新高二2022年暑假講義第9講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（解析版）

1、第9講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系新課標(biāo)要求1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題。知識(shí)梳理一、直線與圓的位置關(guān)系及判斷(直線：AxByC0，圓：(xa)2(yb)2r2)位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離deq f(|AaBbC|,r(A2B2)drom代數(shù)法：由消元得到一元二次方程的判別式00r1r2d|r1r2|r1r2|d0時(shí)，C1與C2相交(2)判別式0時(shí)，C1與C2外切或內(nèi)切(3)判別式0時(shí)，C1與C2外離或內(nèi)含名師導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)1 直線與圓位置關(guān)系的判定【例1-1】

2、已知圓的方程是x2y22，直線yxb，當(dāng)b為何值時(shí)，圓與直線相交、相切、相離？【解】法一直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為方程組eq blc(avs4alco1(x2y22，,yxb，)有兩組不同實(shí)數(shù)解；有一組實(shí)數(shù)解；無(wú)實(shí)數(shù)解的問(wèn)題代入，整理得2x22bxb220，方程的根的判別式(2b)242(b22)4(b2)(b2)當(dāng)2b0，方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解，因此直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓相交；當(dāng)b2或b2時(shí)，0，方程組有一組實(shí)數(shù)解，因此直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓相切；當(dāng)b2時(shí)，0，方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因此直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，直線與圓相離法二圓心(0，0)到直線yxb的距離為deq f(|b|

3、,r(2)，圓的半徑req r(2).當(dāng)dr，即eq f(|b|,r(2)eq r(2)時(shí)，直線與圓相交，2br，即eq f(|b|,r(2)eq r(2)時(shí)，直線與圓相離，b2或b2.當(dāng)2b2或b1，故點(diǎn)M在圓外當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程是y4k(x2)，即kxy42k0，由于直線與圓相切，故eq f(|k342k|,r(k2（1）2)1，解得keq f(24,7).所以切線方程為24x7y200.又當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線x2與圓相切綜上所述，所求切線方程為24x7y200或x2.【變式訓(xùn)練2-1】若將例2-1中的點(diǎn)M的坐標(biāo)改為(1，2)，其他條件不變，又如何求其切線方程？【解】由于(1

4、1)2(23)21，故點(diǎn)M在圓上，設(shè)圓的圓心為C，則C(1，3)，顯然CM的斜率不存在圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑，所求切線的斜率k0，切線方程為y2.知識(shí)點(diǎn)3 直線與圓相交的有關(guān)問(wèn)題【例3-1】求直線xeq r(3)y2eq r(3)0被圓x2y24截得的弦長(zhǎng)【解】法一直線xeq r(3)y2eq r(3)0和圓x2y24的公共點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq blc(avs4alco1(xr(3)y2r(3)0，,x2y24)的解解這個(gè)方程組，得eq blc(avs4alco1(x1r(3)，,y11，)eq blc(avs4alco1(x20，,y22.)所以公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq r(3)，1)，(

5、0，2)，所以直線xeq r(3)y2eq r(3)0被圓x2y24截得的弦長(zhǎng)為eq r(（r(3)0）2（12）2)2.法二如圖，設(shè)直線xeq r(3)y2eq r(3)0與圓x2y24交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M，則OMAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，所以|OM|eq f(|002r(3)|,r(12（r(3)）2)eq r(3).所以|AB|2|AM|2eq r(OA2OM2)2eq r(22（r(3)）2)2.【變式訓(xùn)練3-1】已知直線ykx(k0)與圓C：(x2)2y21相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|eq f(2,5)eq r(5)，則k_圓心到直線的距離deq f(|2k|,r(k21)，

6、|AB|eq f(2,5)eq r(5)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(|2k|,r(k21)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),5)eq sup12(2)1，keq f(1,2). k0，keq f(1,2).eq f(1,2)知識(shí)點(diǎn)4 兩圓位置關(guān)系的判定【例4-1】a為何值時(shí)，兩圓C1：x2y22ax4ya250和C2：x2y22x2aya230.(1)外切；(2)相交；(3)外離？【解】將兩圓方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(xa)2(y2)29，C2：(x1)2(ya)24.兩圓的圓心和半徑分別為C1(a，2)，r13，C2(1，a)，

