天津大學(xué)機(jī)械振動振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程實(shí)用教案

1、 第第3 3章章 振動振動(zhndng)(zhndng)系統(tǒng)的運(yùn)動微分系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程方程目錄(ml)Mechanical and Structural Vibration第1頁/共24頁第一頁，共25頁。 3.3 剛度影響(yngxing)系數(shù) 作用力方程Mechanical and Structural Vibration 第第3 3章章 振動系統(tǒng)的運(yùn)動振動系統(tǒng)的運(yùn)動(yndng)(yndng)微分微分方程方程第2頁/共24頁第二頁，共25頁。 m xm xm xk xk xk xm xm xm xk xk xkxm xm xm xk xkxk xnnnnnnnnnnnnnnnnnn1

2、11122111112212112222211222211221122000TnTnxxxxxx 2121xx，一般情況一般情況(qngkung)下，下，n個自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動的運(yùn)個自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動的運(yùn)動微分方程具有以下形式動微分方程具有以下形式若用矩陣若用矩陣(j zhn)表示，則表示，則可寫成可寫成式中分別是系統(tǒng)的式中分別是系統(tǒng)的坐標(biāo)矢量坐標(biāo)矢量和和加速度矢量加速度矢量 KxxM 0方程中各項(xiàng)均為力的量綱，因此，稱之為作用力方程。方程中各項(xiàng)均為力的量綱，因此，稱之為作用力方程。Mechanical and Structural Vibration第3頁/共24頁第三頁，共

3、25頁。 M mmmmmmmmmnnnnn n111212122212K kkkkkkkkknnnnn n111212122212質(zhì)量(zhling)矩陣剛度(n d)矩陣Mechanical and Structural Vibration第4頁/共24頁第四頁，共25頁。 剛度剛度(n d)矩陣中的元素稱剛度矩陣中的元素稱剛度(n d)影響系數(shù)影響系數(shù)(在單自由度系在單自由度系統(tǒng)中，簡稱統(tǒng)中，簡稱彈性常數(shù)彈性常數(shù))。它表示系統(tǒng)單位變形所需的作用力。具體地說，。它表示系統(tǒng)單位變形所需的作用力。具體地說，如果使第如果使第j個質(zhì)量沿其坐標(biāo)方向產(chǎn)生單位位移，沿其它質(zhì)量的個質(zhì)量沿其坐標(biāo)方向產(chǎn)生單位位

4、移，沿其它質(zhì)量的坐標(biāo)方向施加作用力而使它們保持不動，則沿第坐標(biāo)方向施加作用力而使它們保持不動，則沿第i個質(zhì)量坐標(biāo)個質(zhì)量坐標(biāo)方向施加的力，定義為剛度方向施加的力，定義為剛度(n d)影響系數(shù)影響系數(shù)kij；在第；在第j個質(zhì)量坐標(biāo)個質(zhì)量坐標(biāo)方方向上施加的力稱剛度向上施加的力稱剛度(n d)影響系數(shù)影響系數(shù)kjj 。由剛度。由剛度(n d)影響系影響系數(shù)的物理意數(shù)的物理意義，可直接寫出剛度義，可直接寫出剛度(n d)矩陣，從而建立作用力方程，這種方矩陣，從而建立作用力方程，這種方法法稱為影響系數(shù)法。稱為影響系數(shù)法。K kkkkkkkkknnnnn n111212122212剛度(n d)矩陣Mech

5、anical and Structural Vibration第5頁/共24頁第五頁，共25頁。 現(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)的剛度現(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)的剛度(n d)矩陣。矩陣。 x11xx230kkk112131、0312212111kkkkkk，畫出各物塊的受力圖畫出各物塊的受力圖(lt)根據(jù)平衡條件，有根據(jù)平衡條件，有首先首先(shuxin)令令在此條件下系統(tǒng)保持平衡，按定義需加于三物塊的力在此條件下系統(tǒng)保持平衡，按定義需加于三物塊的力Mechanical and Structural Vibration第6頁/共24頁第六頁，共25頁。 畫出受力圖(lt)，則有xxx12

