自動(dòng)控制原理_王建輝 第四章

1、東北大學(xué)東北大學(xué)自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理課程組課程組東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組2 主要內(nèi)容主要內(nèi)容n根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念n根軌跡的繪制法則根軌跡的繪制法則n用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性n小結(jié)小結(jié)東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組3學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)v了解根軌跡的基本特性和相關(guān)概念了解根軌跡的基本特性和相關(guān)概念v了解根軌跡的類(lèi)型劃分，熟練掌握根軌跡的分了解根軌跡的類(lèi)型劃分，熟練掌握根軌跡的分類(lèi)原則類(lèi)原則v掌握根軌跡的繪制法則，并能夠熟練地應(yīng)用到掌握根軌跡的繪制法則，并能夠熟練地應(yīng)用到根軌跡的繪制過(guò)程中根軌跡的繪制過(guò)程中v學(xué)會(huì)應(yīng)用主導(dǎo)極點(diǎn)、偶極子等概念近似分析系學(xué)會(huì)應(yīng)

2、用主導(dǎo)極點(diǎn)、偶極子等概念近似分析系統(tǒng)的性能統(tǒng)的性能v了解根軌跡形狀與系統(tǒng)性能指標(biāo)之間的關(guān)系了解根軌跡形狀與系統(tǒng)性能指標(biāo)之間的關(guān)系東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組4根軌跡法根軌跡法 一種由一種由傳遞函數(shù)求傳遞函數(shù)求特征根的簡(jiǎn)便方法。特征根的簡(jiǎn)便方法。它是一種用圖解方法表示特征根與系統(tǒng)參數(shù)的全部它是一種用圖解方法表示特征根與系統(tǒng)參數(shù)的全部數(shù)值關(guān)系的方法。數(shù)值關(guān)系的方法。 19481948年，由伊文思（年，由伊文思（W.R.EvansW.R.Evans）提出。）提出。根軌跡法的任務(wù)根軌跡法的任務(wù) 由已知的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)和根軌跡增益，用圖解方由已知的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)和根軌跡增益，用圖解方法確定閉環(huán)極點(diǎn)。法確定閉環(huán)極點(diǎn)

3、。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組5根軌跡根軌跡 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的某一個(gè)參數(shù)從零系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的某一個(gè)參數(shù)從零變化到無(wú)窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根變化到無(wú)窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在在 S S 平面上的變化軌跡。平面上的變化軌跡。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組6)15 .0(ssK例例4.1 二階系統(tǒng)的根軌跡二階系統(tǒng)的根軌跡閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程特征方程閉環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)2( )220D sssK22( )22BKWsssK1211 211 2sKsK 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組7 研究開(kāi)環(huán)放大系數(shù)研究開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K K與閉環(huán)特征根的關(guān)系。當(dāng)取不同與閉環(huán)特征根的關(guān)系。當(dāng)取不同K K值值時(shí)

4、，算得閉環(huán)特征根如下：時(shí)，算得閉環(huán)特征根如下：K K0 00 0-2-20.50.5-1-1-1-11 1-1+j-1+j-1-j-1-j2 2-1+j-1+j-1-j-1-j-1+j-1+j-1-j-1-j1s332s東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組8K K由由00變化時(shí)，閉環(huán)特征根在變化時(shí)，閉環(huán)特征根在S S平面上移動(dòng)的平面上移動(dòng)的軌跡如下圖所示。這就是該系統(tǒng)的根軌跡。軌跡如下圖所示。這就是該系統(tǒng)的根軌跡。根軌跡直觀地表示了根軌跡直觀地表示了參數(shù)參數(shù)K K變化時(shí)，閉環(huán)特變化時(shí)，閉環(huán)特征根的變化，并且還征根的變化，并且還給出了參數(shù)給出了參數(shù)K K對(duì)閉環(huán)特對(duì)閉環(huán)特征根在征根在S S平面上分布的平面上

