復(fù)變函數(shù)和積分變換學(xué)習(xí)指導(dǎo)(第五章)

1、. .PAGE14 / NUMPAGES14第1節(jié) 解析函數(shù)的孤立奇點一.解析函數(shù)的奇點1.概念（1）為是奇點在 不解析，但在 的任何一個 鄰域總有 的解析點。（2） 為 的孤立奇點 在 的某個去心鄰域 解析,且為的奇點。如 都以 為孤立奇點。（3）為的多值性奇點即支點，在的某個去心鄰域 是多值的。2.關(guān)系二.解析函數(shù)的孤立奇點1.若為的孤立奇點，則在點的某去心鄰域可以展開成Laurent展式 。2.孤立奇點的三種類型定義 設(shè) 為 的孤立奇點，則（1）為可去奇點在的主要部分為0（即Laurent展 式不含負(fù)冪項）；（2）為 的 級極點的主要部分為有限項；（3）為的本性奇點在的主要部分有無限多

2、項。三.可去奇點的特征（判定）定理5.3 若 為 的孤立奇點，則以下條件等價：（1） 在點 的主要部分為0；（2）（3） 在點 的某去心鄰域有界。證 “”由于 且在解析，從而連續(xù)，故 。 “”由于 ,故 取 ， 則 , 即得?！啊痹O(shè) ， 考慮 在 的主要部分則對 成立，故當(dāng) 時， 即得。例1 證明 為 的可去奇點。證 由于 為 的孤立奇點， 在 的主要部分為0，故 為其可去奇點。證二 由于 故 為 的可去奇點。四. 級極點的特征1.定理5.4 若以為孤立奇點,則下列三個條件是等價的:(1) 在點 的主要部分為； (2) 在點 的某去心鄰域能表示成 ，其中在點的鄰域解析且 ；(3) 以 為 級零

3、點(可去奇點要當(dāng)作解析點看，只要令 。證 “” 在點 的某去心鄰域、有其中在的鄰域上解析，且 “”在 的某去心鄰域 中， ，其中在解析 且，故在點連續(xù)，從而存在中 的某一個鄰域 ，其上 ，從而 在 上解析， 故 由可去奇點的特 征知，為的可去奇點，令， 則以 為 級零點。 “”若以為級零，則在的某個鄰 域，其中在 上解析,且,于是存在的某個鄰域,其 上,于是在上解析,故有Taylor 展式: 故2.定理5.5 的孤立奇點 為極點 證 根據(jù)定理5.4，以為極點以 零點。例2 求 的奇點,并確定其類型。解 的奇點為，由于 以為一級零點,以 為二級零點,故以為 一級極點，以 為二級極點。例3 求的全

4、部有限奇點。并確定其類型。解 的全部有限奇點為,由于 為 的聚點，故 為 的非孤立奇點。 現(xiàn)考慮 為 的幾級零點。故為的一級零點，從而為的一級極點。五.本性奇點的特征1.特征定理5.6 的孤立奇點為本性奇點， 即 不存在。證 由于 的孤立奇點為可去奇點為 為極點 ，即得。例4 以為本性奇點。(取不同的點列,使極限趨于不 一樣的值。)2.性質(zhì)定理5.7 若為的孤立奇點,且在的充分小的去心鄰域 不為0,則也為的本性奇點。證 令則由為的孤立奇點，且在的充分小的 可去鄰域 知 為 的孤立奇點。 若為的可去奇點，則；若 則此時為的極點,與已知矛盾；若,則,此時為的可去奇點,也與已知矛盾。 若為的極點,則

5、,從而 ， 即 為 的可去奇點，與已知矛盾。 綜合知，只能是的本性奇點。例 為的本性奇點，因為不存在。3.解析函數(shù)在本性奇點鄰域的特征1.定理5.8（Weierstrass）為的本性奇點對于任何常數(shù) ，有限或無限，都有一收斂于 的點列 使 證 “” 當(dāng)時,由于為的本性奇點，故一定不 是的可去奇點,由定理5.3，在的任何一 個去心鄰域無界，對任意的 都存在 則 當(dāng)時,若在的任意小去心鄰域都有某一點 使,則結(jié)論已得。若的充分小去心鄰域 ,令則 在解析。由于為的本性奇點,也為 的本性奇點,由定理5.7,為的本性 奇點，類似于中的證明由不是的可去奇點 知，存在點列 從而 “”根據(jù)已知條件得 不存在，由