6、3010，kkkkkkk1222223323 ，同理，令畫出受力圖(lt)，有xxx12301，kkkkk132333330 ，最后(zuhu)令Mechanical and Structural Vibration第7頁/共24頁第七頁，共25頁。 因此因此(ync)剛度矩陣為剛度矩陣為K kkkkkkkkk12221333300剛度剛度(n d)矩陣一般是對稱的。矩陣一般是對稱的。實(shí)際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個性質(zhì)。即實(shí)際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個性質(zhì)。即kkijjiKKTMechanical and Structural Vibration第8頁/共24頁第八頁，共25頁。

7、3.4 柔度影響(yngxing)系數(shù) 位移方程 Mechanical and Structural Vibration 第第3 3章章 振動系統(tǒng)的運(yùn)動振動系統(tǒng)的運(yùn)動(yndng)(yndng)微分微分方程方程第9頁/共24頁第九頁，共25頁。 在單自由度的彈簧在單自由度的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，若彈簧常數(shù)是質(zhì)量系統(tǒng)中，若彈簧常數(shù)是k，則，則 就是物塊上作就是物塊上作用用(zuyng)單位力時彈簧的變形，稱柔度影響系數(shù)，用單位力時彈簧的變形，稱柔度影響系數(shù)，用 表示。表示。1k具體地說，僅在第j個質(zhì)量的坐標(biāo)方向上受到單位力作用時相應(yīng)于在第i個質(zhì)量的坐標(biāo)方向上產(chǎn)生的位移，即定義為 。 ijn自由度系統(tǒng)的

8、柔度矩陣 為n階方陣，其元素 稱為柔度影響系數(shù)，表示單位力產(chǎn)生的位移。ijMechanical and Structural Vibration第10頁/共24頁第十頁，共25頁。 現(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)現(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)(xtng)的柔度影響系數(shù)。的柔度影響系數(shù)。 當(dāng)受到當(dāng)受到F1作用后，第一個彈簧的變形為作用后，第一個彈簧的變形為 ，第二和第三個彈，第二和第三個彈簧的變形為零。簧的變形為零。11k111211311111kkk,01321FFF，首先施加單位力首先施加單位力112131、這時三物塊所產(chǎn)生的靜位移分別是這時三物塊所產(chǎn)生的靜位移分別是所以所以(suy)三物塊

9、的位移都是三物塊的位移都是F1Mechanical and Structural Vibration第11頁/共24頁第十一頁，共25頁。 第三個彈簧不受力，故其變形第三個彈簧不受力，故其變形(bin xng)為零。因此有為零。因此有1112kk,1212212321211111kkkkk,01312FFF，令F2第一和第二彈簧均受單位第一和第二彈簧均受單位(dnwi)拉力，其變形分別為拉力，其變形分別為Mechanical and Structural Vibration第12頁/共24頁第十二頁，共25頁。 F3再令再令1, 0321FFF131231233123111111kkkkkk,

10、可得到可得到(d do) 1112132122233132331111121211212311111111111111kkkkkkkkkkkkkk系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的柔度矩陣為的柔度矩陣為Mechanical and Structural Vibration第13頁/共24頁第十三頁，共25頁。 柔度矩陣一般也是對稱的。柔度矩陣一般也是對稱的。實(shí)際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個實(shí)際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個(zh ge)性質(zhì)。即性質(zhì)。即 1112132122233132331111121211212311111111111111kkkkkkkkkkkkkkijji T系統(tǒng)系統(tǒng)(xtn

11、g)的柔度矩陣為的柔度矩陣為Mechanical and Structural Vibration第14頁/共24頁第十四頁，共25頁。 用柔度影響系數(shù)用柔度影響系數(shù)(xsh)(xsh)來建立其運(yùn)動微分方程來建立其運(yùn)動微分方程系統(tǒng)運(yùn)動系統(tǒng)運(yùn)動(yndng)時，質(zhì)量的慣性力使彈簧產(chǎn)生時，質(zhì)量的慣性力使彈簧產(chǎn)生變形變形xm xm xm xxm xm xm xxm xm xm x111112212331321121222233233113122323333 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )333322311323322221121331221111)()()()()()()()

