選修4-4圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程(1)(2)(3)

1、二二. .圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程 如下圖，以原點(diǎn)如下圖，以原點(diǎn)O為圓心，分別以為圓心，分別以a，b（ab0）為半徑作兩個(gè)同心圓，設(shè)為半徑作兩個(gè)同心圓，設(shè)A為大圓上的任意一點(diǎn)，連為大圓上的任意一點(diǎn)，連接接OA,與小圓交于點(diǎn)與小圓交于點(diǎn)B ，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作作ANox，垂足為，垂足為N，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當(dāng)半徑，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M軌跡的參數(shù)方程軌跡的參數(shù)方程. OAMxyNB分析：設(shè)分析：設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y)點(diǎn)點(diǎn)A 的橫坐標(biāo)與的橫坐標(biāo)與M點(diǎn)的橫坐點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同標(biāo)相同,點(diǎn)點(diǎn)B 的縱坐標(biāo)與的縱坐標(biāo)與M點(diǎn)的縱坐標(biāo)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同相

2、同. 而而A、B的坐標(biāo)可以通過(guò)的坐標(biāo)可以通過(guò)引進(jìn)參數(shù)建立聯(lián)系引進(jìn)參數(shù)建立聯(lián)系.OAMxyNB解：解：設(shè)設(shè)XOA=, 則則A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由此由此:即為即為點(diǎn)點(diǎn)M M軌跡的軌跡的參數(shù)方程參數(shù)方程. . sinbycosax( 為 參 數(shù))消去參數(shù)得消去參數(shù)得: :,bya12222x即為即為點(diǎn)點(diǎn)M M軌跡的軌跡的普通普通方程方程. . 如下圖，以原點(diǎn)如下圖，以原點(diǎn)O為圓心，分別以為圓心，分別以a，b（ab0）為半徑作兩個(gè)同心圓，設(shè)為半徑作兩個(gè)同心圓，設(shè)A為大圓上的任意一點(diǎn)，連為大圓上的任意一點(diǎn)，連接接OA,與小圓交于點(diǎn)與小圓交于點(diǎn)B ，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

3、A作作ANox，垂足為，垂足為N，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當(dāng)半徑，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程的軌跡參數(shù)方程. 1 .參數(shù)方程參數(shù)方程 是橢圓是橢圓 的參數(shù)方程的參數(shù)方程.cosxasinyb2 .在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分別是橢分別是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng). ab 另外另外 稱(chēng)為稱(chēng)為離心角離心角,規(guī)定參數(shù)規(guī)定參數(shù) 的取值的取值范圍是范圍是0, 2)cos ,sin .xaXyb焦點(diǎn)在 軸cos ,sin .x bYya焦點(diǎn)在 軸( 為 參 數(shù))y ya aa ab b22221 （ .0)xb

4、OAMxyNB歸納比較歸納比較橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: :12222byax橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的幾何意義: :)(sinbycosa為為參參數(shù)數(shù) xxyO圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: :圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程: : x2+y2=r2)(sinycos為為參參數(shù)數(shù) rrx的幾何意義是的幾何意義是AOP=，是旋轉(zhuǎn)角，是旋轉(zhuǎn)角PA橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程: :是是AOX=,不是不是MOX=.稱(chēng)離心角稱(chēng)離心角【練習(xí)【練習(xí)1】把下列普通方程化為參數(shù)方程把下列普通方程化為參數(shù)方程. 22149xy22116yx (1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10

5、sinxy(3)(4)把下列參數(shù)方程化為普通方程把下列參數(shù)方程化為普通方程2 cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx練習(xí)練習(xí)2：已知橢圓的參數(shù)方程為已知橢圓的參數(shù)方程為 ( 是參數(shù)是參數(shù)) ，則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（，則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ），），短軸長(zhǎng)為（短軸長(zhǎng)為（ ），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ），），離心率是（離心率是（ ）。）。2cos sinxy4232( , 0)3例例1、如圖，在橢圓如圖，在橢圓x29+y24=1上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)M，使使M到直線(xiàn)到直線(xiàn) l：x+2y-10=0的距離最小的距離最小.xyOP分析分析1平移直線(xiàn)平