5、分布的影響。影響。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組9根軌跡方程根軌跡方程控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù))()()()()()()()()(11212121sDsNKpszsKsDsDsNsNKKsWgnjjmiigK東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組10式中：式中： 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)；開(kāi)環(huán)零點(diǎn)； 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式為閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式為或可寫(xiě)作或可寫(xiě)作izjp( )11( )0( )gKK N sWsD s gnjjmiiKpszssDsN1)()()()(11東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組11 這個(gè)方程式表達(dá)了開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)這個(gè)方程式表達(dá)了開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特征方程式的關(guān)

6、系，該方程的解即為閉環(huán)特征特征方程式的關(guān)系，該方程的解即為閉環(huán)特征根，因此該式又稱(chēng)為根，因此該式又稱(chēng)為根軌跡方程根軌跡方程。 上式是一個(gè)復(fù)數(shù)，可表示成幅值和輻角的上式是一個(gè)復(fù)數(shù)，可表示成幅值和輻角的形式，則根軌跡方程又可分別表示成：形式，則根軌跡方程又可分別表示成：gnjjmiiKpszssDsN1)()()()(11東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組12幅值條件：幅值條件： 1111()()miiiinjjjjszlN sD sLsp1gssK開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)到 點(diǎn)的矢量長(zhǎng)度之積開(kāi)環(huán)極點(diǎn)到 點(diǎn)的矢量長(zhǎng)度之積東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組13輻角條件：（充分必要條件）輻角條件：（充分必要條件）式中：式中： 開(kāi)

7、環(huán)有限零點(diǎn)到開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)到s s點(diǎn)的矢量輻角；點(diǎn)的矢量輻角； 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)到開(kāi)環(huán)極點(diǎn)到s s點(diǎn)的矢量輻角；點(diǎn)的矢量輻角； 滿(mǎn)足幅值條件和輻角條件的滿(mǎn)足幅值條件和輻角條件的s s值，就是特征方程式的值，就是特征方程式的根，也就是閉環(huán)極點(diǎn)。根，也就是閉環(huán)極點(diǎn)。 1111()()mnmnijijijijN sszspD s180 (12 )(0,1,2,)o ij東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組14 因?yàn)橐驗(yàn)?在在0范圍內(nèi)連續(xù)變化，總有一范圍內(nèi)連續(xù)變化，總有一個(gè)值能滿(mǎn)足幅值條件。所以，繪制根軌跡的個(gè)值能滿(mǎn)足幅值條件。所以，繪制根軌跡的依據(jù)是輻角條件。依據(jù)是輻角條件。 利用幅值條件計(jì)算利用幅值條件計(jì)算 值比較方

8、便，它可值比較方便，它可以作為計(jì)算以作為計(jì)算 值的依據(jù)。值的依據(jù)。gKgKgK東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組15 繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟（1 1）求出）求出 和和 時(shí)的特征根；時(shí)的特征根；（2 2）根據(jù)繪制法則大致畫(huà)出）根據(jù)繪制法則大致畫(huà)出 時(shí)的根軌跡時(shí)的根軌跡草圖；草圖；（3 3）利用輻角條件，對(duì)根軌跡的某些重要部分精確）利用輻角條件，對(duì)根軌跡的某些重要部分精確繪制繪制。0gK gK 0gK 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組16 4.2.1 4.2.1 繪制根軌跡的一般法則繪制根軌跡的一般法則1 1 起點(diǎn)（起點(diǎn)（ ） 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式等效為時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式等效為上式即

9、為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的特征方程式。所以，當(dāng)上式即為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的特征方程式。所以，當(dāng) = 0= 0時(shí)，時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)也就是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。閉環(huán)極點(diǎn)也就是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。0gK gK0gK njjpssD10)()(東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組17 2. 2. 終點(diǎn)終點(diǎn)（ ）當(dāng)當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式等效為時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式等效為上式表明，當(dāng)上式表明，當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)也就是開(kāi)環(huán)有限零時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)也就是開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)。點(diǎn)。 今設(shè)今設(shè) 為為m階方程，故有階方程，故有m個(gè)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)決定個(gè)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)決定了閉環(huán)極點(diǎn)的位置，尚有了閉環(huán)極點(diǎn)的位置，尚有n-m個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，隨著個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，隨著 ，它們都趨向無(wú)限遠(yuǎn)（無(wú)限零點(diǎn)）它們都

