《解題達(dá)人》（2022）高三二輪小題專練——曲線與方程B

1、試卷第 =page 4 4頁(yè)，共 =sectionpages 4 4頁(yè)試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)解題達(dá)人（2022）高三二輪小題專練曲線與方程B一、單選題1在中，角所對(duì)的邊分別為，為的外接圓，給出下列四個(gè)結(jié)論：正確的選項(xiàng)是（ ）若，則； 若P在上，則；若P在上，則的最大值為2；若，則點(diǎn)P的軌跡所對(duì)應(yīng)圖形的面積為.ABCD2如圖，已知在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)在棱上，且，在側(cè)面內(nèi)作邊長(zhǎng)為2的正方形是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到平面的距離等于線段的長(zhǎng)，則當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值是（ ）A12B24C48D643卡西尼卵形線是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)

2、發(fā)現(xiàn)的在數(shù)學(xué)史上，同一平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)（叫做焦點(diǎn)）的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線已知卡西尼卵形線是中心對(duì)稱圖形且有唯一的對(duì)稱中心若某卡西尼卵形線C兩焦點(diǎn)間的距離為2，且C上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之積為1，則C上的點(diǎn)到其對(duì)稱中心距離的最大值為（ ）A1BCD24如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，長(zhǎng)為的線段的一個(gè)端點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與正方體（各個(gè)面）所圍成的幾何體的體積為（ ）ABCD5四棱錐中，底面是正方形，是棱上的一動(dòng)點(diǎn)，E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，的軌跡是球面的一部分，其表面積為，則的值是（ ）ABCD66已知分別為雙

3、曲線的左右頂點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到的距離是到的距離的3倍，若點(diǎn)的軌跡與雙曲線的漸近線的公共點(diǎn)為，則的面積是（ ）AB1CD27已知正六棱柱的棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，為的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與正六棱柱的側(cè)面和底面圍成的較小部分的體積為（ ）ABCD8在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為（ ）ABCD9已知棱長(zhǎng)為a的正方體的所有頂點(diǎn)均在體積為的球O上，動(dòng)點(diǎn)P在正方形內(nèi)運(yùn)動(dòng)(包含邊界)，若直線與直線所成角的正弦值為，則（ ）AB點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為C三棱錐體積的取值范圍為D線段長(zhǎng)度的最小值為10如圖，放置的邊長(zhǎng)為1的正方形沿軸滾動(dòng)，點(diǎn)恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是

4、，則對(duì)函數(shù)有下列命題：若，則函數(shù)是偶函數(shù)；對(duì)任意的，都有；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).其中真命題的序號(hào)是（ ）ABCD11已知雙曲線，作軸的垂線交雙曲線于兩點(diǎn)，作軸的垂線交雙曲線于兩點(diǎn)，且，兩垂線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是（ ）A橢圓B雙曲線C圓D拋物線12棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到直線的距離為定值，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，則此定值可能為（ ）ABCD第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明二、填空題13關(guān)于曲線給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不大于；曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于2其中，正確結(jié)論

5、的序號(hào)是_14阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262-190年）的著作圓錐曲線論是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓在平面直角坐標(biāo)系中，已知的兩個(gè)頂點(diǎn)是定點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別為、；另一個(gè)頂點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，且滿足則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，邊上的高為_(kāi)15曲線圍成的圖形的面積為_(kāi).16棱長(zhǎng)為2的正方體，E，F(xiàn)分別為棱AB與上的點(diǎn)，且，則EF的中點(diǎn)P的軌跡為L(zhǎng)，則L的長(zhǎng)度為_(kāi).答案第 = page 14 14頁(yè)，共 = sectionpages 14 14頁(yè)答案第 = pa

