第一節(jié) 聯合分布與邊緣分布

1、從本講起，我們開始第三章的學習從本講起，我們開始第三章的學習.一維隨機變量及其分布一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布 由于從二維推廣到多維一般無實質性的困難，由于從二維推廣到多維一般無實質性的困難，我們重點討論二維隨機變量我們重點討論二維隨機變量 .它是第二章內容的推廣它是第二章內容的推廣. 到現在為止，我們只討論了一維到現在為止，我們只討論了一維r.v及其分布及其分布. 但有些隨機現象用一個隨機變量來描述還不夠，而但有些隨機現象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述需要用幾個隨機變量來描述. 在打靶時在打靶時,命中點的位置是命中點的位置是由一對由一對

2、r .v (兩個坐標兩個坐標)來確定的來確定的. 飛機的重心在空中的位置是飛機的重心在空中的位置是由三個由三個r .v (三個坐標三個坐標)來確定的等來確定的等等等.一般地一般地, 設設 是一個隨機試驗是一個隨機試驗,E它的樣本空間是它的樣本空間是 , 設設 11,XX 22,XX ,nnXX 是定義在是定義在 上的隨機變量上的隨機變量, 由它們構成的一個由它們構成的一個 維向維向n量量 12,nXXX叫做叫做 維隨機向量維隨機向量n或或 維隨機變維隨機變n量量. 以下重點討論二維隨機變量以下重點討論二維隨機變量.請注意與一維情形的對照請注意與一維情形的對照 .)()(xXPxFxX的分布函數

3、的分布函數一維隨機變量一維隨機變量 ,F x yPXxYyP Xx Yy, ,x y如果對于任意實數如果對于任意實數二元函數二元函數稱為二維隨機變量稱為二維隨機變量 的分布函數的分布函數, ,X Y或者稱為隨機或者稱為隨機變量變量 和和 的聯合分布函數的聯合分布函數.YX定義定義1 ,X Y設設 是二維是二維隨機變量隨機變量,xXOx Oxyy YX ,YX yx ,x 將二維隨機變量將二維隨機變量 看成是平面上隨機點看成是平面上隨機點的坐標的坐標, ,X Y 那么那么,分布函數分布函數 在點在點 處的函數值處的函數值就是隨機點就是隨機點 落在下面左圖所示的落在下面左圖所示的,以點以點 為頂點

4、而位于該點左下方的無窮矩形域內的概率為頂點而位于該點左下方的無窮矩形域內的概率. ,X Y ,x y ,F x y ,x y分布函數的函數值的幾何解釋分布函數的函數值的幾何解釋 11211222,yxFyxFyxFyxF 2121,yYyxXxP 隨機點隨機點 落在矩形域落在矩形域 ,X Y1212,xxxyyy概率為概率為xyO YX,2y1y1x2xxyO YX,1x2xy yx ,1 yx ,2 :,的性質的性質分布函數分布函數yxF ;,.1的不減函數的不減函數和和是關于變量是關于變量yxyxF ;,212121yxFyxFxxRxxRy 時時當當及及對任意固定的對任意固定的 ;,21

5、2121yxFyxFyyRyyRx 時時當當及及對任意固定的對任意固定的 YX, ,0,1,0.2 yFRyyxF對任意固定的對任意固定的且且 .1,0,0, FFxFRx對任意固定的對任意固定的Oxyy YX ,XY yx ,x yx ,x即即F(x, y) 關于關于x, y是右連續(xù)的。是右連續(xù)的。 .0, 0,.3 yxFyxFyxFyxF11221212(,),(,),xyxyxxyy 4. 對任意的對任意的 22211211,0F xyF xyF xyF xy 1212,P xXxyYy ,),(ijjipyYxXP或隨機變量或隨機變量X和和Y 的的聯合分布律聯合分布律. ,)(kkp

6、xXPk=1,2, 離散型離散型一維隨機變量一維隨機變量XX 的分布律為的分布律為 , 0kpkkp1k=1,2, 定義定義2限對或無限可列多對限對或無限可列多對, 則稱則稱是是離散型隨機變量離散型隨機變量. ,X Y設二維離散型隨機變量設二維離散型隨機變量 ,X Y可能取的值是可能取的值是 ,ijx y,1,2,i j ,1,2,i j 記記如果二維隨機變量如果二維隨機變量 ,X Y全部可能取到的值是有全部可能取到的值是有稱之為二維離散型隨機變量稱之為二維離散型隨機變量 的的分布律分布律, ,X Y12jyyyXY12ixxx11211 ippp12222 ippp12jjijppp也可用表

