西南交大-研究生課程-振動理論及應用課件05

1、2022年7月8日振動力學22022年7月8日中國力學學會學術大會200522022年7月8日22022年7月8日振動力學3多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動2022年7月8日振動力學32022年7月8日振動力學4多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /2022年7月8日振動力學42022年7月8日振動力學5多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ / 該方法由鄧柯萊在用實驗確定多圓盤軸橫向振動頻率該方法由鄧柯萊在用實驗確定多圓盤軸橫向振動頻率時提出，作為系統(tǒng)時提出，作為系統(tǒng)基頻估算公式基頻估算公式。 設設n n自由度系統(tǒng)質量陣、柔度陣為自由度系統(tǒng)質量陣、柔度陣為自由振動方程為自由振動方程為

2、112200nnmmMm111212122212nnnnnn0Mxx2022年7月8日振動力學6多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /特征方程為特征方程為 式中式中=1/=1/2 2。展開。展開設上式根設上式根1 1=1/=1/1 12 2 ，2 2=1/=1/2 22 2 ，, n n=1/=1/n n2 2 , ,則（則（3.1013.101）可表為可表為21111122212121222221120(3.100)nnnnnnnnnn mnnnnmmmmmmmm111112222(.).0(3.101)nnnnnnmmm12()().()0(3.102)n2022年7月8日振動力學7多

3、自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /展開得展開得比較（比較（3.1013.101）和（）和（3.1033.103）得）得即即因因1 12 2、 3 3、n n,1/,1/2 2、1/1/ 3 3、1/1/n n較小，得較小，得式中式中iiii=1/k=1/kiiii，則，則112(.).0(3.103)nnn 1211112222.nnnnnmmm1111222222212111.(3.104)nnnnnmmm111122222111.(3.105)nnnnniiiiimmmm211/()(3.106)iiiiiiiiiiiiiimkmkm2022年7月8日振動力學8多自由度系統(tǒng)的振動多自

4、由度系統(tǒng)的振動/ /故故上式即為上式即為鄧柯萊公式鄧柯萊公式，iiii是系統(tǒng)在質量是系統(tǒng)在質量m miiii單獨作用下（其單獨作用下（其他質量為零）系統(tǒng)的固有頻率。他質量為零）系統(tǒng)的固有頻率。 因（因（3.1053.105）左邊舍去了一些正項，由（）左邊舍去了一些正項，由（3.1053.105）計算的）計算的1/1/12 2值比實際大，值比實際大，12 2實際值小實際值小。2222211112211111.(3.107)ninnii2022年7月8日振動力學9多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /【例例3.103.10】圖圖3.153.15為等截面簡支梁。其有為等截面簡支梁。其有3 3集中

5、質量是集中質量是m m1 1、 m m2 2、 m m3 3，梁彎曲剛度為，梁彎曲剛度為EIEI，質量不計。用鄧柯萊法計算系統(tǒng)，質量不計。用鄧柯萊法計算系統(tǒng)第一階固有頻率的近似值。已知：第一階固有頻率的近似值。已知： m m1 1= m= m3 3 =m, m=m, m2 2 =2m=2m?！窘饨狻坑刹牧狭W知，簡支梁由材料力學知，簡支梁在單位下的撓曲線公式為在單位下的撓曲線公式為a a、b b分別為力作用點到左右端的距離。分別為力作用點到左右端的距離。2022年7月8日振動力學10多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /求得柔度影響系數(shù)為求得柔度影響系數(shù)為由（由（3.1073.107）得）

6、得求得的求得的1 1值比精確值小值比精確值小2.5%2.5%。2022年7月8日振動力學112022年7月8日振動力學11多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /2022年7月8日振動力學112022年7月8日振動力學12多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /2 2 瑞雷法瑞雷法 多自由度系統(tǒng)的動能多自由度系統(tǒng)的動能T T與勢能與勢能U U的表達式為的表達式為系統(tǒng)作某一階主振動時系統(tǒng)作某一階主振動時代入（代入（3.1083.108）和）和(3.109)(3.109)得系統(tǒng)在作第得系統(tǒng)在作第i i階主振動時，最大階主振動時，最大動能動能T Tmaxmax與最大勢能與最大勢能U Umaxma