7、r22.設(shè)兩圓的圓心距為d，則d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)當(dāng)d5，即2a26a525時(shí)，兩圓外切，此時(shí)a5或a2.(2)當(dāng)1d5，即12a26a525時(shí)，兩圓相交，此時(shí)5a2或1a5，即2a26a525時(shí)，兩圓外離，此時(shí)a2或a5.【變式訓(xùn)練4-1】圓(x4)2y29和圓x2(y3)24的公切線有()A1條 B2條 C3條 D4條圓(x4)2y29的圓心為(4，0)，半徑等于3，圓x2(y3)24的圓心為(0，3)，半徑等于2.兩圓的圓心距等于eq r(4232)523，兩圓相外切，故兩圓的公切線的條數(shù)為3，故選C.C知識(shí)點(diǎn)5 兩圓相切問(wèn)題【例5-1】已知以C(4，3)為圓心的

8、圓與圓O：x2y21相切，則圓C的方程是_設(shè)圓C的半徑為r，又圓心距deq r(（40）2（30）2)5，當(dāng)圓C與圓O外切時(shí)，r15，r4，當(dāng)圓C與圓O內(nèi)切時(shí)，r15，r6，圓C的方程為(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)336.(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)336【變式訓(xùn)練5-1】若圓C1：x2y21與圓C2：x2y26x8ym0外切，則m等于 ()A21 B19 C9 D11C2：x2y26x8ym0化為(x3)2(y4)225m.C1，C2兩圓的圓心分別為(0，0)，(3，4)，兩圓圓心距deq r(（30）2（40）2)5，又兩圓半徑分別為1，eq r(25m)，

9、則dr1r2，即51eq r(25m)，解得m9.C知識(shí)點(diǎn)6 兩圓相交的問(wèn)題【例6-1】已知兩圓x2y22x10y240和x2y22x2y80，判斷兩圓的位置關(guān)系【解】將兩圓方程配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210，則圓C1的圓心為(1，5)，半徑r15eq r(2).圓C2的圓心為(1，1)，半徑r2eq r(10).又|C1C2|2eq r(5)，r1r25eq r(2)eq r(10)，r1r25eq r(2)eq r(10)，r1r2|C1C2|r1r2，兩圓相交【變式訓(xùn)練6-1】在例6-1的條件下，求公共弦的長(zhǎng)度【解】法一由例6-1知圓C1

10、的圓心為(1，5)，其到直線x2y40的距離deq f(|12（5）4|,r(1（2）2)3eq r(5)，公共弦長(zhǎng)l2eq r(req oal(2,1)d2)2eq r(5045)2eq r(5).法二設(shè)兩圓相交于點(diǎn)A，B，則A，B兩點(diǎn)滿足方程組eq blc(avs4alco1(x2y40，,x2y22x2y80，)解得eq blc(avs4alco1(x4，,y0)或eq blc(avs4alco1(x0，,y2，)所以|AB|eq r(（40）2（02）2)2eq r(5)，即公共弦長(zhǎng)為2eq r(5).知識(shí)點(diǎn)7 直線與圓的方程的應(yīng)用【例7-1】某圓拱橋的水面跨度20 m，拱高4 m現(xiàn)有

11、一船，寬10 m，水面以上高3 m，這條船能否從橋下通過(guò)？【解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，使圓心C在y軸上依題意，有A(10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(5，0)，E(5，0)設(shè)這座圓拱橋的拱圓的方程是(xa)2(yb)2r2，于是有eq blc(avs4alco1(（a10）2b2r2，,（a10）2b2r2，,a2（b4）2r2.)解此方程組，得a0，b10.5，r14.5.所以這座圓拱橋的拱圓的方程是x2(y10.5)214.52(0y4)把點(diǎn)D的橫坐標(biāo)x5代入上式，得y3.1.由于船在水面以上高3 m，30)，將A(x0，3)代入圓的方程，得x0eq r(51)，當(dāng)水面下降1米