10、趨向無(wú)限遠(yuǎn)（無(wú)限零點(diǎn)）。gK gK gK gK miizssN10)()( N s東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組18 3. 3. 根軌跡分支數(shù)和它的對(duì)稱(chēng)性根軌跡分支數(shù)和它的對(duì)稱(chēng)性 根軌跡分支數(shù)取決于閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式根軌跡分支數(shù)取決于閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式中中s s的最高次項(xiàng)，即為的最高次項(xiàng)，即為max(n,m)條。條。 閉環(huán)系統(tǒng)的特征根只有實(shí)數(shù)根和共軛復(fù)根，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根只有實(shí)數(shù)根和共軛復(fù)根，故根軌跡都對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸故根軌跡都對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組19 4實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡 根軌跡左側(cè)的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到根軌跡的矢量輻角根軌跡左側(cè)的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到根軌跡的矢量輻角總為零；復(fù)平

11、面上的所有零、極點(diǎn)是共軛的，它們到總為零；復(fù)平面上的所有零、極點(diǎn)是共軛的，它們到實(shí)軸上根軌跡的矢量輻角之和也總為零。根軌跡右側(cè)實(shí)軸上根軌跡的矢量輻角之和也總為零。根軌跡右側(cè)的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到根軌跡的矢量輻角均為的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到根軌跡的矢量輻角均為180180 。結(jié)論：結(jié)論：在實(shí)軸上根軌跡分支存在的區(qū)間的右側(cè)，開(kāi)環(huán)在實(shí)軸上根軌跡分支存在的區(qū)間的右側(cè)，開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目的總和為奇數(shù)。零、極點(diǎn)數(shù)目的總和為奇數(shù)。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組20 證明：證明：設(shè)設(shè) 為實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)目，為實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)目， 為實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目，為實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目，

12、 由輻角條件由輻角條件 整理得整理得 所以，實(shí)軸上存在根軌跡的條件應(yīng)滿(mǎn)足所以，實(shí)軸上存在根軌跡的條件應(yīng)滿(mǎn)足11(1 2 )mnijzpijNN ()2()(12 )zzzpzzpNNNNNNN ), 2, 1, 0(21pzNNzNpN東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組21例如下圖所示，對(duì)于根軌跡例如下圖所示，對(duì)于根軌跡 ；對(duì)根軌跡對(duì)根軌跡 ；對(duì)根軌跡；對(duì)根軌跡 。它們都是奇數(shù)。它們都是奇數(shù)。,11,0zppzA NNNN,5zpC NN,3zpB NN東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組225 5分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn) 兩條或兩條以上的根軌跡分支在兩條或兩條以上的根軌跡分支在 s s 平面上相遇又立即平

13、面上相遇又立即分開(kāi)的點(diǎn)稱(chēng)為分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。分開(kāi)的點(diǎn)稱(chēng)為分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。 在下圖上畫(huà)出了兩條根軌跡。我們把在下圖上畫(huà)出了兩條根軌跡。我們把a(bǔ) a點(diǎn)叫做分離點(diǎn)，點(diǎn)叫做分離點(diǎn)，b b點(diǎn)叫做會(huì)合點(diǎn)。它們表示當(dāng)點(diǎn)叫做會(huì)合點(diǎn)。它們表示當(dāng) ，特征方程式，特征方程式會(huì)出現(xiàn)重根。會(huì)出現(xiàn)重根。 12ssss或時(shí)東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組23 ( )1( )10( )1( )( )( )0KgKgN sWsKD sWsK N sD s 0)()( )()( sDsNsNsD 分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）的坐標(biāo)分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）的坐標(biāo) 由下列方程所決定由下列方程所決定ds整理得整理得東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組24說(shuō)明：說(shuō)明