6、移直線(xiàn) l 至首次與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求至首次與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求.22204936xymxy000,M(,)消元，利用，求出進(jìn)而求得切點(diǎn) mxyM M設(shè) (3 cos,2 sin)是橢圓上任一點(diǎn).|3cos4sin -10|5d則小結(jié)：小結(jié)：借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識(shí)加以解決。點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識(shí)加以解決。例例1、如圖，在橢圓如圖，在橢圓x29+y24=1上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)M，使，使M到直線(xiàn)到直線(xiàn) l：x+2y-10=0的距離最小的距離最小.分析分析23cos()2sinxy橢圓參數(shù)

7、方程為：為參數(shù)34|5cossin-10|555（）0|5cos-10|5（）00034cos,sin55其中滿(mǎn)足05d當(dāng)=0時(shí), 取最小值，0098coscos,2sin2sin55此時(shí)339 8M( , )210055 5Mxy時(shí)，點(diǎn)與直線(xiàn)的距離取最小值。例例2.已知橢圓已知橢圓 ,求橢圓內(nèi)接矩形求橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值面積的最大值.22221(0)xyabab解：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為解：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為( cos , sin )ab4cossinSab矩形()24kkZSab矩形當(dāng)時(shí)，最大。所以橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為所以橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為2ab.2s

8、in 2ab2ab例例3:已知已知A,B兩點(diǎn)是橢圓兩點(diǎn)是橢圓 與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn)與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn),在第一象限的橢圓弧上在第一象限的橢圓弧上求一點(diǎn)求一點(diǎn)P,使四邊形使四邊形OAPB的面積最大的面積最大.22941yx:解 由橢圓參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)P(3cos ,2sin )PAB即求點(diǎn) 到直線(xiàn)的距離的最大值。,ABCABPS面積一定需求 S最大即可132xy直線(xiàn)AB的方程為：22| cossin6|23d6662 sin()1413,d當(dāng) =時(shí)有最大值 面積最大.43 22P這時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為(, 2)2360 xy練習(xí)練習(xí)1、動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在曲線(xiàn)在曲線(xiàn) 上變化上變化 ，求，求2

9、x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最大值2、取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)兩點(diǎn)的線(xiàn)段的中點(diǎn)軌跡是兩點(diǎn)的線(xiàn)段的中點(diǎn)軌跡是 . A. 圓圓 B. 橢圓橢圓 C. 直線(xiàn)直線(xiàn) D. 線(xiàn)段線(xiàn)段B設(shè)中點(diǎn)設(shè)中點(diǎn)M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin22y249x3cos ,2sin設(shè) xy236cos6sinxy6 2sin()4(3cos ,2sin ). (2,3). (3,0). (1,3). (0,)23、當(dāng)參數(shù) 變化時(shí)，動(dòng)點(diǎn)所確定的曲線(xiàn)必過(guò)點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn)PABCD它

10、的焦距是多少？它的焦距是多少？B2 5練習(xí)練習(xí)317cos()_,8sin2_.4.橢圓為參數(shù) 的中心坐標(biāo)為準(zhǔn)線(xiàn)方程為xy(3, 2)289315x 小結(jié)小結(jié)（1）橢圓的參數(shù)方程（）橢圓的參數(shù)方程（ab0）12222byax)(sincos為參數(shù)byax注意：橢圓參數(shù)與圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意注意：橢圓參數(shù)與圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義不同。義不同。（2）橢圓與直線(xiàn)相交問(wèn)題）橢圓與直線(xiàn)相交問(wèn)題y y22221xabcos( 為參數(shù))sinxbya二二. .圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程aoxy)MBABA雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程探究：雙曲線(xiàn)探究：雙曲線(xiàn) 的參數(shù)方程的參數(shù)方程22