12、后，水面寬為2x02eq r(51)米2eq r(51)知識(shí)點(diǎn)8 坐標(biāo)法證明幾何問(wèn)題【例8-1】如圖所示，在圓O上任取C點(diǎn)為圓心，作圓C與圓O的直徑AB相切于D，圓C與圓O交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF與CD相交于H，求證：EF平分CD.【證明】以AB所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)|AB|2r，D(a，0)，則|CD|eq r(r2a2)，C(a，eq r(r2a2)，圓O：x2y2r2，圓C：(xa)2(yeq r(r2a2)2r2a2.兩方程作差得直線EF的方程為2ax2eq r(r2a2)yr2a2.令xa，得yeq f(1,2)eq r(r2a2)，H(a，eq

13、f(1,2)eq r(r2a2)，即H為CD中點(diǎn)，EF平分CD.【變式訓(xùn)練8-1】如圖，直角ABC的斜邊長(zhǎng)為定值2m，以斜邊的中點(diǎn)O為圓心作半徑為n的圓，直線BC交圓于P，Q兩點(diǎn)，求證：|AP|2|AQ|2|PQ|2為定值【證明】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，于是有B(m，0)，C(m，0)，P(n，0)，Q(n，0)設(shè)A(x，y)，由已知，點(diǎn)A在圓x2y2m2上，故|AP|2|AQ|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值)名師導(dǎo)練2.5.1 直線與圓的位置關(guān)系A(chǔ)組-應(yīng)知應(yīng)會(huì)1已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2y21外，則直

14、線axby1與圓O的位置關(guān)系是()A相切 B相交 C相離 D不確定點(diǎn)M(a，b)在圓x2y21外，a2b21.圓心(0，0)到直線axby1的距離deq f(1,r(a2b2)1r，則直線與圓的位置關(guān)系是相交B2平行于直線2xy10且與圓x2y25相切的直線的方程是()A2xyeq r(5)0或2xyeq r(5)0B2xyeq r(5)0或2xyeq r(5)0C2xy50或2xy50D2xy50或2xy50依題意可設(shè)所求切線方程為2xyc0，則圓心(0，0)到直線2xyc0的距離為eq f(|c|,r(2212)eq r(5)，解得c5.故所求切線方程為2xy50或2xy50.D3已知圓C

15、與直線xy0及xy40都相切，圓心在直線xy0上，則圓C的方程為()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22由條件，知xy0與xy40都與圓相切，且平行，所以圓C的圓心C在直線xy20上由eq blc(avs4alco1(xy20，,xy0，)得圓心C(1，1)又因?yàn)閮善叫芯€間距離deq f(4,r(2)2eq r(2)，所以所求圓的半徑長(zhǎng)req r(2)，故圓C的方程為(x1)2(y1)22.B4若直線ykx與圓x2y26x80相切，且切點(diǎn)在第四象限，則k_圓x2y26x80，即(x3)2y21，其圓心為(3，0)、半徑等于1.由題意可

16、得k0時(shí)，得m5，當(dāng)m5時(shí)，曲線C表示圓；(2)圓C的圓心坐標(biāo)為(1，2)，半徑為eq r(5m).直線l：yxm與圓C相切，eq f(|12m|,r(2)eq r(5m)，解得：m3，滿足m5.m3.B組-素養(yǎng)提升8在圓x2y22x4y30上且到直線xy10的距離為eq r(2)的點(diǎn)共有()A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)圓心為(1，2)，半徑r2eq r(2)，從而圓心到直線xy10的距離deq f(|121|,r(2)eq r(2)，故圓上有3個(gè)點(diǎn)滿足題意C9圓x2y24x6y120過(guò)點(diǎn)(1，0)的最大弦長(zhǎng)為m，最小弦長(zhǎng)為n，則mn等于()A102eq r(7) B5eq r(7)C103e

