高中立體幾何證明平行的專題(基本方法)

1、高中立體幾何證明平行的專題(基本方法)立體幾何中證明線面平行或面面平行都可轉(zhuǎn)化為線線平行，而證明線線平行一般有以下的一些方法： (1)通過(guò)“平移”。(2)利用三角形中位線的性質(zhì)。(3)利用平行四邊形的性質(zhì)。(4)利用對(duì)應(yīng)線段成比例。(5)利用面面平行，等等。(1) 通過(guò)“平移”再利用平行四邊形的性質(zhì)1如圖，四棱錐PABCD的底面是平行四邊形，點(diǎn)E、F 分 別為棱AB、 PD的中點(diǎn)求證：AF平面PCE；（第1題圖）分析：取PC的中點(diǎn)G，連EG.，F(xiàn)G，則易證AEGF是平行四邊形2、如圖，已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB1，BC2，CD1，過(guò)A作AECD，垂足為E，G、F分別為AD

2、、CE的中點(diǎn)，現(xiàn)將ADE沿AE折疊，使得DEEC.（）求證：BC面CDE； （）求證：FG面BCD；分析：取DB的中點(diǎn)H，連GH,HC則易證FGHC是平行四邊形3、已知直三棱柱ABCA1B1C1中，D, E, F分別為AA1, CC1, AB的中點(diǎn)，M為BE的中點(diǎn), ACBE. 求證：（）C1DBC； （）C1D平面B1FM. 分析：連EA，易證C1EAD是平行四邊形，于是MF/EA4、如圖所示, 四棱錐PABCD底面是直角梯形, CD=2AB, E為PC的中點(diǎn), 證明: ;分析:：取PD的中點(diǎn)F，連EF,AF則易證ABEF是平行四邊形(2) 利用三角形中位線的性質(zhì)ABCDEFGM5、如圖，已

3、知、分別是四面體的棱、的中點(diǎn)，求證：平面。分析：連MD交GF于H，易證EH是AMD的中位線6、如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中點(diǎn)。 求證： PA 平面BDE 7如圖，三棱柱ABCA1B1C1中， D為AC的中點(diǎn). 求證：AB1/面BDC1； 分析：連B1C交BC1于點(diǎn)E，易證ED是B1AC的中位線8、如圖，平面平面，四邊形與都是直角梯形，分別為的中點(diǎn)（）證明：四邊形是平行四邊形；（）四點(diǎn)是否共面？為什么？（.3） 利用平行四邊形的性質(zhì)9正方體ABCDA1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點(diǎn)，求證： D1O/平面A1BC1;分析：連D1B1交A1C1于O

4、1點(diǎn)，易證四邊形OBB1O1是平行四邊形PEDCBA10、在四棱錐P-ABCD中，ABCD，AB=DC，.求證：AE平面PBC；分析：取PC的中點(diǎn)F，連EF則易證ABFE是平行四邊形11、在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，ACB=，平面，EF，.=.（）若是線段的中點(diǎn)，求證：平面;（）若=,求二面角-的大?。↖）證法一：因?yàn)镋F/AB，F(xiàn)G/BC，EG/AC，所以由于AB=2EF，因此，BC=2FC，連接AF，由于FG/BC，在中，M是線段AD的中點(diǎn)，則AM/BC，且因此FG/AM且FG=AM，所以四邊形AFGM為平行四邊形，因此GM/FA。又平面ABFE，平面ABFE，所以G

5、M/平面AB。(4)利用對(duì)應(yīng)線段成比例12、如圖：S是平行四邊形ABCD平面外一點(diǎn)，M、N分別是SA、BD上的點(diǎn)，且=， 求證：MN平面SDC分析：過(guò)M作ME/AD，過(guò)N作NF/AD利用相似比易證MNFE是平行四邊形AFAEABACADAMANA13、如圖正方形ABCD與ABEF交于AB，M，N分別為AC和BF上的點(diǎn)且AM=FN求證：MN平面BEC分析：過(guò)M作MG/AB，過(guò)N作NH/AB利用相似比易證MNHG是平行四邊形(5)利用面面平行14、如圖，三棱錐中，底面，PB=BC=CA，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.（1）求證：平面；（2）求證：平面；分析: 取AF的中點(diǎn)N，連CN、MN，易證平

