決策理論與方法教學(xué) 第七章模糊決策方法

1、決策理論與方法教學(xué) 第七章模糊決策方法第七章 模糊決策方法學(xué)習(xí)目的了解模糊集、隸屬函數(shù)、模糊矩陣的概念；掌握模糊意見(jiàn)集中決策、模糊優(yōu)先關(guān)系排序決策、模糊相似優(yōu)先比決策、模糊相對(duì)比決策、模糊綜合評(píng)判決策及層次分析法等決策方法。本講內(nèi)容7.1模糊理論的基本概念 7.1.1 模糊集與隸屬函數(shù) 7.1.2 截集與分解定理 7.1.3 隸屬函數(shù)的確定方法 7.1.4 模糊矩陣5前言：什么是模糊數(shù)學(xué)禿子悖論: 天下所有的人都是禿子設(shè)頭發(fā)根數(shù)nn=1 顯然若n=k 為禿子n=k+1 亦為禿子模糊概念模糊概念：從屬于該概念到不屬于該概念之間無(wú)明顯分界線(xiàn)年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、長(zhǎng)、短、

2、貴、賤、強(qiáng)、弱、軟、硬、陰天、多云、暴雨天氣冷熱雨的大小風(fēng)的強(qiáng)弱人的胖瘦年齡大小個(gè)子高低7共同特點(diǎn)：模糊概念的外延不清楚。 術(shù)語(yǔ)來(lái)源Fuzzy: 毛絨絨的，邊界不清楚的模糊，不分明模糊概念導(dǎo)致模糊現(xiàn)象模糊數(shù)學(xué)就是用數(shù)學(xué)方法研究模糊現(xiàn)象。8人工智能的要求 取得精確數(shù)據(jù)不可能或很困難沒(méi)有必要獲取精確數(shù)據(jù)模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生不僅形成了一門(mén)嶄新的數(shù)學(xué)學(xué)科，而且也形成了一種嶄新的思維方法，它告訴我們存在亦真亦假的命題，從而打破了以二值邏輯為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)思維，使得模糊推理成為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法。隨著模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展，模糊理論和模糊技術(shù)將對(duì)于人類(lèi)社會(huì)的進(jìn)步發(fā)揮更大的作用。9模糊數(shù)學(xué)的概念處理現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)學(xué)模型確定性數(shù)學(xué)模

3、型:確定性或固定性,對(duì)象間有必然聯(lián)系.隨機(jī)性數(shù)學(xué)模型:對(duì)象具有或然性或隨機(jī)性模糊性數(shù)學(xué)模型:對(duì)象及其關(guān)系均具有模糊性.隨機(jī)性與模糊性的區(qū)別隨機(jī)性:指事件出現(xiàn)某種結(jié)果的機(jī)會(huì).模糊性:指存在于現(xiàn)實(shí)中的不分明現(xiàn)象.模糊數(shù)學(xué):研究模糊現(xiàn)象的定量處理方法.7 模糊決策方法 模糊數(shù)學(xué)把數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從精確現(xiàn)象領(lǐng)域擴(kuò)大到模糊現(xiàn)象領(lǐng)域，四十多年來(lái)，模糊數(shù)學(xué)理論發(fā)展迅速，應(yīng)用廣泛。模糊數(shù)學(xué)在實(shí)際上的應(yīng)用幾乎涉及到國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)領(lǐng)域，尤其在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)科學(xué)方面得到了廣泛而又成功的應(yīng)用。 決策問(wèn)題在很多情況下具有模糊性，因此應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法進(jìn)行決策研究有其必然性。 7.1 模糊理論的基本概念 模糊數(shù)學(xué)由

4、美國(guó)控制論專(zhuān)家L.A.扎德（L.A.Zadeh, 1921-）教授所創(chuàng)立。他于1965年發(fā)表了題為模糊集合論（Fuzzy Sets）的論文，從而宣告模糊數(shù)學(xué)的誕生。 L.A.扎德教授多年來(lái)致力于“計(jì)算機(jī)”與“大系統(tǒng)”的矛盾研究，集中思考了計(jì)算機(jī)為什么不能像人腦那樣進(jìn)行靈活的思維與判斷問(wèn)題。 “當(dāng)系統(tǒng)的復(fù)雜性日趨增長(zhǎng)時(shí)，我們做出系統(tǒng)特性的精確然而有意義的描述的能力將相應(yīng)降低，直至達(dá)到這樣一個(gè)閾值，一旦超過(guò)它，精確性和有意義性將變成兩個(gè)幾乎互相排斥的特性?！?“常規(guī)數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用對(duì)于本質(zhì)上是模糊系統(tǒng)的分析來(lái)說(shuō)是不協(xié)調(diào)的，它將引起理論和實(shí)際之間的很大差距?！币虼?，必須尋找到一套研究和處理模糊性的數(shù)學(xué)

5、方法。這就是模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的歷史必然性。 7.1 模糊理論的基本概念7.1.1 模糊集與隸屬函數(shù) 經(jīng)典集合A由其特征函數(shù) 唯一確定，其中 A由映射 因此，只能表達(dá)“非此即彼”的清晰概念（現(xiàn)象） 不能表達(dá)“亦此亦彼”的模糊概念（現(xiàn)象） 例1 從圖的30條線(xiàn)段中，選出“長(zhǎng)的線(xiàn)段”從左起，第1條是屬于“長(zhǎng)線(xiàn)段”，第2，3條越靠右的線(xiàn)段作為“長(zhǎng)線(xiàn)段”的資格就越降低，第30條線(xiàn)段根本不能作為“長(zhǎng)線(xiàn)段”的成員。應(yīng)屬于“短線(xiàn)段”。例2 在標(biāo)志年齡(0100)的數(shù)軸上,標(biāo)出“年老”、“年輕”的區(qū)間。 這里需要考慮40歲，50歲，60歲,屬于“年輕”還是“年老” 。從“長(zhǎng)”到“短”，從 “年輕”到“年老” 。經(jīng)歷

