重力異常及其數(shù)據(jù)處理

1、第九章 重力異常的分離本章主要介紹分離場的圖解法、平均場法、高次導(dǎo)數(shù)法、趨勢分析法及頻率域濾波法。 第一節(jié) 引起重力異常的主要地質(zhì)因素一、地球深部因素（一）地球的結(jié)構(gòu)見圖9-2因素（二）地殼深部的因素布格重力異常包含了從深部到地表所有密度不均勻體的影響，不同地質(zhì)因素引起的異常無論從幅度、分布范圍，變化快慢等特征看均有所不同，返回第三節(jié) 重力異常的平滑通過野外實測所獲得的觀測數(shù)據(jù)，以及在室內(nèi)進行各項校正中總是或多或少地存在誤差，從而使所得到的異常不可能如理論曲線那樣光滑;更重要的是，實測異常往往是由淺到深多種地質(zhì)因素產(chǎn)生的疊加異常。因此，在對重力異常進行解釋之前，首先要對實測異常進行數(shù)據(jù)處理，其

2、目的是:重力異常的數(shù)據(jù)處理 1消除因重力測量和對測量結(jié)果進行各項校正時引進的一些偶然誤差或與勘探目的無關(guān)的某些近地表小型密度不均勻體的干擾; 2從疊加的異常中劃分出與勘探目標(biāo)有關(guān)的異常 3進行位場轉(zhuǎn)換以滿足解異常反問題的需要，例如將g轉(zhuǎn)換成vzz、 vxz、vzzz等。常。第三節(jié) 重力異常的平滑 對原始重力異常在解釋之前作的平滑處理是為了去掉數(shù)據(jù)中某些偶然誤差，及由地表密度分布不均勻體引起的雜亂無章的重力效應(yīng)，獲得有意義的異常。一、剖面異常的平滑法 (一)徒手平滑法 人們依據(jù)重力異常剖面上的變化應(yīng)具有一定的連續(xù)、漸變的規(guī)律，徒手修改（平滑）某些明顯的突變點。這種做法的要求是: 1平滑前后各相應(yīng)

3、點的重力異常值的偏差不應(yīng)超過實測異常的均方誤差； 2盡可能使平滑前后剖面曲線所圍成的面積相等，重心不變。(二)最小二乘平滑法 盡管偶然誤差會使異常曲線不光滑而成鋸齒狀，但并不會改變異常曲線變化的基本趨勢;我們可以用一個多項式來擬合這種變化趨勢。1.線性平滑法 在重力異常剖面圖上，若在一定范圍內(nèi)異常按照線性關(guān)系變化則在這個范圍內(nèi)某一點經(jīng)平滑后的異常值可用線性方程來表示 ) 19()(10 xaaxg式中的a0和a1為待定系數(shù)，可用最小二乘方法解出。若該點原始值為g(xi)。它的平滑值為 , 可列出201( )min(92)miimaa xg x式中為偏差的平方和。利用微分求極值的方法將式 (9-

4、2)對a0 和a1求導(dǎo)數(shù)，令其為零得)(ixg若xi 以剖面上的點距為單位，即x=1,取點方式如圖9-10所示,則式9-3式中的xi=0，1，2 m,把它們代入式（9-3）可解出0100112( )02( )0miiimmiiiimaa xg xaaa xg xxa(9-3)mmiimmiiimmiixxgxamxga210)(,12)(鏈接鏈接2Fanhui 圖9-11由9-1式可知，當(dāng)x=0時，mmiixgmg)49()(121)0(由此可見，當(dāng)m=1時，得三點平滑公式)59()1 ()0() 1(31)0(gggg0(0)ga同理可得5點、7點、9點等平滑公式。實際工作中究竟采用幾點平均

5、最合適，這需要根據(jù)乎滑的目的而定。一般說參加平滑的點越多，得出的曲線越平緩。 圖9-11就是線性平滑效果的例子。圖9-11中，參加平滑的點數(shù)越多，高頻信息逐漸減弱。即短周期開始消失。2. 二次曲線平滑法 若重力異常剖面曲線在一定范圍內(nèi)可視為二次曲線時，則在這個范圍內(nèi)，平滑公式可用下面的二次曲線方程來表示;即2210)(iiixaxaaxg 同樣可以使用最小二乘法求出上面方程中的系數(shù)。即2012( )min(96)miiiimaa xa xg x二次曲線平滑公式應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求極值的方法，將式 (9-6)分別對a0 、a1 和a2 求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，得可由上述方程組解出a0 ，若取m=2，點距x

