新人教版實(shí)際問題與二元一次方程組解析

1、新人教版實(shí)際問題與二元一次方程組解析悟空順風(fēng)探妖蹤,千里只行四分鐘.歸時(shí)四分行六百,風(fēng)速多少才稱雄?順風(fēng)速度=悟空行走速度+風(fēng)速逆風(fēng)速度=悟空行走速度-風(fēng)速解：設(shè)悟空行走速度是每分鐘x里， 風(fēng)速是每分鐘y里，4(x-y)=600 x=200 y=50答:風(fēng)速是每分鐘50里。4(x+y)=1000 解得:依題意得列方程組解應(yīng)用題的步驟：1. 審題：分析題意找出等量關(guān)系2. 設(shè)未知數(shù)3. 列二元一次方程組4. 解二元一次方程組5 .檢驗(yàn)6. 答探究新知探究1 養(yǎng)牛場(chǎng)原有30 只母牛和15只小牛，1天約需用飼料675kg；一周后又購進(jìn)12只母牛和5只小牛，這時(shí)1天約需用飼料940kg.從調(diào)查中你獲得

2、了什么信息？探究1 養(yǎng)牛場(chǎng)原有30 只母牛和15只小牛，1天約需用飼料675kg；一周后又購進(jìn)12只母牛和5只小牛，這時(shí)1天約需用飼料940kg.你能估計(jì)出平均每只母牛和每只小牛一天各需飼料多少千克嗎？探究新知探究1 養(yǎng)牛場(chǎng)原有30 只母牛和15只小牛，1天約需用飼料675kg；一周后又購進(jìn)12只母牛和5只小牛，這時(shí)1天約需用飼料940kg.飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)平均每只母牛1天約需飼料1820kg，每只小牛1天約需飼料78kg.你能否通過計(jì)算檢驗(yàn)?zāi)愫退墓烙?jì)？探究新知解：設(shè)平均每只母牛1天需用飼料x千克，小牛需用y千克，則：探究新知解得 所以平均每只母牛1天需用飼料20千克，小牛需用5千克 答：飼

3、養(yǎng)員大叔對(duì)大牛的食量估計(jì) ，對(duì)小牛的食量估計(jì) 。較準(zhǔn)偏高 你的估計(jì)準(zhǔn)確嗎？鞏固提高 練一練，相信你能行 某中學(xué)七年級(jí)（3）班51名同學(xué)為“希望工程”捐款，共捐款181元，捐款情況如下表，表格中捐款3元和4元的人數(shù)不小心被墨水污染已看不清楚設(shè)捐款3元的有名同學(xué)，捐款4元的有名同學(xué)，根據(jù)題意，可列方程組為： 鞏固提高 做一做 “五一期間”，你們一家5個(gè)大人和3個(gè)小孩去開心樂園，買門票共花了68元我們家也是去開心樂園，不過比你家多2個(gè)大人，多1個(gè)小孩，門票共花了94元如果我們家9個(gè)大人和5個(gè)小孩去開心樂園，買門票需要多少元呢？設(shè)大人的門票每張為x元，小孩的門票每張為y元列方程組得 補(bǔ)充例題：1）一根

4、長(zhǎng)18米的鋼材，要鋸成10段，而每段的長(zhǎng)只能取“1米或2米”兩種型號(hào)之一，小明估計(jì)2米的有3段，你們認(rèn)為他估計(jì)的是否正確？為什么呢？那2米和1米的各應(yīng)多少段？2）我國(guó)古代數(shù)學(xué)問題只聞隔壁人分銀，不知多少銀和人；每人7兩少7兩，每人半斤多半斤；試問各位善算者，多少人分多少銀？（注：這里的斤是指市斤，1市斤=10兩）鞏固提高 努力提高自我 試一試 :某高校共有5個(gè)大餐廳和2個(gè)小餐廳，經(jīng)過測(cè)試：同時(shí)開放1個(gè)大餐廳和2個(gè)小餐廳，可供1680名學(xué)生就餐；同時(shí)開放2個(gè)大餐廳和1個(gè)小餐廳，可供2280名學(xué)生就餐。（1）求1個(gè)大餐廳和1個(gè)小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐？（2）若7個(gè)餐廳同時(shí)開放，請(qǐng)估計(jì)一下能否供

