大學(xué)物理：近代物理第一章 實(shí)物粒子的波動性

1、1近代物理第一章 實(shí)物粒子的波動性原子的核式結(jié)構(gòu)與Bohr理論德布羅意波電子楊氏干涉實(shí)驗(yàn)不確定關(guān)系波函數(shù)詮釋與量子測量，算符共設(shè)薛定諤方程2原子的核式結(jié)構(gòu)與Bohr理論對湯姆孫模型的否定該模型認(rèn)為正電荷均勻分布于這個原子球內(nèi)，而電子則嵌在其中。蓋革實(shí)驗(yàn)：用 粒子轟擊重元素原子， 粒子有八千分之一彈回。按湯姆孫模型計(jì)算，彈回的概率只有 盧瑟福核式結(jié)構(gòu)模型：原子的正電荷及絕大部分質(zhì)量集中在很小的核心。電子在原子核的庫侖力吸引下繞原子核運(yùn)動，而電子軌道半徑即原子半徑。3原子的核式結(jié)構(gòu)與Bohr理論盧瑟福核式結(jié)構(gòu)模型可以解釋 粒子散射實(shí)驗(yàn)，但是不能解釋電磁輻射問題。依經(jīng)典電動力學(xué)，電子因?yàn)樵谧黾铀龠\(yùn)動

2、，要不斷向外輻射電磁波，因而繞核運(yùn)動半徑逐漸減小，造成原子在 秒內(nèi)崩潰。而由于運(yùn)轉(zhuǎn)頻率不斷加快，發(fā)射的電磁波頻率漸增，電磁波譜必然是連續(xù)的。實(shí)驗(yàn)事實(shí)：原子不崩潰； 氫原子光譜為分立譜線，可概括為：；（里德伯常數(shù)）4原子的核式結(jié)構(gòu)與Bohr理論玻爾理論（舊量子論）：1）承認(rèn)核式結(jié)構(gòu)，但電子只能處于穩(wěn)定軌道上（穩(wěn)態(tài)），這些軌道只能有特定能量值，能量穩(wěn)定，不輻射電磁波。即經(jīng)典電動力學(xué)實(shí)效；2）在外界作用下，電子可從一個穩(wěn)定軌道跳到另一個能量較低的穩(wěn)定軌道，并發(fā)光，其頻率為：3）穩(wěn)定軌道需符合量子化條件。玻爾理論不能解釋氫原子以外的其他原子光譜，即便對氫原子，也只能解釋頻率，但不能解釋強(qiáng)度。h為Pla

3、nck常量5原子的核式結(jié)構(gòu)與Bohr理論量子物理學(xué)的出發(fā)點(diǎn)是認(rèn)為所有實(shí)物粒子都具波的屬性因而沒有經(jīng)典軌道，將嚴(yán)格回答電子的穩(wěn)態(tài)成因及所有光譜問題以及其它微觀粒子運(yùn)動規(guī)律。6所有物質(zhì)都具有波動性，稱為德布羅意波。電子在晶體上散射時的電子束強(qiáng)度分布圖與 X光在晶體上的衍射強(qiáng)度分布圖十分相似。德布羅意波7 We have seen that light comes in discrete units (photons) with particle properties (energy and momentum) that are related to thewave-like properties

4、of frequency and wavelength.MATTER WAVESIn 1923 Prince Louis de Broglie postulated that ordinary matter can havewave-like properties, with the wavelength related to momentum p in the same way as for light de Broglie wavelengthde Broglie relation Plancks constantPrediction: We should see diffraction

5、and interference of matter wavesDe BroglieNB wavelength depends on momentum, not on the physical size of the particle8Estimate some de Broglie wavelengths Wavelength of electron with 50eV kinetic energy Wavelength of Nitrogen molecule at room temperature Wavelength of Rubidium(87) atom at 50nK低溫與量子效

6、應(yīng)9DavissonG.P. ThomsonDavisson, C. J., Are Electrons Waves?, Franklin Institute Journal 205, 597 (1928) The Davisson-Germer experiment: scattering a beam of electrons from a Ni crystal. Davisson got the 1937 Nobel prize.At fixed angle, find sharp peaks in intensity as a function of electron energyG.

