2013年普通高等學校全國招生統(tǒng)一考試數(shù)學（山東卷）理科與答案(lei)

1、2013年普通高等學校招生全國各省市統(tǒng)一考試數(shù)學試卷與答案 PAGE 21 2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)高考數(shù)學理科真題精校精析一、選擇題：1 復數(shù)z滿足(z3)(2i)5(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復數(shù)z為()A2i B2i C5i D5i1【答案】D解析 設(shè)zabi，(a，b)，由題意得(abi3)(2i)(2ab6)(2ba3)i5，即eq blc(avs4alco1(2ab65，,2ba30，)解之得eq blc(avs4alco1(a5，,b1，)z5i.2 已知集合A0，1，2，則集合Bxy|xA，yA中元素的個數(shù)是()A1 B3 C5 D92【答案】C解析 x

2、，yeq blcrc(avs4alco1(0，1，2)，xy值只可能為2，1，0，1，2五種情況，集合B中元素的個數(shù)是5.3 已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當x0時，f(x)x2eq f(1,x)，則f(1)()A2 B0 C1 D23【答案】A解析 feq blc(rc)(avs4alco1(x)為奇函數(shù)，feq blc(rc)(avs4alco1(1)f(1)eq blc(rc)(avs4alco1(12f(1,1)2.4 已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq f(9,4)，底面是邊長為eq r(3)的正三角形若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為

3、()A.eq f(5,12) B.eq f(,3) C.eq f(,4) D.eq f(,6)4【答案】B解析 設(shè)側(cè)棱長為a，ABC的中心為Q，聯(lián)結(jié)PQ，由于側(cè)棱與底面垂直，PQ平面ABC，即PAQ為PA與平面ABC所成的角又VABCA1B1C1eq f(r(3),4)eq blc(rc)(avs4alco1(r(3)eq sup12(2)aeq f(9,4)，解得aeq r(3)，tan PAQeq f(PQ,AQ)eq f(r(3),f(r(3),2)r(3)f(2,3)eq r(3)，故PAQeq f(,3).5 將函數(shù)ysin(2x)的圖像沿x軸向左平移eq f(,8)個單位后，得到一

4、個偶函數(shù)的圖像，則的一個可能取值為()A.eq f(3,4) B.eq f(,4) C0 Deq f(,4)5【答案】B解析 方法一：將函數(shù)ysin(2x)的圖像沿x軸向左平移eq f(,8)個單位后得到f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)的圖像，若f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)為偶函數(shù)，必有eq f(,4)keq f(,2)，k，當k0時，eq f(,4).方法二：將函數(shù)ysin(2x)的圖像沿x軸向左平移eq f(,8)個單位后得到f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)的圖像，其對稱軸

5、所在直線滿足2xeq f(,4)keq f(,2)，k，又f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)為偶函數(shù)，y軸為其中一條對稱軸，即eq f(,4)keq f(,2)，k，當k0時，eq f(,4).6 在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組eq blc(avs4alco1(2xy20，,x2y10，,3xy80)所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為()A2 B1 Ceq f(1,3) Deq f(1,2)6【答案】C解析 不等式組表示的可行域如圖，聯(lián)立eq blc(avs4alco1(x2y10，,3xy80，)解得Peq blc(rc)(avs4al

6、co1(3，1)，當M與P重合時，直線OM斜率最小，此時kOMeq f(10,30)eq f(1,3).圖117 給定兩個命題p，q，若p是q的必要而不充分條件，則p是q的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件7A解析 p是q的必要不充分條件，q是p的充分而不必要條件，又“若p，則q”與“若q，則p”互為逆否命題，p是q的充分而不必要條件8 函數(shù)yxcos xsin x的圖像大致為()圖128D解析 f(x)xcos(x)sin(x)(xcos xsin x)f(x)，yxcos xsin x為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，排除選項B.當xeq f(,2)時

7、，y10，排除選項C；x，y0)的焦點與雙曲線C2：eq f(x2,3)y21的右焦點的連線交C1于第一象限的點M.若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p()A.eq f(r(3),16) B.eq f(r(3),8) C.eq f(2 r(3),3) D.eq f(4 r(3),3)11D解析 拋物線C1：yeq f(1,2p)x2eq blc(rc)(avs4alco1(p0)的焦點坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)，雙曲線eq f(x2,3)y21的右焦點坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(2，0)，連線的方程為yeq f(p,4)eq