7、x1(3.108)21(3.109)2TTTx MxUx Kx( )sin()(3.110)iiixAt2( )( )max( )( )max1(3.113)21(3.114)2i Tiii TiTAM AUAKA2022年7月8日振動力學13多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /由機械能守恒定律，由機械能守恒定律， T Tmax max = U= Umax max 得得在（在（3.1153.115）中）中A A(i)(i)代入假設振型代入假設振型A A，結果以，結果以R R1 1表示，則表示，則稱為稱為瑞雷商瑞雷商。這種計算系統(tǒng)固有頻率的方法稱為。這種計算系統(tǒng)固有頻率的方法稱為瑞雷法瑞雷

8、法. . 因很難選因很難選A A(i)(i)接近高階主振型，接近高階主振型，通常不用瑞雷法求高階通常不用瑞雷法求高階固有頻率，只用它求低階固有頻率固有頻率，只用它求低階固有頻率。2( )( )( )( )1122i Tii TiiAM AAKA( )( )2( )( )(3.115)i Tiii TiAKAAM A1(3.116)TTA KARA M A2022年7月8日振動力學14多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ / 取接近一階主振型的假設振型取接近一階主振型的假設振型A A代入（代入（3.1153.115），則瑞雷），則瑞雷商為一階固有頻率平方近似值。證明如下：商為一階固有頻率平方近

9、似值。證明如下： 如假設振型如假設振型A A不是主振型，將其用正則振型線性表示不是主振型，將其用正則振型線性表示 有有瑞雷商為瑞雷商為(1)(2)( )( )111.(3.117)nniNNnNiNiAC AC AC AC A( )( )2221211( )( )222222112211()().()().nnTiTiiNiNniinnTiTiiNiNnNiiA MAC AMC ACCCA KAC AKC ACCC2222221122122212.(3.118).TnNTnCCCA KARA M ACCC2022年7月8日振動力學15多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /若若A A接近于一

10、階主振型接近于一階主振型A A（1 1），則，則C C2 2/C/C1 11, C1, C3 3/C/C1 11, 1, C Cn n/C/C1 11,1, 則由（則由（3.1183.118）有）有一般以靜變形作假設振型，可得相當準確的結果。一般以靜變形作假設振型，可得相當準確的結果。如選取如選取A A有困難，可任選一有困難，可任選一A A。與動力矩陣。與動力矩陣D(=D(= M)M)相乘，得相乘，得B B1 1=DA=DA，然后以，然后以B B1 1或與其成比例的或與其成比例的B B1 1作作A A(1)(1)的近似振型，再按的近似振型，再按（3.116)3.116)計算計算R R1 1，可

11、得，可得1 12 2好的近似。好的近似。222222222111122222112222222211222211111.(3.119)1.1(1).(1)nnnnnCCRCCCCCCCC2022年7月8日振動力學16多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ / 瑞雷法也可用于以柔度陣瑞雷法也可用于以柔度陣建立振動方程的情況，這時建立振動方程的情況，這時系統(tǒng)勢能系統(tǒng)勢能U U等于外力的功，即等于外力的功，即在振動過程中，只有慣性力作用，即在振動過程中，只有慣性力作用，即因因x x為為得得1(3.120)2TUP x(3.121)PMx (3.122)xPMx 12TUx M Mx2022年7月8日