6、了一個(gè)從量變到質(zhì)變的連續(xù)過(guò)渡過(guò)程?！伴L(zhǎng)” “短”“年輕” “年老” 這些模糊概念無(wú)法用特征函數(shù)來(lái)刻畫(huà)。Zadeh把特征函數(shù)的值域由0,1擴(kuò)張到0，1，引入了隸屬函數(shù)，定義的模糊集合，使模糊概念的數(shù)學(xué)表達(dá)成為可能。7.1 模糊理論的基本概念7.1.1 模糊集與隸屬函數(shù) 定義7.1.1 設(shè) 是論域（全集），稱(chēng)映射 確定了 上的模糊子集 。映射 稱(chēng)為 的隸屬函數(shù) （或稱(chēng)為u對(duì)A的隸屬度）。 模糊集記為“F集”。對(duì)于某F集A，若 僅取0和1兩個(gè)數(shù)時(shí)，A就退化為普通集合。 隸屬度與隸屬函數(shù)的思想是模糊數(shù)學(xué)的基本思想。普通集是模糊集的特例，模糊集是普通集的推廣。例1中，因線(xiàn)段長(zhǎng)度按線(xiàn)性遞減，其中，P（U)

7、是U的冪集。即由集合U的所有子集組成的集合同理，“短線(xiàn)段”的隸屬函數(shù)為 所以，“長(zhǎng)線(xiàn)段”的隸屬函數(shù)為(1,1)(30,0)例2中，7.1 模糊理論的基本概念7.1.1 模糊集與隸屬函數(shù)模糊集的表示方法（以有限論域?yàn)槔?，設(shè)論域是有限集或可數(shù)集，U上的任一模糊集A，其隸屬函數(shù)為（1）扎德表示法：（2）序偶表示法：（3）向量表示法： 模糊集合的表示法1zadeh表示法論域U是有限集x1, x2, , xn,U的任一模糊子集A，其隸屬函數(shù)為i =A(xi)模糊子集A記作 A = i=1n A(xi) / xi “i=1n A(xi) / xi”不是分式求和，只是一 符號(hào)而已。 “分母”是論域U的元素

8、 “分子”是相應(yīng)元素的隸屬度 當(dāng)隸屬度為0時(shí)，該項(xiàng)可以不寫(xiě)入注意模糊集合的表示法1模糊集合表示方法 1Exle.論域 = Bill, John, Einstein, Mike, Tom smart程度：0.85，0.75，0.98，0.30，0.60則論域中元素對(duì)“smart”這模糊概念的符合程度可以用模糊子集A來(lái)表示 A = 0.85/Bill + 0.75/John+ 0.98/Einstein + 0.30/Mike + 0.60/Tom 模糊集合的表示法2、3序偶表示法 A(x1 ,1),(x2 ,2),(xn ,n) A = (Bill, 0.85), (John, 0.75), (

9、Einstein, 0.98), (Mike, 0.30), (Tom, 0.60)向量表示法 A1, 2 , ,n A = 0.85,0.75,0.98,0.30,0.60例向量法：序偶法：Zadeh法：例 設(shè)論域?yàn)閷?shí)數(shù)域R，A: “靠近4的數(shù)集”例 設(shè)論域?yàn)閷?shí)數(shù)域R，A: “比4大得多的數(shù)集”7.1 模糊理論的基本概念7.1.1 模糊集與隸屬函數(shù) 模糊集合的運(yùn)算 定義7.1.2 設(shè) ，定義 B包含A A與B相等 自反性 反對(duì)稱(chēng)性 傳遞性具有如下性質(zhì)：7.1 模糊理論的基本概念7.1.1 模糊集與隸屬函數(shù) 模糊集合的運(yùn)算 定義7.1.3 設(shè) ，定義 并 的隸屬函數(shù)為 交 的隸屬函數(shù)為 余 的

10、隸屬函數(shù)為 上述運(yùn)算中的扎德算子 是對(duì)隸屬度進(jìn)行取大和取小運(yùn)算。 例則按以上運(yùn)算定義可得：7.1 模糊理論的基本概念7.1.2 截集與分解定理 F集是由隸屬函數(shù)確定的。而其中包含哪些元素?zé)o法確定。即F集的邊界是模糊的。但在實(shí)際問(wèn)題中對(duì)于模糊現(xiàn)象常常要做出不模糊的判決。因此，需要把F集和普通集聯(lián)系起來(lái)。這個(gè)橋梁就是例1 在一次“優(yōu)勝者”的選拔考試中，10位應(yīng)試者及其成績(jī)?nèi)缦卤響?yīng)試者成績(jī)按“擇優(yōu)錄取”原則挑選。設(shè)F集A表示“優(yōu)勝者”，有擇優(yōu)錄取實(shí)際上就是將F集轉(zhuǎn)化為普通集。7.1 模糊理論的基本概念定義7.1.4 設(shè) ， ，記 稱(chēng) 為 的 截集，其中 稱(chēng)為閾值或置信水平。定義7.1.5 設(shè) 規(guī)定

11、，其隸屬函數(shù)為 并稱(chēng) 為 數(shù) 與模糊集 的乘積。7.1 模糊理論的基本概念7.1.2 截集與分解定理 定理7-1-1（分解定理） 分解定理表明，模糊集可由經(jīng)典集合表示，這反映了模糊集和經(jīng)典集合的密切關(guān)系，建立了模糊集與經(jīng)典集合的轉(zhuǎn)化關(guān)系。應(yīng)用分解定理構(gòu)成原來(lái)的F集分解定理的直觀表示如圖所示解由于類(lèi)似可得解于是如圖所示：F集的模糊度定義1若映射滿(mǎn)足條件定義1給出了關(guān)于模糊度的4條公理。它們反映的現(xiàn)實(shí)是：條件表明普通集是不模糊；條件和條件表明，越靠近0.5就越模糊，這種模棱兩可的情況是最難決策的；條件表明因?yàn)?.1 模糊理論的基本概念7.1.3 隸屬函數(shù)確定方法 （1）模糊統(tǒng)計(jì)方法 模糊統(tǒng)計(jì)方法中