6、定理5.6即得。第2節(jié) 解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性質(zhì)一.概念1.定義 設(shè)函數(shù) 在無窮遠(yuǎn)點的（去心）鄰域 解析,則稱為的一個孤立奇點,若是的奇點 的聚點，則稱 為 的非孤立奇點。2.設(shè)為孤立奇點,令，則在平面上的原點的去心鄰域解析,即 為 的孤立奇點。3.設(shè)為的孤立奇點， 在 的去心鄰域有則，稱為 在 的Laurent展式，并稱為在的主要部分,為在的正則部分。4.定義 若 為 的可去奇點(解析點)、級極點或本性奇 點,則相應(yīng)地稱為的可去奇點(解析點)、級極點 或本性奇點。二.孤立奇點類型的判定1.定理 的孤立奇點為可去奇點充要條件以下條件之一： (1) 在 的主要部分為0； (2) (3) 在的某去

7、心領(lǐng)域有界。2.定理 的孤立奇點為級極點的充要條件是以下條件之一： (1) 在 的主要部分為 (2) 在的某去心鄰域能表成 ，其中在的鄰域 解析，且 ； (3) 以為 級零點（只要令 ）。定理 的孤立奇點 為極點3.定理 的孤立奇點為本性奇點的充要條件是以下條件之一成立： (1) 在的主要部分有無窮多項； (2) 不存在。三.例子1.指出 的奇點與類型。解 的奇點為 ,由于,故 為可去奇點。 令 ，則 , ， 故為 的一級零點，從而為 的一級極點。又 當(dāng)時，故 為 的非孤立奇點。2.把在的去心鄰域展成Laurent級數(shù)。分析 若考慮，在可以展開，但利用 公式，展開整理時，比較麻煩。解附 若要求

8、在 展開，則 3.指出的奇點與類型。 解 為 的二級極點。對于 ， 由于 ,且 ，故以 為三級極點。 的奇點為 與 故 為 的可去奇點。 又 不存在(理由與 不存在的理由相 同)，故 為 的本性奇點。4.問在的去心鄰域能否展成Laurent級數(shù)？解 奇點為, 。由于為的聚點，故的的去心鄰域不能展成Laurent級數(shù)。5.設(shè)在 解析，且不恒為零，若有一列異于但卻以為聚點的零點，試證 必為 的本性奇點。證 由于在解析,故 為的孤立奇點。若 為的可去奇點，令，則在 解析。又由已知 必為 的非孤立零點，根據(jù)解析函 數(shù)零點的孤立性， 在 必恒為零，矛盾。 若為的極點，則 ，從而 ， ，故在 不可能有零點

9、，與已知 為 的某一列零點的聚點 矛盾。 綜上所述，必為的本性奇數(shù)。第2節(jié) 殘 數(shù)在解析,圍線含在的某個鄰域并包圍為的孤立奇點,圍線含在的某去心鄰域并包圍 ，則未必為0，如 一.概念1.定義 設(shè)以為孤立奇點，即 在 的某去心鄰域 解析，則稱積分 為在點的殘數(shù)(residuce)， 記為；設(shè)為的一個孤立奇點，即在 的去心鄰域 解析，則稱 為 在 的殘數(shù),記為， 這里 是指順時針方向。2.設(shè)在的Laurent展式為且這一展式在上一致收斂，根據(jù)逐項積分以與重要例子，有 ，故,即為在處的Laurent展式中這一項的系數(shù),與半徑無關(guān)；設(shè) 在 的Laurent展式為且這一展式在 上一致收斂，根據(jù)逐項積分以

