading to an equation. Solve

20、 the equation by using inverse operations or other mental or written methods.有一個數(shù), 減去7后等于16. 這個數(shù)是多少?50張卡片的高度是12厘米, 每張卡片有多厚?在下面的圖形中, 每一個格子中的數(shù)都等于它上面兩個數(shù)的和. 求問號表示的數(shù). 31 ? 45 ? ? 182有一個數(shù), 乘以6, 加上1, 等于37. 求這個數(shù).兩個盒子里共有26塊餅干, 第二個盒子比第一個盒子少8塊餅干. 每個盒子里各有多少塊餅干?已知一個三角形的三個內(nèi)角分別是a, a+10, a+20. 求a的值.解下面的一次方程.x+3 = 5

21、;3m = 158年級Use vocabulary from previous year and extend to: linear equationConsolidate forming and solving linear equations with an unknown on one side.Choose a suitable unknown and form expressions leading to an equation. Solve the equation by removing brackets, where appropriate, collecting like t

22、erms and using inverse operations.有376塊石頭, 堆成三堆. 其中, 第二堆比第一堆多24塊, 第三堆是第二堆的兩倍. 求每堆的石頭數(shù).在下面的圖形中, 每個方框中的數(shù)都等于同一條邊上的兩個圓圈中的數(shù)的和. 求A,B,C所表示的數(shù). A 20 18 B 28 C在馬克的下一個生日, 他的年齡的一半是16. 他現(xiàn)在有幾歲?解下列方程.5x = 7;4(b-1)+ 5(b+1) = 100;9年級Use vocabulary from previous years and extend to: inequality, region and, orConstruc

23、t and solve linear equations with negative signs anywhere in the equation, negative solutionSolve linear equations using inverse operations, by transforming both sides in the same way or by othermethods.用不同方法解決 “我想一個數(shù)”的問題, 并考慮什么方法更有效, 如逆算法等.我想一個數(shù), 加上3, 乘以4, 再加上7, 除以9, 最后再乘以15, 結(jié)果是105. 求我想的這個數(shù).杰克, 喬和

24、吉姆都是水手. 他們的船失事后漂流在一個荒島上. 三個人和一只猴子一起分享185根香蕉. 其中, 杰克比吉姆多吃了5根, 喬比吉姆多吃了3根, 猴子吃了6根. 每位水手各吃了幾根?一個矩形的長是寬的3倍, 其周長是24厘米. 求它的面積.已知矩形的面積是10平方厘米, 求x的值, 并進一步求出矩形的長和寬. 4x+2 10 x 1 在一個三角形中, B等于A的四分之三, C等于A的二分之一. 求這三個舊都的大小.解下列方程.3c 7 = - 13; 1.7m2 = 10.625;4(z + 5) = 8;4(b 1 ) 5( b + 1) = 0;7年級Construct and solve

25、linear equations, selecting an appropriate method (continued)Explore ways of constructing simple equations to express relationships, and begin to recognise equivalent statements. For example:在下面的圖形中, A, B, C, D各表示什么數(shù)時, 每條邊上的兩個圓圈中的數(shù)之和等于方框中的數(shù). 你能找到A, B, C, D之間的關(guān)系嗎? A 7 B 4 12 C 9 D8年級探究解決問題的其他途徑. 如2(x

26、+5) = 36 2(x+5) = 36 x+5 = 18 2x+10 = 36x = 13 2x = 26 x = 13理解方程的等價變形.從數(shù)字等式開始: 52 7 = 41 + 4兩邊都減4 52 7 4 = 41 然后再應(yīng)用于簡單的方程: y = x + 4 兩邊加3, 得y + 3 = x + 7 兩邊乘以2, 得2(y +3) = 2(x + 7) 兩邊減d, 得2(y +3) d = 2(x + 7) d 杰爾和馬克有同樣多的鉛筆. 杰爾有整的三盒和兩支散的, 馬克有整的兩盒和14支散的. 一整盒鉛筆有多少支?在下面的流程圖中,有兩條路徑從S出發(fā)經(jīng)過一系列運算后得到同樣的數(shù)F.

