第十二章投資組合優(yōu)化1ppt課件

1、第十二章 投資組合優(yōu)化 .Outline矩陣求導(dǎo)簡(jiǎn)介優(yōu)化知識(shí)允許賣空情況下的投資組合優(yōu)化不允許賣空情況下的投資組合優(yōu)化.矩陣求導(dǎo)的有關(guān)知識(shí).數(shù)對(duì)向量求一階導(dǎo)假設(shè)X為列向量，存在函數(shù)f(X)，其自變量為向量，因變量取值為標(biāo)量定義n階向量的一階導(dǎo)數(shù)如下： 其中Remark：scalar-valued function of a vector，又稱梯度.數(shù)對(duì)向量求二階導(dǎo)假設(shè)X為列向量，存在函數(shù)f(X)，其自變量為向量，因變量取值為標(biāo)量定義n階向量的二階導(dǎo)數(shù)如下： 其中Remark：scalar-valued function of a vector，又稱海賽矩陣，n*n方陣.例子假設(shè).Matlab實(shí)

2、現(xiàn)Syms x1 x2X=x1 x2F=2*x1+3*x1*x2Dfdx=diff(F,x1);diff(F,x2)g1=jacobian(Dfdx,X).向量對(duì)向量求一階導(dǎo)數(shù)假設(shè)X為列向量，存在函數(shù)f(X)，其自變量為向量，因變量取值也為向量f(X)的一階導(dǎo)數(shù)如下：.Matlab實(shí)現(xiàn)Syms s tV=s;tf=t2*log(s);s3*log(2+t)dfdx=jacobian(f,V).例子假設(shè).向量對(duì)向量求一階導(dǎo)數(shù)假設(shè)X為列向量，A為方陣 假設(shè)A為對(duì)稱陣那么.優(yōu)化與投資組合實(shí)際.總結(jié)數(shù)對(duì)列向量求導(dǎo)仍為列向量列向量對(duì)列向量求導(dǎo)為矩陣.主要內(nèi)容問(wèn)題1：給定預(yù)期收益，最小化風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題2：給定風(fēng)

3、險(xiǎn)，最大化預(yù)期收益問(wèn)題3：不思索預(yù)期收益，最小化風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題4：不思索風(fēng)險(xiǎn)，最大化預(yù)期收益.問(wèn)題1給定預(yù)期收益時(shí)，最小化風(fēng)險(xiǎn)目的函數(shù)為二次型約束為線性約束當(dāng)不允許賣空時(shí)，當(dāng)限制了某個(gè)資產(chǎn)投資份額，給定投資權(quán)重的上下界.問(wèn)題2給定風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，最大化收益目的函數(shù)為線性約束為非線性約束和線性約束.問(wèn)題3不思索預(yù)期收益，最小化風(fēng)險(xiǎn)目的函數(shù)為二次型約束為線性約束.問(wèn)題4不思索風(fēng)險(xiǎn)，最大化收益目的函數(shù)為線性約束為線性約束.允許賣空時(shí)投資組合優(yōu)化.投資組合優(yōu)化的數(shù)學(xué)表述給定收益情況下風(fēng)險(xiǎn)最小化風(fēng)險(xiǎn)采用方差來(lái)衡量目的函數(shù)約束條件1約束條件2.投資組合優(yōu)化其中，w 為N支股票權(quán)重的列向量，e表示N支股票的N維期望收益率

4、向量，I為N維單位向量，V為投資組合的方差協(xié)方差矩陣,以三維為例 .投資組合優(yōu)化目的函數(shù)約束條件1約束條件2.投資組合優(yōu)化的數(shù)學(xué)表述第一步，寫(xiě)出矩陣方式的拉格朗日函數(shù)第二步，求解一階條件Remark：第一個(gè)等式實(shí)踐上可以展開(kāi)n個(gè).投資組合優(yōu)化的數(shù)學(xué)表述其中，0是三維零向量。由于V是正定矩陣，因此上述一階條件也是全局優(yōu)化的充分必要條件。由上述方程可得.投資組合優(yōu)化的數(shù)學(xué)表述由上述方程可得，拉格朗日乘子.投資組合優(yōu)化的數(shù)學(xué)表述由上述方程可求投資組合權(quán)重對(duì)應(yīng)的方差.允許賣空情況下的權(quán)重求解function wp,varp=meanvar(e,V,rp)%. 求解投資組合權(quán)重%輸入：e每個(gè)資產(chǎn)的預(yù)期收