6、ge 1 1頁(yè)，共 = sectionpages 2 2頁(yè)參考答案：1B【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算以及向量的求模公式可判斷，根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可判斷，根據(jù)結(jié)合基本工資可判斷，根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合點(diǎn)的軌跡及三角形的面積公式可判斷.【詳解】，為的外接圓若，則,故正確由若P在上，則故正確由知（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）故錯(cuò)誤若，則點(diǎn)P的軌跡：當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)在線段;當(dāng)時(shí), ,此時(shí)點(diǎn)在線段;當(dāng)時(shí)，構(gòu)造平行四邊形,此時(shí)點(diǎn)在線段上；當(dāng)時(shí)，構(gòu)造平行四邊形,此時(shí)點(diǎn)在線段上；當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在菱形內(nèi)部，綜上點(diǎn)的軌跡為菱形組成的圖形區(qū)域，則故正確故選：B2B【解析】【分析】確定過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由

7、長(zhǎng)方體得當(dāng)最小時(shí)，最小，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)軌跡方程，用坐標(biāo)表示，得最小值，從而得結(jié)論【詳解】在長(zhǎng)方體中，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，則，所以，當(dāng)最小時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，設(shè)，則，且，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值為8，此時(shí)，所以的最小值為24，故選：B3B【解析】【分析】設(shè)左、右焦點(diǎn)分別為，以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，由已知建立曲線方程化簡(jiǎn)得該卡西尼卵形線的方程為，由此可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)左、右焦點(diǎn)分別為，以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)

8、得該卡西尼卵形線的方程為，顯然其對(duì)稱中心為由得，所以，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以該卡西尼卵形線上的點(diǎn)到其對(duì)稱中心距離的最大值為故選：B.4D【解析】【分析】連接、，分析得出，可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為球心，半徑長(zhǎng)為的球面，作出圖形，結(jié)合球體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】連接、，因?yàn)?，且、分別為、的中點(diǎn)，故且，所以，四邊形為平行四邊形，故且，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，為的中點(diǎn)，故，所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為球心，半徑長(zhǎng)為的球面，如下圖所示：所以，線段的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與正方體（各個(gè)面）所圍成的幾何體為球的，故所求幾何體的體積為.故選：D.5B【解析】【分析】首先假設(shè)，將四棱錐放在正方體中，然

9、后根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求得，得到點(diǎn)的軌跡，最后根據(jù)題意列出方程求出的值 .【詳解】由題意不妨設(shè),又，底面是正方形，所以可將四棱錐放在一個(gè)正方體內(nèi)，所以面，又面，則，又的中點(diǎn)為，所以，即的軌跡是以為球心，為半徑的球，且點(diǎn)恒在正方體內(nèi)部，又因?yàn)?個(gè)一樣的正方體放在一起，點(diǎn)的軌跡就可以圍成一個(gè)完整的球，所以的軌跡是以為球心，為半徑的球的球面，所以，解得，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的空間想象能力提出了很高的要求，在求解過(guò)程中，需要對(duì)立體幾何中相關(guān)定理及結(jié)論做到非常熟練的應(yīng)用.6C【解析】【分析】由雙曲線方程寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出點(diǎn)M的軌跡方程，再與雙曲線的漸近

10、線方程聯(lián)立求得點(diǎn)C，D坐標(biāo)即可得解.【詳解】雙曲線的左頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，漸近線方程為，設(shè)，由得：，所以點(diǎn)M的軌跡方程為，由得，即點(diǎn)，點(diǎn)到直線CD：的距離，的面積是.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求軌跡方程的方法：直譯法；定義法；待定系數(shù)法；相關(guān)點(diǎn)法；參數(shù)法.7B【解析】【分析】根據(jù)題意，可判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡為球，結(jié)合球的體積公式，即可求解.【詳解】由直角三角形的性質(zhì)得，所以點(diǎn)在以為球心，半徑是的球面上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)椋詣?dòng)點(diǎn)的軌跡與正六棱柱的側(cè)面和底面圍成的較小部分球，其體積為.故選：B.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的