12、，進(jìn)行模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，確定某個(gè)元素的隸屬度。模糊統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)的區(qū)別是：若把概率統(tǒng)計(jì)比喻為“變動(dòng)的點(diǎn)”是否落在“不動(dòng)的圈內(nèi)”，則可把模糊統(tǒng)計(jì)比喻為“變動(dòng)的圈”是否蓋住“不動(dòng)的點(diǎn)” （2）指派方法 指派隸屬函數(shù)的方法普遍被認(rèn)為是一種主觀方法，它把人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)考慮進(jìn)去。若模糊集定義在實(shí)數(shù)集上，則模糊集的隸屬函數(shù)便被稱(chēng)為模糊分布。指派方法，就是根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布，然后根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)。 7.1 模糊理論的基本概念7.1.3 隸屬函數(shù)確定方法 （3）借用已有的“客觀”尺度 在經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)科學(xué)中，可以直接借用已有的尺度（經(jīng)濟(jì)指標(biāo)）作為模糊集的隸屬度。 （4）二元

13、對(duì)比排序法 對(duì)于有些模糊集，很難直接給出隸屬度，但通過(guò)兩兩比較，容易確定兩個(gè)元素相應(yīng)隸屬度的大小。先排序，再用數(shù)學(xué)方法加工得到隸屬函數(shù)。 隸屬程度的思想是模糊數(shù)學(xué)的基本思想，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法的關(guān)鍵在于建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù)。確定“青年人”的隸屬函數(shù).選擇若干（n）合適人選，請(qǐng)他們寫(xiě)出各自認(rèn)為“青年人”最適宜、最恰當(dāng)?shù)哪晗?，即將模糊概念明確化。實(shí)驗(yàn)次數(shù)n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130隸屬次數(shù)m 6 14 23 31 39 47 53 62 68 76 85 95 101隸屬頻率m/n 0.6 0.7 0.77 0.78 0.78 0.76

14、0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78表2-1 27歲對(duì)（青年人）的隸屬頻率若n次實(shí)驗(yàn)中覆蓋27歲的年齡區(qū)間的次數(shù)為m，則稱(chēng)m/n為27歲對(duì)于（青年人）的隸屬頻率。 分 組 頻數(shù) 隸屬頻率 分 組 頻數(shù) 隸屬頻率 13.514.5 20.016 25.526.51030.79814.515.5 270.210 26.527.51010.78315.516.5 510.395 27.528.5 990.767 16.517.5 670.519 28.529.5 800.62017.518.51240.961 29.530.5 770.59718.519.51250.

15、969 30.531.5 270.20919.520.5129 1 31.532.5 270.20920.521.5129 1 32.533.5 260.20221.522.5129 1 33.534.5 260.20222.523.5129 1 34.535.4 260.20223.524.5129 1 35.536.5 10.008 24.525.5 128 0.992表2-2 分組計(jì)算隸屬頻率（實(shí)驗(yàn)次數(shù)129）連續(xù)描出圖形，可得到“青年人”隸屬函數(shù)曲線(xiàn)。上述F統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)說(shuō)明了隸屬程度的客觀規(guī)律.F統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)區(qū)別：隨機(jī)試驗(yàn)：F統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)：二相F統(tǒng)計(jì):每次F試驗(yàn)確定一個(gè)映射：多相F統(tǒng)計(jì):它們

16、滿(mǎn)足2.三分法用隨機(jī)區(qū)間的思想處理模糊性（模糊性的清晰化）所以有類(lèi)似地按概率方法計(jì)算，得從而這里用這種方法確定三相隸屬函數(shù)的方法，叫做三分法.(1)矩形分布或半矩形分布偏小型3. 指派方法（常見(jiàn)的模糊分布）偏大型中間型(2)半梯形分布與梯形分布偏小型偏大型中間型偏小型偏大型(3)拋物型分布中間型（4）正態(tài)分布偏小型偏大型（5）柯西分布中間型偏小型偏大型中間型（6）嶺形分布偏小型偏大型中間型例：建立（年輕人）的隸屬函數(shù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，作出其大致曲線(xiàn)，發(fā)現(xiàn)與柯西分布接近，那么，可選柯西分布作為（年輕人）的隸屬函數(shù)。下面根據(jù)年齡特征確定參數(shù)。25歲以下是絕對(duì)年輕，25歲開(kāi)始（年輕人）的隸屬度隨年齡增

17、大而減小衰變不是線(xiàn)性的。又因?yàn)?0歲作為年輕人是最模糊的概念，可選參數(shù)4. 借用已有的“客觀尺度”比如，在論域U（設(shè)備）上定義模糊集A=“設(shè)備完好”，以“設(shè)備完好率”作為隸屬度來(lái)表示“設(shè)備完好”這個(gè)模糊集。在論域U（產(chǎn)品）上定義模糊集B=“質(zhì)量穩(wěn)定”，可用產(chǎn)品的“正品率”作為產(chǎn)品屬于“質(zhì)量穩(wěn)定”的隸屬度。在論域U（家庭）上定義模糊集C=“貧困家庭”，可用恩格爾系數(shù)作為隸屬度來(lái)表示家庭貧困程度。5. 二元對(duì)比排序法現(xiàn)對(duì)兩個(gè)對(duì)象進(jìn)行比較，然后再換兩個(gè)進(jìn)行比較，如此重復(fù)多次，每做一次比較就得到一個(gè)認(rèn)識(shí)，而這種認(rèn)識(shí)是模糊的，諸如甲比乙的條件要優(yōu)越些等。將這種模糊認(rèn)識(shí)數(shù)量化，最后用模糊數(shù)學(xué)方法給出總體排

