一階線性分方程ppt課件

1、書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏1書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏2)()(xQyxPdxdy 一階線性微分方程一階線性微分方程的標準形式的標準形式:, 0)( xQ當當上方程稱為上方程稱為齊次的齊次的.上方程稱為上方程稱為非齊次的非齊次的., 0)( xQ當當一、線性方程一、線性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的;非線性的非線性的.書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏3. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解

2、為齊次方程的通解為.)( dxxPCey步驟步驟1 先解線性齊次方程先解線性齊次方程一階線性微分方程的解法一階線性微分方程的解法(運用分別變量法運用分別變量法)書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏4步驟步驟2 討論線性非齊次方程的解與線性齊次方程的討論線性非齊次方程的解與線性齊次方程的解之間的關系：解之間的關系：).()(xQyxPdxdy ,)()(dxxPyxQydy 兩邊積分兩邊積分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ為為設設 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即因此，非齊次方程通解方式與齊次方程通解因此，非齊次方程通解方式

3、與齊次方程通解相比，就是將：相比，就是將：)(xuC dxxpexu)()(.)( dxxPCey書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏5常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法稱把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法稱常數(shù)變易法常數(shù)變易法. . dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy.)( dxxPCey如今是將齊次方程的通解如今是將齊次方程的通解變易成變易成步驟步驟3 求求 并將并將 代入線性非齊次方程代入線性非齊次方程,yyy,書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏6代代入入原原方方程程得得和和將將

4、yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 積分得積分得因此，一階線性非齊次微分方程的通解為因此，一階線性非齊次微分方程的通解為: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對應齊次對應齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解 對于一階線性非齊次微分方程的求解，有兩種常用的方法：對于一階線性非齊次微分方程的求解，有兩種常用的方法：一種是在求出相應齊次方程解的根底上再用參數(shù)變易法求解；一種是在求出相應齊次方程解的根底上再用參數(shù)變易法求解；另一種是直接記住用參數(shù)變易法導出的計算公式，將給定的另一

5、種是直接記住用參數(shù)變易法導出的計算公式，將給定的p(x),Q(x)代入公式，得到微分方程的通解代入公式，得到微分方程的通解y(x)書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏7.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏8例例2 2 如下圖，平行與如下圖，平行與 軸的動直線被曲軸的動直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQPQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積之長數(shù)值上等于陰影部

6、分的面積, , 求曲線求曲線 . .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,兩邊求導得兩邊求導得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏9 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyx23xyy 書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏10P.341 3.P.341 3.設曲線方程為設曲線方程為y=f(x),按題意有：按題意有：,)(21)(20 xxxfdttfx兩邊求

7、導，得：兩邊求導，得：,2)(21)(21)(xxf xxfxf, 4xydxdy經(jīng)整理，得：經(jīng)整理，得：對應齊次方程的通解為：對應齊次方程的通解為：y=cx非齊次方程的通解為：非齊次方程的通解為：y=x(-4lnx+k)， 代入初始條件代入初始條件y(1)=1,得得k=1，因此，曲線弧方程為：因此，曲線弧方程為：y=x(1-4lnx)書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏11P.348 求通解：求通解： 1.(10)02)6(2ydxdyxy分析：分析：假設把假設把x看成自變量，把看成自變量，把y看成因變量，上式不看成因變量，上式不是一階線性方程；是一階線性方程；反之，如把反之，如

8、把y看成自變量，把看成自變量，把x看成因變量看成因變量,上式成為：上式成為：,23262yxyyyxdydx是一階非齊次線性方程是一階非齊次線性方程先解對應齊次方程的通解，得：先解對應齊次方程的通解，得：,3cyx 設非齊次方程的通解為：設非齊次方程的通解為：,)(3yyux 求求,dydx將將dydxx,代回方程，代回方程，2321ykyx經(jīng)整理得所求方程的通解：經(jīng)整理得所求方程的通解：書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏12P.349 6.解：設解：設,)(2),(2xxxfQxyfP按題意，按題意，, 1)(21)(xfxxfxQyP這是一個一階線性非齊次方程，解之，得通解：

9、這是一個一階線性非齊次方程，解之，得通解：,32)(23xKxxf代入初始條件：代入初始條件：f(1)=1,得得K=,31xxxf3132)(書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏13伯努利伯努利(Bernoulli)方程的規(guī)范方式方程的規(guī)范方式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程為線性微分方程方程為線性微分方程. 方程為非線性微分方程為非線性微分方程方程.時時，當當1 , 0 n時時，當當1 , 0 n解法解法: : 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程. .書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏14,1 nyz 令令，則則dxd

10、yyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，將求出通解后，將 代回，代回，nyz 1，得，得兩端除以兩端除以ny代入上式得代入上式得. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn這是一個一階線性非齊次微分方程，已能求解。這是一個一階線性非齊次微分方程，已能求解。這是處置伯努利方程的固定的格式，應該記住這是處置伯努利方程的固定的格式，應該記住書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏15.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xz

11、xdxdz ,22 Cxxz解解得得.224 Cxxy即即解解，得得兩兩端端除除以以y例例 3書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏16例例4 4 用適當?shù)淖兞看鷵Q解以下微分方程用適當?shù)淖兞看鷵Q解以下微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 則則,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解為所求通解為).2(222Cxeyx 這是一個伯努利方程這是一個伯努利方程書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏17;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,d

12、xdyxydxdz 則則,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分別變量法得分別變量法得,代回代回將將xyz 所求通解為所求通解為.4)2sin(2Cxxyxy 書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏18;1. 3yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy則則代入原式代入原式,11udxdu 分別變量法得分別變量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回將將yxu 所求通解為所求通解為,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程變形為方程變形為 這是一個以這是一個以y為自變量，以為自變量，以x為未知函數(shù)的一階線性非齊為未知函數(shù)的一階線性非齊次方程次方程,已能求解。已能求解。書山有路勤為徑學海無涯苦作舟 專業(yè)分享，敬請收藏19用適當?shù)淖兞看鷵Q將方程化為可分別變量的方程：用適當?shù)淖兞看鷵Q將方程化為可分別變量的方程：1設設 v=x+y;(2) 設設 v=x-y;3設設 v=xy(4) 方程可寫成：方程可寫成：xxyxyycos) 1(sin) 1(sin222,cos) 1sin(2xxy設設v=y+sinx-1(5) 設設 v=xy書山有路勤為徑學海無涯苦作