垂徑定理通用課件PPT[通用]

1、趙州石拱橋 1300多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離,也叫弓形高)為7.2m,求橋拱的半徑(精確到0.1m).垂直于弦的直徑 （垂徑定理） 實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？圓是軸對稱圖形，判斷：任意一條直徑都是圓的對稱軸（ ）X任何一條直徑所在的直線都是對稱軸。如圖，AB是O的一條弦，做直徑CD，使CDAB，垂足為E（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和??？為什么？OABCDE思考（1）是軸對稱圖形

2、直徑CD所在的直線是它的對稱軸（2） 線段： AE=BE?。?，CAEBO.D總結(jié)：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦對的兩條弧。CD為O的直徑CDAB 條件結(jié)論AE=BEAC=BCAD=BD應(yīng)用垂徑定理的書寫步驟定理 垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.OABCDMCDAB, CD是直徑,AM=BM, AC =BC, AD =BD.引申定理定理中的徑可以是直徑、半徑、弦心距等過圓心的直線或線段。從而得到垂徑定理的變式：一條直線具有： 平分弦 經(jīng)過圓心垂直于弦可推得 平分弦所對的劣（優(yōu)）弧EOABDCEABCDEOABDCEOABCEOCDAB 練習(xí)1OBAED在下列圖形，符合

3、垂徑定理的條件嗎？O垂徑定理的幾個基本圖形判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？注意：定理中的兩個條件（直徑，垂直于弦）缺一不可！ ABCDEABDC條件CD為直徑結(jié)論AC=BCAD=BDCDABCDABAE=BE平分弦 的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。ú皇侵睆剑┐箯蕉ɡ淼耐普?:CDAB嗎？(E)“知二推三” (1)垂直于弦 (2)過圓心 (3)平分弦 (4)平分弦所對的優(yōu)弧 (5)平分弦所對的劣弧注意:當具備了(1)(3)時,應(yīng)對另一 條弦增加”不是直徑”的限制.你可以寫出相應(yīng)的命題嗎?相信自己是最棒的!垂徑定理的推論 如圖,在下列五個條件中:只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結(jié)論.

4、OABCDM CD是直徑, AM=BM, CDAB,AC=BC,AD=BD.垂徑定理及推論OABCDM條件結(jié)論命題垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平 分弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧. 垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,并且平分弦和所對的另一條弧.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對的另一條弧.平分弦所對的兩條弧的直線經(jīng)過圓心,并且垂直平分弦.一、判斷是非：（1）平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧。（2）

5、平分弦的直線，必定過圓心。（3）一條直線平分弦（這條弦不是直徑）， 那么這 條直線垂直這條弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分線一定是圓的直徑。（5）平分弧的直線，平分這條弧所對的 弦。（6）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直徑垂直于弦弦心距：過一個圓的圓心作弦的垂線,圓心與垂足之間的距離叫做弦心距如圖：圓O中，AB是圓O中的一條弦，其中OCAB圓心到弦的距離用d表示，半徑用r表示，弦長用a表示，則d，r，a之間滿足什么樣的關(guān)系呢？ 8cm1半徑為4cm的O中，弦AB=4cm, 那么圓心O到弦AB

6、的距離是 。2O的直徑為10cm，圓心O到弦AB的 距離為3cm，則弦AB的長是 。3半徑為2cm的圓中，過半徑中點且 垂直于這條半徑的弦長是 。 練習(xí) 1ABOEABOEOABE垂徑定理的應(yīng)用1.如圖,在O中,弦AB的長為8cm,圓心到AB的距離為3cm,則O的半徑為 . 練習(xí) 2：ABOC5cm342.弓形的弦長AB為24cm，弓形的高CD為8cm，則這弓形所在圓的半徑為. 13cm(1)題(2)題128方法歸納: 解決有關(guān)弦的問題時，經(jīng)常連接半徑；過圓心作一條與弦垂直的線段等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。 垂徑定理經(jīng)常和勾股定理結(jié)合使用。E.ACDBO.ABO3、如圖，P為O的弦BA延

7、長線上一點，PAAB2，PO5，求O的半徑。關(guān)于弦的問題，常常需要過圓心作弦心距，這是一條非常重要的輔助線。弦心距、半徑、半弦長構(gòu)成直角三角形，便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。MAPBOA解：如圖，設(shè)半徑為R，在tAOD中，由勾股定理，得解得 R27.9（m）.答：趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.D37.47.2趙州橋主橋拱的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m, 拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？AB=37.4,CD=7.2R18.7R-7.2再逛趙州石拱橋1如圖，在O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑OABE練習(xí)解：答：O的半徑

8、為5cm.活 動 三在RtAOE中變式：圖中兩圓為同心圓變式3：隱去（變式1）中的大圓，得右圖連接OA，OB，設(shè)OA=OB，AC、BD有什么關(guān)系？為什么？變式4：隱去（變式1）中的大圓，得右圖，連接OC，OD，設(shè)OC=OD，AC、BD有什么關(guān)系？為什么？變式1：AC與BD有什么關(guān)系？變式2：ACBD依然成立嗎 2如圖，在O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E，求證四邊形ADOE是正方形DOABCE證明：四邊形ADOE為矩形，又AC=AB AE=AD 四邊形ADOE為正方形. OEAC ODABE已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點。求證：ACBD。.ACDBO圖課 堂 練 習(xí)已知P為O內(nèi)一點,且OP=2cm,如果O的半徑是3cm,那么過P點的最短的弦等于_小 結(jié)直徑平分弦 直徑垂直于弦=直徑平分弦所對的弧 直徑垂直于弦 直徑平分弦（不是直徑）