7、格來表示隨機變量也可用表格來表示隨機變量X和和Y 的的聯合分布律聯合分布律. ijijijpjip1, 2 , 1, 0二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量 的的分布律具有性質分布律具有性質 ,X Y二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量 的的聯合分布函數為：聯合分布函數為： ,X Y( , )ijijxx yyF x yp. , ,求和求和的的其中和式是對一切滿足其中和式是對一切滿足jiyyxxji 例例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次為三次拋擲中正面出現的次數拋擲中正面出現的次數 ，而，而 Y 為正面出現次數與為正面出現次數與反面出現次數之差的絕對值反面出現次數

8、之差的絕對值 , 求求 (X ,Y) 的分布律的分布律 .解解 ( X, Y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)PX=0, Y=3PX=1, Y=1 PX=2, Y=1PX=3, Y=3YX1301 83 8001233 8001 82131122C2231122C 31 2 1 8. =3/8=3/8 31 2 1 8 .),(. 1 , 4 , 3 , 2 , 1 的分布律的分布律試求試求整數值整數值中等可能地取一中等可能地取一在在另一個隨機變量另一個隨機變量取值取值四個整數中等可能地四個整數中等可能地在在設隨機變量設隨機變量YXXYX解解:,的取

9、值情況是的取值情況是jYiX , 4 , 3 , 2 , 1 i.的正整數的正整數取不大于取不大于ij且由且由乘法公式得乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 的分布律為的分布律為于是于是),(YX例例2XY12341234418112116108112116100121161000161例例3 一個袋中有三個球一個袋中有三個球,依次標有數字依次標有數字 1, 2, 2,從中任取一個從中任取一個, 不放回袋中不放回袋中 , 再任取一個再任取一個, 設每設每次取球時次取球時,各球被取到的可能性相等各球被取到的可能性相等,以以 X, Y 分

10、分別記第一次和第二次取到的球上標有的數字別記第一次和第二次取到的球上標有的數字 ,求求 ( X, Y ) 的分布律與分布函數的分布律與分布函數. ( X, Y ) 的可能取值為的可能取值為),2 , 1(,3122312, 1 YXP,3121321, 2 YXP.3121322, 2 YXP解解),1 , 2().2 , 2(122故故 ( X , Y ) 的分布律為的分布律為XY21213103131,31, 022211211 pppp下面求分布函數下面求分布函數.2112oxy)2 , 2()2 , 1()1 , 1()1 , 2(,11)1(時時或或當當 yx),(yxF),(yxF

11、,21 , 21)2(時時當當 yx,2, 21)3(時時當當 yx),(yxF,yYxXP ; 0 11p ; 0 1211pp ;31 ,21 , 2)4(時時當當 yx;31),(2111 ppyxF,2, 2)5(時時當當 yx),(yxF22122111pppp . 1 2112oxy)2 , 2()2 , 1()1 , 1()1 , 2(所以所以( X ,Y ) 的分布函數為的分布函數為, 21 , 2. 2, 2, 1, 2, 21,31, 11, 0),( yxyxyxyxyxF或或或或連續(xù)型連續(xù)型一維隨機變量一維隨機變量XX的概率密度函數的概率密度函數1)(dxxf xtdt

12、fxFx0)(xf Rxxf ,fx y函數函數 稱為二維稱為二維定義定義3對于二維隨機變量對于二維隨機變量 ,X Y的分布函數的分布函數 ,F x y則稱則稱 是是連續(xù)型的二維隨連續(xù)型的二維隨 ,X Y機變量機變量 ,（X,Y )的的概率密度概率密度 ,隨機變量隨機變量 ,yxF x yf u v dudv 存在非負的函數存在非負的函數 ,fx y如果如果任意任意 有有,x y使對于使對于 稱為隨機變量稱為隨機變量 X 和和 Y 的的聯合概聯合概 率密度率密度.或或 ;0,.1 yxf 2,1 ;Rfx y dxdy 2 .,1;fx y dxdy 表示介于表示介于 f (x, y)和和 x

