第9章 IIR濾波器設(shè)計(jì)

1、第第9章章 IIR濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì)理想低通濾波器理想低通濾波器 cc)( jHrT濾波器性能指標(biāo)濾波器性能指標(biāo)截止頻率截止頻率實(shí)際濾波器幅度響應(yīng)指標(biāo)實(shí)際濾波器幅度響應(yīng)指標(biāo)通帶通帶1()1papHj 阻帶阻帶()asHj 過渡帶過渡帶通帶通帶波紋波紋阻帶阻帶波紋波紋通帶截止頻率通帶截止頻率阻帶截止頻率阻帶截止頻率通帶峰值波紋通帶峰值波紋最小阻帶衰減最小阻帶衰減dBpp)1 (log2010dBss10log20模擬低通濾波器的歸一化幅度指標(biāo)模擬低通濾波器的歸一化幅度指標(biāo)c11/Ap c s)( jH211過渡比或選擇性參數(shù)過渡比或選擇性參數(shù)分辨參數(shù)分辨參數(shù)spk121AkIIR濾波器設(shè)計(jì)方法

2、濾波器設(shè)計(jì)方法1、解析方法：模擬濾波器、解析方法：模擬濾波器數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器2、數(shù)值方法：計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、數(shù)值方法：計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(a)模擬逼近技術(shù)很成熟模擬逼近技術(shù)很成熟(b)能產(chǎn)生閉式解能產(chǎn)生閉式解(c)模擬濾波器設(shè)計(jì)有大量圖表可查模擬濾波器設(shè)計(jì)有大量圖表可查(d)很多應(yīng)用中需要模擬濾波器的數(shù)字仿真很多應(yīng)用中需要模擬濾波器的數(shù)字仿真n常用的模擬濾波器常用的模擬濾波器 巴特沃茲（巴特沃茲（Butterworth filter） 切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev filter） 橢圓（橢圓（Elliptic filter） 貝塞爾（貝塞爾（Bessel filter）巴特沃斯濾波器巴

3、特沃斯濾波器n階巴特沃斯濾波器階巴特沃斯濾波器1/12ncajHNNnnNaasasasassH122111)(歸一化形式（歸一化形式（ c=1）ai可以查表得到可以查表得到2、-3dB截止頻率：截止頻率： c3、滾降的陡峭度：、滾降的陡峭度：N012300.20.40.60.81MagnitudeButterworth FilterN = 2N = 4N = 10巴特沃斯濾波器的特性巴特沃斯濾波器的特性1、 =0處前處前2N-1階導(dǎo)數(shù)為階導(dǎo)數(shù)為0（最大平坦幅度特性）（最大平坦幅度特性）幅度響應(yīng)與相位響應(yīng)幅度響應(yīng)與相位響應(yīng)在通帶在通帶3/4內(nèi)近似線性相位內(nèi)近似線性相位sHpH巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)

4、巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)確定確定 c和和N已知：已知：psps，22()()appassHjHHjH2212211()(1) , (1)1(/)1apNpcHj 2222211(), (2)1 (/) .asNscpsHjA 其中，：通帶截止頻率； ： 阻帶截止頻率。22101011010log (1)/log (1/). (3)2 log (/)log (1/ ) N(1)(2)spcAkNk 可由和或確定。1 ( )1 1 5 40.apsHsfkHzdBfkHzdB例 ：確定低通濾波器的最低階數(shù)，使其滿足下列指標(biāo)：在通帶內(nèi)具有最大平坦特性，在時(shí)，衰減為；在時(shí)衰減不小于22221101101(1

5、) ,1 10log1,1 0.25895.1 10log40, 10,000 (2) N 1/k196.513341/5000/10005log (1/)3 281102247log (1/)ccAA, AAkkN.k 確定和由此可得：同樣由下式可求得因此，。確定和947.77(sec.)rad /N=4N=10N=21 scp221112 )( AjH4322314/1)(asasasassHcccca(3) 查表得到歸一化系數(shù)，經(jīng)過頻率變換后得到傳輸函數(shù)查表得到歸一化系數(shù)，經(jīng)過頻率變換后得到傳輸函數(shù)切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器1型濾波器（全極點(diǎn)）型濾波器（全極