18、序，這就是模糊二元對(duì)比決策。同學(xué)集合 X=張三，李四，王五外語(yǔ)選修課程集合 Y=英，法，德，日R= (張三, 英), (張三, 法), (李四, 德), (王五, 日), (王五, 英)什么是關(guān)系普通關(guān)系定義1：集合A,B的直積AB=(a,b)|aA,bB的一個(gè)子集R稱(chēng)為A到B的一個(gè)二元關(guān)系，簡(jiǎn)稱(chēng)關(guān)系?？梢?jiàn)，關(guān)系也是個(gè)集合。關(guān)系exle1設(shè)X為橫軸，Y為縱軸，直積XY是整個(gè)平面，其上的普通關(guān)系xy：YXY=XR:XY0模糊關(guān)系exle1 其上的模糊關(guān)系R=“x遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y”，怎么表示？ 當(dāng) x=1000,y=100時(shí)，R(x,y)=0.999 當(dāng)x=20,y=10時(shí)，R(x,y)=0.5 當(dāng)x=

19、20,y=18時(shí)，R(x,y)=0.0358R(x,y)X10y 概念定義稱(chēng)為從X 到Y(jié)的模糊關(guān)系。(關(guān)聯(lián)度)。特別，從X到X的模糊關(guān)系稱(chēng)為 X上的模糊關(guān)系1. 模糊關(guān)系的基本概念模糊關(guān)系exle2例：設(shè)身高論域U=140，150，160，170，180，體重論域V=40，50，60，70，80，則身高與體重之間的模糊關(guān)系：UV1401501601701804010.80.20.10500.810.80.20.1600.20.810.80.2700.10.20.810.88000.10.20.81兩點(diǎn)說(shuō)明：模糊關(guān)系exle3模糊關(guān)系的運(yùn)算 模糊關(guān)系就是模糊子集，只不過(guò)其論域是直積 AB罷了 模

20、糊關(guān)系的運(yùn)算法則完全服從模糊集合的運(yùn)算法則 運(yùn)算可推廣包含：相等：并：交：余：以下是幾個(gè)特定的模糊關(guān)系:倒置倒置倒置以下是幾個(gè)特定的模糊關(guān)系:以下是幾個(gè)特定的模糊關(guān)系:模糊關(guān)系的性質(zhì)：模糊關(guān)系的表示模糊矩陣經(jīng)典有限集合上的關(guān)系，可以使用矩陣來(lái)表示。若論域XY是有限集，模糊關(guān)系可以表示為模糊矩陣。模糊矩陣元素表示關(guān)系的隸屬值。若論域XY是連續(xù)或無(wú)限的，則該論域上的(模糊)關(guān)系不能用(模糊)矩陣來(lái)表示。7.1 模糊理論的基本概念7.1.4 模糊矩陣 有限論域上的模糊關(guān)系可以用模糊矩陣來(lái)表示。 定義7.1.6 如果對(duì)于任意 ， 都有 ，則稱(chēng)矩陣 為模糊矩陣。若 則模糊矩陣變成Boole矩陣。 模糊矩

21、陣可以表示模糊關(guān)系，對(duì)于“A上的模糊關(guān)系”用模糊方陣來(lái)表示。 模糊矩陣Exle設(shè)有四種物品，蘋(píng)果、乒乓球、書(shū)、花組成的論域U，分別用x1,x2，,xn表示，它們的相似程度可以用模糊關(guān)系R來(lái)表示：例1.例2.身高與體重之間的關(guān)系為：模糊矩陣Exle模糊關(guān)系與模糊矩陣如果給定X上的模糊關(guān)系I滿(mǎn)足 則稱(chēng)I為X的“恒等關(guān)系”，表示恒等關(guān)系I的矩陣為單位矩陣。模糊關(guān)系與模糊矩陣若給定XY上的模糊關(guān)系O，滿(mǎn)足 則稱(chēng)O為XY的“零關(guān)系”， 表示零關(guān)系O的矩陣為零矩陣。模糊關(guān)系與模糊矩陣如果給定XY上的模糊關(guān)系E滿(mǎn)足 稱(chēng)E為XY的“全稱(chēng)關(guān)系”，表示全稱(chēng)關(guān)系E的矩陣為全稱(chēng)矩陣。模糊關(guān)系與模糊矩陣如果給定XY上的

22、模糊關(guān)系R，定義 稱(chēng)RT為R的“倒置關(guān)系”,表示模糊關(guān)系RT的矩陣為R矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。7.1 模糊理論的基本概念7.1.4 模糊矩陣 有限論域上的模糊關(guān)系可以用模糊矩陣來(lái)表示。定義7.1.7 設(shè) ，記 ，定義 相等 包含 因此，對(duì)任何 總有：7.1 模糊理論的基本概念7.1.4 模糊矩陣 定義7.1.8 設(shè) ，定義 并 交 余 定義7.1.9 設(shè) ，稱(chēng)模糊矩陣為 與 的合成，其中模糊關(guān)系的合成模糊關(guān)系合成的定義例1：設(shè)生物群落論域模糊關(guān)系的合成舉例表示X與U兩生物群落種群之間的密切關(guān)系表示U與Y兩生物群落種群之間的密切關(guān)系模糊關(guān)系的合成舉例則表示生物群落X與Y之間的密切關(guān)系。模糊矩陣的運(yùn)算性質(zhì)

23、（1）冪等律：AAA , AA=A;（2）交換律：AB=BA, AB=BA;（3）結(jié)合律：(AB)C=A(B C), (AB)C=A(BC);（4）吸收律：A(AB)= A, A(AB)=A;（5）分配律: (AB)C=( AC)(BC), (AB)C= ( AC)(BC);模糊矩陣的運(yùn)算性質(zhì)（6）0-1律：AOA, AOO; EA=E,EA=A;（7）還原律：(Ac)c=A;（8）對(duì)偶律：(AB)c= AcBc, (AB)c= AcBc. 排中律不成立！ AcA E, AAc O 注意模糊矩陣的包含性質(zhì)7.1 模糊理論的基本概念7.1.4 模糊矩陣 定義7.1.10 設(shè)兩個(gè)論域 ，稱(chēng) 的一個(gè)