13、oy 平面之間的空間區(qū)域的平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于全部體積等于1., 1dd),( yxyxf.),(,表表示示空空間間的的一一個個曲曲面面幾幾何何上上yxfz 注：注： ;,.3dxdyyxfGYXPxOyGG 則有則有平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域是是設設yxyxFyxf),(),(2在在 f (x,y)的連續(xù)點的連續(xù)點 ,.4注：注：,dd),(),( GyxyxfGYXP.),(, ),(為頂面的柱體體積為頂面的柱體體積以曲面以曲面為底為底的值等于以的值等于以yxfzGGYXP 例例4 4 設設( (X,Y) )的概率密度是的概率密度是(2) 求分布函數求分布函數 (2),0,0,0

14、,.其它xyAexyfx y ,;F x y P YX (3) 求概率求概率 .(1) 求常數求常數A; 解解 (1) 由由 ,1fx y dxdy 可得可得A=2.Ouvy yx ,xOuvy yx ,x ,yxF x yf u v dudv ,Du vuxvy 積分區(qū)域積分區(qū)域區(qū)域區(qū)域 ,0f u v ,0,0u v uv解解 (2)Ouvy yx ,xOuvy yx ,x 211,0,0,0,.xyeexyF x y 其其它它00 xy或或當當 時時, ,yxF x yf u v dudv 0 故故(2)002yxu vedudv 2002yxvue dvedu 211xyee0,0 x

15、y當當 時時, ,yxF x yf u v dudv 2302xxeedx 1.3 (3) P YX ,y xfx y dxdy 2002xxydxedy 2002xxyedxedy yx xyo例例5 設隨機變量設隨機變量(X ,Y )的聯合分布函數為的聯合分布函數為yxyCxBAyxF,2arctan2arctan),(其中其中A , B , C 為常數為常數.(1) 確定常數確定常數A , B , C ；(2)求求P (X 2);(3)求求(X ,Y )的聯合密度函數。的聯合密度函數。解解 (1)122),(CBAF(, )arctan022yFyA BC( ,)arctan022xF

16、xA BC 21,2,2ACB(2)(2) 1(2)1(2,)1(2,)P XP XP XYF 22arctan1211.4/1(3)2222( , )14( , )(4)(4) ,F x yf x yx yxyxy 設隨機變量設隨機變量(X, Y)的概率密度是的概率密度是 6,02,24,0,.kxyxyfx y 其其它它(1) 確定常數確定常數 ;k 1,3PXY (2) 求概率求概率解解 (1) xyo24 21,Rfx y dxdy 24026kdxxy dy 24026kdxxy dy 2023kx dx 8k 故故1 8.k 2xyo13242 1,3P XY(2) . 13,dx

17、fx y dy 1302168dxxy dy101782x dx 38 二維隨機變量二維隨機變量 (X,Y)作為一個整體作為一個整體, 具有分布函具有分布函數數 ,F x y而而 和和 都是隨機變量都是隨機變量 ,XY也有各自的分也有各自的分布函數布函數,分別記為分別記為 ,XYFxFy XFxP Xx變量變量 (X,Y) 關于關于 X 和和 Y的邊緣分布函數的邊緣分布函數.依次依次稱為二維隨機稱為二維隨機 ,YFyP YyP XYyFy ,P Xx Y ,F x一、邊緣分布函數一、邊緣分布函數一般地，對離散型一般地，對離散型 r.v ( X,Y )，則則 (X,Y) 關于關于X 的邊緣分布律

18、為的邊緣分布律為:X和和Y 的聯合分布律為的聯合分布律為, 2 , 1,),(jipyYxXPijji 11,ijijjjPXx Yyp,2,1iixXP二、離散型隨機變量的邊緣分布律二、離散型隨機變量的邊緣分布律. ip(X,Y) 關于關于 Y 的邊緣分布律為的邊緣分布律為:jyYPjiijjiippyYxXP.11, 1,2,j ,),()(1 xxjijXipxFxF.),()(1 yyiijYjpyFyF離散型隨機變量關于離散型隨機變量關于X 和和Y 的邊緣分布函數分別為的邊緣分布函數分別為:;,2, 1,1 ipxXPjiji., 2 , 1,1 jpyYPiijjXYixxx21j