5、應(yīng)全校的5300名學(xué)生就餐？請(qǐng)說明理由。解: (1)設(shè)1個(gè)大餐廳和1個(gè)小餐廳分別可供x名,y名學(xué)生就餐，x+2y=16802x+y=2280解得:x=960y=360(2)若7個(gè)餐廳同時(shí)開放，則有 5960+2360=5320答： (1) 1個(gè)大餐廳和1個(gè)小餐廳分別可供960名,360名學(xué)生就餐。 (2)若7個(gè)餐廳同時(shí)開放，可以供應(yīng)全校的5300名學(xué)生就餐。53205300依題意得 想一想 :某蔬菜公司收購到某種蔬菜140噸，準(zhǔn)備加工上市銷售。該公司的加工能力是：每天可以精加工6噸或粗加工16噸?，F(xiàn)計(jì)劃用15天完成加工任務(wù)，該公司應(yīng)安排幾天精加工，幾天粗加工？解：設(shè)該公司應(yīng)安排x天精加工，y天

6、粗加工, x+y=156x+16y=140解 得:x=10y=5答：該公司應(yīng)安排x10天精加工，5天粗加工。拓展延伸依題意得實(shí)際問題 設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、列方程（組） 數(shù)學(xué)問題 方程（組）解方程（組）數(shù)學(xué)問題的解檢 驗(yàn)實(shí)際問題 的答案 3實(shí)際問題與 二元一次方程組（第二課時(shí)）練一練：1、兩種枕木共300根，甲種枕木的總重量比乙種枕木的總重量輕1噸，如果每根枕木甲種重46千克，乙種重28千克，兩種枕木各多少根？2、蔬菜批發(fā)站有一批青菜分給兩個(gè)學(xué)校的食堂，甲校食堂分得的5倍比乙校食堂分得的6倍少10kg；甲校食堂分得的3倍與乙校食堂分得的2倍的和是470kg。甲、乙兩校食堂各分得青菜多少？做一做

7、：1、把長(zhǎng)方形紙片折成面積相等的兩個(gè)小長(zhǎng)方形，有哪些折法？2、把長(zhǎng)方形紙片折成面積之比為1：2的兩個(gè)小長(zhǎng)方形， 又有哪些折法？ 按面積分割長(zhǎng)方形的問題可轉(zhuǎn)化為分割邊長(zhǎng)的問題。歸納據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)資料:甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1：，現(xiàn)要在一塊長(zhǎng)200米，寬100米的長(zhǎng)方形土地上種植這兩種作物，怎樣把這塊地分為兩個(gè)長(zhǎng)方形，使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3：4（結(jié)果取整數(shù)）？問題一100m200m思考：1、“甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1：”是什么意思？2、“甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3：4”是什么意思？3、本題中有哪些相等關(guān)系？(100 xa) （100y 1.5a）=34 X+y=

8、200解得：x=106y=94100m200m分析：一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為圖中所示的長(zhǎng)方形，設(shè)其中一段為x 米，另一段為y米 ，根據(jù)問題中的長(zhǎng)度、產(chǎn)量的數(shù)量關(guān)系，列方程組xy 例2： 小龍?jiān)谄磮D時(shí)，發(fā)現(xiàn)8個(gè)一樣大的小長(zhǎng)方形，恰好可以拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，如圖甲所示，陳曄看見了說“我來試一試”，結(jié)果陳曄七拼八湊，拼成一個(gè)如圖乙的正方形，中間留下一個(gè)洞，恰好是邊長(zhǎng)2mm的小正方形，你能算出小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬嗎？甲乙 例3： 一個(gè)長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)減少4cm，寬增加2cm，所得的是一個(gè)正方形，它的面積與長(zhǎng)方形的面積相等，求原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬。解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm， 由題意