27、求S的值. S -2 5 S 2 5S 7 -4 F解方程3x + 2 = 2x + 5;5z 7 = 13 3z;4(n + 3) = 6(n 1 ).9年級Form linear equations (unknown on both sides) and solve them by transforming both sides in the same way. For example:一個數(shù)乘以2再加上5所得的結(jié)果與23減去這個數(shù)所得的結(jié)果相同. 求這個數(shù).約翰和珍尼共有250元錢, 約翰給了珍尼50元錢后, 剩下的錢是珍尼的四倍. 約翰原有多少錢?母親和女兒的年齡的和是46, 三年以后

28、, 母親的年齡將是女兒的年齡的三倍. 女兒現(xiàn)在是幾歲?解方程.7(s+3) = 45 3 (12 s );3(2a 1 ) = 5(4a 1 ) 4 (3a 2 );* 2(m 0.3 ) 3 (m 1.3 ) = 4(3m + 3.1);*.Solve a pair of simultaneous linear equations9年級Solve a pair of simultaneous linear equations by eliminating one variable.Know that simultaneous equations are true at the same ti

29、me and are satisfied by the same values ofthe unknowns involved, and that linear simultaneous equations may be solved in a variety of ways.代入法解方程組.已知x, y滿足方程5x + y = 49和y = 2x, 求x, y, 并寫出另一個x, y所滿足的方程.解方程組 解方程組 用加減法解方程組. 圖像法(坐標系和圖像計算器)解方程組及用代數(shù)法檢驗.方程組的應(yīng)用.5年后, 父親的年齡是兒子的2倍, 13年后, 父親和兒子的年齡之和正好是100. 求兒子的

30、年齡;一植物園計劃在一定天數(shù)內(nèi)種植一定數(shù)量的樹苗. 如果每天種植240棵, 那么將比預(yù)定計劃少種400棵; 如果每天種植280棵, 那么將比預(yù)定計劃多種200棵. 問: 該植物園在多少天內(nèi)種植多少樹苗?構(gòu)造一個實際問題, 使得其中的變量x, y滿足下面的方程組 Solve linear inequalities in one variable, and represent the solution set on a number line; begin to solve inequalities in two variables9年級解一元不等式, 并將結(jié)果在數(shù)軸上表示出來.求滿足不等式 8

31、2n10的整數(shù)解.求滿足2q 7的所有整數(shù).在數(shù)軸上表示 2 z 3.解不等式組 , 并用數(shù)軸表示結(jié)果.解二元不等式組.用三個不等式表示下面坐標系中的陰影部分. x = 2 x = 4 y y = x 4 y = 4 2 y = 2 O 2 4 x圖中陰影部分的邊界是y = 2和y = x2. 在下面的不等式中, 哪兩個組成的不等式組表示圖中的陰影部分? y y = 2 y x2 x0 y2 y 0 y 2 y0 y = x2 O xUse systematic trial and improvement methods and ICT tools to find solutions, or

32、approximate solutions, to non-linear equations9年級用代數(shù)法解下面的非線性方程.c2 + 24 = 60;x2 5 = 220;.利用試誤, 逼近和ICT工具求方程的近似解.解下列方程, 并將結(jié)果精確到兩位小數(shù).S3 = 30; z3 z = 70; a3 + a = 50; 5.5p3 = 9.504三個連續(xù)奇數(shù)的積205143, 求這三個數(shù).一個長方體的橫截面是邊長為x厘米的正方形, 高為20厘米. 求x(精確到一位小數(shù)).方程和近似解的應(yīng)用.將一個邊長為20厘米的正方形剪去四個角后, 折成一個無蓋的盒子. 問如何裁減才能使得到的盒子的容積最大

33、(利用圖像計算器求近似解). 一個矩形的一條邊是y, 面積是 y(y + 2) = 67.89. 求y的值. 提示: 利用下面的表格:yy+2y(y+2)81080太大根據(jù)方程y = x3 x 10 完成下面的表, 并求方程x3 x 10 = 0在2和3之間的一個近似解.Set up and use equations to solve word and other problems involving direct proportion8年級Begin to use graphs and set up equations to solve simple problems involving