19、yyy2112111ippp22212ipppijjjppp21 我們常將邊緣分布律寫在聯合分布律表格的邊我們常將邊緣分布律寫在聯合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞緣上，由此得出邊緣分布這個名詞.例例6 已知下列分布律求其邊緣分布律已知下列分布律求其邊緣分布律.XY1049164912491249910XY1042124212421242610iixXPp jjyYPp 注意注意聯合分布聯合分布邊緣分布邊緣分布解解 747317473解解1098765432112232424340111121112例例7., .)( , )( .10, 3, 2, 1并求邊緣分布律并求邊緣分布律的

20、聯合分布律的聯合分布律和和試寫出試寫出的素數的個數的素數的個數是能整除是能整除的正整數的個數的正整數的個數是能整除是能整除設設一個值一個值十個值中取十個值中取等可能地在等可能地在一整數一整數FDNNFFNNDDN : 布律布律的聯合分布律與邊緣分的聯合分布律與邊緣分和和由此得由此得FD樣本點樣本點DFDkp4321101104102103Fkp21010110710243211010000104102101000102DFjFP 101107102iDP 1011041021031或將邊緣分布律表示為或將邊緣分布律表示為012三、連續(xù)型隨機變量的邊緣分布三、連續(xù)型隨機變量的邊緣分布.),(,d

21、),()(,dd),(),()(),(),(的邊緣概率密度的邊緣概率密度關于關于稱其為隨機變量稱其為隨機變量記記由于由于密度為密度為設它的概率設它的概率對于連續(xù)型隨機變量對于連續(xù)型隨機變量XYXyyxfxfxyyxfxFxFyxfYXXxX 定定義義同理可得同理可得 Y 的邊緣分布函數的邊緣分布函數.d),()( xyxfyfYY 的邊緣概率密度的邊緣概率密度.,dd),(),()( yYyxyxfyFyF. )(),(., 0, 6),(2yfxfxyxyxfYXYX求邊緣概率密度求邊緣概率密度其他其他具有聯合概率密度具有聯合概率密度和和設隨機變量設隨機變量 解解yyxfxfXd),()(

22、,10時時當當 xxy 2xy Oxy)1 , 1(yyxfxfXd),()( xxy2d6例例8).(62xx ,10時時或或當當 xx. 0d),()( yyxfxfX ., 0, 10),(6)(2其他其他因而得因而得xxxxfXxy 2xy Oxy)1 , 1(,10時時當當 yxyxfyfYd),()( ,10時時或或當當 yy. 0d),()( xyxfyfY ., 0, 10),(6)(其他其他得得yyyyfY yyxd6).(6yy xy 2xy Oxy)1 , 1(=5c/24=1,c =24/5 dxdyyxf),(解：解：(1)100(2)xcyx dy dx dxxxc

23、10222/ )(求求 (1) c的值；的值； （2）兩個邊緣密度。）兩個邊緣密度。(2),01,0( , )0,cyxxyxf x y 其其它它例例9 設設(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解: (2) xXdyxyxf0)2(524)(),2(5122xx10 xxy01y=x求求 (1) c的值；的值； （2）兩個邊緣密度。）兩個邊緣密度。(2),01,0( , )0,cyxxyxf x y 其其它它例例9 設設(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解: (2) ),2223(5242yyy1)2(524)(yYdxxyyf10 yxy01y=x求求 (1) c的值；的值； （2）兩個邊

24、緣密度。）兩個邊緣密度。(2),01,0( , )0,cyxxyxf x y 其其它它例例9 設設(X,Y)的概率密度是的概率密度是即即212(2),01( )50,Xxxxfx 其其它它2243(2),01( )5220,Yyyyyfy 其其它它練習練習 設設(X,Y)的概率密度是的概率密度是 ,0,0,yexyxfx y 其其它它求求( X,Y )關于關于 X 和和 Y 的邊緣概率密度的邊緣概率密度.xyx xy0 xx ,Xfxfx y dy 解解當當 時時,0 x 當當 時時,0 x 00Xfxdy yXxfxedy xe yxe 故故 ,0,0,0.xXexfxx yx xy0 ,Yfyfx y dx yyy當當 時時,0y 當當 時時,0y 00Yfydx 0yyYfyedx yye 故故 ,0,0,0.yYyeyfyy 設設G是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為A. 若二若二維隨機變量（維隨機變量（ X,Y）具有概率密度具有概率密度其它, 0),(,1),(GyxAyxf則