9、得： X-44y2某農(nóng)場(chǎng)300名職工耕種51公頃土地，計(jì)劃種植水稻、棉花和蔬菜，已知種植植物每公頃所需的勞動(dòng)力人數(shù)及投入的資金如下表：農(nóng)作物品種每公頃所需勞動(dòng)力每公頃投入資金水稻4人1萬元棉花8人1萬元蔬菜5人2萬元已知農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃在設(shè)備上投入67萬元，應(yīng)該怎樣安排這三種作物的種植面積，才能使所有職工都有工作，而且投入的資金正好夠用？問題二思考：題中有幾個(gè)已知量？題中求什么？分別安排多少公頃種水稻、棉花和蔬菜？解：設(shè)安排x公頃種水稻、y公頃種棉花、則(51-x-y)公頃種蔬菜。4x+8y+5(51-x-y)=300X+y+2(51-x-y)=67X=15Y=20得：答：安排15公頃種水稻、20公頃

10、種棉花、16公頃種蔬菜。 有大小兩種貨車，2輛大車與3輛小車一次可以運(yùn)貨噸，5輛大車與6輛小車一次可以運(yùn)貨35噸。 求：3輛大車與5輛小車一次可以運(yùn)貨多少噸?分析：要解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是求每輛大車和每輛小車一次可運(yùn)貨多少噸?解決此題的關(guān)鍵是什么？問題三1、學(xué)校的籃球比足球數(shù)的2倍少3個(gè)，籃球數(shù)與足球數(shù)的比是32，求這兩種球各是多少個(gè)？2、在中國(guó)古代的孫子算經(jīng)中記載了一道廣為人知的題目：“一百馬，一百瓦，大馬一拖三，小馬三拖一?！眴柖嗌俅篑R，多少小馬？試一試3、有一艘船,載重量是800噸 , 容積是795立方米 , 現(xiàn)在要裝運(yùn)生鐵和棉花兩種物質(zhì),生鐵每噸的體積是立方米 , 棉花每噸的體積是4立方

11、米 , 生鐵和棉花各裝多少 , 才能充分利用船的載重量和容積?4、有兩種藥水，一種濃度為60%，另一種濃度為90%，現(xiàn)要配制濃度為70%的藥水300g，則每種各需多少克？實(shí)際問題 設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、列方程組 數(shù)學(xué)問題 （二元一次方程組）解方程（組）數(shù)學(xué)問題的解（二元一次方程組的解）雙檢驗(yàn)實(shí)際問題 的答案 小結(jié)代入法加減法（消元）實(shí)際問題與二元一次方程組第三課時(shí)知識(shí)回顧運(yùn)用二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟有哪些？1、讀懂題意，找出題中的數(shù)量關(guān)系和所要求的問題；2、分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)出兩個(gè)未知數(shù)；3、根據(jù)題目的兩個(gè)相等關(guān)系列出二元一次方程組；4、解方程組求出兩個(gè)未知數(shù)的值；5、根據(jù)實(shí)際問題作

12、答。探究3如圖，長(zhǎng)青化工廠與A、B兩地有公路、鐵路相連。這家工廠從A地購買一批每噸1000元的原料運(yùn)回工廠，制成每噸8000元的產(chǎn)品運(yùn)到B地。公路運(yùn)價(jià)為元/（噸千米），鐵路運(yùn)價(jià)為元/（噸.千米），這兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)費(fèi)15000元，鐵路運(yùn)費(fèi)97200元。這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元？鐵路120km長(zhǎng)青化工廠公路10km公路20km鐵路110kmAB探究新問題一 題目所要求的問題是什么？ 銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元？二 題目所具有的兩個(gè)相等關(guān)系是什么？ 兩次運(yùn)輸?shù)墓房傔\(yùn)費(fèi)=15 000元； 兩次運(yùn)輸?shù)蔫F路總運(yùn)費(fèi)=97 200元。根據(jù)問題設(shè)未知數(shù) 設(shè)產(chǎn)品重a噸，原料重b