24、模糊子集 為 到 的模糊關(guān)系，記為 。其隸屬函數(shù)為映射 并稱(chēng)隸屬度 為 關(guān)于模糊關(guān)系 的相關(guān)程度。 由于模糊關(guān)系就是直積的一個(gè)模糊子集，因此模糊關(guān)系同樣具有模糊子集的運(yùn)算及性質(zhì)。特別地，對(duì)于有限論域，模糊關(guān)系與模糊矩陣建立了11的對(duì)應(yīng)關(guān)系。以后把相互對(duì)應(yīng)的模糊關(guān)系和模糊矩陣視為等同的。7.1 模糊理論的基本概念7.1.4 模糊矩陣 定義 7.1.11 稱(chēng)映射 為從X到Y(jié)的模糊映射。 定義 7.1.12 稱(chēng)映射為從 到 的模糊變換。 7.1 模糊理論的基本概念7.1.4 模糊矩陣 定義 7.1.13 設(shè) 是 到 的模糊變換，且 滿(mǎn)足 ，則稱(chēng) 是由模糊關(guān)系 誘導(dǎo)出的。 本講內(nèi)容7.2模糊決策基本方

25、法 7.2.1 模糊意見(jiàn)集中決策 7.2.2 模糊二元對(duì)比決策 7.2.3 模糊綜合評(píng)判決策 7.2.4 層次分析法7.2 模糊決策基本方法 在實(shí)際問(wèn)題中，可供選擇的方案往往有多個(gè)，記為集合 。由于決策環(huán)境具有模糊性，方案集合中蘊(yùn)藏的決策目標(biāo)是很難確切描述的。因此，可供選擇的方案集合 也是一個(gè)模糊集。模糊決策的目的是要把論域中的對(duì)象按優(yōu)劣進(jìn)行排序，或者按照某種方法從論域中選擇一個(gè)“令人滿(mǎn)意”的方案。 以下介紹四個(gè)模糊決策的方法：模糊意見(jiàn)集中決策、模糊二元對(duì)比決策、模糊綜合評(píng)判決策、層次分析法。 7.2 模糊決策基本方法7.2.1 模糊意見(jiàn)集中決策 為了對(duì)供選擇的方案集合 中的元素進(jìn)行排序，可由

26、 個(gè)專(zhuān)家成立專(zhuān)家小組 分別對(duì) 中元素排序，則得到 種意見(jiàn)： 其中vi 是第i 種意見(jiàn)序列,即U 中的元素的某一個(gè)排序。 這些意見(jiàn)往往是模糊的，可以是專(zhuān)家的總體印象，還包括心理因素等。將這 種意見(jiàn)集中為一個(gè)比較合理的意見(jiàn)，稱(chēng)之為“模糊意見(jiàn)集中決策”。 7.2 模糊決策基本方法7.2.1 模糊意見(jiàn)集中決策 模糊意見(jiàn)集中決策步驟：設(shè)論域 ，專(zhuān)家組 人給出意見(jiàn)，記為 其中， 是第 種意見(jiàn)序列，即U 中的元素的某一個(gè)排序。 令 ，表示第 種意見(jiàn)序列 中排在 之后的元素個(gè)數(shù)，稱(chēng) 為 的波達(dá)（Borda）數(shù)。論域 的所有元素可按波達(dá)數(shù)的大小排序，此排序就是集中意見(jiàn)之后的一個(gè)比較合理的意見(jiàn)。 例1 設(shè)U =a

27、, b, c, d, e, f , |M|= m = 4人,v1: a, c, d, b, e, f ;v2: e, b, c, a, f , d;v3: a, b, c, e, d, f ;v4: c, a, b, d, e, f ;B(a)=5+2+5+4=16; B(b)=2+4+4+3=13;B(c)=4+3+3+5=15; B(d)=3+0+1+2=6;B(e)=1+5+2+1=9; B(f )=0+1+0+0=1;按Borda數(shù)集中后的排序?yàn)椋篴, c, b, d, e, f .7.2.1 模糊意見(jiàn)集中決策例2 設(shè)有6名運(yùn)動(dòng)員U =u1, u2, u3, u4, u5, u6 參加

28、五項(xiàng)全能比賽, 已知他們每項(xiàng)比賽的成績(jī)?nèi)缦拢?00m跑 u1, u2, u4, u3, u6, u5；1500m跑 u2, u3, u6, u5, u4, u1；跳遠(yuǎn) u1, u2, u4, u3, u5, u6；擲鐵餅 u1, u2, u3, u4, u6, u5；擲標(biāo)槍 u1, u2, u4, u5, u6, u3；B(u1)=5+0+5+5+5=20; B(u2)=4+5+4+4+4=21;B(u3)=2+4+2+3+0=11; B(u4)=3+1+3+2+3=12;B(u5)=0+2+1+0+2=5; B(u6)=1+3+0+1+1=6;按Borda數(shù)集中后的排序?yàn)椋簎2, u1, u

29、4, u3, u6, u5.7.2.1 模糊意見(jiàn)集中決策7.2.1 模糊意見(jiàn)集中決策 若uj在第i 種意見(jiàn)vi中排第k位，設(shè)第k位的權(quán)重為ak，則令Bi(uj)= ak(n k )，稱(chēng)為uj的加權(quán)Borda數(shù)。名次一二三四五六權(quán)重0.350.250.180.110.070.04B(u1)=7, B(u2)=5.75, B(u3)=1.98, B(u4)=1.91, B(u5)=0.51, B(u6)=0.75.按加權(quán)Borda數(shù)集中后的排序?yàn)椋簎1, u2, u3, u4, u6, u5例: 旅游目的地投票決策某公司營(yíng)銷(xiāo)部決定在今年十一國(guó)慶節(jié)由公司報(bào)銷(xiāo)，集體到外地旅游，營(yíng)銷(xiāo)部經(jīng)理決定讓營(yíng)銷(xiāo)部全