6、面CMN/EFB直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 經(jīng)典題（附詳細(xì)解答）一、選擇題1下列條件中,能判斷兩個(gè)平面平行的是( )A一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面;B一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面C一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面D一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面 2E，F(xiàn)，G分別是四面體ABCD的棱BC，CD，DA的中點(diǎn)，則此四面體中與過(guò)E，F(xiàn)，G的截面平行的棱的條數(shù)是 A0 B1 C2 D3 3 直線及平面，使成立的條件是（ ） A B C D4若直線m不平行于平面，且m，則下列結(jié)論成立的是（ ）A內(nèi)的所有直線與m異面 B內(nèi)不存在與m平行的直線C內(nèi)存在唯一的直線與m平行 D內(nèi)

7、的直線與m都相交5下列命題中，假命題的個(gè)數(shù)是（ ） 一條直線平行于一個(gè)平面，這條直線就和這個(gè)平面內(nèi)的任何直線不相交； 過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線和這個(gè)平面平行； 過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和這條直線平行； 平行于同一條直線的兩條直線和同一平面平行； a和b異面，則經(jīng)過(guò)b存在唯一一個(gè)平面與平行A4 B3 C2D16已知空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（ ） A B C D二、填空題7在四面體ABCD中，M，N分別是面ACD，BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是_.8如下圖所示，四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得到AB/面MNP

8、的圖形的序號(hào)的是 9正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD中點(diǎn)，則BD1和平面ACE位置關(guān)系是 三、解答題10.如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是 EQ r(3)，D是AC的中點(diǎn).求證：平面.11.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N，G分別是AA1，CD，CB，CC1的中點(diǎn)， 求證：（1）MN/B1D1 ；（2）AC1/平面EB1D1 ；（3）平面EB1D1/平面BDG. 參考答案一、選擇題1D 【提示】當(dāng)時(shí)，內(nèi)有無(wú)數(shù)多條直線與交線平行，同時(shí)這些直線也與平面平行.故A，B，C均是錯(cuò)誤的2C 【提示】棱AC，BD與平面EFG平行，共2條.3C【提示】則或異面；所

9、以A錯(cuò)誤；則或異面或相交，所以B錯(cuò)誤；則或異面，所以D錯(cuò)誤；，則，這是公理4，所以C正確.4B 【提示】若直線m不平行于平面，且m，則直線m于平面相交，內(nèi)不存在與m平行的直線.5B 【提示】錯(cuò)誤.過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和這個(gè)平面平行，有無(wú)數(shù)多條直線與它平行.過(guò)直線外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面和這條直線平行平行于同一條直線的兩條直線和同一平面平行或其中一條在平面上.6. D 【提示】本題可利用空間中的平行關(guān)系，構(gòu)造三角形的兩邊之和大于第三邊.二、填空題7平面ABC，平面ABD【提示】連接AM并延長(zhǎng)，交CD于E，連結(jié)BN并延長(zhǎng)交CD于F，由重心性質(zhì)可知，E、F重合為一點(diǎn)，且該點(diǎn)為CD的中點(diǎn)E，由=得M

10、NAB.因此，MN平面ABC且MN平面ABD.8. 【提示】對(duì)于，面MNP/面AB,故AB/面MNP.對(duì)于，MP/AB,故AB/面MNP,對(duì)于，過(guò)AB找一個(gè)平面與平面MNP相交，AB與交線顯然不平行，故不能推證AB/面MNP.9平行【提示】連接BD交AC于O，連OE，OEB D，OEC平面ACE，B D平面ACE.三、解答題10.證明：設(shè)與相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為中點(diǎn)，D為AC中點(diǎn)，PD/.又PD平面D，/平面D 11.證明：（1） M、N分別是CD、CB的中點(diǎn)，MN/BD又BB1DD1,四邊形BB1D1D是平行四邊形. 所以BD/B1D1.又MN/BD，從而MN/B1D1 （2）（法1）連A1C1，A1C1交B1D1與O點(diǎn)四邊形A1B1C1D1為平行四邊形，則O點(diǎn)是A1C1的中點(diǎn)E是AA1的中點(diǎn)，EO是AA1C1的中位線，EO/AC1.AC1面EB1D1 ，EO面EB1D1，所以AC1/面EB1D1 （法2）作BB1中點(diǎn)為H點(diǎn)，連接AH、C1H，E、H點(diǎn)為AA1、BB1中點(diǎn)，所以EHC1D1，則四邊形EHC1D1是平行四邊形，所以ED1/HC1又因?yàn)镋AB1H，則四邊形EAHB1是平行四邊形，所以EB1/AH