6、=1,選取被平滑的點做坐標(biāo)原點，求得)79()2()2(3)1()1 (12)0(17351)0(0gggggag同理可得七點二次平滑公式為，重力異常平滑中，很少使用高于3次以上的平滑公式。 圖9-12 為各次曲線平滑的例子)89()3()3( 2)2()2(3)1() 1 ( 6)0(7211)0(gggggggg平滑處理 (a)線性平滑；（b）二次平滑；（c）三次平滑 圖中的數(shù)字表示平滑時的取點數(shù) 二、平面異常的平滑法 平面異常平滑法是根據(jù)測區(qū)內(nèi)某一小面積范圍的已知重力異常值的變化趨勢，建立一個擬合多項式。某一點的平滑值可用擬合值代替。由于擬合多項式含兩個變量，所以該多項式代表了各種曲面。

7、（一）線性平滑公式 在重力異常平面圖的一定范圍內(nèi)，若異常形態(tài)呈簡單線性變化時，可對某一點（x,y）的異常值用下面方程來擬合表示)99(),(210yaxaayxg當(dāng) x=0, y=0時，可知0)0 , 0(ag下面給出五點和九點平滑公式)107 . 1 ()1 , 0() 1, 0()0 , 1()0 , 1 ()0 , 0(51)0 , 0(gggggg九點平滑公式九點平滑公式 其中g(shù)(i,j) 是流動坐標(biāo)中x=i ,y=j點的原始異常值。線性平滑取點的分布如圖9-13所示。)117 . 1 ()1, 0()2, 0()0 , 1()0 , 2()2 , 0() 1 , 0()0 , 1 (

8、)0 , 2()0 , 0(91)0 , 0(gggggggggg返回返回(二) 二次曲面平滑公式在平面圖上，如果重力異常的分布在一定范圍內(nèi)可以用二次曲面擬合時，則平滑后的 異常值g(x,y)可用下面方程來表示，即當(dāng)x=0,y=0時，a0 值便是相應(yīng)點的平滑值。a0 也是利用最小二乘法來確定，下面直接給出常用的幾個二次曲面平滑公式的系數(shù)。 )129(),(2542102yaxyaayaxaayxgx九點二次曲面平滑（p199）二十五點二次曲面平滑四十九點二次曲面平滑(p200)上述曲面平滑取點方式均見圖9-13所示。 研究表明、對于不同階次，不同點數(shù)的平滑公式，其平滑的效果有以下結(jié)論，見圖9-

9、14 1當(dāng)點數(shù)一定，階次越低結(jié)果越平滑； 2階次一定，點數(shù)越多結(jié)果越平滑 3，不同階次和不同點數(shù)的結(jié)合有時可能得到相似的平滑效果; 所以實際工作中在能達到目的的前提下，盡量利用較少的點參加平滑。這樣既能節(jié)省計算工作量，又可減少周圍點的損失。上面介紹的平滑法是利用有限點的異常值計算出某一點的平滑值。若想平滑一條剖面或一個平面上各點的值，可以依次在所有點上進行滑動計算而求得。 平滑本意是為了消除研究點的偶然誤差，但本著數(shù)據(jù)處理的目的，平滑法是大點距平滑的結(jié)果可以用來研究區(qū)域場形態(tài)，起到壓制淺部干擾的作用（接第四節(jié)） (二)地殼深部的因素根據(jù)天然地震及地殼測深資料，地殼結(jié)構(gòu)的模式大體如圖9-3所示。

10、 圖9-3 地殼結(jié)構(gòu)的模式簡圖 在大陸區(qū)從地表直至前震旦系結(jié)晶基底的頂面，是厚度從零到十幾公里的沉積巖層，結(jié)晶基底以下幾十公里的范圍內(nèi)，是花崗巖類和玄武巖類的物質(zhì)層，再往下則是橄欖巖類，在不同巖類的各分界面上，上下兩側(cè)地震波傳播速度有明顯的差異。莫霍洛維奇(簡稱莫霍面)作為地殼下玄武巖類與橄欖巖類之間的界面，它在全球范圍內(nèi)基本上可連續(xù)追蹤；花崗巖與玄武巖類之間也是一個密度分界面，被命名為康臘德界面.但該面在大陸區(qū)不能連續(xù)追蹤，在大洋區(qū)，隨花崗巖類的消失而消失。 地殼厚度的變化 (即莫霍面的起伏)、殼內(nèi)各層物質(zhì)密度和上地幔物質(zhì)密度的橫向變化對地表重力分布的影響，被稱為地殼深部因素的影響。上地幔密

11、度橫向不均勻的影響是十分緩慢，大范圍的、平均的布格異常特征主要是對應(yīng)著莫霍面起伏(即地殼厚度變化)的。 圖9-4為橫貫我國東西向、重力異常和莫霍面深度對照圖?？梢姡洚惓７荡?、異常范圍大，異常變化單調(diào)、平緩，因而較易識別和區(qū)分。圖9-4 拉薩-上海平均布格異常與莫霍面深度對照 (二)結(jié)晶基巖內(nèi)部的密度變化 由于經(jīng)歷長期的地殼運動及巖漿作用，使結(jié)晶基底內(nèi)部的物質(zhì)成分和內(nèi)部構(gòu)造變得十分復(fù)雜，因而其密度在橫向上和縱向上的變化都很大，在基底出露區(qū)或沉積蓋層不太厚的地區(qū)，這種密度的變化，會使地表的重力產(chǎn)生相應(yīng)的變化，其幅度可達數(shù)百gu.圖9-5就是一個很典型的實例。(二)結(jié)晶基巖內(nèi)部的密度變化圖9-5