11、221xyabb12,以原點(diǎn) 為圓心，為半徑分別作同心圓Oa bC C1,設(shè) 為圓上任意一點(diǎn)，作直線(xiàn)設(shè)以為始邊，為終邊的角為ACOAOxOA1AC過(guò)點(diǎn) 作圓 的切線(xiàn)AA與x軸交于點(diǎn)A ,22.CC過(guò)圓與x軸的交點(diǎn)B作圓的切線(xiàn)BB與直線(xiàn)OA交于點(diǎn)B過(guò)點(diǎn)A ,B分別作y軸,x軸的平行線(xiàn)A M,B M交于點(diǎn)M.aoxy)MBABA雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程b( , )M x y設(shè)( ,0),( , ).A xB b y則1AC點(diǎn) 在圓上A(acos ,asin ).OAAAOA AA 又,=02cos (cos )( sin )0axaacosax解得：又點(diǎn)B在角 的終邊上，tan.yb由三角

12、函數(shù)定義有：tanyb1seccos記secxaxaMybsec()tan點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡的的參參數(shù)數(shù)方方程程是是為為參參數(shù)數(shù)AA=(x-acos ,-asin )消去參數(shù)得：22221xyabsec()tanxayb為參數(shù)2a222xy-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為：b3 ,2 )22o通常規(guī)定且，。 雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程可以由方程雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程可以由方程 與三角與三角 恒等式恒等式 相比較而得到，所以雙曲相比較而得到，所以雙曲 線(xiàn)的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換線(xiàn)的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換.22221xyab22sec1tan 說(shuō)明：說(shuō)明： 這里參數(shù)這里參數(shù) 叫做雙曲線(xiàn)的離心角與直線(xiàn)叫做雙曲線(xiàn)的

13、離心角與直線(xiàn)OM的傾斜角不同的傾斜角不同.aoxy)MBABAb雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程 雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程：雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程： sec()tanxayb為 參 數(shù)2a222xy-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為：bsec()tanyaxb為參數(shù)2a222yx-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為：b為離心角例例2、2222100 如如圖圖，設(shè)設(shè)為為雙雙曲曲線(xiàn)線(xiàn)任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，為為原原點(diǎn)點(diǎn)，過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作作雙雙曲曲線(xiàn)線(xiàn)兩兩漸漸近近線(xiàn)線(xiàn)的的平平行行線(xiàn)線(xiàn)，分分別別與與兩兩漸漸近近線(xiàn)線(xiàn)交交于于 ， 兩兩點(diǎn)點(diǎn)。探探求求平平行行四四邊邊形形的的面面積積，由由此此可可以以發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)什什么么結(jié)結(jié)論論？xyMaba

14、bOMABMAOB(,)OBMAxy.byxa雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：解：解：不妨設(shè)M為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，其坐標(biāo)（asec ,bta為n ）,b將y=x代入，解得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為aAax = （sectan ）2.tan(sec).則直線(xiàn)的方程為： bAxaaMybOBMAxy解：解：Bax = （sectan ）.2同理可得，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為ba設(shè) AOx= ,則tan.MAOB所以的面積為MAOBS=|OA|OB|sin2=ABxxs i n 2c o sc o s2222a (sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22由此可見(jiàn)，平行四邊形的面積恒為定值，與點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)上