17、q r(3) D5eq f(3,2)eq r(2)圓的方程x2y24x6y120化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y3)225.所以圓心為(2，3)，半徑長(zhǎng)為5.因?yàn)?12)2(03)21825，所以點(diǎn)(1，0)在已知圓的內(nèi)部，則最大弦長(zhǎng)即為圓的直徑，即m10.當(dāng)(1，0)為弦的中點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，此時(shí)弦心距deq r(（21）2（30）2)3eq r(2)，所以最小弦長(zhǎng)為2eq r(r2d2)2eq r(2518)2eq r(7)，所以mn102eq r(7).A10設(shè)直線axy30與圓(x1)2(y2)24相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2eq r(3)，則a_圓心到直線的距離deq f(|a23|

18、,r(a21)eq r(22（r(3)）2)1，解得a0.011由直線yx1上的一點(diǎn)向圓x26xy280引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為_(kāi)切線長(zhǎng)的最小值在直線yx1上的點(diǎn)與圓心距離最小時(shí)取得，圓心(3，0)到直線的距離為deq f(|301|,r(2)2eq r(2)，圓的半徑為1，故切線長(zhǎng)的最小值為eq r(d2r2)eq r(81)eq r(7).eq r(7)12(1)求圓x2y210的切線方程，使得它經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，eq r(6)；(2)求圓x2y24的切線方程，使得它經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(3，0)【解】(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)適合圓的方程，點(diǎn)M在圓x2y210上，由題可知圓心為O(0，0)，則直線OM的斜率kO

19、Meq f(r(6),2).圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑，所求切線的斜率為keq f(2,r(6).故經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的切線方程為yeq r(6)eq f(2,r(6)(x2)，整理得：2xeq r(6)y100.(2)容易判斷點(diǎn)Q(3，0)在圓外設(shè)切線的方程為yk(x3)，即kxy3k0，又圓的圓心為(0，0)，半徑為2，所以eq f(|3k|,r(1k2)2.解得：keq f(2r(5),5).所求切線方程為：yeq f(2r(5),5)(x3)，即2eq r(5)x5y6eq r(5)0或2eq r(5)x5y6eq r(5)0.13已知圓C：(x1)2(y2)225，直線l：(2m1)x(m1

20、)y7m40(mR)(1)求證不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；(2)求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)的l的方程(1)【證明】因?yàn)閘的方程為(xy4)m(2xy7)0(mR)，所以eq blc(avs4alco1(2xy70，,xy40，)解得eq blc(avs4alco1(x3，,y1，)即l恒過(guò)定點(diǎn)A(3，1)因?yàn)閳A心為C(1，2)，所以|AC|eq r(5)5(半徑)，所以點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l與圓C恒交于兩點(diǎn)(2)【解】由題意可知弦長(zhǎng)最小時(shí)，lAC.因?yàn)閗ACeq f(1,2)，所以l的斜率為2.又l過(guò)點(diǎn)A(3，1)，所以l的方程為2xy50.2.5.2 圓與圓的位置關(guān)系A(chǔ)組-應(yīng)

21、知應(yīng)會(huì)1圓x2y29和x2y28x6y90的位置關(guān)系是 ()A外離 B相交 C內(nèi)切 D外切圓C1：x2y29的圓心為C1(0，0)，半徑r13；圓C2：x2y28x6y90化為(x4)2(y3)216，圓心為C2(4，3)，半徑r24，圓心距|C1C2|eq r(42（3）2)5.因?yàn)閨r1r2|C1C2|34r1r2，所以兩圓相交B2過(guò)兩圓x2y26x4y0及x2y24x2y40的交點(diǎn)的直線的方程是()Axy20 Bxy20C5x3y20 D不存在由eq blc(avs4alco1(x2y26x4y0，,x2y24x2y40， )得xy20.A3若圓C1：(x2)2(ym)29與圓C2：(x