8、 blc(rc)(avs4alco1(x2)，聯(lián)立eq blc(avs4alco1(yf(p,4)（x2），,yf(1,2p)x2) 得2x2p2x2p20.設(shè)點M的橫坐標為a，則在點M處切線的斜率為y|xaeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2p)x2).又雙曲線eq f(x2,3)y21的漸近線方程為eq f(x,r(3)y0，其與切線平行，eq f(a,p)eq f(r(3),3)，即aeq f(r(3),3)p，代入2x2p2x2p20得，peq f(4 r(3),3)或p0(舍去)12 設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當eq f(xy,z)取得最大值時，e

9、q f(2,x)eq f(1,y)eq f(2,z)的最大值為()A0 B1 C.eq f(9,4) D312B解析 由題意得zx23xy4y2，eq f(xy,z)eq f(xy,x23xy4y2)eq f(1,f(x,y)f(4y,x)3)eq f(1,2 r(f(x,y)f(4y,x)3)1，當且僅當eq f(x,y)eq f(4y,x)，即x2y時，等號成立，eq f(2,x)eq f(1,y)eq f(2,z)eq f(2,2y)eq f(1,y)eq f(2,4y26y24y2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,y)1)eq sup12(2)11.二填空題：本大題共

10、4小題，每小題4分，共16分13 圖13執(zhí)行如圖13所示的程序框圖，若輸入的的值為0.25，則輸出的n的值為_133解析 第一次執(zhí)行循環(huán)體時，F(xiàn)13，F(xiàn)02，n112，eq f(1,F1)eq f(1,3)0.25；第二次執(zhí)行循環(huán)體時，F(xiàn)1235，F(xiàn)03，n213，eq f(1,F1)eq f(1,5)0.25，滿足條件，輸出n3.14、 在區(qū)間3，3上隨機取一個數(shù)x，使得|x1|x2|1成立的概率為_14.eq f(1,3)解析 當x2時，不等式化為x1x21，此時恒成立，|x1|x2|1的解集為eq blcrc)(avs4alco1(1，).在eq blcrc(avs4alco1(3，3)

11、上使不等式有解的區(qū)間為eq blcrc(avs4alco1(1，3)，由幾何概型的概率公式得Peq f(31,3（3）)eq f(1,3).15 已知向量eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()的夾角為120，且|eq o(AB,sup6()|3，|eq o(AC,sup6()|2.若eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，且eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，則實數(shù)的值為_15.eq f(7,12)解析 eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(AP,sup6()eq o(BC,s

12、up6()eq blc(rc)(avs4alco1(o(AB,sup6()o(AC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(o(AC,sup6()o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()2eq blc(rc)(avs4alco1(1)eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()0，即94eq blc(rc)(avs4alco1(1)32eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)0，解之得eq f(7,12).16、 定義“正對數(shù)”：ln xeq blc(avs4alco1(0，0 x0，b0，則ln(ab)blna；

13、若a0，b0，則ln(ab)lnalnb；若a0，b0，則lneq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)lnalnb；若a0，b0，則ln(ab)lnalnbln 2.其中的真命題有_(寫出所有真命題的編號)16解析 中，當ab1時，b0，a1，ln(ab)ln abbln ablna；當0ab0，0a1，ln(ab)blna0，正確；中，當0ab1時，左邊ln(ab)0，右邊lnalnbln a0ln a0，不成立；中，當eq f(a,b)1，即ab時，左邊0，右邊lnalnb0，左邊右邊成立；當eq f(a,b)1時，左邊lneq f(a,b)ln aln b0，若ab1時，右

14、邊ln aln b，左邊右邊成立；若0ba1b0，左邊lneq f(a,b)ln aln bln a，右邊ln a，左邊右邊成立，正確；中，若0ab0，左邊右邊；若ab1，lneq blc(rc)(avs4alco1(ab)ln 2lneq blc(rc)(avs4alco1(ab)ln 2ln(eq f(ab,2)，又eq f(ab,2)a或eq f(ab,2)b，a，b至少有1個大于1，ln(eq f(ab,2)ln a或ln(eq f(ab,2)ln b，即有l(wèi)neq blc(rc)(avs4alco1(ab)ln 2lneq blc(rc)(avs4alco1(ab)ln 2ln(eq

15、 f(ab,2)lnalnb，正確三、解答題：本大題共6小題，共74分。17、 設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ac6，b2，cos Beq f(7,9).(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值17解：(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cosB)，又b2，ac6，cos Beq f(7,9)，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sin Beq r(1cos2B)eq f(4 r(2),9).由正弦定理得sin Aeq f(asin B,b)eq f(2 r(2),3).因為ac，所以A為銳角，所以cos Aeq r(1

