概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)高教版第四版課后習(xí)題答案

1、1.3 頻率與概率 一頻率 定義 在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率。并記為fn(A)。 由定義，易見(jiàn)頻率具有下述性質(zhì)： 由于事件A發(fā)生的頻率是它發(fā)生次數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)的比，其1大小表示A發(fā)生的頻繁程度，頻率大，事件A發(fā)生就頻繁，這就意味著事件A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大，反之亦然。因此，直觀的想法是用頻率來(lái)表示事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性的大小，但是否可行，先看下面的例子。例1 考慮 “拋硬幣這個(gè)試驗(yàn)，我們將一枚硬幣拋5次，50次，500次各做10遍，得到數(shù)據(jù)如表1-1.其中nH表示H發(fā)生的頻數(shù)，fn(H

2、)表示H發(fā)生的頻率。見(jiàn)教材 這種試驗(yàn)歷史上有人做過(guò)，得到表1-2所示的數(shù)據(jù)見(jiàn)教材。從以上數(shù)據(jù)可以看出，拋硬幣次數(shù)n較小時(shí)，頻率fn(H)在0與1之間隨機(jī)波動(dòng)，其幅度較大，但隨著n的增大，頻率fn(H)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，即當(dāng)n逐漸增大時(shí)頻率fn(H)總是在0.5附近擺動(dòng)，而逐漸穩(wěn)定于0.5.2實(shí)驗(yàn)序號(hào) n=5 nH fn(H) n=50 nH fn(H) n=500 nH fn(H) 1 2 0.2 22 0.44 251 0.502 2 3 0.6 25 0.50 249 0.498 3 1 0.2 21 0.42 256 0.512 4 5 1.0 25 0.50 253 0.506 5 1 0

3、.2 24 0.48 251 0.502 6 2 0.4 21 0.42 246 0.492 7 4 0.8 18 0.36 244 0.488 8 2 0.4 24 0.48 258 0.516 9 3 0.6 27 0.54 262 0.524 10 3 0.6 31 0.62 247 0.494表1-13 表1-2 試驗(yàn)者 n nH fn(H)德摩爾根 2048 1061 0.518 蒲豐 4040 2048 0.5069 皮爾遜 12000 6019 0.5016 皮爾遜 24000 12012 0.5005 維尼 30000 14994 0.49984 字母 頻率 字母 頻率 字母

4、頻率 E0.126 8 L0.039 4 P0.018 6 T0.097 8 D0.038 9 B0.015 6 A0.078 8 U0.028 0 V0.010 2 O0.077 6 C0.026 8 K0.006 0 I0.070 7 F0.025 6 X0.001 6 N0.070 6 M0.024 4 J 0.001 0 S0.063 4 W0.021 4 Q0.000 9 R0.059 4 T0.020 2 Z0.000 6 H0.0573 G0.018 7表1-35 例2 考察英語(yǔ)中特定字母出現(xiàn)的頻率，當(dāng)觀察字母的個(gè)數(shù)N試驗(yàn)次數(shù)較小時(shí)，頻率有較大幅度的隨機(jī)波動(dòng)。但當(dāng)n增大時(shí)，頻率呈

5、現(xiàn)出穩(wěn)定性。表1-3就是一份英文字母頻率的統(tǒng)計(jì)表。見(jiàn)教材 大量實(shí)驗(yàn)證實(shí)，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n逐漸增大時(shí)，頻率fn(A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)。這種“頻率穩(wěn)定性即通常所說(shuō)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。我們讓試驗(yàn)重復(fù)大量次數(shù)，計(jì)算頻率fn(A),以它來(lái)表征事件A發(fā)生可能性的大小是適宜的。 但是，在實(shí)際中，我們不可能對(duì)每一個(gè)事件都做大量的試驗(yàn)，然后求得事件的頻率，用以表征事件發(fā)生可能性的大小。同時(shí)，為了理論研究的需要，我們從頻率的穩(wěn)定性和頻率的性質(zhì)得到啟發(fā)，給出表征事件發(fā)生可能性大小的概率的定義。二概率 定義 設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間。對(duì)于E的每一事6件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A),稱為事件A的概率，

