極坐標(biāo)與參數(shù)方程題型與解題方法

1、PAGE2 / NUMPAGES24參數(shù)方程極坐標(biāo)復(fù)習(xí)提問1、極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系有什么區(qū)別？學(xué)校老師課堂如何講解極坐標(biāo)參數(shù)方程的？2、如何把極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系？答：將極坐標(biāo)的極點O作為直角坐標(biāo)系的原點，將極坐標(biāo)的極軸作為直角坐標(biāo)系x軸的正半軸。如果點P在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（x，y），在極坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(,),則有下列關(guān)系成立：xycossin3、參數(shù)方程xryrcossin表示什么曲線？4、圓(x-a)2+(y-b)2=r2的參數(shù)方程是什么？5、極坐標(biāo)系的定義是什么？答：取一個定點O，稱為極點，作一水平射線Ox，稱為極軸，在Ox上規(guī)定單位長度，這樣就組成了一個極坐標(biāo)系設(shè)OP=，又x

2、OP=.和的值確定了，則P點的位置就確定了。叫做P點的極半徑，叫做P點的極角，(,)叫做P點的極坐標(biāo)（規(guī)定寫在前，寫在后）。顯然，每一對實數(shù)(,)決定平面上一個點的位置6、參數(shù)方程的意義是什么？1題型與方法歸納極坐標(biāo)與普通方程的互相轉(zhuǎn)化1、題型與考點（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化參數(shù)方程與普通方程互化（2）參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程互化(3)利用參數(shù)方程求值域參數(shù)方程的幾何意義2、解題方法及步驟（1）、參數(shù)方程與普通方程的互化化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消去法；化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)

3、t，先確定一個關(guān)系xft（或yg(t)，再代入普通方程Fx,y0，求得另一關(guān)系yg(t)（或xft）.一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）例1、方程xytt22（t為參數(shù)）表示的曲線是（）tt22A.雙曲線B.雙曲線的上支C.雙曲線的下支D.圓tt與2t互為倒數(shù)，故將參數(shù)方程的兩個等式兩邊分別平方，再相減，即可解析：注意到2消去含t的項，22222t2t2t2t4xy，即有224yx，又注意到t，tttt，即y，可見與以上參數(shù)方程等價的普通方程為2022222222242yx（y）.顯然它表示焦點在y軸上，以原點為中心的雙曲線的上支，選B2練習(xí)1、與普通方

4、程210 xy等價的參數(shù)方程是（）（t為能數(shù)）xsintxtgtx1txcostA.B.C.D.222ycosty1tgtytysint解析：所謂與方程210 xy等價，是指若把參數(shù)方程化為普通方程后不但形式一致而且x,y的變化X圍也對應(yīng)相同，按照這一標(biāo)準(zhǔn)逐一驗證即可破解.對于A化為普通方程為2101101xy，x，y，；對于B化為普通方程為210(1xy，xR，y，；對于C化為普通方程為2100)(1xy，x，y，;對于D化為普通方程為2101101xy，x，y，.而已知方程為210(1xy，xR，y，顯然與之等價的為B.練習(xí)2、設(shè)P是橢圓為.222x3y12上的一個動點，則x2y的最大值是

5、，最小值分析：注意到變量x,y的幾何意義，故研究二元函數(shù)x2y的最值時，可轉(zhuǎn)化為幾何問題.若設(shè)x2yt，則方程x2yt表示一組直線，（對于t取不同的值，方程表示不同的直線），顯然x,y既滿足222x3y12，又滿足x2yt，故點x,y是方程組222x3y12x2yt的公共解，依題意得直線與橢圓總有公共點，從而轉(zhuǎn)化為研究消無后的一元二次方程的判別式0問題.解析：令x2yt，對于x,y既滿足222x3y12，又滿足x2yt，故點x,y是方程組222x3y12x2yt的公共解，依題意得2211y8ty2t120，由2264t4112t120，解得：22t22，所以x2y的最大值為22，最小值為22.