12、 重力異常與巖層密度變化(三)結(jié)晶基底頂面的起伏 基底與上覆沉積巖系通常都存在一定的密度差，在基底內(nèi)部巖性較均勻的情況下，基巖頂面的起伏能形成較大范圍內(nèi)的重力高低變化，據(jù)此可以成功地圈定那些范圍較大的、較大幅度的隆起或凹陷構(gòu)造單元。(四)沉積巖的構(gòu)造和成分變化 在沉積巖系比較發(fā)育的地區(qū)，沉積巖系的內(nèi)部往往存在多個密度分界面，如新生代疏松沉積物與下伏老地層之間;中新生代的陸相地層與古生代的海相地層之間;古生代上部砂頁巖和下部碳酸巖之間都可能存在密度差異。當(dāng)這些界面受地殼運動影響而產(chǎn)生:褶皺、斷裂時，在具備足夠大的剩余質(zhì)量時，將產(chǎn)生明顯的重力異常，這為應(yīng)用重力尋找局部構(gòu)造奠定了基礎(chǔ)。 (五)其它密

13、度不均勻因素 大多數(shù)金屬礦床 (如鐵礦、銅礦、鉻鐵礦等)，特別是致密狀的，其密度都比圍巖大，密度差通常超過0.5g/cm3 ; 某些非金屬礦(如巖鹽、煤炭等)或侵入體，其密度一般比圍巖小。因此，當(dāng)這些礦體或地質(zhì)體具有一定規(guī)模，埋深又不大時能在地表形成可觀測到的局部異常。 第二節(jié) 疊加重力異常 疊加異常可以改變研究對象產(chǎn)生的異常的形態(tài)、幅值和范圍。如圖9-6所示。(一)兩個相鄰球體異常的疊加 圖9-6為兩個相距很近的球體產(chǎn)生的異常剖面圖。從g曲線看，與單一球體產(chǎn)生的異常無法區(qū)分，而重力異常的高階導(dǎo)數(shù)則可以將它們區(qū)別開來。返回圖9-6（二)單斜異常與球體異常的疊加 單一球體在地面形成的是不等間距的

14、同心圓狀異常平面圖，一旦疊加在一個水平梯度為常數(shù)的單斜異常上，情況就大不一樣了。 當(dāng)球體（0）異常的水平梯度值小于單斜異常的水平梯度時，疊加的異常不可能形成有圈閉的異常，平面等值線僅是向異常的降低 的方向扭曲，如圖9-7中(a)圖所示; 當(dāng)球體異常的水平梯度大于單斜異常水平梯度時，異常中心附近部位才能形成小的圈閉(如9-7中(b)圖所示)；當(dāng)球體的0）異常平面圖表現(xiàn)為平行的梯級帶，圖9-8中的（b）、(c）給出了臺階走向與單斜異常走向成不同交角時疊加后的等值線的畸變情形，等值線同型扭曲的部位才顯示為臺階異常的存在。圖9-8 鉛垂臺階異常與單斜區(qū)域異常的疊加 二、區(qū)域異常和局部異常 區(qū)域異常是疊

15、加異常中的一部分，主要是由分布較廣的中、深部地質(zhì)因素所引起的重力異常。這種異常特征是異常幅值較大，異常范圍也較大，但異常梯度小。 局部異常是疊加異常中的一部分，主要是指相對區(qū)域因素而言范圍有限的研究對象引起的范圍和幅度較小的異常，但異常梯度相對較大。 由于局部異常是布格異常中去掉區(qū)域異常后的剩余部分，局部異常也稱為剩余異常。區(qū)域異常和局部異常是相對而言的，絕對的劃分標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)視研究的問題而言。由圖9-9可知，相對異常A而言，異常B都可以看成區(qū)域異常;而相對C而言A和B都可以認為是它的局部異常。返回 第四節(jié) 圖解法 根據(jù)疊加的布格異常形態(tài)，利用區(qū)域異常和局部異常特征上的差異，憑經(jīng)驗估算區(qū)域異常梯度

16、大小及變化，徒手畫出直線、曲線或它們的平面組合線，用來分別代表剖面上的區(qū)城異?；蚱矫嫔蠀^(qū)域異常的等值線，然后從每一布格異常中減去該點的區(qū)域異常值，就得到各點的局部異常 (剩余異常)。 圖9-15是在剖面上用直線代表區(qū)域異常劃分疊加異常的例子; 圖9-16是在剖面上用曲線代表區(qū)域異常劃分疊加場的例子。 圖9-17是用一組平行直線表示區(qū)域場劃分疊加場的例子。 圖9-18是用一組平滑曲線代表區(qū)城異常劃分出局部異常的例子 返回圖9-15 以直線代表區(qū)域異常分場返回圖9-16 以曲線代表區(qū)域異常分場返回 圖9-17 以平行直線族代表區(qū)域異常分場圖9-18 以平滑曲線代表區(qū)域異常分場實例 圖解法在區(qū)域異常