6、如果集合函數(shù)P()滿足以下條件： 1 非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件A，有P(A)0; 2 標(biāo)準(zhǔn)性： 對(duì)于必然事件S，有P(S)=1; 由概率的定義，可以推得概率的一些重要性質(zhì)。 性質(zhì) P()=0.7 性質(zhì) 有限可加性假設(shè)A1,A2,An是兩兩互不相容的事件，那么有 3.2式稱為概率的有限可加性。8(3.2) 式得證。 性質(zhì) 設(shè)A,B是兩個(gè)事件，假設(shè)AB,那么有 P(B-A)=P(B)-P(A); (3.3) P(B)P(A). (3.4) 證 由AB知，B=A(B-A),且A(B-A)=,再由概率的有限可加性3.2，得 P(B)=P(A)+P(B-A),(3.3)得證；又由概率的非負(fù)性，P(B-A)

7、0,知 P(B)P(A). 性質(zhì) 對(duì)于任意事件A， P(A)1.9 證 因AS,由性質(zhì)3，得 P(A)P(S)=1. 性質(zhì) 逆事件的概率對(duì)于任一事件A有 性質(zhì) 加法公式對(duì)于任意兩個(gè)事件A,B有 P(AB)=P(A)+P(B) P(AB). (3.5) 證 因AB=A(B-AB),且A(B-AB)=,ABB,故由3.2及3.3式，得10 P(AB)=P(A)+P(BAB) =P(A)+P(B)P(AB)(3.5)式還能推廣到多個(gè)事件的情況。例如，設(shè)A1，A2，A3為任意三個(gè)事件，那么有 P(A1A2A3)=P(A1)+ P(A2)+ P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3) -P(A2A3)+

8、P(A1A2A3). (3.6) 一般，對(duì)于任意n個(gè)事件A1,A2,An可用歸納法證明得11 1.4 等可能概型古典概型 現(xiàn)在來(lái)看看下面的幾種類(lèi)型的試驗(yàn)： 1拋擲一枚均勻的硬幣，可能出現(xiàn)正面與反面兩種結(jié)果，并且這兩種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的； 2200個(gè)同型號(hào)的產(chǎn)品中有6個(gè)廢品，從中每次抽取3個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，共有C3200種不同的抽取結(jié)果，并且任意3個(gè)產(chǎn)品被取到的時(shí)機(jī)相同； 3拋一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，有出現(xiàn)1，2，3，4，5，6各點(diǎn)的六種結(jié)果，且每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。 這類(lèi)試驗(yàn)的共同特點(diǎn)是：每次試驗(yàn)只有有限種可能的結(jié)果，即組成實(shí)驗(yàn)的根本領(lǐng)件總數(shù)為有限個(gè)；每次試驗(yàn)中，各根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性完全相

9、同。具有上述特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)。下面我們來(lái)討論在古典概型中事件A的概率計(jì)算公式。12 設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為S=e1,e2,en.由于在試驗(yàn)中每個(gè)根本領(lǐng)件發(fā)生的可能性相同，既有 P(e1)=P(e2)=P(en)。又由于根本領(lǐng)件是兩兩互不相容的。于是13 假設(shè)事件A中包含有k個(gè)根本領(lǐng)件，即這里i1，i2 ，。,ik是1，2，n中某k個(gè)不同的數(shù)，那么有即4.1就是等可能概型中事件A的概率計(jì)算公式。 例1 將一枚硬幣拋擲三次。1設(shè)事件A1為“恰好有一次出現(xiàn)正面，求P(A1);2設(shè)事件A2“至少出現(xiàn)一次正面，求P(A2)。14 解 ：1設(shè)正面是H，反面是T?？紤]1中E3的樣本空間： S2=HHH

10、,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT,而A1=HTT,THT,TTH。 S2中包含有限個(gè)元素，且由對(duì)稱性知每個(gè)事件發(fā)生的可能性相同，故由4.1得15 例2 一個(gè)口袋裝有4只白球，2只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機(jī)地取一只。考慮兩種取球方式：a第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球。 這種取球方式叫做放回抽樣。b第一次取一只球后不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球， 這種取球方式叫做不放回抽樣。試分別就上面兩種情況求1取到的兩只球都是白球的概率；2取到的兩只球顏色相同的概率；3取到的兩只球至少有一只白球的概率。 解: a 放回抽樣的情況。 以A,B,C分別表示