12、振動力學17多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /勢能、動能最大值勢能、動能最大值由由T Tmaxmax= U= Umax max ，得，得當當A A為第為第i i階主振型，由（階主振型，由（3.1223.122）得第）得第i i階固有頻率的平方值階固有頻率的平方值i i2 2。在（。在（3.1223.122）中代入假設振型）中代入假設振型A A，結果用，結果用R R2 2表示，則有表示，則有上式稱為上式稱為第二瑞雷商第二瑞雷商。2(3.123)TTA MAA M MA4max12TUA M MA24max1122TTTA MAA M MA2(3.124)TTA MARA M MA2022

13、年7月8日振動力學18多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /注意：用（注意：用（3.1153.115）或（）或（3.1233.123）計算的）計算的12 2總比精確值總比精確值1 12 2大。因任選一大。因任選一A A，即對系統(tǒng)增加了約束，提高了系統(tǒng)剛度，即對系統(tǒng)增加了約束，提高了系統(tǒng)剛度，使頻率增大。使頻率增大?！纠?.113.11】用瑞雷法求例用瑞雷法求例3.103.10中一階固有頻率的近似值。中一階固有頻率的近似值?！窘饨狻坑衫衫?.103.10系統(tǒng)質量陣系統(tǒng)質量陣M M和柔度陣和柔度陣為為2022年7月8日振動力學19多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /三點處靜撓度為三點

14、處靜撓度為最大勢能為最大勢能為各點最大速度為各點最大速度為y y1 1、y y2 2、y y3 3，最大動能為，最大動能為2022年7月8日振動力學20多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /由（由（3.1243.124）得）得此結果比真實值略高，誤差為此結果比真實值略高，誤差為0.02%0.02%。2022年7月8日振動力學212022年7月8日振動力學212022年7月8日振動力學212022年7月8日振動力學212022年7月8日振動力學212022年7月8日振動力學212022年7月8日振動力學212022年7月8日振動力學212022年7月8日振動力學21多自由度系統(tǒng)的振動多自由度

15、系統(tǒng)的振動/ /多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動2022年7月8日振動力學222022年7月8日振動力學222022年7月8日振動力學22多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /2022年7月8日振動力學222022年7月8日振動力學23多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /李茲法李茲法3 3 李茲法李茲法 瑞雷法理論上可求系統(tǒng)的各階固有頻率，但實際上難以瑞雷法理論上可求系統(tǒng)的各階固有頻率，但實際上難以用于求高階固有頻率。用于求高階固有頻率。 李茲法對瑞雷商進行了改進，采用其極值形式，能找到李茲法對瑞雷商進行了改進，采用其極值形式，能找到較精確的低階和高階振型，不僅可求出更精確的基頻

16、，還可較精確的低階和高階振型，不僅可求出更精確的基頻，還可計算高階頻率和振型，故李茲法也稱為計算高階頻率和振型，故李茲法也稱為瑞雷瑞雷李茲法李茲法。 李茲法需先假定若干振型，并進行線性組合，用瑞雷法李茲法需先假定若干振型，并進行線性組合，用瑞雷法計算前幾階固有頻率。若系統(tǒng)自由度很大，矩陣階數(shù)很高，計算前幾階固有頻率。若系統(tǒng)自由度很大，矩陣階數(shù)很高，其存儲量大，運算速度慢。其存儲量大，運算速度慢。2022年7月8日振動力學24多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /李茲法李茲法如希望有如希望有s s階頻率與振型為準確值，需假設階頻率與振型為準確值，需假設n n1 1個振型個振型(2sn(2sn

17、1 1n) n) ，矩陣階數(shù)大為降低，故，矩陣階數(shù)大為降低，故李茲法是一種縮減系統(tǒng)李茲法是一種縮減系統(tǒng)自由度的近似解法自由度的近似解法。介紹如下：。介紹如下： 任取任取n n1 1個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量1 1 、 2 2 、 n1 n1 ，用，用其線性組合作為新的假設振型其線性組合作為新的假設振型A,A,即即式中式中C C1 1 、 C C2 2 、 C Cn1n1為待定常數(shù)，將（為待定常數(shù)，將（3.1253.125）表為矩陣）表為矩陣形式形式其中其中11111221.(3.125)nnnjjjACCCC(3.126)AC121121.,.TnnCC CC 2022年7月8日

