2021屆九年級《新題速遞??數(shù)學(xué)》（蘇科版）-考點03 銳角三角函數(shù)壓軸題匯總（解析版）

1、考點03 銳角三角函數(shù)壓軸題匯總一、單選題（共9小題） 1.（2020建湖縣二模）在如圖所示88的網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1，點A、B、C、D都在格點上，AB與CD相交于點E，則AED的正切值是（）A2BCD【解答】解：如圖，取格點K，連接AK，BK觀察圖象可知AKBK，BK2AK，BKCD，AEDABK，tanAEDtanABK，故選：B【知識點】解直角三角形 2.（2020浙江自主招生）如圖，在ABC中，ABC90，D為BC的中點，點E在AB上，AD，CE交于點F，AEEF4，F(xiàn)C9，則cosACB的值為（）ABCD【解答】解：如圖，延長AD到M，使得DMDF，連接BMBDDC，BDMCD

2、F，DMDF，BDMCDF（SAS），CFBM9，MCFD，CEBM，AFEM，EAEF，EAFEFA，BAMM，ABBM9，AE4，BE5，EBC90，BC12，AC15，cosACB，故選：D【知識點】解直角三角形 3.（2020河北模擬）已知，均為銳角，若tan，tan，則+（）A45B30C60D90【解答】解：如圖ABC，過點A作ADBC，設(shè)：BD3a，CD2a，AD6a，則tantanABD，同理tan，則AB，AC，過點B作BEAC于點E，SABCADBCACBE，即5a6aBE，解得：BE，sin（+）sinBAC，則+45，故選：A【知識點】勾股定理的逆定理、解直角三角形 4

3、.（2020孟津縣期末）數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)們要測量被池塘相隔的兩棵樹A，B的距離，他們設(shè)計了如圖的測量方案：從樹A沿著垂直于AB的方向走到E，再從E沿著垂直于AE的方向走到F，C為AE上一點，其中4位同學(xué)分別測得四組數(shù)據(jù)：AC，ACB；EF，DE，AD；CD，ACB，ADB；F，ADB，F(xiàn)B其中能根據(jù)所測數(shù)據(jù)求得A，B兩樹距離的有（）A1組B2組C3組D4組【解答】解：此題比較綜合，要多方面考慮，第組中，因為知道ACB和AC的長，所以可利用ACB的正切來求AB的長；第組中可利用ACB和ADB的正切求出AB；第組中設(shè)ACx，ADCD+x，AB，AB；因為已知CD，ACB，ADB，可求出x，然

4、后得出AB故選：C【知識點】相似三角形的應(yīng)用 5.（2020渝中區(qū)校級月考）如圖，老王在江邊垂釣，河堤AB的坡度為1：2.4，AB長為3.9米，甩桿之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立處的距離AE為1米，此時沿釣竿看向釣竿頂端C處，仰角CEF為37釣竿兩端點的直線距離EC為4米，釣線與江面的夾角CDB52，則浮漂D與河堤下端B之間的距離約為（）米（參考數(shù)據(jù)：sin37，tan37，sin520.79，tan521.28，結(jié)果精確到0.1米）A4.6B3.4C2.3D3.6【解答】解：作CGDB交DB延長線于G，直線EF交CG于H，延長EA交DB延長線于M，如圖所示：則GHEM，GMEH，斜坡AB的坡

5、度為1：2.4，tanABM，sinABM，AMAB3.91.5（米）BMAM3.6米，GHEMAE+AM1+1.52.5（米），CE4，sinCEFsin37，tanCEFtan37，CHCE42.4，EHCH3.2（米），CGCH+GH2.4+2.54.9（米），GMEH3.2（米）BGBMGM3.63.20.4（米）tanBDCtan521.28（米），DG3.82（米），DBDGBG3.820.43.4（米）即浮漂D與河堤下端B之間的距離約為3.4米；故選：B【知識點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題 6.（2020吳興區(qū)一模）李白筆下“孤帆一片日邊來