13、噸，那么數(shù)量關(guān)系的分析 1 公路運(yùn)費(fèi)表：產(chǎn)品a噸原料b噸合 計(jì)公路運(yùn)費(fèi)（元）1.520a1.510b1.5(20a+10b)數(shù)量關(guān)系的分析 2鐵路運(yùn)費(fèi)表產(chǎn)品a噸原料b噸 合 計(jì)鐵路運(yùn)費(fèi)（元）1.2110a1.2120b1.2(110a+120b)數(shù)量關(guān)系的分析 3公路、鐵路運(yùn)費(fèi)綜合表產(chǎn)品a噸原料b噸 合 計(jì)公路運(yùn)費(fèi)（元）1.520a1.510b1.5(20a+10b)鐵路運(yùn)費(fèi)（元）1.2110a1.2120b1.2(110a+120b)價(jià) 值 (元）8000a1000b112200數(shù)量關(guān)系與二元一次方程組由上表，列方程組 1.5(20a+10b)=15000 1.2(110a+120b)=97

14、200方程組的解與實(shí)際問題解這個(gè)方程組，得 a=300 b=400所以，銷售款=8000300=2 400 000 原料費(fèi)=1000400=400 000 運(yùn)輸費(fèi)=112 200 2 400 000-400 000-112 200=1 887 800因此，這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多1 887 800元。歸納總結(jié)用列表法分析問題的數(shù)量關(guān)系的特點(diǎn)1 表格能突出問題的主要關(guān)系，結(jié)構(gòu)緊湊； 2 各個(gè)數(shù)量關(guān)系被單獨(dú)分離出來，清晰明了，便于分析；3 表格本身形象具體，便于理解。用表格解決實(shí)際問題的步驟1 弄清題意，找到主要的數(shù)量關(guān)系；2 把問題的主要關(guān)系在表格中列出來；3 把題中的數(shù)量在表中分

15、別列出；4 分析綜合數(shù)據(jù)的關(guān)系，列方程解決問題。牛刀小試某車間有90名工人，每人每天平均能生產(chǎn)螺栓15個(gè)或螺帽24個(gè)，要使一個(gè)螺栓配套兩個(gè)螺帽，應(yīng)如何分配工人才能使螺栓和螺帽剛好配套？設(shè)生產(chǎn)螺栓x人，生產(chǎn)螺帽y人，列方程組為（） A B、 C、 D、 已知某電腦公司有A型、B型、C型三種型號(hào)的電腦，其價(jià)格分別為A型每臺(tái)6000元，B型每臺(tái)4000元，C型每臺(tái)2500元。我市東坡中學(xué)計(jì)劃將100500元錢全部用于從該電腦公司購進(jìn)其中兩種不同型號(hào)的電腦共36臺(tái)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出幾種不同的購買方案供該校選擇，并說明理由。試一試解析：從三種不同型號(hào)的電腦中，購買兩種，應(yīng)有三種方案。（1）購買A、B型電腦。（

16、2）購買A、C型電腦。（3）購買B、C型 電腦。分別列方程組來解。方程組的解必須則符合題意， 某基地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若直接銷售，每噸利潤(rùn)為1000元，經(jīng)粗加工后，每噸利潤(rùn)為4500元，精加工后，每噸利潤(rùn)為7500元。 當(dāng)?shù)匾患夜臼斋@這種蔬菜140噸，該公司的加工能力為： 粗加工，每天16噸；精加工，每天6噸，但兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行，受季節(jié)約束，公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此，公司研究了三種方案： 方案一：將蔬菜全部粗加工； 方案二：盡可能地對(duì)蔬菜精加工，沒來得及進(jìn)行加工的蔬菜，在市場(chǎng)直接銷售； 方案三：將部分精加工，其余粗加工，恰好15天完成。 你認(rèn)為哪種方案獲