18、振動力學25多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /李茲法李茲法將將A=A=C C代入（代入（3.1163.116）得）得由瑞雷商極值性質，可得待定常數(shù)由瑞雷商極值性質，可得待定常數(shù)C Cj j，即令，即令將這將這n n1 1個方程表為矩陣形式個方程表為矩陣形式其中其中 分別為分別為n n1 1n n1 1的廣義剛度陣和的廣義剛度陣和廣義質量陣廣義質量陣. .2(3.127)TTTTTTA KACK CRA MACMC10,1,2,.,(3.128)jRjnC0(3.129)(*)0(3.130)TTK CRMCKRMC*M*MTTKK，2022年7月8日振動力學26多自由度系統(tǒng)的振動多自由

19、度系統(tǒng)的振動/ /李茲法李茲法（3.1303.130）為特征值問題，因階數(shù)）為特征值問題，因階數(shù)n n1 1遠小于系統(tǒng)自由度數(shù)遠小于系統(tǒng)自由度數(shù)n n，求解簡便。求解簡便。 由（由（3.1303.130）得）得s s個特征值個特征值R R1 1 、R R2 2 、R Rn1n1為系統(tǒng)最低的為系統(tǒng)最低的n n1 1個固有頻率，個固有頻率，C C(1)(1)、 C C(2) (2) 、 C C(n1)(n1) 為對應的為對應的n n1 1個主振型個主振型【例例3.123.12】圖示彈簧圖示彈簧質量系統(tǒng)質量系統(tǒng), ,用李茲法求其前三階固有用李茲法求其前三階固有頻率和主振型。頻率和主振型。(j)(j)

20、1A =C ,1,2,.,(3.131)jn2022年7月8日振動力學27多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /李茲法李茲法【解解】取廣義坐標取廣義坐標x x1 1 、x x2 2 、 x x3 3、x x4 4 ，系統(tǒng)質量陣、剛度陣，系統(tǒng)質量陣、剛度陣為為設設則廣義剛度陣為則廣義剛度陣為2022年7月8日振動力學28多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /李茲法李茲法廣義質量陣為廣義質量陣為代入（代入（3.1303.130）得）得解得解得2022年7月8日振動力學29多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /李茲法李茲法系統(tǒng)最低二階固有頻率的近似值為系統(tǒng)最低二階固有頻率的近似值為主振型

21、的近似值為主振型的近似值為同樣可以求出另兩階頻率和振型。同樣可以求出另兩階頻率和振型。2022年7月8日振動力學302022年7月8日振動力學302022年7月8日振動力學302022年7月8日振動力學302022年7月8日振動力學302022年7月8日振動力學302022年7月8日振動力學302022年7月8日振動力學302022年7月8日振動力學30多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動2022年7月8日振動力學312022年7月8日振動力學312022年7月8日振動力學31多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /2022年7月8日振動力學3120

22、22年7月8日振動力學32多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法4.4.傳遞矩陣法傳遞矩陣法 質量陣、剛度陣形成后，前述方法有廣泛應用。質量陣、剛度陣形成后，前述方法有廣泛應用。 對一環(huán)連一環(huán)，呈鏈狀的工程結構（如發(fā)動機曲軸、連對一環(huán)連一環(huán)，呈鏈狀的工程結構（如發(fā)動機曲軸、連續(xù)梁等），可采用另一計算方法續(xù)梁等），可采用另一計算方法傳遞矩陣法。傳遞矩陣法。 該法只需對低階次的傳遞矩陣進行乘法運算，并計算其該法只需對低階次的傳遞矩陣進行乘法運算，并計算其特征值，節(jié)省計算工作量。特征值，節(jié)省計算工作量。 由界面上的力和位移組成列矢量，稱為由界面上的力和位移組成列矢量，稱為狀態(tài)矢量狀態(tài)矢量。聯(lián)