30、體成員用Borda法則投票表決來(lái)選擇最終的旅游目的地。 不妨假設(shè)營(yíng)銷(xiāo)部所有員工為60人，有去黃山、張家界、泰山、鳳凰4個(gè)方案供大家選擇。這個(gè)時(shí)候在60人中4個(gè)方案的排序如下。 根據(jù)Borda法則，去黃山這個(gè)方案排在倒數(shù)第四位（也就是第一位）的次數(shù)是23次，得23369票，排在倒數(shù)第三位的次數(shù)是2次，得224票，排在倒數(shù)第二位的次數(shù)是19次，得19119票，因此去黃山整個(gè)方案最終的得票數(shù)位為1946992票。 同樣的算法，可以得到去張家界的總票數(shù)為67票，去泰山的總票數(shù)為103票。因此該營(yíng)銷(xiāo)部全體員工最終選擇的旅游目的地是泰山。 7.2 模糊決策基本方法7.2.2 模糊二元對(duì)比決策 實(shí)踐告訴我們

31、，人們認(rèn)識(shí)事物往往是從兩個(gè)事物的對(duì)比開(kāi)始的。一般先對(duì)兩個(gè)對(duì)象進(jìn)行比較，然后再換兩個(gè)對(duì)象進(jìn)行比較，如此反復(fù)多次。每作一次比較就得到一個(gè)認(rèn)識(shí)，而這種認(rèn)識(shí)是模糊的。將這種模糊認(rèn)識(shí)數(shù)量化，最后用模糊數(shù)學(xué)方法給出總體排序，就是模糊二元對(duì)比決策。 模糊二元對(duì)比決策有模糊優(yōu)先關(guān)系排序決策、模糊相似優(yōu)先比決策、模糊相對(duì)比決策等形式，以下分別介紹。 模糊優(yōu)先關(guān)系排序決策的基本思想設(shè)論域Ux1,x2,xn為n個(gè)選擇對(duì)象，并假設(shè)U中的每一對(duì)元素之間都可以比較，即對(duì)U中的任意元素xi和xj，或是xi優(yōu)于xj，或是xj優(yōu)于xi,或是兩者優(yōu)于的程度基本一致。顯然，這種優(yōu)先關(guān)系不具有傳遞性，即xi優(yōu)于xj， xj優(yōu)于xk,

32、不一定導(dǎo)致xi優(yōu)于xk.例如讓100個(gè)人來(lái)評(píng)判x1、x2、x3三種商品，結(jié)果如下： 有80人認(rèn)為商品x1優(yōu)于商品x2，20人認(rèn)為x2優(yōu)于x1,于是可以得到 ，即認(rèn)為x1優(yōu)于x2.模糊優(yōu)先關(guān)系排序決策的基本思想 有70人認(rèn)為商品x2優(yōu)于商品x3，30人認(rèn)為x3優(yōu)于x2,于是可以得到 ，即認(rèn)為x2優(yōu)于x3. 有60人認(rèn)為商品x3優(yōu)于商品x1，40人認(rèn)為x1優(yōu)于x3,于是可以得到 ，即認(rèn)為x3優(yōu)于x1. 于是得出結(jié)論，x1優(yōu)于x2,x2優(yōu)于x3，x3優(yōu)于x1，但x1不優(yōu)于x3。模糊優(yōu)先關(guān)系排序決策的基本思想 有必要建立一個(gè)適當(dāng)?shù)姆椒?，使得能夠在U中選擇出一個(gè)相對(duì)最優(yōu)的元素。在建立這種方法時(shí)，必須注意

33、以下三點(diǎn)：（1）在兩者挑一中是有優(yōu)先程度的，但程度大小可以不同；（2）所選中的對(duì)象只是相對(duì)優(yōu)于其他一個(gè)而被選上；（3）對(duì)于兩個(gè)備選對(duì)象必須選中其一，或者兩個(gè)選擇是等價(jià)的，而不能兩個(gè)都拒絕。7.2 模糊決策基本方法7.2.2 模糊二元對(duì)比決策 （1）模糊優(yōu)先關(guān)系排序決策： 以 表示 對(duì) 的優(yōu)先選擇比。滿(mǎn)足 的 組成的矩陣 稱(chēng)為模糊優(yōu)先關(guān)系矩陣，由此矩陣確定的關(guān)系稱(chēng)為模糊優(yōu) 先關(guān)系。 模糊優(yōu)先關(guān)系的理解rij表示xi與xj相比較時(shí)xi對(duì)于A比xj對(duì)于A優(yōu)越的程度，或稱(chēng)xi對(duì)xj的優(yōu)先選擇比。要求rij滿(mǎn)足下面的式子： rii0, 0rij 1 (ij) rij+ rji=1上述表明：xi與xi相比

34、較，沒(méi)有什么優(yōu)越，記rii0，xi與xj相比較總是各有所長(zhǎng)，把兩者的優(yōu)越成分合在一起就是1，即rij+ rji=1。當(dāng)發(fā)現(xiàn)xi比xj有長(zhǎng)處而未發(fā)現(xiàn)xj比xi有任何長(zhǎng)處時(shí)，記rij=1，rji=0；當(dāng)xi與xj相比若不分優(yōu)劣，則rij= rji=0.5.模糊優(yōu)先關(guān)系排序決策方法由rij構(gòu)成的矩陣R=(rij)nXn 為模糊優(yōu)先矩陣，由此矩陣確定的關(guān)系稱(chēng)為模糊優(yōu)先關(guān)系. 模糊優(yōu)先關(guān)系R既不滿(mǎn)足自反性、對(duì)稱(chēng)性，也不滿(mǎn)足傳遞性，它是一種具有一定性質(zhì)的模糊關(guān)系。為了在某種程度上更清晰地看出對(duì)比關(guān)系，常取截矩陣R，用R確定優(yōu)先關(guān)系。7.2 模糊決策基本方法7.2.2 模糊二元對(duì)比決策 （1）模糊優(yōu)先關(guān)系排