5、益率組成的收益率列向量%輸入：V 收益率的方差協(xié)方差矩陣%輸入：rp為投資組合的預(yù)期報(bào)答率%輸出: wp為投資組合權(quán)重，列向量%輸出: varp為投資組合的方差.允許賣空情況下的權(quán)重求解M=length(e);I=ones(M,1);A=I*inv(V)*e;B=e*inv(V)*e;C=I*inv(V)*I;D=B*C-A2;g=(B*(inv(V)*I)-A*(inv(V)*e)/D;h=(C*(inv(V)*e)-A*(inv(V)*I)/D;wp=g+h*rp;varp=wp*V*wp;.投資組合有效前沿function out=graphmeanvar(price)%purpose:

6、給定N個(gè)資產(chǎn)價(jià)錢矩陣，根據(jù)Mean-variance模型確定投資權(quán)重，參考教材 黃奇輔 %輸入:N種資產(chǎn),M個(gè)觀測(cè)值的價(jià)錢矩陣,N*M矩陣%輸出：每支資產(chǎn)的權(quán)重組成的列向量wpN,M=size(price);logprice=100*log(price);.投資組合有效前沿% 2. 將原始價(jià)錢數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)數(shù)據(jù)，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為收益率數(shù)據(jù)logreturn=zeros(N-1,M);for j=1:M;logreturn(:,j)= logprice(2: end,j) - logprice(1: end-1,j);end% 3. 求解收益率數(shù)據(jù)的均值向量與方差協(xié)方差矩陣e=mean(logre

7、turn,1);%對(duì)應(yīng)41頁(yè)中公式(3.8.1) eV=cov(logreturn);%對(duì)應(yīng)41頁(yè)中公式(3.8.1) Vrp=linspace(min(e),max(e),101);varp=zeros(101,1);wp=zeros(M,101);.投資組合有效前沿for i=1:101; wp(:,i),varp(i)=meanvar(e,V,rp(i);endsigmap=varp.(0.5);plot(sigmap, rp,co);out.rp=rp;out.varp=varp;out.wp=wp;out.total=rp;varp;wp;.投資組合有效前沿xlabel(規(guī)范差);

8、% x軸注解 ylabel(收益率); % y軸注解 title(允許賣空條件下的投資組合前沿); % 圖形標(biāo)題.允許賣空時(shí)投資組合的有效前沿load ma_port.mat;out=graphmeanvar(SH GH ZS).允許賣空時(shí)投資組合權(quán)重圖.不允許賣空時(shí)投資組合優(yōu)化.投資組合優(yōu)化的數(shù)學(xué)表述給定收益情況下風(fēng)險(xiǎn)最小化風(fēng)險(xiǎn)采用方差來(lái)衡量目的函數(shù)約束條件1約束條件2約束條件3采用數(shù)值算法求解.二次規(guī)劃的普通方式Matlab的函數(shù)方式x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,Beq).投資組合優(yōu)化如何用Matlab二次優(yōu)化函數(shù)Matlab的函數(shù)方式x=quadprog(H,f,A,b,

9、Aeq,Beq)以三個(gè)資產(chǎn)為例 H=V; f=zeros(M,1)=(0 0 0)，x=w.投資組合優(yōu)化如何用表示成二次優(yōu)化函數(shù) 對(duì)應(yīng)于如下兩個(gè)約束條件.不允許賣空時(shí)投資組合優(yōu)化function out=shortmeanvar(price)%purpose:給定N個(gè)資產(chǎn)價(jià)錢矩陣，根據(jù)Mean-variance模型確定投資權(quán)重%輸入:N種資產(chǎn),M個(gè)觀測(cè)值的價(jià)錢矩陣,N*M矩陣%輸出：每支資產(chǎn)的權(quán)重組成的列向量wpN,M=size(price);logprice=100*log(price);% 2. 將原始價(jià)錢數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)數(shù)據(jù)，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為收益率數(shù)據(jù)logreturn=diff(logpr

10、ice);.不允許賣空時(shí)投資組合優(yōu)化% 3. 求解收益率數(shù)據(jù)的均值向量與方差協(xié)方差矩陣e=mean(logreturn,1);%對(duì)應(yīng)41頁(yè)中公式(3.8.1) e,此時(shí)e為列向量V=cov(logreturn);%對(duì)應(yīng)41頁(yè)中公式(3.8.1) Vrp=linspace(min(e),max(e),101);for i=1:101; wp(:,i),fval(i)=quadprog(V,zeros(M,1),-eye(M,M),zeros(M,1),ones(1,M);e,1;rp(i);end.不允許賣空時(shí)投資組合優(yōu)化sigmap=sqrt(2*fval);plot(sigmap, rp,co);out.rp=rp;out.wp=wp;xlabel(規(guī)范差); % x軸注解 ylabel(收益率); % y軸注解 title(不允許賣空條件下的投資組合前沿); % 圖形標(biāo)題.不允許賣空時(shí)投資組合的有效前沿load ma_port.mat;out=sh