17、利最多，為什么？： 解析：第一、第二兩種方案用算術(shù)直接求，第三種方案需列二元一次方程組求得精、粗加工的數(shù)量，其相等關(guān)系有：(1)精加工天數(shù)+粗加工天數(shù)=15；（2）精加工數(shù)量+粗加工數(shù)量=140. 答案 選擇第三種方案獲利較多 第一種方案：每天加工16噸，15天加工完成。 總利潤(rùn)W1=4500140=630000(元） 第二種方案：每天精加工6噸 ，15天可加工90噸，其余50噸 直接銷售。 總利潤(rùn) W2=907500+501000=725000(元）。 第三種方案：設(shè)15天內(nèi)精加工x 噸，粗加工y 噸，則可得 x/6 + y/16=15 x+y=140解得x=60y=80總利潤(rùn)W3=7500

18、60+450080=810000（元）。因?yàn)閃1W2W3,所以第三種方案獲利最多。實(shí)際問題 設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、列方程組 數(shù)學(xué)問題 （二元一次方程組）解方程（組）數(shù)學(xué)問題的解（二元一次方程組的解）雙檢驗(yàn)實(shí)際問題 的答案 小結(jié)代入法加減法（消元）二元一次方程組的應(yīng)用列二元一次方程組解答應(yīng)用題的步驟：實(shí)際問題審題 找出等 量關(guān)系設(shè)未知數(shù)列解方程 組解方程 組檢驗(yàn)作答幾類問題的等量關(guān)系（1）行程問題：路程速度時(shí)間 （）工程問題：工作總量工作效率工作時(shí)間 （）航行問題：順?biāo)俣?輪船的速度水流速度逆水速度=輪船的速度水流速度（）濃度配比問題溶液溶質(zhì)溶劑溶 質(zhì)=百分比濃度溶液例：甲、乙兩車間共有242

19、人,已知甲車間工人人數(shù)的2倍恰好是乙車間工人人數(shù)的倍還多4人,問甲、乙兩車間各有多少人?分析：題中有兩個(gè)基本的等量關(guān)系：甲車間工人數(shù)乙車間工人數(shù)=2422甲車間工人數(shù)= 乙車間工人數(shù)+4解：設(shè)甲車間工人數(shù)x人,乙車間工人數(shù)y人和差倍問題例：某工地有32人參加挖土和運(yùn)土,如果每人每天平均約挖土3方1立方米為1方或運(yùn)土5方,那么應(yīng)怎樣分配挖土和運(yùn)土的人數(shù),才能使 挖 出的土方及時(shí)運(yùn)走?例：小剛與小玲一起在水果店買水果,小剛買了3千克蘋果,2千克梨,共花了元,小玲買了2 千克蘋果,3千克梨共花了元,你能算出1 千克蘋果多少元?1千克梨多少元嗎?分析：小剛買蘋果花的錢買梨花的錢元小玲買蘋果花的錢買梨花

20、的錢元做一個(gè)豎式盒子要用幾張長(zhǎng)方形紙板和幾張正方形紙板？里有1000張正方形紙板和2000張長(zhǎng)方形紙板，問兩種紙盒各做多少只，恰好使庫存的紙板用完？豎式紙盒展開圖橫式紙盒展開圖例4 用如圖一中的長(zhǎng)方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖二中豎式和橫式的兩種無蓋紙盒?，F(xiàn)在倉庫分析：正方形紙板張數(shù)長(zhǎng)方形紙板張數(shù)x只豎式紙盒中10002000y只橫式紙盒中合計(jì)x2y4x3y圖一圖二上題中如果改為庫存正方形紙板500張，長(zhǎng)方形紙板1001張，那么，能否做成若干只豎式紙盒和若干只橫式紙盒后，恰好把庫存紙板用完？練習(xí)正方形紙板張數(shù)長(zhǎng)方形紙板張數(shù)x只豎式紙盒中5001001y只橫式紙盒中合計(jì)x2y4x3y豎式