7、P. Thomson performed similar interference experiments with thin-film samplesiiELECTRON DIFFRACTIONThe Davisson-Germer experiment (1927)10Interpretation: similar to Bragg scattering of X-rays from crystalsairPath difference:Constructive interference whenNote difference from usual “Braggs Law” geometr

8、y: the identical scattering planes are oriented perpendicular to the surfaceNote i and r not necessarily equalElectron scattering dominated by surface layersELECTRON DIFFRACTION (cont)11Originally performed by Young (1801) to demonstrate the wave-nature of light. Has now been done with electrons, ne

9、utrons, He atoms among others.DdDetecting screenIncoming coherent beam of particles (or light)yAlternative method of detection: scan a detector across the plane and record number of arrivals at each pointTHE DOUBLE-SLIT EXPERIMENTFor particles we expect two peaks, for waves an interference pattern12

10、3）電子的楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)顯示的波動性（1）裝置和強(qiáng)度分布 (2）實(shí)驗(yàn)結(jié)論少量電子通過儀器落在屏幕上時，顯示了電子的“粒子性”，分布毫無規(guī)律。隨通過電子數(shù)的增加，屏幕上形成了清晰的干涉條紋，顯示了電子的“波動性”。電子數(shù)1003000200007000013 電子12雙縫器探測P1P2P12xx電子槍xx(b)(c)(d)總結(jié)：是概率幅， probability amplitude是雙縫實(shí)驗(yàn)干涉概率幅觀察屏上的分布是d而不是c ！14（3）實(shí)驗(yàn)分析及結(jié)論（a）不是大量粒子的預(yù)先位置的統(tǒng)計(jì)分布的結(jié)果（b）也不是兩縫間電子相互作用（碰撞）的結(jié)果理由：單電子依次次通過雙縫，積累足夠多數(shù)目后也可以得到清晰

11、的干涉條紋同樣。 干涉條紋是電子自身干涉的結(jié)果(C) 波動是電子本身的固有屬性，每個電子通過兩個單縫，干涉正是發(fā)生在單粒子兩部分的“幾率波”之間，實(shí)物粒子波是幾率波。理由：雙逢干涉條紋不等于單逢各自條紋相加。15這樣的概率解釋背后的本質(zhì)是什么？概率解釋本身就是本質(zhì)規(guī)律，還沒有人能夠作出比概率解釋更多地解釋。不存在能夠推導(dǎo)出這些解釋的“更本質(zhì)的機(jī)制”?！盎蛟S，電子存在某種我們尚未掌握的內(nèi)部機(jī)制某種內(nèi)部變量（隱變量）。一旦我們掌握了這些內(nèi)部變量，我們就能準(zhǔn)確預(yù)測它將到達(dá)哪里。 ”？16倘若，由于某種我們目前尚未發(fā)現(xiàn)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，每個電子預(yù)先已經(jīng)“打定主意”要決定通過某個縫，那我們就不可能看到干涉條紋

12、。 12雙縫器探測P1P2P12xx電子槍xx(b)(c)(d)設(shè)想，我們在電子槍剛剛發(fā)射時隨機(jī)擋住部分電子在屏上條紋形狀不變。而只是整體變?nèi)酢Ｈ綦娮邮孪却蚨ㄗ⒁庾吣膫€縫，那我們隨機(jī)堵住一個縫就等價于在電子槍前隨機(jī)堵住部分電子。但是, 實(shí)驗(yàn)已證實(shí)隨機(jī)堵住一個縫將沒有干涉條紋。隱變量控制下的路徑？17注：若每個電子預(yù)先已經(jīng)“打定主意”要決定通過某個縫，在這個前提下，當(dāng)你隨機(jī)關(guān)閉一個縫，就等效于雙縫齊開，而隨機(jī)決定是否在電子槍前直接堵住電子。理由：若電子預(yù)先決定要進(jìn)過的縫就是被你關(guān)閉的縫，那就完全阻擋了電子，等同于在電子槍前堵住電子；若電子預(yù)先決定要進(jìn)過的縫不是被你關(guān)閉的縫，那被你關(guān)閉的那條縫無論