6、”描述了在噴薄而出的紅日映襯下，遠(yuǎn)遠(yuǎn)望見一葉帆船駛來的壯美河山之境聰明的小芬同學(xué)利用幾何圖形，構(gòu)造出了此意境！如圖，半徑為5的O在線段AB上方，且圓心O在線段AB的中垂線上，到AB的距離為，AB20，線段PQ在邊AB上（APAQ），PQ6，以PQ中點C為頂點向上作RtCDE，其中D90，CD3，sinDCEsinDCQ，設(shè)APm，當(dāng)邊DE與O有交點時，m的取值范圍是（）ABCD【解答】解：如圖1所示，當(dāng)DE在圓O左側(cè)有交點時，DE與圓O相切，延長ED至AB上于點F，記切點為點G，連接OG并延長至AB上于點H，過點O作OIAB，sinDCEsinDCQ，DCEDCQ，CDE90，ECF為等腰三角

7、形，CD3，CECF5，PQ6，點C為PQ的中點，PC3，PF8，DE與圓O相切，切點為點G，OGDE，即OGCD，sinOHIsinDCE，圓心O在線段AB的中垂線上，AIBI10，OI，HIOItanOHI，OH，GH，在RtFGH中，F(xiàn)HGFCD，F(xiàn)HHG，F(xiàn)IFHHI，APmAFPFAI+FIPF10+（）8；如圖2所示，當(dāng)DE在圓O右側(cè)有交點時，點E在圓O上，延長ED交AB的延長線于點F，過點O作OIAB，過點E作EJAB，EKOI，sinDCEsinDCQ，CD3，DEDF4，CECF5，EF8，CEF的面積EFCDCFEJ，即835EJ，EJKI，CJ，OKOIKI3，在RtOK

8、E中，EKJI4，CI，APmACCPAI+CICP10+3，綜上所述即可知m的取值范圍是m，故選：A【知識點】直線與圓的位置關(guān)系、解直角三角形的應(yīng)用、線段垂直平分線的性質(zhì) 7.（2020平陽縣一模）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣英國佩里加（HPerigal，18011898）用“水車翼輪法”（圖1）證明了勾股定理該證法是用線段QX，ST，將正方形BIJC分割成四個全等的四邊形，再將這四個四邊形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（圖2）若AD，tanAON，則正方形MNUV的周長為（）AB18C16D【解答】解：延長QN交AE于H由題意AOADDE，AE2，在RtAOH中，ta

9、nAOH，AH，OH，DHAHAD，NHDHAO，DN1，HN，ONOHHN5，OMDN1，MN514，正方形MNUV的周長為16，故選：C【知識點】解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理的證明 8.（2020沙坪壩區(qū)校級月考）江津四面山是國家5A級風(fēng)景區(qū)，里面有一個景點被譽為亞洲第一巖土地神巖，土地神巖壁畫高度從石巖F處開始一直豎直到山頂E處，為了測量土地神巖上壁畫的高度，小明從山腳A處，沿坡度i0.75的斜坡上行65米到達(dá)C處，在C處測得山頂E處仰角為26.5，再往正前方水平走15米到達(dá)D處，在D處測得壁畫底端F處的俯角為42，壁畫底端F處距離山腳B處的距離是12米，A、B、C、D、E、F在同一平面

10、內(nèi)，A、B在同一水平線上，EBAB，根據(jù)小明的測量數(shù)據(jù)，則壁畫的高度EF為（）米（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin26.50.45，cos26.50.9，tan26.50.5，sin420.67，cos420.74，tan420.9）A49.5B68.7C69.7D70.2【解答】解：如圖，作CNAB于N，延長CD交BE于M在RtACN中，AC65m，CN：AN0.75，CN39m，AN52m，四邊形CNBM是矩形，CNBM39m，BF12m，F(xiàn)M27m，在RtDMF中，tan42，DM30m，在RtCEM中，CMCD+DM45m，EMCMtan26.522.5m，EFEM+FM22.5+27

11、49.5m，故選：A【知識點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題 9.（2020沙坪壩區(qū)校級一模）天是放風(fēng)箏的好時節(jié)，小明為了讓風(fēng)箏順利起飛，特地將風(fēng)箏放在坡度為1：2.4的山坡上，并站在視線剛好與風(fēng)箏起飛點A齊平的B處，起風(fēng)后小明開始往下跑26米至坡底C處，并繼續(xù)沿平地向前跑16米到達(dá)D處后站在原地開始調(diào)整，小明將手中的線軸剛好舉到與視線齊平處測得風(fēng)箏的仰角是37，此時風(fēng)箏恰好升高到起飛時的正上方E處已知小明視線距地面高度為1.5米，圖中風(fēng)箏E、A、B、C、D五點在同一平面，則風(fēng)箏上升的垂直距離AE約為（）米（參考數(shù)據(jù)：sin370.60，cos370.80，