17、趨勢比較明顯和圖解法在區(qū)域異常趨勢比較明顯和局部異常較為突出的情況下可以獲局部異常較為突出的情況下可以獲得較好的效果。通過計算獲得相應(yīng)得較好的效果。通過計算獲得相應(yīng)的局部異常和區(qū)域異常的局部異常和區(qū)域異常。第五節(jié) 平均場法 平均場法的基本原理是，在一定范圍內(nèi)(剖面上)或一定面積內(nèi)(平面上)的區(qū)域異?？梢暈榫€性變化的，平均重力異常值可做為該范圍或該平均重力異常值可做為該范圍或該面積的中心點處的區(qū)域異常值面積的中心點處的區(qū)域異常值; ;局部異常的范圍應(yīng)等于或小于求平局部異常的范圍應(yīng)等于或小于求平均異常時所選用的范圍。均異常時所選用的范圍。平均場細分為以下幾種方法。平均場細分為以下幾種方法。 在異常

18、剖面上在異常剖面上, ,定義下式定義下式: :為為x x點的重力異常偏差值點的重力異常偏差值. .g(x+L),g(x-L), g(x)g(x+L),g(x-L), g(x)均包含區(qū)域異常均包含區(qū)域異常和局部異常和局部異常, ,于是于是(9-13)(9-13)還可寫成還可寫成()()( )( )(9 13)2g xLgxLg xg x一、偏差法)149(2)()()()()()()(LxgLxgLxgLxgxgxgx局區(qū)局區(qū)局區(qū)當(dāng)滿足區(qū)域異常在當(dāng)滿足區(qū)域異常在(x-L)(x-L)到到(x+L)(x+L)的范的范圍內(nèi)呈線性變化的條件時圍內(nèi)呈線性變化的條件時, ,)159(2)()()(LxgLx

19、gxg區(qū)區(qū)區(qū)把把(9-15)(9-15)代入代入(9-14)(9-14)169(2)()()()(LxgLxgxgxg局局局若點距L大于局部異常范圍的一半時,則)()()169(0)()(xgxgLxgLxg局局局則為于是式這樣就可以利用偏差值代替局部重力異常值. 二、圓周法圓周法圓周法 ( (多邊形法多邊形法) ) 計算時首先按圖計算時首先按圖9-209-20做一個取數(shù)量做一個取數(shù)量板。量板是在以計算點板。量板是在以計算點0 0為圓心，以為圓心，以r r為半徑畫的圓周上等間距取數(shù)。其偏為半徑畫的圓周上等間距取數(shù)。其偏差值的數(shù)學(xué)表達式為差值的數(shù)學(xué)表達式為式中 為圓周上的為圓周上的N N個取數(shù)點

20、上個取數(shù)點上的重力異常的重力異常平均平均值。值。( )g r11(0)(0)( )(0)(9 17)Niiggg rggN同理，圓周法效果好壞應(yīng)取決于同理，圓周法效果好壞應(yīng)取決于r r的大的大小，常常用試驗的方法來確定它的最佳小，常常用試驗的方法來確定它的最佳半徑。半徑。圖9-20 圓周法取數(shù)量板 實際工作時在重力異常平面等值線圖中，挑選幾個有局部異常的地區(qū)，分別用不同半徑的圓周，取得相應(yīng)的平均異常值，然后以r為橫坐標(biāo)，以 為縱坐標(biāo)，畫出它們的關(guān)系曲線 .(見圖9-21)，)(rg如果測區(qū)內(nèi)的異常確實只有兩級異常，即局部異常和區(qū)域異常的話,量板平均半徑的最佳值r就可以根據(jù)曲線的水平漸近線的位置

21、來確定，如圖 9-21中(a)所示。如果測區(qū)內(nèi)存在三級或多級異常，則r值可以根據(jù)g(r)曲線的轉(zhuǎn)折處的位置來確定，見圖9-21中(b)圖最佳半徑的選擇圖9-21 最佳半徑選擇圖 三、網(wǎng)格法 將布格異常平面圖以一定的網(wǎng)度分成正方形網(wǎng)格狀，網(wǎng)格大小 一般為重力測網(wǎng)格距的數(shù)倍至十幾倍，然后以網(wǎng)格中各結(jié)點重力異常平均值作為網(wǎng)格中心點的區(qū)域異常值，依據(jù)各網(wǎng)格中心點的區(qū)域異常值可以勾繪區(qū)城異常等值線圖，從而結(jié)點上的區(qū)域異常便能用內(nèi)插法求得，相應(yīng)的局部異常也就可以獲得了。另外一種計算是采用同一網(wǎng)格的滑動方法求出各結(jié)點上的區(qū)域異常和局部異常。 一般來說，較大的滑動平均值反映較深的區(qū)域異常信息，反之亦然。 因此