15、的位置無(wú)關(guān)。MAOB化下列參數(shù)方程為普通方程，并說(shuō)明它們化下列參數(shù)方程為普通方程，并說(shuō)明它們表示什么曲線(xiàn)表示什么曲線(xiàn)?由此你有什么想法？由此你有什么想法？a1(2()1()2）為參數(shù),a0,b0 xtttbytt()2(b)()2為參數(shù),a0, 0ttttaxeetbyee探究探究二二. .圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程xyoM(x,y)22.(1)ypx設(shè)拋物線(xiàn)的普通方程為tan .(2)yx由三角函數(shù)的定義可得(1),(2), x y由解出，(1)()這就是拋物線(xiàn)不包括頂點(diǎn) 的參數(shù)方程拋物線(xiàn)的參數(shù)方程拋物線(xiàn)的參數(shù)方程22tan()2tanpxpy得 到為 參 數(shù)M拋物線(xiàn)上任意點(diǎn) （x

16、,y)MOXxyoM(x,y)1,(,0)(0,),tantt 如果令22()2xpttypt 則為參數(shù)有拋物線(xiàn)的參數(shù)方程拋物線(xiàn)的參數(shù)方程22tan()2tan為 參 數(shù)pxpy(0,00)，由此參數(shù)方程表示的點(diǎn)正好就是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)當(dāng)時(shí)t222()2(,)y當(dāng)時(shí)，參數(shù)方程就表示拋物線(xiàn)=2為px。參數(shù)xpttyptt參數(shù) 表示拋物線(xiàn)上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率的倒數(shù)。t220)由此得拋物線(xiàn)（的參數(shù)方程為：ypx p22()2xpttypt 為參數(shù)參數(shù) 的幾何意義：拋物線(xiàn)上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率的倒數(shù)。t22(0)?思考：類(lèi)比上面的方法怎樣選取參數(shù)，建立拋物線(xiàn) 的參數(shù)方程xpy

17、 p22tan()2tanxpyp為參數(shù)tan,(,)tt 如果令22()2xpttypt為參數(shù)參數(shù) 的幾何意義：拋物線(xiàn)上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率。t22(0)所以?huà)佄锞€(xiàn) 的參數(shù)方程為：xpy p22()2xpttypt為參數(shù)22(0)進(jìn)一步探究拋物線(xiàn) 的參數(shù)方程，并對(duì)四種結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)。 xpy p拋物線(xiàn)的參數(shù)方程22()2xpttypt為參數(shù)拋物線(xiàn)上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連參數(shù)線(xiàn)的的幾何意義。：斜率的倒數(shù)t220)ypx p（220)ypx p （22()2xpttypt 為參數(shù)總結(jié)總結(jié)t拋物線(xiàn)上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原參點(diǎn)數(shù) 的幾何意義：連線(xiàn)的斜率。22(0)xpy p22(

18、)2xpttypt為參數(shù)拋物線(xiàn)的參數(shù)方程22(0)xpy p 22()2xpttypt 為參數(shù)總結(jié)總結(jié)xyoBAM2,2(0),例、如圖 是直角坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線(xiàn)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，且并于相交于點(diǎn) ，求點(diǎn) 的軌跡方程。OA Bypx pOAOB OMABABMM( , ),M x y解：設(shè)點(diǎn)211(2,2),Aptpt222(2,2)Bptpt1212(,0)ttt t且( , ),OMx y 211(2,2),OAptpt222(2,2),OBptpt222121(2 (),2 ()ABp ttp tt,OAOB221 21 2(2)(2 )0,pt tp t t,OAOB2,2(0),例、

19、如圖 是直角坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線(xiàn)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，且并于相交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程。OA Bypx pOAOB OMABABMM221 21 2(2)(2 )0,pt tp t t1 21.(1)t t ,OMAB2221212()2()0px ttpy tt12(0).(2)yttxx 211(2,2),AMxptypt222(2,2)MBptxpty,A M B且三點(diǎn)共線(xiàn)，221221(2)(2)(2)(2)xptptyptxypt121 2()20.(3)y ttpt tx即：(1),(2)(3),()20yypxx將代入得到:2220(0)xypxx即M這就是點(diǎn)的軌跡方程22211(2)(2)OAptpt由例可得:22222(2)(2)OBptpt21121p