12、tan370.75）A34.2B32.7C31.2D22.7【解答】解：設(shè)小明在B處視線的點為N，延長NB交CD于點S，過點G作GM平行于地面交AE于點M，坡度為1：2.4，BC26，則BC10，SC24，BS10，ANSC，即：，解得：AN3.6RS，ARNSBS+NB10+1.511.5，則AM10，RDRS+SC+CD3.6+24+1643.6MG，EMMGtan3732.7，AEEMAM32.71022.7，故選：D【知識點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題 二、填空題（共9小題） 10.（2020江岸區(qū)校級月考）如圖，點D在鈍角ABC的邊BC上連接A

13、D，B45，CADCDA，CA：CB5：7，則CAD的余弦值為【解答】解：如圖作AHBC于H，設(shè)ACCD5k，BC7k，B45，AHB90，AHBH，設(shè)AHBHx，在RtACH中，AH2+HC2AC2，x2+（7kx）2（5k）2，解得x3k或4k（舍棄與鈍角三角形矛盾），當(dāng)x3k時，BHAH3k，DHk，ADk，cosCADcosADH故答案為【知識點】解直角三角形 11.（2020武漢模擬）在RtABC中，ACB90，點D是AC邊上一點，連BD，過C點作BD的垂線與過A點作AC的垂線交于點E當(dāng)tanABD，cosE，則的值是【解答】解：設(shè)直線AB交CE于點H，BD交CE于點N，設(shè)E，則co

14、sEcos，則sin，tan4，tanABD，則tanBHN2，AEAC，BCAC，AEBC，EECB，NDC+NCD90，NCB+NCD90，NCBNDC，在AHE中，設(shè)AEa，則AGAEsinasin，GEacos，則GHAGasin，則EHGE+GHacos+asin，在RtAEC中，EC，則HCECEH（acos+asin）；在BHC中，tanBHN2，tan4，HC（acos+asin），同理可得：BC，在RtBCD中，CDa（），ADACCD4a，則，故答案為【知識點】解直角三角形 12.（2020香坊區(qū)校級月考）如圖，在ABC中，AHBC于點H，在AH上取一點K，連接CK，使得H

15、KC+HAC90，在CK上取一點N，使得CNAC，連接BN，交AH于點M，若tanABC2，BN15，則CH的長為【解答】解：如圖，過點N作NJBC于J設(shè)HJxAHBC，AHBAHC90，tanABH2，可以假設(shè)BHk，2k，HKC+HAC90，HKC+KCH90，HACKCH，NJBC，AHCCJN90，AHCCJN，2，CJk，CHx+k，JN（x+k），tanNBJ，設(shè)NJy，BJ2y，BN15，5y2152，y3，NJ3，CH2NJ6【知識點】解直角三角形、直角三角形斜邊上的中線 13.（2020德陽）如圖，海中有一小島A，它周圍10.5海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行在B點測得

16、小島A在北偏東60方向上，航行12海里到達(dá)D點，這時測得小島A在北偏東30方向上如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，那么漁船還需航行海里就開始有觸礁的危險【解答】解：只要求出A到BD的最短距離是否在以A為圓心，以10.5海里的圓內(nèi)或圓上即可，如圖，過A作ACBD于點C，則AC的長是A到BD的最短距離，CAD30，CAB60，BAD603030，ABD906030，ABDBAD，BDAD12海里，CAD30，ACD90，CDAD6海里，由勾股定理得：AC6（海里），如圖，設(shè)漁船還需航行x海里就開始有觸礁的危險，即到達(dá)點D時有觸礁的危險，在直角ADC中，由勾股定理得：（6x）2+（6）210.52解得

17、x4.5漁船還需航行4.5海里就開始有觸礁的危險故答案是：4.5【知識點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題 14.（2020朝陽區(qū)校級二模）小致為了測量樓房AB的高度，他從樓底的B處沿著斜坡行走20m，達(dá)到坡頂D處已知斜坡的坡角為15，小致的身高ED是1.6m，他站在坡頂看樓頂A處的仰角為45，則樓房AB的高度為m（計算結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin15，cos15，tan15）【解答】解：作DHAB于H，DBC15，BD20m，BCBDcosDBC2019.2（m），CDBDsinDBC205（m），由題意得，四邊形ECBF和四邊形CDHB是矩形，EFBC19.2m，BHCD5m，AEF45