21、紙盒展開圖橫式紙盒展開圖圖一圖二1、甲、乙兩數(shù),甲數(shù)除以乙數(shù)得商2,余17;如果 用甲數(shù)除乙數(shù)的10倍,則商3,余45,求這兩 個(gè)數(shù)2、小宏與小英是同班同學(xué),他們的住宅小區(qū)有1號(hào)樓至22號(hào)樓,共22棟,小宏問了小英兩句話,就猜出了小英住幾樓幾號(hào)”,課堂練習(xí)“你家的樓號(hào)加房間號(hào)是多少?“樓號(hào)的10倍加房間號(hào)多少?”220364答問問答路程問題例5、小琴去縣城,要經(jīng)過外祖母家,頭一天下午從他家走到外祖母家里,第二天上午又從外祖母家出發(fā)勻速前進(jìn)即速度保持不變。走了2小時(shí)、5 小時(shí)后，離他家分別為13千米、25千米,你能算出他的速度嗎?還能算出他家與外祖母家相距多遠(yuǎn)嗎?行走時(shí)間所走的路程 此時(shí)小琴離他

22、自己家距離2小時(shí)5小時(shí)2v5vS+2vS+5v解：設(shè)她走路的速度為v千米/時(shí)，她家與外祖母家相距s千米.例6 甲、乙兩人從相距36米的兩地相向而行。如果甲比乙先走2小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)后經(jīng)小時(shí)相遇；如果乙比甲先走2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)后經(jīng)3小時(shí)相遇；求甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米？36千米甲先行2時(shí)走的路程乙出發(fā)后甲、乙時(shí)共走路程甲乙甲乙相遇相遇36千米甲出發(fā)后甲、乙3時(shí)共走路程乙先行2時(shí)走的路程甲出發(fā)后4時(shí)甲走的路程乙先行2時(shí)走的路程甲出發(fā)后乙4時(shí)走的路程AB追上AB相遇36千米甲出發(fā)后甲、乙3時(shí)共走路程乙先行時(shí)走的路程1.根據(jù)兩圖示編一應(yīng)用題課堂練習(xí)2、甲、乙兩人從相距千米的兩地同時(shí)相

23、向出發(fā),經(jīng)過3小時(shí)30分相遇,如果乙先走2小時(shí),然后甲出發(fā),這樣甲經(jīng)過2小時(shí)45分與乙相遇,求甲、乙兩人每時(shí)各走多少千米?甲與乙3小時(shí)30分走的路千米甲2小時(shí)45分走的路與乙4小時(shí)30分走的路千米分析3：A、B兩 個(gè)碼頭相距105千米,一輪船從A順流而下駛往B用去5小時(shí), 從B 逆流而駛上A用去7小時(shí),求輪船的速度與水流速度.請(qǐng)學(xué)生回顧所學(xué)的關(guān)于濃度問題的概念溶液溶質(zhì)溶劑溶質(zhì)濃度溶液混合前溶液的和混合后的溶液混合前溶質(zhì)的和混合后的溶質(zhì)列方程組解應(yīng)用題也要檢驗(yàn)，既要代入方程組中，還要代入題目中檢驗(yàn)。依據(jù)是：等量關(guān)系是：1有濃度為5%的鹽水100千克，其中含鹽多少千克?含水多少千克?2有鹽水20克，其中含鹽4克，則該鹽水中含鹽的濃度是多少?3我們稱鹽水為溶液，鹽為溶質(zhì)，水