6、點(diǎn)）)/(11)(222pNaTjH1( )()NcaNllHssp11cos(cos),1()cosh(cosh),1NNTN 切比雪夫多切比雪夫多項(xiàng)式項(xiàng)式幅度響應(yīng)幅度響應(yīng)特點(diǎn)：特點(diǎn)：1、通帶內(nèi)具有等波紋、通帶內(nèi)具有等波紋 2、阻帶內(nèi)單調(diào)下降、阻帶內(nèi)單調(diào)下降012300.20.40.60.81MagnitudeType 1 Chebyshev FilterN = 2N = 3N = 8切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器2 2型濾波器型濾波器222)/()/(11)(sNpsNaTTjH101()( )()NllaNllszHsCsp零極點(diǎn)系統(tǒng)零極點(diǎn)系統(tǒng)幅度響應(yīng)幅度響應(yīng)特點(diǎn)：特點(diǎn)：1 1、通帶內(nèi)單調(diào)

7、下降、通帶內(nèi)單調(diào)下降 2 2、阻帶內(nèi)具有等波紋、阻帶內(nèi)具有等波紋012300.20.40.60.81MagnitudeType 2 Chebyshev FilterN = 3N = 5N = 7012300.20.40.60.81MagnitudeType 1 Chebyshev FilterN = 2N = 3N = 8012300.20.40.60.81MagnitudeButterworth FilterN = 2N = 4N = 10巴特沃斯：巴特沃斯：通通/阻阻帶帶內(nèi)內(nèi)隨頻率隨頻率單調(diào)變化單調(diào)變化 (誤差非均勻分布，某些頻帶指標(biāo)高出要求誤差非均勻分布，某些頻帶指標(biāo)高出要求)切比雪夫：

8、誤差切比雪夫：誤差均勻分布均勻分布在通在通/ /阻阻帶內(nèi)帶內(nèi)實(shí)現(xiàn)相同幅度指標(biāo)，切比雪夫階數(shù)更少實(shí)現(xiàn)相同幅度指標(biāo)，切比雪夫階數(shù)更少橢圓濾波器橢圓濾波器）（pNaRjH/11)(222橢圓函數(shù)橢圓函數(shù)特點(diǎn)：通帶和阻帶具有等波紋特性特點(diǎn)：通帶和阻帶具有等波紋特性( (誤差均勻分布誤差均勻分布) )同樣的性能要求，比前兩種濾波器所需用的同樣的性能要求，比前兩種濾波器所需用的階數(shù)都低階數(shù)都低幾種濾波器比較幾種濾波器比較幅度響應(yīng)幅度響應(yīng)巴特沃斯：通帶和阻帶均具有平滑幅度巴特沃斯：通帶和阻帶均具有平滑幅度切比雪夫切比雪夫I I型：通帶內(nèi)等波紋，阻帶平滑型：通帶內(nèi)等波紋，阻帶平滑切比雪夫切比雪夫IIII型：阻

9、帶內(nèi)等波紋，通帶平滑型：阻帶內(nèi)等波紋，通帶平滑橢圓：通帶、阻帶內(nèi)具有等波紋特性橢圓：通帶、阻帶內(nèi)具有等波紋特性過渡帶寬度過渡帶寬度 巴特沃斯巴特沃斯 切比雪夫切比雪夫 橢圓橢圓相位相位巴特沃斯、切比雪夫：通帶巴特沃斯、切比雪夫：通帶3/43/4內(nèi)近似線性相位內(nèi)近似線性相位橢圓：通帶橢圓：通帶1/21/2內(nèi)近似線性相位內(nèi)近似線性相位線性相位線性相位IIR模擬濾波器模擬濾波器 1、IIR+全通濾波器全通濾波器2、貝塞爾濾波器（、貝塞爾濾波器（Bessel Lowpass Filter）：）： 求解考慮相位約束求解考慮相位約束NNNNssdsdddsBdsH111000)()(通帶近似線性相位通帶近

10、似線性相位貝塞爾多項(xiàng)式貝塞爾多項(xiàng)式h(n) 無限無限設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)h(n)根有限根有限 傳輸函數(shù)入手傳輸函數(shù)入手從何入手設(shè)計(jì)從何入手設(shè)計(jì)IIR濾波器？濾波器？IIR濾波器的解析設(shè)計(jì)濾波器的解析設(shè)計(jì)n傳輸函數(shù)傳輸函數(shù) 根根有限有限低通、高通等如何對(duì)應(yīng)根低通、高通等如何對(duì)應(yīng)根(零極點(diǎn)零極點(diǎn))？n利用已有成熟結(jié)果利用已有成熟結(jié)果 模擬傳輸函數(shù)模擬傳輸函數(shù)( S域域)IIR濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì):S域域Z域域S域域Z域域單位圓單位圓S平面平面Z平面平面映射映射模擬模擬數(shù)字?jǐn)?shù)字IIR濾波器設(shè)計(jì)的雙線性變換法濾波器設(shè)計(jì)的雙線性變換法 目標(biāo)：模擬濾波器目標(biāo)：模擬濾波器 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器要求：要求：s域域穩(wěn)定穩(wěn)定