6、（2）、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化利用兩種坐標(biāo)的互化，可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，這二者互化的前提條件是（1）極點與原點重合；（2）極軸與x軸正方向重合；（3）取相同的單位長度.設(shè)點P的直角坐標(biāo)為x,y，它的極坐標(biāo)為,，則222xyxcos或；若把直角yytgsinx坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，求極角時，應(yīng)注意判斷點P所在的象限（即角的終邊的位置），以便正確地求出角.例2、極坐標(biāo)方程24sin52表示的曲線是（）A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線分析：這類問題需要將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程進(jìn)行判斷.解析：由21cos4sin422cos5，化為直角坐標(biāo)系方程為223222xy2x5，化簡得225

7、y5x.顯然該方程表示拋物線，故選D.4練習(xí)1、已知直線的極坐標(biāo)方程為sin242，則極點到該直線的距離是解析：極點的直角坐標(biāo)為o0,0，對于方程222sinsincos4222，可得sincos1，化為直角坐標(biāo)方程為xy10，因此點到直線的距離為22練習(xí)2、極坐標(biāo)方程2cos0轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為（）A2201x或Bx1Cyy2201x或xDy1y分析：極坐標(biāo)化為直解坐標(biāo)只須結(jié)合轉(zhuǎn)化公式進(jìn)行化解.解析：22(cos1)0,xy0,或cosx1，因此選C.練習(xí)3、點M的直角坐標(biāo)是(1,3)，則點M的極坐標(biāo)為（）A(2,)3B(2,)3C2(2,)3D(2,2),()kkZ3解析：2(2,2k)

8、,(kZ)都是極坐標(biāo)，因此選C.3（3）、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程互化例題3：已知曲線C1的參數(shù)方程為xy21010sincos（為參數(shù)），曲線C2的極坐標(biāo)方程為2cos6sin（1）將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）曲線C1，C2是否相交，若相交請求出公共弦的長，若不相交，請說明理由x210cos解：（1）由得y10sin(x2y22)102y2曲線C1的普通方程為(x2)102cos6sin22cos6sin42x2yxy2,cos,sin22xy2x6y2y2，即(x1)(3)10曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x2y1)(23)10（2）圓C1的圓

9、心為(2,0)，圓C2的圓心為(1,3)22C1C(21)(03)322102兩圓相交設(shè)相交弦長為d，因為兩圓半徑相等，所以公共弦平分線段C1C2(d2)322)(10)2(22d22公共弦長為22練習(xí)1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程.x32cos已知曲線C：(y12sin為參數(shù)，02)，（）將曲線化為普通方程；（）求出該曲線在以直角坐標(biāo)系原點為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系下的極坐標(biāo)方程2y2xy解析：（）x2320（）23cossin（4）利用參數(shù)方程求值域例題4、在曲線x1cosC：）(為參數(shù)上求一點，使它到直線1ysinC：21x22t21y1t2(t為參數(shù)）的距離最小，并求出該點坐標(biāo)和最小距

10、離。解：直線C2化成普通方程是x+y-22-1=05C設(shè)所求的點為P（1+cos,sin)|1cossin221|則C到直線C2的距離d=2EBDAO=|sin(+)+2|4當(dāng)432時，即=54時，d取最小值1F此時，點P的坐標(biāo)是（1-2，-22）2練習(xí)1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動圓228cos6sin7cos280 x+y-x-y+=（R）的圓心為P(x,y)，求2x-y的取值X解：由題設(shè)得xy4cos,3sin（為參數(shù)，R）于是.2xy8cos3sin73cos，()所以732xy73.3xt25練習(xí)2、已知曲線C的極坐標(biāo)方程是2sin，設(shè)直線L的參數(shù)方程是,4yt5（t為參數(shù)）（）將

11、曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)直線L與x軸的交點是M，N曲線C上一動點，求MN的最大值.解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程可化為：22sin2y2xy2又x,cos,sin.所以，曲線C的直角坐標(biāo)方程為：2yy2x20.4（2）將直線L的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程得：(2)yx3令y0得x2即M點的坐標(biāo)為(2,0)又曲線C為圓，圓C的圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑r1，6則MC5MNMCr51（5）直線參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義例5、已知直線l經(jīng)過點P(1,1),傾斜角，6寫出直線l的參數(shù)方程;2y2設(shè)l與圓x4相交與兩點A,B，求點P到A,B兩點的距離之積.解（1）直線的參數(shù)方程為x1tc

12、osy1tsin66，即3x1t21y1t2（2）把直線3x1t21y1t22y2代入4x，得31222(1t)(1t)4,t(31)t20，t1t22，22則點P到A,B兩點的距離之積為2練習(xí)1、求直線4x1t53y1t5（t為參數(shù)）被曲線2cos()4所截的弦長.解：將方程4x1t53y1t5，2cos()4分別化為普通方程：3x4y10，220,xyxy112111722圓心C（，），半徑為圓心到直線的距離d，弦長2rd2.2221021005（6）、參數(shù)方程與極坐標(biāo)的簡單應(yīng)用參數(shù)方程和極坐標(biāo)的簡單應(yīng)用主要是：求幾何圖形的面積、曲線的軌跡方程或研究某些函數(shù)的最值問題.例6、已知ABC的三