34、direct proportion.討論正比例的實際例子.英鎊和歐元的比值;公里和英里的比;一個學(xué)生從家里去學(xué)校的步行速度是每2分鐘走200米. 求他在下面的時間內(nèi)的步行的路程.(1) 12分鐘 (2) 7分鐘9年級Solve problems involving proportion using algebraic methods, relating algebraic solutions to graphical representations of the equations. For example:下面的表中給出了x, y的一些對應(yīng)值.x123456y3.5710.51417.521

35、在上面的表格中, x和y的對應(yīng)值的比都是相等的: 這時候, 我們稱x和y成正比.x和y的正比例關(guān)系可用代數(shù)式y(tǒng) = 3.5x表示;x和y的正比例關(guān)系在坐標系中可用一條直線表示.利用代數(shù)方法解決下面的問題.綠色的涂料可用11份的藍色涂料和4份的黃色涂料配制而成. 要混合70升的黃色涂料, 需要多少升的藍色涂料?聯(lián)系科學(xué)中的問題: 欣賞從實驗中得到的數(shù)據(jù).7年級Use formulae from mathematics and other subjectsSubstitute positive integers into simple linear expressions.在下面各式中代入正整數(shù)值

36、.x + y z ; 2(8 x );x/2 6 ; 用特殊值驗證下面各式的正確性.a+a+a = 3a;6n/2 = 3n;3(n+2) = 3n+6; 利用圖像計算器求一個代數(shù)式的值.如果n是一個整數(shù), 那么下面各式表示一組連續(xù)的奇數(shù): 2n+1, 2n+3, 2n+5, 2n+7, 2n+9. 當(dāng)n是多少時, 上述數(shù)列等于9,11,13,15,17?表達式3s+1表示擺出s個正方形所需要的火柴棒的數(shù)量. 要擺出13個正方形, 需要多少根火柴棒?8年級Substitute positive and negative numbers into linear expressions and e

37、xpressions involving powers.當(dāng)a = 4時, 求下列代數(shù)式的值.3a2 + 4 2a2.當(dāng)x = 2.5時, 求下列代數(shù)式的值.4x + 3 2 3x 7(x 1 ).當(dāng)x = - 3 時, 求下列代數(shù)式的值. 利用短的計算機程序求一個代數(shù)式的值(略).一個n邊形的對角線的數(shù)目是 . 求20邊形的對角線的數(shù)目.在下面的幻方嘗試代入不同的值. 當(dāng)代入的9個數(shù)恰好是1-9時, 求m, p, q的值. m p m + p q m + q m + p +q m m p q m q m p + q m + p9年級Substitute positive and negativ

38、e numbers into linear expressions and positive integers into simple expressions involving powers.當(dāng)x = - 3 和0.1時, 分別求下面代數(shù)式的值.3x2 + 4 4x3 2x 當(dāng)p = 10時, 求下面各式的值.下面是用火柴棒擺成的一個三角形圖形. 如果在圖形中有R排三角形, 那么需要的火柴棒是 (3R2 + 3R)/2根. 現(xiàn)在要擺17排三角形, 需要多少根火柴?*已知球的體積公式是, 其中球的d直徑. 現(xiàn)在要用泥巴做成一個直徑是3.6厘米的球, 需要多少泥巴(精確到你認為合適的數(shù)位).*當(dāng)

39、s = 1.7, t = 0.9時, 求下面兩個代數(shù)式的值.7年級Explain the meaning of and substitute integers into formulae expressed in words, or partly in words, such as:解釋用文字表示的公式的含義, 如:天數(shù) = 周數(shù)乘以7;便士數(shù) = 英鎊數(shù)100;各種公式的進一步求值. 如將厘米化成米: m = c/100;8年級Explain the meaning of and substitute numbers into formulae such as:公式的求值. 如三維分別為l, b, h的長方體的體積是: V = lbh.三維分別為w, d, h的長方體的表面積是: S = 2dw + 2dh + 2hw.在