11、數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.但是本題既不是內(nèi)切，也不是外接，而是棱柱與球的結(jié)合，類似切割球來(lái)求體積問(wèn)題.8C【解析】【分析】根據(jù)題意得出的軌跡為橢圓，且方程為.設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的定義求出，結(jié)合橢圓中的取值范圍即可求出的最大值.【詳解】易知的軌跡為橢圓，其方程為，設(shè)，則，因?yàn)椋?，即?故選：.9C【解析】【分析】由正方體的棱長(zhǎng)為，求出球的半徑為，利用體積求解判斷；說(shuō)明即直線與直線所成的角，連接，轉(zhuǎn)化求解點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌的長(zhǎng)度判斷；由等體積法可知，求解體積的范圍判斷；設(shè)正方形的中心為，連接，當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，求出最小值判斷【詳解】由正方體的棱長(zhǎng)為a，得球O的半徑為，所以，解得，

12、故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋约粗本€與直線所成的角，所以，所以，連接，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的圓的四分之一，所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌的長(zhǎng)度為，故B錯(cuò)誤；由等體積法可知，由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡可知，P到線段的距離d滿足，所以的面積，易知平面，所以，故C正確；設(shè)正方形的中心為，連接，則，易知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C10B【解析】【分析】根據(jù)正方形的運(yùn)動(dòng)，得到點(diǎn)P的軌跡方程，然后根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可【詳解】當(dāng)時(shí)，P的軌跡是以A為圓心，半徑為1的圓，當(dāng)時(shí)，P的軌跡是以B為圓心，半徑為的圓，當(dāng)時(shí)，P的軌跡是以C為圓心，半徑為1的圓，當(dāng)時(shí)，P的軌跡是以A為圓心，半

13、徑為1的圓，函數(shù)的周期是4因此最終構(gòu)成圖象如下：根據(jù)圖象的對(duì)稱性可知函數(shù)是偶函數(shù)，正確由圖象即分析可知函數(shù)的周期是4正確函數(shù)在區(qū)間2，3上單調(diào)遞增，錯(cuò)誤函數(shù)在區(qū)間4，6上是減函數(shù)，由函數(shù)的圖象即可判斷是真命題、正確故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象的變化，其中根據(jù)已知畫出正方形轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的一個(gè)周期內(nèi)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想對(duì)本題進(jìn)行分析是解答本題的關(guān)鍵11B【解析】【分析】根據(jù)題目條件建立方程化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】設(shè)，則，則由得：，化簡(jiǎn)得：，即P點(diǎn)的軌跡是雙曲線，故選：B12A【解析】【分析】設(shè)，分析出點(diǎn)在以為軸的圓錐的側(cè)面上，計(jì)算出，并分析出，可得出，由此可得出合適的選項(xiàng).【詳解】

14、如下圖所示： 因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為定值，所以，點(diǎn)在以為軸的圓錐的側(cè)面上，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡為橢圓，即圓錐被平面所截的截面為橢圓，設(shè)圓錐軸截面的半頂角為，則點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)截面與圓錐的母線平行時(shí)，即時(shí)，截面為拋物線，不合乎題意，所以，.綜合選擇，可知A選項(xiàng)合乎題意.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中點(diǎn)到直線距離的求解，解題的關(guān)鍵就是分析點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上，將點(diǎn)的軌跡轉(zhuǎn)化為平面與圓錐的截面來(lái)處理，對(duì)空間想象能力有一定的要求.13#【解析】【分析】根據(jù)曲線方程的特點(diǎn)，結(jié)合對(duì)稱性及重要不等式即可得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于曲線，又，,曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：，故正確，錯(cuò)誤；在中，時(shí)，；時(shí)，；，；，曲線恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)，故正確；故答案為：14【解析】【分析】首先求出點(diǎn)的軌跡方程，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，即邊上的高最大，即可求解.【詳解】，即兩線段比值為大于零且不等于的常數(shù)，點(diǎn)的軌跡是圓設(shè)、，平方整理得，即，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑長(zhǎng)為的圓，因此，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，邊上的高即為該圓的半徑故答案為：15#【解析】【分析】曲線圍成的圖形關(guān)于軸，軸對(duì)稱，故只需要求出第一象限的面積即可.【詳解】將或代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線關(guān)于軸，軸對(duì)稱，因此只需求出第一象限的面積即可.當(dāng)，時(shí)，曲線可化為：，表示的圖形為一個(gè)半圓，圍成的面積為，故曲線圍成的圖形的面積為.故答