12、()(FFFxFFFxFFFx應(yīng)用疊加原理應(yīng)用疊加原理(yunl)可得可得到到Mechanical and Structural Vibration第15頁/共24頁第十五頁，共25頁。 寫成矩陣寫成矩陣(j zhn)形式形式xxxmmmxxx123111213212223313233123123000000 xMx Mxx0位移位移(wiy)方程方程KxMx xKMx1()是非奇異的，即 的逆矩陣存在K1K與作用力方程與作用力方程(fngchng)比比較較 K1Mechanical and Structural Vibration第16頁/共24頁第十六頁，共25頁。即當(dāng)剛度矩陣即當(dāng)剛度矩陣

13、(j zhn)是非奇異時，剛度矩陣是非奇異時，剛度矩陣(j zhn)與柔度矩陣與柔度矩陣(j zhn)互為逆矩陣互為逆矩陣(j zhn)；當(dāng)剛度矩陣當(dāng)剛度矩陣(j zhn)是奇異時，不存在逆矩陣是奇異時，不存在逆矩陣(j zhn)即無柔度矩陣即無柔度矩陣(j zhn)。此時系統(tǒng)的平衡位置有無限多或者說它有剛體運(yùn)動。此時系統(tǒng)的平衡位置有無限多或者說它有剛體運(yùn)動。如圖示系統(tǒng)具有剛體運(yùn)動，柔度矩陣如圖示系統(tǒng)具有剛體運(yùn)動，柔度矩陣(j zhn)不存在。不存在。 K1柔度矩陣與剛度柔度矩陣與剛度(n d)矩陣之間的關(guān)系矩陣之間的關(guān)系Mechanical and Structural Vibration第

14、17頁/共24頁第十七頁，共25頁。 例例 試寫出圖所示剛體試寫出圖所示剛體AB的剛度的剛度矩陣并建立矩陣并建立(jinl)系統(tǒng)的運(yùn)動微系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。分方程。解：剛體解：剛體AB在圖面內(nèi)的位置可以由其質(zhì)心在圖面內(nèi)的位置可以由其質(zhì)心C的坐標(biāo)的坐標(biāo)yC(以水平以水平位置位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且水平運(yùn)動不計為坐標(biāo)原點(diǎn)，且水平運(yùn)動不計)和繞和繞C轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 確定。確定。Mechanical and Structural Vibration第18頁/共24頁第十八頁，共25頁。 圖為 時的受力圖， 分別表示保持系統(tǒng)在該位置平衡，應(yīng)加在C點(diǎn)的力和力偶矩yC10,kk1121,kkkkk lk l11122

15、11 12 2,由剛體(gngt)AB的平衡條件得到Mechanical and Structural Vibration第19頁/共24頁第十九頁，共25頁。 圖為 時的受力圖， 分別表示保持系統(tǒng)在該位置平衡，應(yīng)加在鉛直平面內(nèi)的力偶矩和加在C點(diǎn)的力。yC01,kk2212,kk lk lkk lk l222 221 12121 12 2,由平衡條件得K kkk lk lk lk lk lk l122 21 12 21 11 122 22()()剛度(n d)矩陣Mechanical and Structural Vibration第20頁/共24頁第二十頁，共25頁。 例 試求圖示懸臂梁的柔

16、度影響系數(shù)，并建立其位移方程。(梁的彎曲剛度(n d)為EI，其質(zhì)量不計)解：取y1 、 y2為廣義坐標(biāo)，根據(jù)柔度影響系數(shù)的定義， 表示在m1處施加單位力(沿y1方向)并在m1處產(chǎn)生的位移。1111332324( )lEIlEI 表示在m2處施加單位力(沿y2方向)并在m2處產(chǎn)生的位移。有222233lEI按材料力學(xué)的撓度(nod)公式，則有Mechanical and Structural Vibration第21頁/共24頁第二十一頁，共25頁。 表示在m2處施加單位力在m1處產(chǎn)生的位移等于在m1處施加單位力在m1處產(chǎn)生的位移。有12211221323242 42548lEIllEIlEIym ym yym ym y111111222221112222( )( )( )( )yMy0 1112212233181161161lEI柔度矩陣(j zhn)為得系統(tǒng)的位移(wiy)方程Mechanical and Structural Vibration第22頁/共24頁第二十二頁，共25頁。第23頁/共24頁第二十三頁，共25頁。謝謝大家(dji)觀賞！