13、是關(guān)還是開對電子都不影響，就等同于雙縫齊開。然而實(shí)驗(yàn)事實(shí)是：隨機(jī)關(guān)閉一個縫同隨機(jī)決定是否在電子槍前堵住電子將會形成不同條紋。因此，我們假定的前提，“ 每個電子預(yù)先已經(jīng)打定主意要決定通過某個縫”必定不成立。隱變量控制下的路徑？“電子預(yù)先打定主意要決定通過某個縫”是指電子就如同子彈一樣是存在運(yùn)動軌跡的經(jīng)典粒子。18電子是如何通過雙縫的 ？命題：“每個電子完整的通過一個縫?！笔聦?shí)二：若兩縫齊開 ，干涉事實(shí)三：堵住一個縫無干涉問題：既然每次觀測電子是通過哪個縫，我們總會發(fā)現(xiàn)電子必然完整的通過一個縫，為什么不能據(jù)此推斷電子在任何時候都是完整地通過一個縫？事實(shí)一：每次觀測電子是通過哪個縫，我們總會發(fā)現(xiàn)電子

14、必然完整的通過一個縫19電子是如何通過雙縫的 ？“每次觀測電子是通過哪個縫，我們總會發(fā)現(xiàn)電子必然完整的通過一個縫?！边@一事實(shí)只表示：當(dāng)電子被觀察是通過哪個縫時，電子必然完整的通過一個縫。但并不表示當(dāng)電子未被觀察通過哪個縫時，電子也完整的通過一個縫?；卮疬@個問題需要進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)事實(shí)。才子阿牛的體態(tài)問題蘋果丟失之謎20電子是如何通過雙縫的 ？進(jìn)一步事實(shí)：不加監(jiān)視，雙縫齊開，有干涉。隨機(jī)堵住一縫無干涉。結(jié)論：在不被監(jiān)視（觀測）時，電子不可能完整的通過一個縫， 而是以波的形式通過雙縫！而經(jīng)典粒子只能擇一縫通過。此結(jié)論再次證明電子的波動性。21電子是如何通過雙縫的 ？若不觀測，電子波函數(shù)越過兩個縫而發(fā)生

15、干涉，電子并無確切位置（即通過哪個縫越過雙縫屏）。如果觀察電子通過哪個縫，觀察擾動了電子的狀態(tài)。觀察行為本身為電子“制備”了這樣一個確定位置。22不確定原理(Uncertainty Principle)任何波函數(shù)不能同時給出位置與動量的精確值。任何粒子，任何物理系統(tǒng)，在客觀上不能同時具有確定的位置與確定的動量。定量地說，如果粒子被局限在 方向的 范圍內(nèi)，同一方向的動量必然有一個范圍 且必須滿足條件 雙縫實(shí)驗(yàn)告訴我們，電子不能預(yù)先打定注意要走哪條縫。這意味著：23波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋回顧電子的楊氏實(shí)驗(yàn)。條紋強(qiáng)度指的是什么？12雙縫器探測P1P2P12xx電子槍xx(b)(c)(d)24波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)

16、解釋玻恩（M.Born）1926年對波函數(shù)作出統(tǒng)計(jì)詮釋。玻恩假定: 德布羅意波是描述粒子在空間概率分布的概率波，概率波的波函數(shù)用 表示。 是描述粒子在空間的幾率分布的“概率振幅”(probability amplitude)波函數(shù)的模方 代表時刻t，在空間r點(diǎn)處單位體積中發(fā)現(xiàn)一個粒子的概率密度。時刻t在空間r點(diǎn)附近 體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為25中子，原子，分子的波動性26 DdyMaxima when:Position on screen:so use small angle approximationSo separation between adjacent maxima:FRINGE SP

17、ACING INDOUBLE-SLIT EXPERIMENT27Estimate some de Broglie wavelengths Wavelength of electron with 50eV kinetic energy Wavelength of Nitrogen molecule at room temperature Wavelength of Rubidium(87) atom at 50nK低溫與量子效應(yīng)28DOUBLE-SLIT EXPERIMENT WITH HELIUM ATOMS (Carnal & Mlynek, 1991,Phys.Rev.Lett.,66,p