13、個頂點的極坐標(biāo)分別為5543A，B，C，,判6237斷三角形ABC的三角形的形狀，并計算其面積.分析：判斷ABC的形狀，就需要計算三角形的邊長或角，在本題中計算邊長較為容易，不妨先計算邊長.解析：如圖，對于55AOB，BOC，AOC，366B又OAOB5,OC43，由余弦定理得：222ACOAOC2OAOCcosAOCA2525432543cos6Ox133，AC133，同理，BC133，ACBC，CABC為等腰三角形，又ABOAOB5，所以AB邊上的高221133hACAB,22SABC11336535224練習(xí)1、如圖，點A在直線x=5上移動，等腰OPA的頂角OPA為120（O，P，A按順

14、時針方向排列），求點P的軌跡方程.解析：取O為極點，x正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，則y直線x5的極坐標(biāo)方程為cos5，設(shè)A（0，0），PAP,，因點A在直線cos5上，0cos051OPA為等腰三角形，且OPA，而OP，OA，以及POA301200Ox03，且0302，把代入，得點P的軌跡的極坐標(biāo)方程為：3cos305.趁熱打鐵1把方程xy1化為以t參數(shù)的參數(shù)方程是（）Axtyt1212Bxsintxcostxtant1C1D1sincosttantyyyt解析：Dxy1，x取非零實數(shù)，而A，B，C中的x的X圍有各自的限制2曲線x25ty12t(t為參數(shù))與坐標(biāo)軸的交點是（）A21(0,)、(

15、,0)B5211(0,)、(,0)C(0,4)、(8,0)D525(0,)、(8,0)9解析：B當(dāng)x0時，2t，而y12t，即51y，得與y軸的交點為51(0,)5；8當(dāng)y0時，1t，而x25t，即21x，得與x軸的交點為21(,0)23直線x12ty2t()t為參數(shù)被圓229xy截得的弦長為（）A125B1255C955D9510解析：B2x15tx12t5y2t1y15t5，把直線x12ty2t代入229xy得222(12t)(2t)9,5t8t408161222tt(tt)4tt()，弦長為121212555125tt51254若點P(3,m)在以點F為焦點的拋物線2x4ty4t(t為參

16、數(shù))上，則PF等于（）A2B3C4D5解析：C拋物線為24yx，準(zhǔn)線為x1，PF為P(3,m)到準(zhǔn)線x1的距離，即為45已知曲線2x2pty2pt(t為參數(shù),p為正常數(shù))上的兩點M,N對應(yīng)的參數(shù)分別為t1和t2,，且120，那么MN=_。tt解析：4pt顯然線段MN垂直于拋物線的對稱軸。即x軸，MN2pt1t22p2t116圓的參數(shù)方程為xy3sin4cos4sin3cos(為參數(shù))，則此圓的半徑為_。解析：由xy3sin4cos4sin3cos得2225xy故半徑為597分別在下列兩種情況下，把參數(shù)方程1ttx(ee)cos21tty(ee)sin2化為普通方程：（1）為參數(shù)，t為常數(shù)；（2

17、）t為參數(shù)，為常數(shù)；解：（1）當(dāng)t0時，y0,xcos，即x1,且y0；xy當(dāng)t0時，cos,sintttt11(ee)(ee)22而22sincos1，即22xy11tt2tt2(ee)(ee)441（2）當(dāng)k,kZ時，y0，1ttx(ee)，即x1,且y0；2當(dāng)k,kZ時，x0，21tty(ee)，即x0；2k當(dāng),kZ時，得2tteettee2xcos2ysin，即t2e2et2x2ycossin2x2ycossin得tt2x2y2x2y2e2e()()cossincossin即22xy221cossin。8過點10P(,0)作傾斜角為的直線與曲線221221xy交于點M,N，求PMPN的

18、值及相應(yīng)的的值解：設(shè)直線為10 xt2ytsincos(t)為參數(shù)，代入曲線并整理得223(1sin)t(10cos)t023則2PMPNtt1221sin10所以當(dāng)2sin1時，即2，PMPN的最小值為34，此時29參數(shù)方程xycos(sincos)sin(sincos)()為參數(shù)表示什么曲線？y解：顯然tanx，則2y1121,cos222xcosy2x1x112tan222cossincossin2coscos2221tan即yy21211yyxxx,x(1)122222yyyxx111222xxx得x2yyxx1，即220 xyxy溫故強(qiáng)化1下列在曲線xysin2cossin()為參數(shù)上的點是（）A1(,2)2B31(,)42C(2,3)D(1,3)解析：B轉(zhuǎn)化為普