22、，應(yīng)按需要壓制的局部異常范圍大小來選擇窗口的大小。這種方法最適用于計算機來處理，因而應(yīng)用較廣泛。特別指出的是，這類方法應(yīng)用中，會帶來所謂虛假異常的問題，見圖9-22.用(-L,L)窗口來計算A點的局部異常時不會產(chǎn)生多大問題 圖9-22 產(chǎn)生虛假負異常原因示意圖虛假異常的消除但滑動到B點時，因為有所以在B點求得的異常就成了負值，這就是不應(yīng)有的虛假異常，而人工用圖解法勾繪區(qū)域異常時，可以避免出現(xiàn)這一問題。布平BBgg處理虛假異常的一種方法處理虛假異常的一種方法: : 從布格異常中減去第一次求得的剩從布格異常中減去第一次求得的剩余異常后，再對其剩余部分重新用（余異常后，再對其剩余部分重新用（- -L

23、, L)L, L)窗口求其剩余異常，將第二次求窗口求其剩余異常，將第二次求得的剩余異常，再加到原剩余異常中得的剩余異常，再加到原剩余異常中去，如此反復(fù)，直到基本消除虛假異去，如此反復(fù)，直到基本消除虛假異常常為止為止。 第六節(jié)第六節(jié) 重力高次導(dǎo)數(shù)法 一、諾依曼無限平面外部問題的解一、諾依曼無限平面外部問題的解(1)(1)由觀測平面上的重力異常值由觀測平面上的重力異常值 g g換算換算出同一平面上的出同一平面上的v vxzxz 和和v vzzzz、v vzzzzzz 等各階等各階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù); ;(2)(2)由觀測平面上的重力異常值由觀測平面上的重力異常值 g g換算換算出任意高度上的出任意高度上的

24、g ,vg ,vxzxz ,v ,vzzzz ,v ,vzzzzzz 值。值。 由平面上的重力異常g值換算高于這個平面上任意點的g及其各階導(dǎo)數(shù)值的理論是以諾依曼無限平面外部問題為基礎(chǔ)。 從位場理論可知，一個未知的異常體在觀測平面上所引起的重力異常若已知時，則可將這個觀測面展布成一個無限大而面密度不均勻的等效物質(zhì)面，使這個面上各點的面密度 (，0)滿足下式)189()0 ,(21)0 ,(gG這時,在其外部空間任意點引起的重力異常及其各階導(dǎo)數(shù)都將與原來場源在該點產(chǎn)生的異常各階導(dǎo)數(shù)是等效的。 由引力位的定義可知，一個密度分布不均勻的無限大物質(zhì)面，在其上部空間任意點A的引力位為12222( , ,0

25、)( , ,)(9 19)()()(0)d dV x yzGxyz 將(9-18)代入式(9-19)可得122221( , ,0)( , ,)(920)2()()(0)gd dV x yzxyz 222 3/2( , ,)( , ,0)(921)2()()Vg x yzzzgd dxyz 將式(9-20)對z求偏導(dǎo)數(shù),則可得該點的重力異常表達式同理，還可計算出該點所在平面上的同理，還可計算出該點所在平面上的V Vxzxz v vzzzz及及v vzzzzzz及其它各階導(dǎo)數(shù)。及其它各階導(dǎo)數(shù)。 若令式若令式 (9-21)(9-21)式中式中z=0z=0時，便又可計時，便又可計算出原來重力異常所在觀

26、測面上的算出原來重力異常所在觀測面上的V Vxzxz，V Vzzzz和和V Vzzzzzz了。了。為了便于應(yīng)用，可將式為了便于應(yīng)用，可將式 (9-21)(9-21)改用柱坐改用柱坐標(biāo)來計算，并把計算點選在坐標(biāo)原點的標(biāo)來計算，并把計算點選在坐標(biāo)原點的正上方、高度為正上方、高度為h h的的P P點，見圖點，見圖9-24,9-24,圖9-24 位場轉(zhuǎn)換計算時的坐標(biāo)選擇0202/322)229()()0 ,(2)0 , 0(hrrdrdrghhg對于二度體而言，式（9-21）可變?yōu)?239()0 ,(), 0(22hdghhg這時式 (9-21)則變?yōu)槎?、重力異常的?dǎo)數(shù)換算 (1) 重力異常的導(dǎo)數(shù)在不