22、m)2(y1)24外切，則實(shí)數(shù)m的值為 ()A2 B5 C2或5 D不確定兩圓的圓心分別為(2，m)，(m，1)，兩圓的半徑分別為3，2，由題意得eq r(（m2）2（1m）2)32，解得m2或5.C4已知圓C1：x2y26x70與圓C2：x2y26y270相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中垂線方程為_(kāi)圓C1的圓心為C1(3，0)，圓C2的圓心為C2(0，3)，直線C1C2的方程為xy30，AB的中垂線即直線C1C2，故其方程為xy30.xy305圓C1：x2y22mxm240與圓C2：x2y22x4my4m280相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_整理圓C1得(xm)2y24，整理圓C2得(x1)2(

23、y2m)29，C1的圓心為(m，0)，半徑為2，圓C2的圓心為(1，2m)，半徑為3.兩圓相交，圓心之間的距離小于兩圓半徑之和，大于兩圓半徑之差，即1eq r(（m1）2（2m）2)5，解得：0m2或eq f(12,5)meq f(2,5).(0，2)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(12,5)，f(2,5)6求圓C1：x2y22x0和圓C2：x2y24y0的圓心距|C1C2|，并確定圓C1和圓C2的位置關(guān)系【解】圓C1：x2y22x0化為(x1)2y21，圓C2：x2y24y0化為x2(y2)24，圓C1，C2的圓心坐標(biāo)，半徑長(zhǎng)分別為C1(1，0)，r11；C2(0，2)，r2

24、2.|C1C2|eq r(（10）2（02）2)eq r(5).又21|C1C2|eq r(5)0，解得m5；所以m的取值范圍為(，5)(2)把圓x2y28x12y360化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：(x4)2(y6)216，得到圓心坐標(biāo)為(4，6)，半徑為4，則兩圓心間的距離deq r(（41）2（62）2)5，因?yàn)閮蓤A的位置關(guān)系是外切，所以dRr即4eq r(5m)5，解得m4；(3)因?yàn)閳A心C的坐標(biāo)為(1，2)，則圓心C到直線l的距離deq f(1,r(5)eq f(r(5),5)，所以(eq r(5m)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)|MN|)eq sup12(2)d2，即5

25、m1，解得m4.13已知圓C1：x2y24x2y50，圓C2：x2y22x2y140.(1)試判斷兩圓的位置關(guān)系；(2)直線l過(guò)點(diǎn)(6，3)與圓C1相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|2eq r(6)，求直線l的方程【解】(1)圓C1：x2y24x2y50，即(x2)2(y1)210，其圓心為C1(2，1)，半徑等于eq r(10)，C2：x2y22x2y140，即(x1)2(y1)216，其圓心為C2(1，1)為圓心，半徑等于4.由于兩圓的圓心距等于eq r(3202)3，大于半徑之差而小于半徑之和，故兩個(gè)圓相交(2)當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x6，此時(shí)直線l與圓C1相離，不滿足條件當(dāng)AB

26、的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y3k(x6)，即kxy36k0，由弦長(zhǎng)公式可得圓心到直線l的距離deq r(106)2，再由點(diǎn)到直線的距離公式可得d2eq f(|2k136k|,r(k21)，解得k0或keq f(4,3).故直線l的方程為y3或4x3y150.2.5.3直線與圓的方程的應(yīng)用A組-應(yīng)知應(yīng)會(huì)1方程eq r(1x2)xk有唯一解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()Aeq r(2) B(eq r(2)，eq r(2)C1，1) Dk|keq r(2)或1k1由題意知，直線yxk與半圓x2y21(y0)只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖形(圖略)易得1k0)，它表示的圖形是圓x2y29在x軸之上的部分(如圖所示)結(jié)合圖形不難求得，當(dāng)30)有公共點(diǎn)(3，3eq r(2)11過(guò)點(diǎn)P(1，1)的直線，將圓形區(qū)域(x，y)|x2y24分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為_(kāi)由題意知點(diǎn)P(1，1)在圓x2y24內(nèi)，若過(guò)點(diǎn)P截得的弦最短的直線將圓面分成的兩部分面積之差最大，則所求直線與圓心O和P(1，1)的連線垂直，該直線斜率為1，由點(diǎn)斜式方程得y1(x1)，即xy20.xy2012如圖，已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達(dá)，其監(jiān)測(cè)范圍是半徑為25 km的圓形區(qū)