35、序決策： 取定閾值 ，得矩陣 矩陣 當(dāng) 由1逐漸下降時(shí)，若首次出現(xiàn)的 ，它的某行元素除對(duì)角外全等于1，則認(rèn)定它所對(duì)應(yīng)的元素是第一優(yōu)越對(duì)象？（不一定唯一）；再?gòu)闹袆澣ニ诘男信c列，得到一個(gè)全新的階模糊矩陣，用同樣方法獲取最優(yōu)對(duì)象作為第二優(yōu)越對(duì)象；如此遞推下去，可將全體對(duì)象排出一定的優(yōu)劣次序。 模糊優(yōu)先關(guān)系排序決策例例：已知“子女像父親”模糊優(yōu)先關(guān)系矩陣為：寫(xiě)出模糊優(yōu)先關(guān)系排序。模糊優(yōu)先關(guān)系排序決策例令從大到小依次取截矩陣：=0.9,得=0.8,得模糊優(yōu)先關(guān)系排序決策例=0.6,得=0.4,得當(dāng)降至0.4時(shí)，在R0.4中首次出現(xiàn)第三行除對(duì)角線(xiàn)元素外全等于1，因此第三個(gè)人最像父親。模糊優(yōu)先關(guān)系排序決

36、策例在R中劃去x3所在的行與列，得模糊優(yōu)先矩陣=0.9,得于是x1為第二像。x1、x2、x3的模糊優(yōu)先關(guān)系排序?yàn)閤3、x1、x2.模糊優(yōu)先關(guān)系排序決策例注意: 若取rii=1,即模糊優(yōu)先關(guān)系矩陣的對(duì)角線(xiàn)上的元素全為1.當(dāng)用截矩陣去求各個(gè)優(yōu)越對(duì)象時(shí)，可以去掉“除對(duì)角線(xiàn)元素外”這句話(huà)。只要第i行元素全等于1，則認(rèn)定xi為第一優(yōu)先對(duì)象，如此等等。7.2 模糊決策基本方法7.2.2 模糊二元對(duì)比決策 （2）模糊相似優(yōu)先比決策： 模糊相似優(yōu)先比決策先利用二元相對(duì)比較級(jí)定義一個(gè)模糊相似優(yōu)先比 ，從而建立模糊優(yōu)先比矩陣，然后通過(guò)確定 截矩陣來(lái)對(duì)所有的備選方案進(jìn)行排序。 定義7.2.1 二元相對(duì)比較級(jí) 定義7

37、.2.2 二元相對(duì)比較矩陣 【定義】【定義】模糊相似優(yōu)先比決策的方法與步驟：第一步：設(shè)論域U =x1, x2, , xn是備選方案集。第二步：確定模糊相似優(yōu)先比rij ，建立模糊優(yōu)先比矩陣。第三步：用類(lèi)似于模糊優(yōu)先關(guān)系排序決策中確定-截矩陣的方法來(lái)對(duì)所有備選方案進(jìn)行排序也可以用下述方法來(lái)實(shí)現(xiàn)：下確界法 先求R每一行的下確界,以最大下確界所在行對(duì)應(yīng)的xk是第一優(yōu)先對(duì)象(不一定唯一). 再在R中劃去xk所在的行與列,得到一個(gè)新的n1階模糊優(yōu)先矩陣,再以此類(lèi)推.例 設(shè)U =x1, x2, x3，元素一次表示“櫻花”、“菊花”和“蒲公英”， U上A的模糊集表示模糊概念“美”（“美”指化的形，色、氣等）

38、?，F(xiàn)在對(duì)中的三種花按美的程度進(jìn)行排序。 設(shè)花“美”的標(biāo)準(zhǔn)是花的造型好、顏色艷、香氣正，并記為x。兩兩比較xi和xi與x接近的程度。得二元比較級(jí)為：二元相對(duì)比較矩陣為：用-截矩陣法或下確界法排序得： 櫻花最美，菊花其次，蒲公英最差。 櫻花 菊花 蒲公英0.5 (max)0.470.33下確界模糊相似優(yōu)先比決策例多種菊花的排序（p214）7.2 模糊決策基本方法7.2.2 模糊二元對(duì)比決策 （2）模糊相似優(yōu)先比決策： 例7-2-1 菊花的排序 菊花是一種用途很廣的植物，它不僅可供藥用、食用，而且具有獨(dú)特的觀賞價(jià)值。某高校觀賞植物專(zhuān)業(yè)每年要舉辦菊花展覽，并請(qǐng)新生就菊花的“美”（指花的形、色、氣等，都

39、是模糊概念）進(jìn)行排序。 設(shè)論域 ，“美的菊花” 是 上的一個(gè)模糊集。7.2 模糊決策基本方法7.2.2 模糊二元對(duì)比決策 （2）模糊相似優(yōu)先比決策： 二元相對(duì)比矩陣 模糊優(yōu)先比矩陣 5種菊花的排序?yàn)?7.2 模糊決策基本方法7.2.2 模糊二元對(duì)比決策 （3）模糊相對(duì)比決策： 先在二元對(duì)比中建立二元比較級(jí)，然后利用模糊相對(duì)比較函數(shù)，建立模糊相及矩陣來(lái)進(jìn)行總體排序。 定義7.2.3 模糊相對(duì)比函數(shù) 定義7.2.4 模糊相及矩陣 模糊相對(duì)比較決策 設(shè)論域U =x1, x2, , xn為n個(gè)備選方案，現(xiàn)在二元對(duì)比中建立二元比較級(jí)，然后利用模糊相對(duì)比較函數(shù)，建立模糊相及矩陣來(lái)進(jìn)行總體排序?！径x】【定