14、： 用分離點(diǎn)方程式求解后，需將所求結(jié)果代用分離點(diǎn)方程式求解后，需將所求結(jié)果代入特征方程式中驗(yàn)算。只有當(dāng)與之對(duì)應(yīng)的入特征方程式中驗(yàn)算。只有當(dāng)與之對(duì)應(yīng)的 值為值為正值時(shí)，這些分離點(diǎn)才是實(shí)際的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。正值時(shí)，這些分離點(diǎn)才是實(shí)際的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。gK東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組25n如果實(shí)軸上相鄰開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間存在根軌跡，如果實(shí)軸上相鄰開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間存在根軌跡，則在此區(qū)間上必有分離點(diǎn)。則在此區(qū)間上必有分離點(diǎn)。n如果實(shí)軸上相鄰開(kāi)環(huán)零點(diǎn)之間存在根軌跡，如果實(shí)軸上相鄰開(kāi)環(huán)零點(diǎn)之間存在根軌跡，則在此區(qū)間上必有會(huì)合點(diǎn)。則在此區(qū)間上必有會(huì)合點(diǎn)。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組26 例例4-2 已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為已知

15、開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 式中，式中， ，求分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。，求分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。112( )()( )( )()()ggKK N sKszWsD sspsp1120,0gKzpp解解 由已知：由已知：1)(zssN)()(21pspssD12( )(2)D sspp( )1N s東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組27 代入分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)方程，有代入分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)方程，有由此得分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)分別為由此得分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)分別為( )( )( ) ( )D s N sN s D s12112(2)()()()0sppszspsp)(211111pzpzzs)(211112pzpzzs東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組28該系統(tǒng)

16、的根軌跡圖如下圖所示。該系統(tǒng)的根軌跡圖如下圖所示。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組296 根軌跡的漸近線(xiàn)根軌跡的漸近線(xiàn) 研究根軌跡是按什么走向趨向無(wú)窮遠(yuǎn)。研究根軌跡是按什么走向趨向無(wú)窮遠(yuǎn)。 當(dāng)當(dāng) nm 時(shí)，則有（時(shí)，則有（n-m) 條根軌跡分支終止于條根軌跡分支終止于無(wú)限零點(diǎn)無(wú)限零點(diǎn)。這些趨向無(wú)窮遠(yuǎn)的根軌跡分支的漸近。這些趨向無(wú)窮遠(yuǎn)的根軌跡分支的漸近線(xiàn)由與實(shí)軸的線(xiàn)由與實(shí)軸的夾角夾角和和交點(diǎn)交點(diǎn)來(lái)確定。來(lái)確定。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組30180 (12 )(0,1,2,)nm無(wú)窮遠(yuǎn)處的特征根，到無(wú)窮遠(yuǎn)處的特征根，到S平面上所有開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)和極點(diǎn)平面上所有開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)和極點(diǎn)的矢量輻角都相等，均為的矢

17、量輻角都相等，均為 ，即，即ji1118012mnijijmn 獨(dú)立的漸近線(xiàn)只有（獨(dú)立的漸近線(xiàn)只有（n-m）條。）條。（1）漸近線(xiàn)的傾角）漸近線(xiàn)的傾角代入輻角條件得代入輻角條件得即漸近線(xiàn)的傾角為即漸近線(xiàn)的傾角為東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組31gnjjnjnjnmiimimimnjjmiiKpspszszspszssDsN1)()()()(11111111111111()n mnmkgn mn mjijisKspzs當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，即得，即得ksskjipz（2）漸近線(xiàn)的交點(diǎn)）漸近線(xiàn)的交點(diǎn)k由幅值條件由幅值條件東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組32令上式中等式兩邊的項(xiàng)系數(shù)相等，令上式中等式兩邊的項(xiàng)系數(shù)相

18、等，即得即得漸近線(xiàn)的漸近線(xiàn)的交點(diǎn)交點(diǎn)mnzpmiinjjk11由于由于 和和 是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，故是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，故 必為實(shí)數(shù)，必為實(shí)數(shù)，因此因此漸近線(xiàn)交點(diǎn)總在實(shí)軸上漸近線(xiàn)交點(diǎn)總在實(shí)軸上。jpizk東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組33例例4-3 4-3 設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為)4)(1()(sssKsWgK180 (12 )180 (12 )60 ,60 ,18030nm 試確定其根軌跡漸近線(xiàn)。試確定其根軌跡漸近線(xiàn)。解解 （1 1）計(jì)算漸近線(xiàn)傾角。）計(jì)算漸近線(xiàn)傾角。 因?yàn)橐驗(yàn)?, ,所以所以可得漸近線(xiàn)傾角為可得漸近線(xiàn)傾角為0,3mn東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組34111405303nmji