10、與重要例子，有 ，故 即為在處的Laurent展式中這一項的系數(shù)的相反數(shù)，與半徑 無關(guān)。二.結(jié)論1.Cauchy殘數(shù)定理定理6.1 在圍線或復(fù)圍線所圍區(qū)域，除外解 析,在閉域上除外連續(xù)， 則 。證 取,作以為心,為半徑的圓 ，使 ，且 ,在 上,由復(fù) 圍線Cauchy積分定理有， 其中 。2.殘數(shù)和定理定理6.6 若 在擴充復(fù)平面上只有有限個孤立奇點，記為 ，則 在各點的殘數(shù)總和為零， 即 。證 以原點為心作圓周，使 都含于 的部，則由 Cauchy殘數(shù)定理， , 于是 ， 從而 ， 即得 。三.殘數(shù)的求法1.當(dāng) 為可去奇點時，。2.當(dāng)為本性奇點或的奇點類型不明朗時,用定義中介紹的一般方法，即

11、 。如3.當(dāng) 為極點時 定理6.2 設(shè)為的級極點， 其中在 處解析， 則證 設(shè) ， 則 故 注 此法比較適合于級數(shù)較低的極點。推論6.3 設(shè) 為 的一級極點， 則 。推論6.4 設(shè) 為 的二級極點， 則 。定理6.5 設(shè)為的一級極點， 在 解析， ,則 。證4.對于孤立奇點,除了引入殘數(shù)概念時介紹的一般方法求外，還可以有如下公式 。證 作變換時，積分有相應(yīng)的換元公式，若，則 ，因此當(dāng) 取負(fù)方向時, 取正方向，于是 。5.當(dāng) 為 可去奇點時， 未必是零，如 。但是若為的至少二級零點時， 。證 設(shè)為的級零點，則，在的 鄰域解析，且 ，例1例2 求 。解故 例3 設(shè)，求 。解原式例4 求 。解 故

12、，于是 。例5 求 。解 以為一級極點， 于是例6 求 。解 令 ，由 得 方法一 由于 ， 且 ，故 為 的一級極點， 故 。 方法二由于 的分子分母都是由冪級數(shù)定義了的解析函數(shù),且以0代入分子分母,均不為0，故的Laurent展式就是Taylor級數(shù)，沒有負(fù)冪項（可用待定系數(shù)的方法表示出來），于是 。從而 。例7 求 。解 令,則在擴充復(fù)平面上共有七個 奇點，前六 個均在 的部， 故 。方法一則 ，于是 。方法二以 為一級極點，故作業(yè)P261:1、（1）（4）2、（1）（2）3、（1）（3）第3節(jié) 用殘數(shù)計算實積分利用殘數(shù)計算實積分沒有普遍適用的方法，這里只考慮幾種特殊類型的實積分。 一.

13、型表示 的有理函數(shù)，在 上連續(xù)。令，則，當(dāng)從0變到 時， 沿 的正方向饒行一周，于是 例1 求。解 當(dāng) 時， ； 當(dāng) 時，令 ， 當(dāng) 時，在 ， 僅 以 為一級極點，在 上無奇點，故由殘數(shù)定理 當(dāng)時,在僅以為一級極點,在上 無奇點， 例2 求。解 令 ，則 ，令 ， 則 又 ， 若,則,故當(dāng)饒一周時,饒 二周, 在 部，僅有為 一級極點， 故 。例3 求。解 為偶函數(shù)，故 ， 令 ，則 在 部 僅有 為一級極點， ， 故 ， 比較實部得 ，故 。二.型由于，考慮添加輔助曲線與實軸上是區(qū)間 構(gòu)成圍線 ，則 ，其中為落在部的有限個奇點處的殘數(shù)和，若能估計出的值，再取極限即得。1.引理6.1 設(shè)在圓弧充分大)上連續(xù),且在上一致成立(即與中的 無關(guān))，則 。證 ，由于 在 上一致成立，故 ， 2.定理6.7 設(shè)為有理分式，其中 ，為互質(zhì)多項式,且 （1） ； （2）在實軸上 ， 則 。證 由,存在,且 。 作,與線段一起構(gòu)成圍線, 取足夠大，使的部包含在上半平面的一切孤立奇 點,由在實軸上知,在上沒有奇點,由殘數(shù)定理 得 ， 又 。 由于當(dāng)時,，由引理6.1， ，于是 。例4 求 。解 ，令，則在上有四 個一級極點 ， 由于 ，故 由于在上半平面僅有兩個極點， 三.型1.