11、 z域域穩(wěn)定穩(wěn)定 保持保持幅度幅度特性特性s域域 z z域域變換變換常見的常見的s域域z域變換域變換極點(diǎn)變換極點(diǎn)變換ks Tkpes域極點(diǎn)域極點(diǎn)z域極點(diǎn)域極點(diǎn)沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法1111sTsez sst nTh nTg t優(yōu)點(diǎn)：頻率坐標(biāo)變換線性優(yōu)點(diǎn)：頻率坐標(biāo)變換線性 缺點(diǎn)：頻譜混疊缺點(diǎn)：頻譜混疊S域域-Z域域stze例例:利用梯形數(shù)值積分將模擬系統(tǒng)變換為數(shù)字系統(tǒng)利用梯形數(shù)值積分將模擬系統(tǒng)變換為數(shù)字系統(tǒng)tdxty0)()(12 1nxnxTnynynTTnTnnTdxdxdxnTy)1()1(00)()()()(2) 1()()()()()1(00TnxnTxTdxdxnTyTnnT1

12、11( )()2 1TzH zz參數(shù)參數(shù)T表示數(shù)值積分的步長(zhǎng)表示數(shù)值積分的步長(zhǎng) 31/1331( )H ss雙線性變換雙線性變換112 11zsTz雙線性變換：雙線性變換：1111zsz11szs單位圓單位圓S平面平面Z平面平面S平面虛軸平面虛軸Z平面單位圓平面單位圓22111(,)11sbjbjbzzbbjb S左半平面左半平面Z平面單位圓內(nèi)平面單位圓內(nèi)2222(1)1101(1)sabjababjzzaabjab 雙線性變換：雙線性變換：1111zsz11szs單位圓單位圓S平面平面Z平面平面-101tan()12jjeje 單調(diào)單調(diào)：一一一一對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)雙線性變換：模擬頻率雙線性變換：模擬頻

13、率 數(shù)字頻率數(shù)字頻率 非線性非線性：頻率彎折：頻率彎折(低頻提升，高頻壓縮低頻提升，高頻壓縮)特點(diǎn)：特點(diǎn)：kHzrad模擬濾波模擬濾波器器315Hz例：低通濾波器的頻率畸變例：低通濾波器的頻率畸變截止頻率改變截止頻率改變數(shù)字濾波數(shù)字濾波器器雙線性雙線性變換變換185Hz1k采樣采樣 )2tan(2T 例：帶通濾波器的頻率畸變例：帶通濾波器的頻率畸變 數(shù)字?jǐn)?shù)字模擬模擬模擬模擬畸變?nèi)绾蜗炕內(nèi)绾蜗?？頻率指標(biāo)預(yù)扭曲頻率指標(biāo)預(yù)扭曲+=預(yù)扭曲預(yù)扭曲雙線性變換雙線性變換校正后的頻率校正后的頻率2tan2T 數(shù)字頻率指標(biāo)數(shù)字頻率指標(biāo)模擬頻率指標(biāo)模擬頻率指標(biāo)預(yù)扭曲：預(yù)扭曲：低通低通IIR濾波器設(shè)計(jì)濾波器

14、設(shè)計(jì)2、設(shè)計(jì)模擬低通濾波器、設(shè)計(jì)模擬低通濾波器1、數(shù)字低通指標(biāo)、數(shù)字低通指標(biāo) 模擬低通指標(biāo)模擬低通指標(biāo)預(yù)扭曲預(yù)扭曲3、模擬低通濾波器、模擬低通濾波器 數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器雙線性變換雙線性變換例：設(shè)計(jì)一個(gè)低通例：設(shè)計(jì)一個(gè)低通IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器G(z)，性能指標(biāo)如下，性能指標(biāo)如下:1)(0jeG25. 0p55. 0sdBeGpj5 . 0)(log2010dBeGsj015)(log201011/Ap s)( jH211l 1、將數(shù)字截止頻率預(yù)彎折為模擬截止頻率、將數(shù)字截止頻率預(yù)彎折為模擬截止頻率4142136. 0)225. 0tan()2tan(pp1708496. 1)25