27、同形狀地質(zhì)體上有不同的特征，有助于對異常的解釋和分類; (2) 重力異常的導(dǎo)數(shù)可以突出淺而小的地質(zhì)體的異常特征而壓制區(qū)域性深部地質(zhì)因素的影響，在一定程度上可以劃分不同深度和大小異常源產(chǎn)生的疊加異常，且導(dǎo)數(shù)的次數(shù)越高，這種分辨能力就越強 (見圖補); (3)重力高階導(dǎo)數(shù)可以將幾個互相靠近、埋深相差不大的相鄰地質(zhì)因素引起的疊加異劃分開來。 這些功能主要是因為導(dǎo)數(shù)階次越高，則異常隨中心埋深加大而衰減越快，從水平方向看，基于同樣道理，階次越高的異常范圍越小，因而無論從垂向看或從水平方向看，高階導(dǎo)數(shù)異常的分辨能力都提高了。 （一）vxz 的計算由Vxz 的物理意義可知，實際是vz 在其x方向的變化率，其

28、表達式可為式中(Vxz)0 表示兩點相距為2x時，中間點0的平均變化率，xxgxgvxz2)()()(0這只能近似代表水平梯度這只能近似代表水平梯度. . 若想提高計算精度若想提高計算精度, ,可用最小二乘法對可用最小二乘法對實測值進行函數(shù)擬合實測值進行函數(shù)擬合, ,然后對然后對x x求導(dǎo)數(shù)即可求導(dǎo)數(shù)即可. .下面具體介紹其原理。下面具體介紹其原理。設(shè)坐標(biāo)原點定在計算點上，并令設(shè)坐標(biāo)原點定在計算點上，并令mkkkxaxg0)249()()259()()(01mkkkxzxkaxgxv對上式求對上式求x x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)返回返回根據(jù)（9-24），在x=0點的g對x的導(dǎo)數(shù)是vxz(0)=a1，當(dāng)(1

29、)m=2時，n=5時計算的公式如下 11(0)1012( 2)5xzVagxgxxgxgxx （9-26）上述兩式中的x為取數(shù)點距。13(0)3328112( 2)()()1428xzVagxgxxgxgxgxgxxx (2)當(dāng)m=2,n=7時計算的公式如下（9-27）（二）vzz（gz）的換算式中個（0，0，0）為計算點上的重力異常。Ki為各環(huán)系數(shù)。具體計算時，借助同心圓取數(shù)量板，若量板的半徑為ri 和ri+1 ，取數(shù)半徑為 并以km為單位，則各環(huán)相應(yīng)系數(shù)見表9-2. 1iirrr)339()0 ,() , 0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(V111miiiizzrrggk將表中的k

30、i 依次代入(9-33)中,得具體計算vzz 計算公式（9-34）。 對于二度異常，可用類似方法求出其近似公式為(9-35)（三）vzzz的換算 已知在場源外部,引力位是空間坐標(biāo)的調(diào)和函數(shù),滿足拉普拉斯方程22222220VVVVxyz對于 由于 Vz2222222()0VVVVZzxyz所以在場源外部空間有 3332230VVVxzyzz 其中代入上式解得323232222232,VgVgVgxzxyzyzz 222222gggzxy （9-36）至今導(dǎo)出的計算公式很多,基本原理相似,常用公式為艾勒金斯第II公式、第I公式和第III公式,介紹如下:若用符號 表示以坐標(biāo)原點0為圓心,R為半徑的

31、一個圓周上重力異常的平均值,則( )g R201( )( ,)(937)2g Rg Rd式中g(shù)(R,)為圓周上某一點的重力值,由于它是坐標(biāo)位置的調(diào)和函數(shù),因此,當(dāng)R不大時, g(R,)可以寫成對坐標(biāo)原點的臺勞展開式0022222220003434340,( , )(0,0)122!11.3!4!ggg Rg x ygxyxygggxyxyxyx yggxxxx 由于x=Rcos, y=Rsin ,代入(9-37)式,直接積分后得到其中R的奇次項積分后代入上下限均已消去.a0 a1 a2的表達式為24012( ).(938)g Raa Ra R0222122200044424224000(0,0

32、)11(939)441264aggggaxyzgggaxxyy 這樣計算原點0處的重力垂向二次導(dǎo)數(shù)的問題,就變成了確定(9-39)中的系數(shù)a1了,求得a1再乘上（-4）,就得到計算點的gzz，即2124zzggaz 121( )(0)ag RgR（9-40）當(dāng)采用不同方法確定系數(shù)a1時,就可以得到不同的計算公式.1.哈克公式在公式(9-38)中略去高次項則有22011( )(0)g Raa Rga R即由此導(dǎo)出哈克公式為121( )(0)ag RgR1244(0)( )(941)zzgagg RR 2.艾勒金斯公式同理,當(dāng)略去(9-38)中的高次項,得并分別取半徑為R, 22011( )(0)