19、jikpznm 因?yàn)橐驗(yàn)?；所以漸近線(xiàn)交點(diǎn)為所以漸近線(xiàn)交點(diǎn)為0120,1,4;0,3pppmn（2）計(jì)算漸近線(xiàn)交點(diǎn)。）計(jì)算漸近線(xiàn)交點(diǎn)。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組357 根軌跡的出射角和入射角根軌跡的出射角和入射角出射角出射角 ：根軌跡離開(kāi)：根軌跡離開(kāi)S S平面上開(kāi)環(huán)極點(diǎn)處的切平面上開(kāi)環(huán)極點(diǎn)處的切線(xiàn)與實(shí)軸的夾角。線(xiàn)與實(shí)軸的夾角。入射角入射角 ：根軌跡進(jìn)入：根軌跡進(jìn)入S S平面上開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處的切平面上開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處的切線(xiàn)與實(shí)軸的夾角。線(xiàn)與實(shí)軸的夾角。scsr東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組36例例4-4 已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試計(jì)算起點(diǎn)（試計(jì)算起點(diǎn)（-1+j1）的斜率。）的斜率。)22)(3()

20、2()(2sssssKsWgK東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組37把以上諸值代入輻角條件，即得起點(diǎn)（把以上諸值代入輻角條件，即得起點(diǎn)（-1+j1）的出射角為）的出射角為解解 令令 稍為增大，在（稍為增大，在（-1+j1）附近的特征根）附近的特征根 應(yīng)滿(mǎn)足輻應(yīng)滿(mǎn)足輻角條件，即角條件，即ksks11234()180 (12 ) 426.6 112345 ,135 ,26.690，解得解得東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組38111180nmscjiji111180nmsrjiji同理可得同理可得入射角入射角的計(jì)算公式為的計(jì)算公式為通過(guò)這個(gè)例子，可以得到計(jì)算通過(guò)這個(gè)例子，可以得到計(jì)算出射角出射角的公式為的公式為東

21、北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組39 8根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 根軌跡與虛軸相交時(shí)，特征方程式的根根軌跡與虛軸相交時(shí)，特征方程式的根 ，此時(shí)系，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，令此時(shí)的統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，令此時(shí)的 。由此可計(jì)算對(duì)應(yīng)的。由此可計(jì)算對(duì)應(yīng)的臨界放大系數(shù)臨界放大系數(shù) 值。值。 確定交點(diǎn)的方法：確定交點(diǎn)的方法： （1 1）把）把 代入特征方程式；代入特征方程式； （2 2）利用勞斯判據(jù)）利用勞斯判據(jù)。 sj lKglKKsj 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組40例例4-5 設(shè)有開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)有開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，并計(jì)算臨界放大系數(shù)。試確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，并計(jì)算臨界放

22、大系數(shù)。 2( )(1)(0.51)(1)(2)KKKKKWss sss ss32( )3220KF ssssK假設(shè)假設(shè) 時(shí)根軌跡與虛軸相交，于是令上式中時(shí)根軌跡與虛軸相交，于是令上式中sjKlKK解解 方法（方法（1 1） 根據(jù)給定的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，可得特征方程式為根據(jù)給定的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，可得特征方程式為東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組41 則得則得 亦即亦即 解得：解得： ， ，對(duì)應(yīng)根軌跡的起點(diǎn)；，對(duì)應(yīng)根軌跡的起點(diǎn)； ， ，對(duì)應(yīng)根軌跡與虛軸相交。，對(duì)應(yīng)根軌跡與虛軸相交。 交點(diǎn)處的（臨界放大系數(shù)）為交點(diǎn)處的（臨界放大系數(shù)）為 0KK3KK00)2(32)(32jKjFl2323020lK2 3lK