18、，AFEF19.2m，ABAF+FH+HB19.2+1.6+525.826（m），答：樓房AB的高度約為26m故答案是：26【知識點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題 15.（2020深圳）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，ABCDAC90，tanACB，則【解答】解：如圖，過點D作DMBC，交CA的延長線于點M，延長BA交DM于點N，DMBC，ABCANM，OBCODM，tanACB，又ABCDAC90，BAC+NAD90，BAC+BCA90，NADBCA，ABCDAN，設(shè)ABa，DNb，則BC2a，NA2b，MN4b，由得，DMa，4b+ba

19、，即，ba，故答案為：【知識點】解直角三角形、角平分線的性質(zhì) 16.（2020船營區(qū)校級月考）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，端點在格點上的兩條線段相交形成1，則tan1【解答】解：如圖，設(shè)小正方形ABCD的邊長為a，連接AC，BD交于點O，設(shè)EC交BD于JBDa，CDEB，JDBDa，ODOBOCOAa，OJODJDaaa，ACBD，COJ90，tan12，故答案為2【知識點】解直角三角形 17.（2020浙江自主招生）已知，ABC中，ACa，AB與BC所在直線成45角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為（即cosC），則AC邊上的高線長是【解答】解：當(dāng)B是銳角時，如圖1中，作AHBC于

20、H，BDAC于D在RtACH中，cosCCHa，AHa，ABH45，AHB90，AHBHa，BCa，SABCBDACBCAH，BDa當(dāng)BC是鈍角時，如圖2中，作AHBC于H，BDAC交AC的延長線于D同法可得：CHa，AHa，BCCHBHa，BDa，綜上所述，AC邊上的高為a或a故答案為a或a【知識點】解直角三角形 18.（2020浙江自主招生）在一次美術(shù)課堂的剪紙活動中，小剛把一張菱形ABCD的紙片沿著各邊的中點，剪取四邊形EFGH，紙片EFGH分別沿MN、PQ折疊使得點E落在E，點G落在G處，且直線NE與直線PG重合，滿足PNEF，若陰影部分的周長之和等于16，SAEH+SFCG16，求s

21、inDHG的值是【解答】解：由題意可以設(shè)ANPCx，ENHNPFPGy則有，解得，在RtANH中，AN2，HN4，AH2，HGAC，DHGHAN，sinDHGsinHAN，故答案為【知識點】解直角三角形的應(yīng)用、翻折變換（折疊問題）、菱形的性質(zhì)、平行線之間的距離 三、解答題（共9小題） 19.（2020香坊區(qū)校級月考）如圖，已知樓AB30m，從樓頂A處測得旗桿C的俯角為60，從離地5m的窗戶E測得旗桿頂C的仰角為45，求旗桿CD的（結(jié)果精確到0.1m，1.73，1.41）【解答】解：過點C作CGAE，垂足為點G，由題意得CEF45CEG，ACG60，設(shè)CGx米，在RtACG中，AGCGtanAC

22、Gxm，在RtECG中，EGCGcotCEGxm，AG+EGAE，x+x305，解得：x，CFEGm，CD+5+514.1（m）答：該旗桿CD的高約為14.1米【知識點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題 20.（2020盱眙縣校級模擬）我市里運河有一座人行天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1：1，文化墻PM在天橋底部正前方8米處（PB的長），為了方便行人推車過天橋，有關(guān)部門決定降低坡度，使新坡面的坡度為1：有關(guān)部門規(guī)定，文化墻距天橋底部小于3米時應(yīng)拆除，天橋改造后，該文化墻PM是否需要拆除？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）【解答】解：該文化墻PM不需要拆除，理由：設(shè)新坡

23、面坡角為，新坡面的坡度為1：，tan，30作CDAB于點D，則CD6米，新坡面的坡度為1：，tanCAD，解得，AD6，坡面BC的坡度為1：1，CD6米，BD6米，ABADBD（66）米，又PB8米，PAPBAB8（66）1461461.7323.6米3米，該文化墻PM不需要拆除【知識點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題 21.（2020眉山）某數(shù)學(xué)興趣小組去測量一座小山的高度，在小山頂上有一高度為20米的發(fā)射塔AB，如圖所示在山腳平地上的D處測得塔底B的仰角為30，向小山前進80米到達(dá)點E處，測得塔頂A的仰角為60，求小山BC的高度【解答】解：設(shè)BC為x米，則AC（20+x）米，由條件知：D