33、g Raa Rga R2 , 5RR的圓周上的值 代入上式,得到 ( )gR得0201201201(0)( )(942)( 2 )2( 5 )5gag Raa RgRaa RgRaa R用最小二乘法從以上四式中解出a1,再乘以(-4),即得艾勒金斯第II公式若將式g(0)=a0代入(1.7-58)中的后三式,并用最小二乘法求解a1,又得到I公式2116 (0)8 ( )245 (943)28zzggg RgRR2164 (0)8 ( ) 16 ( 2 )405 )(944)60zzggg RgRgRR當(dāng)外圍的重力異常值對計算結(jié)果影響較小,故在最小二乘法運算時,對半徑的圓周只給以1/2的權(quán)時,得

34、到第III公式為 5R2144 (0)_16 ( ) 12 ( 2 )48 ( 5 )(945)62zzggg RgRgRR 3.羅森巴赫公式考慮了重力4次導(dǎo)數(shù)的影響，并用克萊姆法則求gzz值，最后得到 2196 (0)72 ( )32 ( 2 )8 ( 5 )(946)24zzggg RgRgRR 由上可知，各種公式的推導(dǎo)，其原理一致，都采用級數(shù)逼近的近似解，只在處理方法上各不相同，從而計算的效果也不同。羅森巴赫公式在推導(dǎo)中因保留了四次導(dǎo)數(shù)項，且直接解出gzz ，故具有精度較高的優(yōu)點，但同時對局部干擾也十分敏感，故一般適用于精度較高情況的重力資料處理;而艾勒金斯公式只保留了R2 項，又用最小

35、二乘法求解，起了平滑的作用，故計算結(jié)果精度較低，異常幅值衰減很大，但受局部干擾的影響也小，因而適應(yīng)精度較低、較平緩的異常的處理。這些公式的取數(shù)點位置見取數(shù)量板圖9-25 圖9-25 計算gzz的取數(shù)量板（圖9-26） 為了便于討論，把各計算公式用一般形式來表示為一般來說，計算精度較高的公式則重力異常傳遞誤差較大，因而受局部干擾的影響較大，反之，計算精度低的公式傳遞誤差較小。)479(.)()()0(221120RgaRgagaRCgzz兩者是互相矛盾的，這是因為在重力異常兩者是互相矛盾的，這是因為在重力異常中有用成分與干擾成分的中有用成分與干擾成分的“頻譜頻譜”并不是并不是截然分開的，我們只能

36、權(quán)衡利弊，在滿足截然分開的，我們只能權(quán)衡利弊，在滿足一定精度下，盡可能地發(fā)揮一定精度下，盡可能地發(fā)揮g gzzzz 計算公式的計算公式的特長。由于特長。由于g gzzzz 對于疊加重力異常的分辨率對于疊加重力異常的分辨率較高，因而具有較好的突出被區(qū)域場掩蓋、較高，因而具有較好的突出被區(qū)域場掩蓋、甚至被歪曲了的淺部地質(zhì)體引起的次級異甚至被歪曲了的淺部地質(zhì)體引起的次級異常的能力。常的能力。 (四)高階導(dǎo)數(shù)gzz的應(yīng)用 圖9-27是江蘇某鐵礦區(qū)gzz 異常實例。我們從g平面等值線(a)圖上很難發(fā)現(xiàn)次級斷裂F1 ，盡管對F2 有些顯示，但位置也難確定;但是從gzz 的(b)圖上進行解釋就容易多了，從中

37、還可以分析出這兩條斷層的性質(zhì)并不相同，F(xiàn)1 主要為巖層的水平錯動;而F2 則主要為兩側(cè)巖層的相對升降。 另外在應(yīng)用gzz 時，如果量板的基本半徑R小于地質(zhì)體埋深h時，則不同半徑R計算的的gzz 曲線的兩側(cè)會出現(xiàn)交點，在剖面上交點的水平距離與礦體寬度相當(dāng)。 圖9-28是江蘇某礦體上的實例。此外根據(jù)（R/h）與gzz計算值近似程度之間的關(guān)系，可以大致判別不同深度地質(zhì)體的分布。這是因為埋深淺的局部異常源如礦體等，由于其h不大，R增大時，(R/h)的值明顯增大，致使算得的gzz幅值顯著減弱，甚至消失。而埋深較大的異常源，如基巖隆起， 由于h很大，同樣加大半徑R時，(R/h)的值相對變化較小 所以在gz

38、z異常上深部地質(zhì)因素減弱并不明顯。圖9-29為某區(qū)的布格重力異常及其高階導(dǎo)數(shù)圖。 其中(a)是布格異常圖， (b)、(c)、(d)是用艾勒金斯公式以半徑R分別為400m,200m和l00m 進行計算的結(jié)果。 從中看出R=400m時，即半徑較大時，gzz異?？傮w為北東向異常，可 反映礦區(qū)北東向基底構(gòu)造形態(tài)。R=200m時，gzz結(jié)果表明，在原來北東向異常上疊加了一 個北東向封閉異常，可認為它反映了基巖起伏。R=100m時，封閉異常等值線更為精細，并顯示有東西向的次級異常，對比地質(zhì)資料發(fā)現(xiàn)，該次級異常恰與已知礦體吻合。這表明計算gzz時，選用不同大小的半徑，則能反映不同深度上的信息，且半徑越大反映