15、5. 0tan()2tan(aa1220185. 01015 . 011log2005. 02210622777.3110151log205 . 1210AA8266809. 21psk841979.151121Ak6586997. 2)1(log)1(log10110kkN588148. 011)(1122cNcpl 2、設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器、設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器三階歸一化低通Butterworth傳輸函數(shù):) 1)(1(1)(2ssssHan)345918. 0588148. 0)(588148. 0(203451. 0)()(2ssssHsHcanal3、模擬低通、模擬低通-數(shù)字低通

16、（雙線性變換）數(shù)字低通（雙線性變換）)3917468. 06762858. 01)(2593284. 01 ()1 (0662272. 0)()(211311111zzzzsHzGzzsa高通、帶通、帶阻高通、帶通、帶阻IIR濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì)2、設(shè)計(jì)模擬低通濾波器、設(shè)計(jì)模擬低通濾波器1、數(shù)字頻率指標(biāo)、數(shù)字頻率指標(biāo) 模擬低通頻率指標(biāo)模擬低通頻率指標(biāo)預(yù)扭曲、譜變換預(yù)扭曲、譜變換3、模擬低通、模擬低通 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器雙線性變換、譜變換雙線性變換、譜變換1、數(shù)字高通、數(shù)字高通/帶通帶通/帶阻帶阻模擬低通模擬低通數(shù)字指標(biāo)數(shù)字指標(biāo)同類模擬濾同類模擬濾波器指標(biāo)波器指標(biāo)模擬低通濾模擬低通濾波器指標(biāo)波

17、器指標(biāo)模擬譜模擬譜變換變換預(yù)扭曲預(yù)扭曲3、模擬低通模擬低通數(shù)字高通數(shù)字高通/帶通帶通/帶阻帶阻數(shù)字高通數(shù)字高通/ /帶通帶通/ /帶阻帶阻模擬高通模擬高通/ /帶通帶通/ /帶阻帶阻模擬低通模擬低通模擬譜模擬譜反變換反變換雙線性雙線性反變換反變換實(shí)現(xiàn)方法實(shí)現(xiàn)方法-1( )sF s( )LPHs( )DHs1( )sFs模擬譜變換模擬譜變換 模擬低通模擬低通模擬高通模擬高通/ /帶通帶通/ /帶阻帶阻s平面平面平面平面模擬低通模擬低通模擬高通模擬高通11sjjs pp pp pp模擬低通模擬低通模擬帶通模擬帶通2bbaSaSS p2p112pp00模擬低通模擬低通模擬帶阻模擬帶阻21SbbaaS

18、S ss1s2s1s2s例：例： 高通濾波器的指標(biāo)為：通帶截止頻率高通濾波器的指標(biāo)為：通帶截止頻率Fp=700Hz，阻帶截止頻率，阻帶截止頻率為為Fs=500Hz，通帶波紋，通帶波紋 ，最小阻帶率減，最小阻帶率減 ，抽樣，抽樣頻率為頻率為Ft=2kHz解：解：1、歸一化截止角頻率、歸一化截止角頻率7 . 02TppFF5 . 02TssFF96. 1)27 . 0tan()2tan(pp0 . 1)25 . 0tan()2tan(ss預(yù)扭曲：模擬高通濾波器截止頻率預(yù)扭曲：模擬高通濾波器截止頻率2、高通、高通-低通：模擬低通濾波器歸一化通帶截止頻率為低通：模擬低通濾波器歸一化通帶截止頻率為96.

19、 1spps1p模擬低通濾波器的性能指標(biāo)為：模擬低通濾波器的性能指標(biāo)為：dBp11p96. 1sdBs32dBp1dBs323、設(shè)計(jì)低通切比雪夫?yàn)V波器、設(shè)計(jì)低通切比雪夫?yàn)V波器N,Wn=cheb1ord(1,1.96,1,32,s)B,A=cheby1(N,1,Wn,s)4、模擬低通、模擬低通-模擬高通模擬高通BT,AT=lp2hp(B,A,1.96)5、雙線性變換、雙線性變換num, den=bilinear(BT,AT,0.5)例例7.10 帶通濾波器的指標(biāo)為：通帶截止頻率帶通濾波器的指標(biāo)為：通帶截止頻率 ， 阻阻帶截止頻率為帶截止頻率為 ， ，通帶波紋，通帶波紋 ，最小阻帶，最小阻帶率減率