24、BCAEC60，DE80米在直角DBC中，tan60，則DCx米CE（x80）米在直角ACE中，tan60解得x10+40答：小山BC的高度為（10+40）米【知識點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題 22.（2020連云港）筒車是我國古代利用水力驅(qū)動的灌溉工具，唐代陳廷章在水輪賦中寫道：“水能利物，輪乃曲成”如圖，半徑為3m的筒車O按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)圈，筒車與水面分別交于點A、B，筒車的軸心O距離水面的高度OC長為2.2m，筒車上均勻分布著若干個盛水筒若以某個盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間（1）經(jīng)過多長時間，盛水筒P首次到達(dá)最高點？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距離水面多高？（3）若

25、接水槽MN所在直線是O的切線，且與直線AB交于點M，MO8m求盛水筒P從最高點開始，至少經(jīng)過多長時間恰好在直線MN上（參考數(shù)據(jù)：cos43sin47，sin16cos74，sin22cos68）【解答】解：（1）如圖1中，連接OA由題意，筒車每秒旋轉(zhuǎn)360605，在RtACO中，cosAOCAOC43，27.4（秒）答：經(jīng)過27.4秒時間，盛水筒P首次到達(dá)最高點（2）如圖2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此時AOP3.4517，POCAOC+AOP43+1760，過點P作PDOC于D，在RtPOD中，ODOPcos6031.5（m），2.21.50.7（m），答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P距

26、離水面0.7m（3）如圖3中，點P在O上，且MN與O相切，當(dāng)點P在MN上時，此時點P是切點，連接OP，則OPMN，在RtOPM中，cosPOM，POM68，在RtCOM中，cosCOM，COM74，POH180POMCOM180687438，需要的時間為7.6（秒），答：盛水筒P從最高點開始，至少經(jīng)過7.6秒恰好在直線MN上【知識點】切線的性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用 23.（2020丹東一模）如圖，要測量一垂直于水平面的建筑物AB的高度，小明從建筑物底端B出發(fā)，沿水平方向向右走30米到達(dá)點C，又經(jīng)過一段坡角為30，長為20米的斜坡CD，然后再沿水平方向向右走了50米到達(dá)點E（A，B，C，D，E均

27、在同一平面內(nèi)）在E處測得建筑物頂端A的仰角為24，求建筑物AB的高度（結(jié)果保留根號，參考數(shù)據(jù)：sin24，cos24，tan24）【解答】解：作BMED交ED的延長線于M，CNDM于N在RtCDN中，CDN30，CD20米，CNCDsin3010米，DNCDcos3010米，四邊形BMNC是矩形，BMCN10米，BCMN30米，EMMN+DN+DE（80+10）米，在RtAEM中，tan24，AB答：建筑物AB的高度是米【知識點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題 24.（2020張家港市期末）如圖，在一次綜合實踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面D處測得

28、樓房頂部A的仰角為30，沿坡面向下走到坡腳C處，然后在地面上沿CB向樓房方向繼續(xù)行走10米到達(dá)E處，測得樓房頂部A的仰角為60已知坡面CD10米，山坡的坡度i1：（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）（1）求點D離地面高度（即點D到直線BC的距離）；（2）求樓房AB高度（結(jié)果保留根式）【解答】解：（1）過D作DFBC，垂足為F，i1：，DF：FC1：，CD10，DF5，即點D離地面的高度為5米（2）由（1）得，CF5，過點D作DGAB，垂足為G，設(shè)ABx，則AGx5，在RtABE中，BEx，在RtADG中，DG（x5），由DGFC+CE+BE得，（x5）5+10+，解得，x15+5，答：AB的高度為（15+5）米【知識點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題 25.（2020黃巖區(qū)模擬）如圖，某中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組在學(xué)習(xí)了“利用三角函數(shù)測高”后，選定測量小河對岸一幢建筑物BC的高度，他們先在斜坡上的D處，測得建筑物頂端B的仰角為30且D離地面的高度DE5m坡底EA30m，然后在A處測得建筑物頂端B的仰角是60，點E，A，C在同一水平線上，求建筑物BC的高（結(jié)果用含有根號的式子表示）【解答】解：過點D作DHBC于點H，如圖所示：則四邊形DHCE是