23、東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組42方法（方法（2 2） 用勞斯判據(jù)計(jì)算交點(diǎn)和臨界放大系數(shù)用勞斯判據(jù)計(jì)算交點(diǎn)和臨界放大系數(shù)3213s2s2KK1s223KK0s2KK32( )3220KF ssssK勞斯表勞斯表特征方程特征方程?hào)|北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組43在第一列中，令在第一列中，令 行等于零，則得臨界放大系數(shù)行等于零，則得臨界放大系數(shù) 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可根據(jù)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可根據(jù) 行的輔助方程求得，即行的輔助方程求得，即 令上式中令上式中 ，即得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為，即得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為 3KK2sj 2s2320KsK3KlKK1s東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組44 9 根軌跡的走向根軌跡

24、的走向 如果特征方程的階次如果特征方程的階次 ，則一些根軌跡右行時(shí)，則一些根軌跡右行時(shí)，另一些根軌跡必左行另一些根軌跡必左行 。說(shuō)明：把特征方程式改為說(shuō)明：把特征方程式改為式中：式中： 是一個(gè)常數(shù)，它是各特征根之和。這表明，是一個(gè)常數(shù)，它是各特征根之和。這表明，隨著隨著 值改變，一些特征根增大時(shí)，另一些特征根必減小。值改變，一些特征根增大時(shí)，另一些特征根必減小。 2mn 1111()0nnnkjnjWssRsa sanjjRa11gK東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組45根軌跡繪制法則歸納如下：根軌跡繪制法則歸納如下：（1 1）起點(diǎn)（起點(diǎn)（ ）。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)即根軌跡）。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)即根軌跡

25、的起點(diǎn)。的起點(diǎn)。（2 2）終點(diǎn)（終點(diǎn)（ ）。根軌跡的終點(diǎn)即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)）。根軌跡的終點(diǎn)即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)（包括的零點(diǎn)（包括 個(gè)有限零點(diǎn)和個(gè)有限零點(diǎn)和 個(gè)無(wú)限零個(gè)無(wú)限零點(diǎn)）。點(diǎn)）。（3 3）根軌跡數(shù)目及對(duì)稱(chēng)性。根軌跡數(shù)目為根軌跡數(shù)目及對(duì)稱(chēng)性。根軌跡數(shù)目為 ，根軌跡對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。根軌跡對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。（4 4）實(shí)軸上的根軌跡。實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的零點(diǎn)、實(shí)軸上的根軌跡。實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的零點(diǎn)、極點(diǎn)之和應(yīng)是奇數(shù)。極點(diǎn)之和應(yīng)是奇數(shù)。0gKgK max( ,)n mnmm東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組46（5 5）分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)。分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)滿(mǎn)足方程）分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)。分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)滿(mǎn)足方程 0)()( )()(

26、sDsNsNsD（6 6）根軌跡的漸近線(xiàn)。根軌跡的漸近線(xiàn)。 漸近線(xiàn)的傾角漸近線(xiàn)的傾角 180 (12 )(0,1,2,)nm漸近線(xiàn)交點(diǎn)漸近線(xiàn)交點(diǎn) 11nmjijikpznm東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組47（9 9）根軌跡走向。根軌跡走向。 如果特征方程的階次如果特征方程的階次 ，則一些根軌跡，則一些根軌跡右行時(shí)，另一些根軌跡必左行右行時(shí)，另一些根軌跡必左行。2mn（8 8）根軌跡與虛軸交點(diǎn)。把根軌跡與虛軸交點(diǎn)。把 代入特征方程式代入特征方程式 ，即，即可解出交點(diǎn)處的臨界可解出交點(diǎn)處的臨界 值和交點(diǎn)坐標(biāo)。值和交點(diǎn)坐標(biāo)。sj gK入射角入射角njmiijosr111180111180njmiijos