20、減解：解：1、模擬帶通濾波器截止頻率、模擬帶通濾波器截止頻率85. 0)245. 0tan()2tan(11pp51. 0)23 . 0tan()2tan(11ss2、模擬帶通、模擬帶通-模擬低通模擬低通dBp1dBs4045. 01p65. 02p3 . 01s75. 02s63. 1)275. 0tan()2tan(22pp41. 2)275. 0tan()2tan(22ss2021211222012202sspppppppssps如不滿足對(duì)稱條件：如不滿足對(duì)稱條件：1、增加、增加 ，通帶大于要求的通帶，通帶大于要求的通帶2、調(diào)整、調(diào)整 ，通帶寬度不變，左邊過渡帶小于原值，通帶寬度不變，左

21、邊過渡帶小于原值58. 01s1p3、設(shè)計(jì)低通巴特沃茲濾波器、設(shè)計(jì)低通巴特沃茲濾波器N,Wn=buttord(1,2.36,1,40,s)B,A=butter(N,Wn,s)4、模擬低通、模擬低通-模擬高通模擬高通BT,AT=lp2hp(B,A,1.18,0.78)5、雙線性變換、雙線性變換num, den=bilinear(BT,AT,0.5)選擇模擬低通濾波器通帶截止頻率為選擇模擬低通濾波器通帶截止頻率為1，則其性能指標(biāo)為：，則其性能指標(biāo)為：1p36. 278. 058. 033. 039. 1sdBp1dBs401、數(shù)字高通、數(shù)字高通/帶通帶通/帶阻帶阻模擬低通模擬低通數(shù)字指標(biāo)數(shù)字指標(biāo)同

22、類模擬濾同類模擬濾波器指標(biāo)波器指標(biāo)模擬低通濾模擬低通濾波器指標(biāo)波器指標(biāo)模擬譜模擬譜變換變換預(yù)扭曲預(yù)扭曲3、模擬低通模擬低通數(shù)字高通數(shù)字高通/帶通帶通/帶阻帶阻實(shí)現(xiàn)方法實(shí)現(xiàn)方法-2數(shù)字高通數(shù)字高通/ /帶通帶通/ /帶阻帶阻數(shù)字低通數(shù)字低通模擬低通模擬低通數(shù)字譜數(shù)字譜變換變換雙線性雙線性反變換反變換數(shù)字低通數(shù)字低通與與數(shù)字高通數(shù)字高通/帶通帶通/帶阻帶阻的關(guān)系的關(guān)系-|H|H|H|2-43-3-24|H|2-43-3-24|H|2-43-3-24|H|數(shù)字譜變換數(shù)字譜變換： 模擬低通模擬低通模擬高通、帶通、帶阻模擬高通、帶通、帶阻( )LGz( )DGz) (zFz )(1zFzz平面平面平面平

23、面 z) (zFz 需滿足：需滿足：平面內(nèi)部平面內(nèi)部(穩(wěn)定穩(wěn)定)u z平面內(nèi)部平面內(nèi)部 z) (zFz u 為有理函數(shù)為有理函數(shù)) (zFz u z平面單位圓平面單位圓平面單位圓平面單位圓 z111111) (zifzifzifzF為全通函數(shù)為全通函數(shù)1/( )F z低通低通低通低通1111zzz零極圖零極圖低通低通高通高通1111zzz 零極圖零極圖低通低通帶通帶通21121211112111zzzzz 低通低通帶阻帶阻21121211112111zzzzzn解析的方法：解析的方法：S域域Z域的變換域的變換模擬濾波器的選擇模擬濾波器的選擇映射變換的選擇映射變換的選擇如何通過數(shù)值方法設(shè)計(jì)？如何通過數(shù)值方法設(shè)計(jì)？IIR濾波器的數(shù)值設(shè)計(jì)濾波器的數(shù)值設(shè)計(jì)nIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器數(shù)值設(shè)計(jì)數(shù)值設(shè)計(jì)1101111011.( )( )( ).MMNNbb zbzY zH zX zaa zaz11000NMiiiia y nib x ni對(duì)應(yīng)差分方程對(duì)應(yīng)差分方程1111011011( )(.)( )(.)NMNMY z aa zazX z bb zbz1100( )( )0NMiiiiiia z Y zb z X z11001100110012.110220.K0NMiiiiNMiiiiNMiiiia yib xia yib xia