23、系。聯(lián)系相鄰單元間狀態(tài)矢量的矩陣，稱相鄰單元間狀態(tài)矢量的矩陣，稱傳遞矩陣傳遞矩陣。傳遞矩陣把狀態(tài)。傳遞矩陣把狀態(tài)矢量從一個位置轉換到另一位置，因此稱為矢量從一個位置轉換到另一位置，因此稱為傳遞矩陣法傳遞矩陣法，又，又稱稱變換矩陣法變換矩陣法。2022年7月8日振動力學33多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法（1 1）梁上有集中質量的橫向振動系統(tǒng)）梁上有集中質量的橫向振動系統(tǒng) 連續(xù)梁或汽輪機的發(fā)動機轉子可簡化為無質量的梁附加連續(xù)梁或汽輪機的發(fā)動機轉子可簡化為無質量的梁附加若干集中質量的橫向振動系統(tǒng)，如圖若干集中質量的橫向振動系統(tǒng)，如圖3.173.17（a a）。）。圖圖 3.173.1

24、72022年7月8日振動力學34多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法設第設第i i個單元集中質量個單元集中質量m mi i，梁長，梁長l li i，抗彎剛度，抗彎剛度EIEIi i。梁段及集中質量受力如圖梁段及集中質量受力如圖3.173.17（c c）、（）、（d d）。）。各截面撓度各截面撓度y y、截面轉角、截面轉角、剪力、剪力Q Q及彎矩及彎矩M M約定為正值。約定為正值。任一截面狀態(tài)向量有任一截面狀態(tài)向量有4 4個分量，即廣義位移個分量，即廣義位移y y與與及廣義力及廣義力Q Q與與M M，表示為，表示為(3.132)TZyMQ2022年7月8日振動力學35多自由度系統(tǒng)的振動

25、多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法由圖由圖3.173.17（d d）的力平衡條件有）的力平衡條件有圖圖 3.17 3.17 111(3.133)(3.134)LRiiLRLiiiiQQMQ lM2022年7月8日振動力學36多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法設第設第i i段梁上距左端段梁上距左端x x處截面的彎矩、剪力、轉角、撓度分別處截面的彎矩、剪力、轉角、撓度分別為為M Mi i(x)(x)、Q Qi i(x) (x) 、i i(x) (x) 及及y yi i(x) (x) ，則，則上式中令上式中令x=lx=li i, ,得得11( )RRiiiMxQ xM2111102311111

26、0111( )( )211( )( )26xRRRRiiiiiiiiixRRRRRiiiiiiiiixMx dxMxQ xEIEIEIyxyx dxyxMxQ xEIEI211123211111(3.135)2(3.136)26RRLRiiiiiiiiRRLRRRiiiiiiiiiiiMlQlEIEIMlQlyylMxEIEI2022年7月8日振動力學37多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法表為矩陣形式表為矩陣形式簡寫成簡寫成式中式中H Hi i f f稱為稱為場傳遞矩陣場傳遞矩陣。 由圖由圖3.173.17（c c），集中質量兩邊的撓度、轉角、彎矩、），集中質量兩邊的撓度、轉角、彎

27、矩、剪力滿足剪力滿足2321126(3.137)0120010001LRiilllyyEIEIllMMEIEIlQQ1(3.138)LfRiiiZH Z2022年7月8日振動力學38多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法當系統(tǒng)以頻率當系統(tǒng)以頻率振動時，（振動時，（3.1423.142）為）為（3.1393.139）- -（3.1433.143）表示矩陣形式）表示矩陣形式(3.139)(3.140)(3.141)(3.142)RLiiRLiiRLiiRLiiiiyyMMQm yQ 2(3.143)RLLiiiiQm yQ210000100(3.144)0010001RLiiyyMMQmQ