27、c出射角出射角（7 7）根軌跡的出射角與入射角。根軌跡的出射角與入射角。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組48 4.2.2 4.2.2 自動(dòng)控制系統(tǒng)的根軌跡自動(dòng)控制系統(tǒng)的根軌跡1. 1. 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) 設(shè)二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。它的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。它的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為( )1(1)()gKKKKWssTss sT東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組49二階系統(tǒng)的根軌跡圖如右圖所示。二階系統(tǒng)的根軌跡圖如右圖所示。gK如果要使得系統(tǒng)的阻尼比為如果要使得系統(tǒng)的阻尼比為 21則從原點(diǎn)作阻尼線(xiàn)則從原點(diǎn)作阻尼線(xiàn)0R, 交根軌跡于交根軌跡于R（見(jiàn)右圖）。（見(jiàn)右圖）。 開(kāi)環(huán)放大系數(shù)開(kāi)環(huán)放大系

28、數(shù) 應(yīng)為應(yīng)為 KK12KKT上式和第三章第三節(jié)用分析法所得的二階工程最佳上式和第三章第三節(jié)用分析法所得的二階工程最佳參數(shù)相同參數(shù)相同 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組50 2 2開(kāi)環(huán)具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)開(kāi)環(huán)具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng) 二階系統(tǒng)增加一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。二階系統(tǒng)增加一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。 它的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為它的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為)2 . 0()() 15(2 . 0)()(ssasKssasKsWgK東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組51由下圖知，復(fù)平面上的根軌跡是一個(gè)圓（證明詳見(jiàn)教材）。由下圖知，復(fù)平面上的根軌跡是一個(gè)圓（證明詳見(jiàn)教材）。這個(gè)圓與實(shí)軸的交點(diǎn)即為這個(gè)圓與實(shí)軸的交點(diǎn)即為

29、分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)：分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)： aaas2 . 021aaas2 . 022 本例說(shuō)明：正向通道內(nèi)適當(dāng)引進(jìn)零點(diǎn)，將使根軌跡向左偏移，本例說(shuō)明：正向通道內(nèi)適當(dāng)引進(jìn)零點(diǎn)，將使根軌跡向左偏移，能改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)。能改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)。時(shí)的根軌跡圖時(shí)的根軌跡圖 1a 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組523. 三階系統(tǒng)三階系統(tǒng) 二階系統(tǒng)附加一個(gè)極點(diǎn)的系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所二階系統(tǒng)附加一個(gè)極點(diǎn)的系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。它的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為示。它的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為( )(1)(1)(1)()KKgKWss sTsKs ssa在在 時(shí)，分離點(diǎn)為時(shí)，分離點(diǎn)為 和和 。因?yàn)樵凇Ｒ驗(yàn)樵?1-4之間不可能有根軌跡，故分離點(diǎn)應(yīng)為之

30、間不可能有根軌跡，故分離點(diǎn)應(yīng)為 。4a 467. 01s87. 22s467. 01s東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組53當(dāng)當(dāng) 時(shí)，根軌跡與虛軸交點(diǎn)為時(shí)，根軌跡與虛軸交點(diǎn)為對(duì)應(yīng)的根軌跡放大系數(shù)為對(duì)應(yīng)的根軌跡放大系數(shù)為考慮到考慮到 ，于是得臨界開(kāi)，于是得臨界開(kāi)環(huán)放大系數(shù)為環(huán)放大系數(shù)為根軌跡繪于右圖。根軌跡繪于右圖。4a 220gKlgKK45420lK本例說(shuō)明：在二階系統(tǒng)中附加一個(gè)極點(diǎn)，隨著本例說(shuō)明：在二階系統(tǒng)中附加一個(gè)極點(diǎn)，隨著 增大，增大，根軌跡會(huì)向右變化，并穿過(guò)虛軸，使系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定。根軌跡會(huì)向右變化，并穿過(guò)虛軸，使系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定。 gK東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組54 4 4 具有時(shí)滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)

31、具有時(shí)滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)假設(shè)假設(shè), , 時(shí)滯系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示時(shí)滯系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示, , 其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為sgKesDsNKsW)()()(閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為0)()()()(11misignjjsgezsKpsesNKsD東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組55假設(shè)特征根假設(shè)特征根 ，則滿(mǎn)足特征根的幅值和輻角條，則滿(mǎn)足特征根的幅值和輻角條件為件為jsgnjjmiiKpszse1)()(11njmiijzsps11)21 ()()(與前面介紹的根軌跡繪制法則相對(duì)比可知，時(shí)滯系統(tǒng)的與前面介紹的根軌跡繪制法則相對(duì)比可知，時(shí)滯系統(tǒng)的根軌跡繪制法則根軌跡繪制法則要有所變化。