40、義】對(duì)模糊相及矩陣用下確界法可以將備選方案排序。例 設(shè)論域設(shè)U =x1(長(zhǎng)子), x2(次子), x3(幼子)，按照“子女像父親”排序。已知通過(guò)合適的方法已得到二元相對(duì)比較級(jí)，利用模糊相對(duì)比較函數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算得：模糊相及矩陣為：由下確界法排序得：長(zhǎng)子最像，幼子次之，次子最不像父親。模糊相對(duì)比較決策例多種菊花的排序(p141)- 截矩陣法 取定閾值0,1得-截矩陣R = (rij() )nn, 當(dāng)由1逐漸下降時(shí),若R中首次出現(xiàn)第k行的元素全等于1時(shí),則認(rèn)定xk是第一優(yōu)先對(duì)象(不一定唯一). 再在R中劃去xk所在的行與列,得到一個(gè)新的n -1階模糊優(yōu)先矩陣,用同樣的方法獲取的對(duì)象作為第二優(yōu)先對(duì)象

41、；如此進(jìn)行下去,可將全體對(duì)象排出一定的優(yōu)劣次序.模糊二元對(duì)比決策方法總結(jié) 隸屬函數(shù)法 直接對(duì)模糊優(yōu)先矩陣進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)加工處理,得到X上模糊優(yōu)先集A的隸屬函數(shù),再根據(jù)各元素隸屬度的大小給全體對(duì)象排出一定的優(yōu)劣次序.通常采用的方法是： 取小法：A(xi) =minrij|1jn,i =1, 2, , n; 平均法：加權(quán)平均法：模糊二元對(duì)比決策方法總結(jié)下確界法 先求R每一行的下確界,以最大下確界所在行對(duì)應(yīng)的xk是第一優(yōu)先對(duì)象(不一定唯一). 再在R中劃去xk所在的行與列,得到一個(gè)新的n -1階模糊優(yōu)先矩陣,再以此類(lèi)推.模糊二元對(duì)比決策方法總結(jié)7.2 模糊決策基本方法7.2.3 模糊綜合評(píng)判決策 模

42、糊綜合評(píng)判決策的數(shù)學(xué)模型由三個(gè)要素組成，其步驟分為4步： 1）因素集 ， 2）評(píng)判集 ， 3）單因素評(píng)判 7.2 模糊決策基本方法7.2.3 模糊綜合評(píng)判決策 稱(chēng)為單因素評(píng)判矩陣。 構(gòu)成一個(gè)模糊綜合評(píng)判決策， 稱(chēng)為此模型的三要素。 7.2 模糊決策基本方法7.2.3 模糊綜合評(píng)判決策 4）綜合評(píng)判。對(duì)于權(quán)重 ，取max-min合成運(yùn)算，即運(yùn)用模型 計(jì)算，可得綜合評(píng)判 若輸入一種權(quán)重 ，則輸出一個(gè)綜合評(píng)判7.2 模糊決策基本方法7.2.3 模糊綜合評(píng)判決策 改進(jìn)數(shù)學(xué)模型的方法： （1）將原模型中的算子 改用其它的算子 。 （2）建立多層次模型。 模糊綜合決策中，權(quán)重是至關(guān)重要的，它反映了各個(gè)因素

43、在綜合過(guò)程中所占有的地位或所起的作用，直接影響到綜合決策的結(jié)果。權(quán)重確定的方法有統(tǒng)計(jì)方法、模糊協(xié)調(diào)決策法、模糊關(guān)系方程法、層次分析法等。 7.2 模糊決策基本方法7.2.3 模糊綜合評(píng)判決策 例7-2-2 耕作制度決策 在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)多種方案進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，有助于做出正確決策，對(duì)提高農(nóng)業(yè)生產(chǎn)效率有重要意義。某產(chǎn)糧區(qū)擬對(duì)耕作制度進(jìn)行改革，制訂了等3種方案。所使用的評(píng)價(jià)指標(biāo)有：糧食產(chǎn)量、產(chǎn)品質(zhì)量、每畝用工量、每畝純收入、對(duì)生態(tài)平衡的影響程度。評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)表7-2-1，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)研究獲得3種方案的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)，列于表7-2-2. 對(duì)5種評(píng)價(jià)指標(biāo)給定權(quán)重，依次為0.2、0.1，0.15，0.3，0.2

44、5.7.2 模糊決策基本方法7.2.3 模糊綜合評(píng)判決策 表7-2-1 耕作制度改革的評(píng)價(jià)指標(biāo)表 表7-2-2 耕作制度改革評(píng)價(jià)數(shù)據(jù) 分?jǐn)?shù)畝產(chǎn)量（kg)質(zhì)量（級(jí)）畝用工量（工日） 畝純收入（元）環(huán)境影響（級(jí)） 55506000120以下130以上145005502203011013023450500330409011032 40045044050709041 35040055060507050 350以下660以上70以下6方案XYZ畝產(chǎn)量（kg）592.5529412產(chǎn)品質(zhì)量（級(jí)）321畝用工量（工日）553832畝收入（元）7210585對(duì)環(huán)境影響（級(jí)）5327.2 模糊決策基本方法7.2.3 模糊綜合評(píng)判決策 1）建立因素集 2）給定權(quán)重向量 3）確定評(píng)判集 4）建立評(píng)判矩陣 產(chǎn)量、產(chǎn)品質(zhì)量、用工純收入、對(duì)環(huán)境影響程度的隸屬函數(shù)分別為7.2 模糊決策基本方法7.2.3 模糊綜合評(píng)判決策7.2 模糊決策基本方法7.2.