28、 2022年7月8日振動力學39多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法H Hi iP P稱為稱為點傳遞矩陣點傳遞矩陣。 由（由（3.1383.138）、（）、（3.1453.145）得）得Z Zi-1i-1R R到到Z Zi iR R的傳遞關系為的傳遞關系為其中其中H Hi i稱為稱為第第i i單元的傳遞矩陣單元的傳遞矩陣11(3.146)RPLPfRRiiiiiiiiZH ZH H ZH Z(3.145)RPLiiiZH Z23222322212601(3.147)2001126PfiiilllEIEIllHHHEIEIlmlmlmmlEIEI2022年7月8日振動力學40多自由度系

29、統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法由此得到由此得到記總傳遞矩陣為記總傳遞矩陣為則從最左端與最右端間的傳遞關系為則從最左端與最右端間的傳遞關系為1102211,.,(3.148)RRRRRnnnZH Z ZH ZZH Z0(3.150)RnZHZ11121314212223241213132333441424344(3.149)nnhhhhhhhhHH HH Hhhhhhhhh2022年7月8日振動力學41多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法具體形式為具體形式為H H中各元素依賴于中各元素依賴于，表示為，表示為 兩端邊界條件已知，可以得到梁的固有頻率。兩端邊界條件已知，可以得到梁的固

30、有頻率。1112131421222324313233344142434400(3.151)RnhhhhyyyhhhhHhhhhMMMhhhhQQQ11121314212223243132333441424344()()()()()()()()(3.152)()()()()()()()()hhhhhhhhHhhhhhhhh2022年7月8日振動力學42多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法（2 2）軸盤扭轉振動系統(tǒng)）軸盤扭轉振動系統(tǒng) 對圖對圖3.183.18（a a）示鏈狀軸盤扭振系統(tǒng)，其典型單元包括）示鏈狀軸盤扭振系統(tǒng)，其典型單元包括無質量軸段和剛性圓盤。無質量軸段和剛性圓盤。 設第設

31、第i i單元內軸段扭轉剛度單元內軸段扭轉剛度k ki i，長度，長度l li i ，圓盤轉動慣量，圓盤轉動慣量J Ji i ，軸段及圓盤受力如圖，軸段及圓盤受力如圖3.183.18（b b）- -（c c）。）。 各截面轉角各截面轉角、扭矩、扭矩M M約定為正值。截面狀態(tài)向量為約定為正值。截面狀態(tài)向量為不計軸段轉動慣量，由圖不計軸段轉動慣量，由圖3.183.18知兩邊扭矩相等知兩邊扭矩相等(3.153)TZM1(3.154)LRiiMM2022年7月8日振動力學43多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法 軸段兩邊轉角滿足：軸段兩邊轉角滿足：3.18圖111-=(3.155)LRRiii

32、iMk2022年7月8日振動力學44多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法（3.1543.154）與（）與（3.1553.155）寫成矩陣形式）寫成矩陣形式即即表示從狀態(tài)向量表示從狀態(tài)向量Z Zi-1i-1R R到到Z Zi iL L的傳遞關系，的傳遞關系，H Hi if f稱為稱為場傳遞矩陣場傳遞矩陣。 由圖由圖3.183.18（c c）知圓盤兩邊轉角相等，即）知圓盤兩邊轉角相等，即圓盤振動方程為圓盤振動方程為(3.157)RLiii+=LRiiiiJMM11101LRiiikMM1(3.156)LfRiiiZH Z2022年7月8日振動力學45多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/

33、 /法法當軸盤系統(tǒng)以頻率當軸盤系統(tǒng)以頻率振動時，有振動時，有 ，代入得，代入得（3.1583.158）與（）與（3.1573.157）的矩陣形式）的矩陣形式得得表示從狀態(tài)向量表示從狀態(tài)向量Z Zi iL L到到Z Zi iR R的傳遞關系，的傳遞關系，H Hi iP P稱為稱為點傳遞矩陣點傳遞矩陣。2=Lii 210(3.159)1RLiiiMJM (3.160)RPLiiiZH Z2+(3.158)RLLiiiiMJM 2022年7月8日振動力學46多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法由（由（3.1563.156）、（）、（3.1603.160）得從）得從Z Zi iR R到到Z