39、的越深。圖9-27 江蘇某礦區(qū)的g與gzz平面圖圖9-28 利用不同R計算gzz 以確定礦體邊界的實例圖9-28 利用不同R計算gzz以確定礦體邊界的實例 圖9-29 利用不同R計算gzz以分析 不同深度異常特征的實例第七節(jié) 解析延拓法人們把由觀測平面或剖面上的已知重力異常g值換算出高于它的平面或剖面上的異常值的過程稱為向上延拓，反之則稱為向下延拓。 由于重力場值是與場源到測點距離的平方成反比，因此對于深度相差較大的兩個場源體來說，進行同一個高進行同一個高 ( (深深) )度的延拓，它們各度的延拓，它們各自的異常減弱或增大的速度是不同的，自的異常減弱或增大的速度是不同的，因此因此上延計算有利于

40、突出深部異常特征，上延計算有利于突出深部異常特征，而下延計算則主要是突出了淺部異常而下延計算則主要是突出了淺部異常。 二度（一維）異常的向上延拓 式中式中 g(ih,0)g(ih,0)是橫坐標(biāo)為是橫坐標(biāo)為ihih點上的重力異常。點上的重力異常。取值的點距以延拓高度取值的點距以延拓高度h h為單位，為單位，1212()1222()(0,)114( ,0)( ,0)(951)43nnihihinnghhg ihdg ihtghi應(yīng)用應(yīng)用(9-23)(9-23)做上延計算時做上延計算時, ,需要用有限的需要用有限的分段積分之和的近似值表示分段積分之和的近似值表示并把（i-1/2）h與（i+1/2）h

41、之間g(，0）用其中間值g(ih,0)來表示。將1，2 ，3， n分別代入(9-51）,經(jīng)整理得二度體向上延拓公式， （9-52)從向上延拓式（9-52)可知，隨著i的增大，其系數(shù)不斷減小。因此在換算時，究竟取多大，是根據(jù)異常精度而定。二度異常的向下延拓 重力異常向下延拓是利用向上延拓值,結(jié)合原始剖面異常值，根據(jù)拉格朗日插值原理外推而得。 當(dāng)取值點如圖9-30所示。則下延近似表達式圖9-30 二度異常下延計算取值點位置二度異常的向下延拓該式中的g(h.0)、 g(-h.0)和 g(0.0) 是觀測剖面上的已知值; g(0,-h) 是已經(jīng)求出的上延拓值; g(0.h)便是向下延拓值。 )539(

42、), 0()0 ,()0 ,()0 , 0(4), 0(hghghgghg將式（將式（9-529-52）表示的上延值）表示的上延值 g(0,-h)g(0,-h)代入式（代入式（9-9-5353）, ,得向下延拓表達式。得向下延拓表達式。（9-54）上面介紹的向上及向下延拓都需在已知剖面上取上面介紹的向上及向下延拓都需在已知剖面上取值，而且取值的點距應(yīng)為延拓高度的整倍數(shù)，值，而且取值的點距應(yīng)為延拓高度的整倍數(shù)，稱稱等間距延拓。根據(jù)利用已知點數(shù)目的不同，可導(dǎo)等間距延拓。根據(jù)利用已知點數(shù)目的不同，可導(dǎo)出不同的下延公式。出不同的下延公式。關(guān)于三度異常的向上延拓需要利用平面上的異常關(guān)于三度異常的向上延拓

43、需要利用平面上的異常值。見式（值。見式（9-619-61）和（）和（9-629-62），該式中的系數(shù)見），該式中的系數(shù)見表表9-3.9-3.向上延拓時需要方形網(wǎng)結(jié)點上的異常值，向上延拓時需要方形網(wǎng)結(jié)點上的異常值，若所選的點位不在結(jié)點上，還需要可利用一元高若所選的點位不在結(jié)點上，還需要可利用一元高次插值公式內(nèi)插出所需要的異常值。次插值公式內(nèi)插出所需要的異常值。向下延拓公式見（9-66）和（9-67）取值點位見圖9-31，系數(shù)見表9-4關(guān)于上述延拓換算方法說明1 1上延計算在理論上是嚴(yán)密而且可以上延計算在理論上是嚴(yán)密而且可以實現(xiàn)的，其誤差主要是積分范圍有限所實現(xiàn)的，其誤差主要是積分范圍有限所致。積分范圍一定時，延拓高度越高則致。積分范圍一定時，延拓高度越高則誤差越大。此外就是取值點密度及插值誤差越大。此外就是取值點密度及插值誤差的影響；誤差的影響； 2下延計算屬于不適定問題，引力位