11、事件“取到兩只都是白球， “取到兩只都是紅球， “取到兩只球中至少有一只是白球。易知“取到兩只顏色相同的球這一事件是AB,而 樣本空間中根本領(lǐng)件的總數(shù)為66.事件A包含的根本領(lǐng)16件數(shù)為44個(gè)元素，同樣B重包含的根本領(lǐng)件數(shù)為22個(gè)元素。于是由于AB=,得17 b不放回抽樣的情況。 樣本空間中根本領(lǐng)件的總數(shù)為事件A中包含的根本領(lǐng)件數(shù)為事件B中包含的根本領(lǐng)件數(shù)為18 例3 將n只球隨機(jī)地放入NNn個(gè)盒子中去，試求每個(gè)盒子中至多有一只球的概率設(shè)盒子的容量不限。 解：將n只球放入N個(gè)盒子中去，每一種放法是一個(gè)根本事件。易知這是古典概率問(wèn)題。 樣本空中根本領(lǐng)件的總數(shù)為NNN=Nn,而每個(gè)盒子中至多放一只

12、球的事件含有N(N-1)(N-2)(N-(n-1)個(gè)根本事件，即ANn。因而所求的概率為19有許多問(wèn)題和本例具有相同的數(shù)學(xué)模型。例如，假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，即都等于1/365那么隨機(jī)選取n個(gè)n365)個(gè)人，他們生日各不相同的概率為因而，n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率為經(jīng)計(jì)算可得下屬結(jié)果： n 20 23 30 405064100 p0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.999999720從以上表可以看出，在僅有64人的班級(jí)里，“至少有兩人生日相同的這一事件的概率與1相差無(wú)幾，因此，如作調(diào)查的話，幾乎總會(huì)出現(xiàn)。 例4 假設(shè)N件產(chǎn)品，其中有D

13、件次品，今從中任意取出n件，問(wèn)恰好有k件次品的概率是多少？ 解：在N件產(chǎn)品中抽出n件這里是指不放回抽樣,所有可能的取法有 種 ，即根本領(lǐng)件的總數(shù)。所取的n件產(chǎn)品中有k件次品這一事件的取法共有 種，于是所求的概率為(4.2)式即是所謂的超幾何分布的公式。21例5 袋中有a個(gè)白球，b個(gè)紅球，k個(gè)人一次在袋中取一只球，1作放回抽樣；2作不放回抽樣，求第ii=1,2,k個(gè)人取到白球記為事件B的概率ka+b。解：1放回抽樣的情況，顯然有2不放回抽樣的情況。各人取一只有種取法，即根本領(lǐng)件的總數(shù)。當(dāng)時(shí)間B發(fā)生時(shí)，第i人取的應(yīng)是白球，它可以是a個(gè)白球中的任意一個(gè)，有a種取法，其余被取的k-1只球可以是其余的a

14、b1只球中的任意k1只，共有22(ab1) (ab2)(ab(k1)+1)=種取法。于是事件B中包含了 個(gè)根本領(lǐng)件。故由4.1得值得注意的是P(B)與i無(wú)關(guān)，即k個(gè)人取球，盡管取球的先后次序不同，各人取到白球的概率是一樣的，大家的時(shí)機(jī)相同。還值得注意的是放回抽樣與不放回抽樣的情形是不一樣的。 例6 在12000的整數(shù)中隨機(jī)的抽取一個(gè)數(shù)，問(wèn)取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？ 解：這事件A“取到的數(shù)能被6整除，B“取到的數(shù)能被8整除，那么所求的概率為23由于故得由于故得24又由于一個(gè)數(shù)同時(shí)能被6和8整除，就相當(dāng)于能用24整除，因此，由故得于是所求的概率為25例7 將15名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班中去，這15新生中有3名是優(yōu)秀生。問(wèn)1每個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？23名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)的概率是多少？ 解：15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中的分法總數(shù)為 1將3名優(yōu)秀生分配到三個(gè)班級(jí)使每個(gè)班級(jí)都有一名優(yōu)秀生的分法3！種，對(duì)于這一種分法，其余的12名新生平均分到三個(gè)班的分法共有26 因此，每一班級(jí)分配到一名優(yōu)秀生的分法共有于是，所求的概率為 2將3名優(yōu)秀生分配到同一班級(jí)的分法有3種，對(duì)于這種分法，其余12名新生的分法一個(gè)班級(jí)2，另兩個(gè)班級(jí)各5名有27種，因此3名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)的分法共有種，于是所求的概率