34、Zi-1i-1R R的傳遞關系的傳遞關系H Hi i稱為稱為第第i i單元的傳遞矩陣。單元的傳遞矩陣。等于等于H Hi i是頻率的函數(shù)。通過各單元的傳遞矩陣，可建立結構最左是頻率的函數(shù)。通過各單元的傳遞矩陣，可建立結構最左端與最右端的狀態(tài)向量之間的傳遞關系。端與最右端的狀態(tài)向量之間的傳遞關系。2211(3.162)1PfiiikHH HJJk 11(3.161)RPLPfRRiiiiiiiiZH ZH H ZH Z2022年7月8日振動力學47多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法【例例3.133.13】3 3圓盤扭振系統(tǒng)。各圓盤的轉動慣量圓盤扭振系統(tǒng)。各圓盤的轉動慣量J J1 1=4

35、.9kg.m=4.9kg.m2 2，J J1 1=4.9kg.m=4.9kg.m2 2 ，J J3 3=19.6kg.m=19.6kg.m2 2 ，軸段扭轉剛度，軸段扭轉剛度k k2 2=98=9810103 3N.mN.m， k k3 3=196=19610103 3N.m .N.m .用傳遞矩陣法求各階固有頻率和主振型。用傳遞矩陣法求各階固有頻率和主振型?！窘饨狻坑蓚鬟f矩陣法，系統(tǒng)由傳遞矩陣法，系統(tǒng)最左端與最右端狀態(tài)向量之最左端與最右端狀態(tài)向量之間傳遞關系為間傳遞關系為即即2022年7月8日振動力學48多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法邊界條件為邊界條件為M M1 1L L=M

36、=M3 3R R=0=0。對左端邊界條件，在（對左端邊界條件，在（a a）中）中M M1 1L L =0=0，得，得因因1 1L L任意，任意，是固有頻率，是固有頻率，M M3 3R R=0=0，代入（，代入（b b），有），有上式即為頻率方程。上式即為頻率方程。設最左端狀態(tài)向量為設最左端狀態(tài)向量為321 1211( )( )RLLMhhb 21( )0( )hc1110LLZM 2022年7月8日振動力學49多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法Z Z1 1R R=H=H1 1P PZ Z1 1L L, Z, Z2 2R R=H=H1 1f fZ Z1 1R R, Z, Z3 3R

37、R=H=H3 3Z Z2 2R R的具體形式為的具體形式為可得該扭轉系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)（可得該扭轉系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)（注意剛體運動注意剛體運動） 1230,126/ ,210/rad srad s2022年7月8日振動力學50多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /法法3.20圖對應主振型為對應主振型為2022年7月8日振動力學512022年7月8日振動力學512022年7月8日振動力學512022年7月8日振動力學512022年7月8日振動力學512022年7月8日振動力學512022年7月8日振動力學512022年7月8日振動力學512022年7月8日振動力學51多自由度系統(tǒng)的振動多

38、自由度系統(tǒng)的振動/ /法法2022年7月8日振動力學522022年7月8日振動力學522022年7月8日振動力學522022年7月8日振動力學52多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /2022年7月8日振動力學522022年7月8日振動力學53多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /矩陣迭代法矩陣迭代法5.5.矩陣迭代法矩陣迭代法（1 1）求一階固有頻率和振型）求一階固有頻率和振型 對無阻尼多自由度振動系統(tǒng)，其固有頻率及主振型可對無阻尼多自由度振動系統(tǒng)，其固有頻率及主振型可由下式求出：由下式求出：上式也可寫為上式也可寫為引入引入 D=D=M M 和和 =1/=1/2 2，則（，則（3.1