16、sin2 A)eq f(1,3).因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin Beq f(10 r(2),27).圖1418、 如圖14所示，在三棱錐PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，聯(lián)結(jié)GH.(1)求證：ABGH；(2)求二面角DGHE的余弦值18解：(1)證明：因為D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，所以EFAB，DCAB，所以EFDC.又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF平面PCD.又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH.又EFA

17、B，所以ABGH.(2)方法一：在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90，即ABBQ.因為PB平面ABQ，所以ABPB.又BPBQB，圖15所以AB平面PBQ.由(1)知ABGH，所以GH平面PBQ.又FH平面PBQ，所以GHFH.同理可得GHHC，所以FHC為二面角DGHE的平面角設(shè)BABQBP2.聯(lián)結(jié)FC，在RtFBC中，由勾股定理得FCeq r(2)，在RtPBC中，由勾股定理得PCeq r(5).又H為PBQ的重心，所以HCeq f(1,3)PCeq f(r(5),3).同理FHeq f(r(5),3).在FHC中，由余弦定理得cosFHCeq f(f(5,9)f(5,9)2,

18、2f(5,9)eq f(4,5).即二面角DGHE的余弦值為eq f(4,5).方法二：在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90.又PB平面ABQ，所以BA，BQ，BP兩兩垂直以B為坐標原點，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系設(shè)BABQBP2，則E(1，0，1)，F(xiàn)(0，0，1)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)所以eq o(EQ,sup6()(1，2，1)，eq o(FQ,sup6()(0，2，1)，eq o(DP,sup6()(1，1，2)，eq o(CP,sup6()(0，1，2)設(shè)平面EFQ的一個

19、法向量為(x1，y1，z1)，由eq o(EQ,sup6()0，eq o(FQ,sup6()0，得eq blc(avs4alco1(x12y1z10，,2y1z10，)取y11，得(0，1，2)設(shè)平面PDC的一個法向量為(x2，y2，z2)，由eq o(DP,sup6()0，eq o(CP,sup6()0，得eq blc(avs4alco1(x2y22z20，,y22z20，)取z21，得(0，2，1)所以cos，eq f(mn,|m|n|)eq f(4,5).因為二面角DGHE為鈍角，所以二面角DGHE的余弦值為eq f(4,5).圖1519、 甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比

20、賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊獲勝的概率是eq f(1,2)外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是eq f(2,3).假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立(1)分別求甲隊以30，31，32勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分、對方得1分求乙隊得分X的分布列及數(shù)學期望19解：(1)記“甲隊以30勝利”為事件A1，“甲隊以31勝利”為事件A2，“甲隊以32勝利”為事件A3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(A1)(eq f(2,3)3eq f(8,27)，P(A2)Ceq oal(2,3)(eq f(2,3)2(1eq f(2,3)eq f(

21、2,3)eq f(8,27)，P(A3)Ceq oal(2,4)(eq f(2,3)2(1eq f(2,3)2eq f(1,2)eq f(4,27).所以，甲隊以30勝利、以31勝利的概率都為eq f(8,27)，以32勝利的概率為eq f(4,27).(2)設(shè)“乙隊以32勝利”為事件A4，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，所以P(A4)Ceq oal(2,4)(1eq f(2,3)2(eq f(2,3)2(1eq f(1,2)eq f(4,27)，由題意，隨機變量X的所有可能的取值為0，1，2，3.根據(jù)事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)eq f(16,27).又P(X1)

22、P(A3)eq f(4,27).P(X2)P(A4)eq f(4,27)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)eq f(3,27)，故X的分布列為X0123Peq f(16,27)eq f(4,27)eq f(4,27)eq f(3,27)所以E(X)0eq f(16,27)1eq f(4,27)2eq f(4,27)3eq f(3,27)eq f(7,9).20、 設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S44S2，a2n2an1.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn，且Tneq f(an1,2n)(為常數(shù))，令cnb2n(n)，求數(shù)列cn的前n項和Rn.20解：(1

23、)設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d.由S44S2，a2n2an1得eq blc(avs4alco1(4a16d8a14d，,a1（2n1）d2a12（n1）d1，)解得a11，d2，因此an2n1，n*.(2)由題意知Tneq f(n,2n1)，所以n2時，bnTnTn1eq f(n,2n1)eq f(n1,2n2)eq f(n2,2n1).故cnb2neq f(2n2,22n1)(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(n1)，n*.所以Rn0eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(0)1eq blc(rc)(avs4

24、alco1(f(1,4)eq sup12(1)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(2)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(3)(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(n1)，則eq f(1,4)Rn0eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(1)1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(3)(n2)eq blc(rc)(avs4alco1(f

25、(1,4)eq sup12(n1)(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(n)，兩式相減得eq f(3,4)Rneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(n1)(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(n)eq f(f(1,4)blc(rc)(avs4alco1(