18、2689) DdyPath difference:Constructive interference:Experiment: He atoms at 83K, with d=8m and D=64cmSeparation between maxima:Measured separation:Predicted separation:Predicted de Broglie wavelength:Good agreement with experiment(proof following)29Neutrons, A Zeilinger et al. 1988 Reviews of Modern

19、Physics 60 1067-1073 He atoms: O Carnal and J Mlynek 1991 Physical Review Letters 66 2689-2692 C60 molecules: M Arndt et al. 1999 Nature 401 680-682 With multiple-slit gratingWithout gratingEXPERIMENTAL RESULTSInterference patterns can not be explained classically - clear demonstration of matter wav

20、esFringe visibility decreases as molecules are heated. L. Hackermller et al. 2004 Nature 427 711-714 30Some key papers in the development of the double-slit experiment during the 20th century:Performed with a light source so faint that only one photon exists in the apparatus at any one timeG I Taylo

21、r 1909 Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 15 114-115Performed with electrons C Jnsson 1961 Zeitschrift fr Physik 161 454-474,(translated 1974 American Journal of Physics 42 4-11)Performed with single electrons A Tonomura et al. 1989 American Journal of Physics 57 117-120Performed wit

22、h neutronsA Zeilinger et al. 1988 Reviews of Modern Physics 60 1067-1073Performed with He atomsO Carnal and J Mlynek 1991 Physical Review Letters 66 2689-2692Performed with C60 moleculesM Arndt et al. 1999 Nature 401 680-682Performed with C70 molecules showing reduction in fringe visibility as tempe

23、rature risesand the molecules “give away” their position by emitting photonsL. Hackermller et al 2004 Nature 427 711-714Performed with Na Bose-Einstein CondensatesM R Andrews et al. 1997 Science 275 637-641An excellent summary is available in Physics World (September 2002 issue, page 15)and at / (re

24、aders voted the double-slit experiment “the most beautiful in physics”).DOUBLE-SLIT EXPERIMENTBIBLIOGRAPHY31波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋回顧電子的楊氏實(shí)驗(yàn)。條紋強(qiáng)度指的是什么？12雙縫器探測P1P2P12xx電子槍xx(b)(c)(d)32波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋玻恩（M.Born）1926年對波函數(shù)作出統(tǒng)計(jì)詮釋。玻恩假定: 德布羅意波是描述粒子在空間概率分布的概率波，概率波的波函數(shù)用 表示。 是描述粒子在空間的幾率分布的“概率振幅”(probability amplitude)波函數(shù)的模方 代表時刻t

25、，在空間r點(diǎn)處單位體積中發(fā)現(xiàn)一個粒子的概率密度。時刻t在空間r點(diǎn)附近 體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為33波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)代表物理系統(tǒng)（電子，原子，方子，各種多粒子系統(tǒng)等）所處的狀態(tài)，它包含物理系統(tǒng)的所有信息。量子力學(xué)公設(shè)：注解：態(tài)矢量也表示物理系統(tǒng)的狀態(tài)，包含物理系統(tǒng)的全部信息。 比較：偏振態(tài)的概率幅；位置空間的態(tài)矢量，基礎(chǔ)態(tài)34波函數(shù)歸一化條件時刻t在空間r點(diǎn)附近 體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為 在全空間發(fā)現(xiàn)粒子的概率為1。我們有波函數(shù)歸一化條件：35波函數(shù)歸一化問題統(tǒng)計(jì)詮釋要求波函數(shù)平方可積，即有限正常數(shù)如果則稱歸一化了。這時的表示粒子空間分布的概率密度。36【例】基態(tài)氫原子中電子的波函數(shù)為其中，