39、643.164）可寫為）可寫為D D稱為稱為系統(tǒng)的動力矩陣系統(tǒng)的動力矩陣。20(3.163)KAMA21(3.164)AM A(3.165)DAA2022年7月8日振動力學54多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /矩陣迭代法矩陣迭代法用矩陣迭代法是計算固有頻率和主振型步驟如下：用矩陣迭代法是計算固有頻率和主振型步驟如下：（1 1）任假設一初始振型）任假設一初始振型A A；（2 2）按下格式計算）按下格式計算位形列陣位形列陣序列序列 A Am m，m=1,2,m=1,2,；當當m m足夠大時，位形列陣趨于第一主振型，即足夠大時，位形列陣趨于第一主振型，即 且且 10211(3.166)mmA

40、DAADAADA(1)2111()1(3.167)()mimimAAaa2022年7月8日振動力學55多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /矩陣迭代法矩陣迭代法式中式中（a ai i）m m為列陣為列陣A Am m=a=a1 1 a a2 2 a ai im mT T的第的第i i個元素。個元素。證明如下：證明如下： 因任意初始振型因任意初始振型A A0 0可表為主振型的線性組合，即可表為主振型的線性組合，即第一次迭代得第一次迭代得同樣同樣(1)(2)()012.nnAC AC AC A( )101( )1niiiniiiiADAC DACA2( )211niiiiADACA2022年7月

41、8日振動力學56多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /矩陣迭代法矩陣迭代法繼續(xù)迭代有繼續(xù)迭代有當?shù)螖?shù)較大時，當?shù)螖?shù)較大時，( (2 2/ / 1 1 ) )m m， ( (3 3/ / 1 1 ) )m m ， ( (n n/ / 1 1 ) )m m 均小于均小于1 1，除了第一項外，其他各項均可忽略，除了第一項外，其他各項均可忽略.#.# 影響迭代收斂速度因素：影響迭代收斂速度因素：（1 1）系統(tǒng)本身性質，即系統(tǒng)本身性質，即2 2/ / 1 1的大??；的大小；（2 2）初始列陣）初始列陣A A0 0，越接近一階主振型，即，越接近一階主振型，即C C2 2/ / C C1 1 、

42、 C C3 3/ / C C1 1 、等越小，收斂越快。等越小，收斂越快。 迭代收斂速度主要取決于迭代收斂速度主要取決于2 2/ / 1 1的比值。的比值。1( )1(1)1(2)1( )2211111111(1)(1)(2)( )221111111().()().()nmimmmnnnmiiinmmmmnnnmiiiCCACAC AAACCCCACAC AAACC2022年7月8日振動力學57多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /矩陣迭代法矩陣迭代法(2)(2)求高階固有頻率和振型求高階固有頻率和振型 矩陣迭代法可求出全部固有頻率及主振型。下面說明矩陣迭代法可求出全部固有頻率及主振型。下

43、面說明求各階固有頻率及主振型的求各階固有頻率及主振型的清除矩陣迭代法清除矩陣迭代法。 設第一階固有頻率設第一階固有頻率1 1和主振型和主振型A A(1)(1)已求得已求得, ,將將A A(1)(1)對質量對質量陣正則化得陣正則化得A AN N(1) (1) 。為求二頻率，構造如下動力矩陣：。為求二頻率，構造如下動力矩陣：D D2 2稱為稱為清除矩陣清除矩陣（清除第一振型的動力矩陣）。（清除第一振型的動力矩陣）。 用上述迭代步驟，任取初始振型用上述迭代步驟，任取初始振型A A0 0，用，用D D2 2替代原來替代原來D D，則，則迭代將收斂于迭代將收斂于2 2及及A A(2) (2) 。(1)(1)21(3.168)TNNDDA AM2022年7月8日振動力學58多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動/ /矩陣迭代法矩陣迭代法證明如下：由于證明如下：由于第一次迭代第一次迭代注意到注意到得到得