26、f(1,4)sup12(n),1f(1,4)(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(n)eq f(1,3)eq f(13n,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(n)，整理得Rneq f(1,9)(4eq f(3n1,4n1)所以數(shù)列cn的前n項和Rneq f(1,9)(4eq f(3n1,4n1)21、 設(shè)函數(shù)f(x)eq f(x,e2x)c(e2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù)，c)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間、最大值；(2)討論關(guān)于x的方程|ln x|f(x)根的個數(shù)21解：(1)f(x)(12x)e2x.由f(x

27、)0，解得xeq f(1,2)，當x0，f(x)單調(diào)遞增；當xeq f(1,2)時，f(x)0，則g(x)lnxxe2xc，所以g(x)e2x(eq f(e2x,x)2x1)因為2x10，eq f(e2x,x)0，所以g(x)0.因此g(x)在(1，)上單調(diào)遞增當x(0，1)時，lnx1x0，所以eq f(e2x,x)1.又2x11，所以eq f(e2x,x)2x10，即g(x)0，即ce2時，g(x)沒有零點，故關(guān)于x的方程|lnx|f(x)根的個數(shù)為0；當g(1)e2c0，即ce2時，g(x)只有一個零點，故關(guān)于x的方程|lnx|f(x)根的個數(shù)為1；當g(1)e2ce2時，()當x(1，

28、)時，由(1)知g(x)lnxxe2xclnx(eq f(1,2)e1c)lnx1c，要使g(x)0，只需使lnx1c0，即x(e1c，)；()當x(0，1)時，由(1)知g(x)lnxxe2xclnx(eq f(1,2)e1c)lnx1c，要使g(x)0，只需lnx1c0，即x(0，e1c)；所以ce2時，g(x)有兩個零點，故關(guān)于x的方程|lnx|f(x)根的個數(shù)為2.綜上所述，當ce2時，關(guān)于x的方程|lnx|f(x)根的個數(shù)為2.22 橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率為eq f(r(3),2)，過F1且垂直于x軸的直線

29、被橢圓C截得的線段長為1.(1)求橢圓C的方程；(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，聯(lián)結(jié)PF1，PF2，設(shè)F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m，0)，求m的取值范圍；(3)在(2)的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k0，試證明eq f(1,kk1)eq f(1,kk2)為定值，并求出這個定值22解：(1)由于c2a2b2，將xc代入橢圓方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，得yeq f(b2,a).由題意知 eq f(2b2,a)1，即a2b2.又eeq f(c,a)eq f(r(3)

30、,2)，所以a2，b1.所以橢圓C的方程為eq f(x2,4)y21.(2)方法一：設(shè)P(x0，y0)(y00)又F1(eq r(3)，0)，F(xiàn)2(eq r(3)，0)，所以直線PF1，PF2的方程分別為lPF1：y0 x(x0eq r(3)yeq r(3)y00，lPF2：y0 x(x0eq r(3)yeq r(3)y00.由題意知eq f(blc|rc|(avs4alco1(my0r(3)y0),r(yeq oal(2,0)（x0r(3)）2)eq f(blc|rc|(avs4alco1(my0r(3)y0),r(yeq oal(2,0)（x0r(3)）2).由于點P在橢圓上，所以eq f

31、(xeq oal(2,0),4)yeq oal(2,0)1，所以eq f(|mr(3)|,r(blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)x02)sup12(2)eq f(|mr(3)|,r(blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)x02)sup12(2) .因為eq r(3)meq r(3)，2x02，可得eq f(mr(3),f(r(3),2)x02)eq f(r(3)m,2f(r(3),2)x0).所以meq f(3,4)x0.因此eq f(3,2)meq f(3,2).方法二：設(shè)P(x0，y0)當0 x02時，當x0eq r(3)時，直線PF2的斜率不存在，易知

32、P(eq r(3)，eq f(1,2)或Peq blc(rc)(avs4alco1(r(3)，f(1,2).若Peq blc(rc)(avs4alco1(r(3)，f(1,2)，則直線PF1的方程為x4 eq r(3)yeq r(3)0.由題意得eq f(|mr(3)|,7)eq r(3)m，因為eq r(3)meq r(3)，所以meq f(3 r(3),4).若Peq blc(rc)(avs4alco1(r(3)，f(1,2)，同理可得meq f(3 r(3),4).當x0eq r(3)時，設(shè)直線PF1，PF2的方程分別為yk1(xeq r(3)，yk2(xeq r(3)由題意知eq f(|mk1r(3)k1|,r(1keq oal(2,1)eq f