26、C代表歸一化因子，為玻爾半徑（1）求歸一化因子C因此，歸一化波函數(shù)為 （2）求電子出現(xiàn)在球殼中的概率37“發(fā)現(xiàn)電子處于某個位置”是指測量電子的位置，測量結(jié)果顯示電子處于某個點(diǎn) 。此時，電子狀態(tài)已經(jīng)不再是原來的波函數(shù) ，而是一個新的有確切位置的狀態(tài)。測量改變了電子的狀態(tài)。測量過程實(shí)際上是波包坍縮的過程?；仡櫣庾悠駹顟B(tài)測量。PBS對測量(measurement)的注解38對測量(measurement)的注解測量將量子狀態(tài)強(qiáng)行投放到被測物理量的某個本征態(tài)上。（即波包塌縮，wave-packet collapse）量子力學(xué)迄今未回答測量為什么會導(dǎo)致波包塌縮，本課程不討論這個問題。波包坍縮會導(dǎo)致被測

27、物理系統(tǒng)狀態(tài)的改變，除非該系統(tǒng)原本就處于待測物理量的某個本征態(tài)。注解：“被測物理量的本征態(tài)”是指對于被測物理量有確定值的態(tài)。例如，若被測物理量是位置，“則位置本征態(tài)”就指位置有確定值的態(tài)。39對測量(measurement)的注解波包塌縮舉例：1）偏振測量。2）位置測量。40對測量(measurement)的注解舉例：1）偏振測量。水平偏振片，待測物理量本征態(tài)：2）位置測量。測量空間本征態(tài)：具有確切位置的態(tài)：熒光板偏振片測量與觀察者意識無關(guān)。量子力學(xué)現(xiàn)有框架不考慮波包是如何坍塌的41對測量(measurement)的注解即便狀態(tài)（波函數(shù)）一樣，單次測量結(jié)果未必一樣。除非測量之前系統(tǒng)所處的狀態(tài)對

28、于待測物理量已經(jīng)有確定值。例如：偏振，位置在一次測量之后，緊接著對同一物理系統(tǒng)測量同一物理量，必然獲得與前次測量同樣的結(jié)果。測量平均值（期待值）不是單次測量結(jié)果42不確定原理與測量任何波函數(shù)不能同時給出位置與動量的精確值。任何粒子，任何物理系統(tǒng)，在客觀上不能同時具有確定的位置與確定的動量。定量地說，如果粒子被局限在 方向的 范圍內(nèi)，同一方向的動量必然有一個范圍 且必須滿足條件 43不確定原理(Uncertainty Principle)此原理的一個必然后果就是“測不準(zhǔn)原理”：對任一客體進(jìn)行測量，以不確定量 測定其動量的 分量時，就不可能同時測定其位置比 更準(zhǔn)確。海森堡44不確定原理(Uncer

29、tainty Principle)例如，對于一個有確定動量（p）的電子，其位置z必然完全不確定，反之亦然。有確定動量電子的波函數(shù)為：平面波，波列無限長，在任何位置z發(fā)現(xiàn)電子的概率都相同，即位置完全不確定。45不確定原理(Uncertainty Principle)認(rèn)為電子集中在此區(qū)域電子束axPPx=h/P 位置和動量的不確定關(guān)系。粒子在同一方向上的位置和動量不能同時確定。經(jīng)典力學(xué)中，可用“軌道”來描寫粒子的運(yùn)動， 而微觀粒子卻不行。以電子單縫衍射為例x =a；由于 0PxPsin故在x方向動量不確定度P x=P sin=h sin/衍射關(guān)系a sin=x sin= 故 x Px= h把其余明紋的貢獻(xiàn)考慮在內(nèi), 有xPxh46問題討論有人說，“我已經(jīng)知道飛向單縫的（平面波）粒子在x方向動量為0，它穿過極窄的單縫后，位置也知道了。位置與動量可以精確掌握?！边@不是不確定關(guān)系所談的事。不確定關(guān)系指的是對某一個狀態(tài)測量結(jié)果的預(yù)知極限。即，我們要求的是，對某個特定（時刻的）狀態(tài)，回答：如果觀測其位置，它是在什么范圍；如果我觀測其動量，它會在什么范圍?！坝腥苏f”的那個結(jié)果指的是：對于粒子在飛到擋板之前的狀態(tài)，我們知道其動量（但不知其位置）；對于粒子通過窄縫后的狀態(tài)