32、要有所變化。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組56 時(shí)滯系統(tǒng)的根軌跡繪制法則：時(shí)滯系統(tǒng)的根軌跡繪制法則：（1）起點(diǎn)（起點(diǎn)（ ）。當(dāng)）。當(dāng) 時(shí)，除開(kāi)環(huán)極點(diǎn)時(shí)，除開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 是起點(diǎn)外，是起點(diǎn)外， 也是起點(diǎn)。也是起點(diǎn)。（2）終點(diǎn)（終點(diǎn)（ ）。當(dāng)）。當(dāng) 時(shí)，除開(kāi)環(huán)有限零時(shí)，除開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)點(diǎn) 是終點(diǎn)外，是終點(diǎn)外， 也是終點(diǎn)。也是終點(diǎn)。（3）根軌跡數(shù)目及對(duì)稱(chēng)性。根軌跡有無(wú)限多條分支。根軌跡數(shù)目及對(duì)稱(chēng)性。根軌跡有無(wú)限多條分支。根軌跡對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。根軌跡對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。（4）實(shí)軸上的根軌跡。實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的開(kāi)環(huán)零、實(shí)軸上的根軌跡。實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)之和為奇數(shù)。極點(diǎn)之和為奇數(shù)。gK 0gK 0gK gK jpiz

33、東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組57（5）分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)。分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)。0)()()()( sDsNeesNsDss（6）漸近線(xiàn)。水平線(xiàn)，與虛軸交點(diǎn)為漸近線(xiàn)。水平線(xiàn)，與虛軸交點(diǎn)為N0gK 時(shí)，gK 時(shí)，2 ,12NnmNnm 為奇數(shù)，為偶數(shù)12N 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組58 （7 7）出射角與入射角。）出射角與入射角。 111)(njmiijscnjmiijsr111)(（8）根軌跡與虛軸交點(diǎn)。根軌跡與虛軸交點(diǎn)。11arctanarctan(12 )nmjijipzmiinjjlzjpjK11)()(臨界根軌跡放大系數(shù)臨界根軌跡放大系數(shù) 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組59（9）復(fù)平面上的根軌跡。復(fù)

34、平面上的根軌跡。 由輻角條件，假設(shè)由輻角條件，假設(shè) 得得0miinjjzsps110)()(例4-6 設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 1()()(sseKesDsNKsgsg試?yán)L制其根軌跡。試?yán)L制其根軌跡。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組60解解（1）起點(diǎn)起點(diǎn) 為：為： ；其他起點(diǎn)；其他起點(diǎn)為為 ，其漸近線(xiàn)為，其漸近線(xiàn)為 010,1pp (12 )(0,1, 2,) (0)gK 01)2()()( )()()( 2sssDsNsNsNsD （2）終點(diǎn)終點(diǎn) 為：為： ，其漸近線(xiàn)同上。，其漸近線(xiàn)同上。 )(gK（3）在實(shí)軸的在實(shí)軸的 區(qū)間有根軌跡。區(qū)間有根軌跡。（4）分離點(diǎn)位置按式分離

35、點(diǎn)位置按式（4-25）計(jì)算，得計(jì)算，得01東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組61 由此算得由此算得4)2(212s當(dāng)當(dāng) 時(shí)，得時(shí)，得 ， 。因根軌跡位。因根軌跡位于于 間，故分離點(diǎn)是間，故分離點(diǎn)是 。110.382s 22.618s 10.382s （5）根軌跡與虛軸交點(diǎn)。當(dāng)根軌跡與虛軸交點(diǎn)。當(dāng) ， ，得，得 012arctan0.86由此得由此得 對(duì)應(yīng)的臨界根軌跡放大系數(shù)為對(duì)應(yīng)的臨界根軌跡放大系數(shù)為134. 1lK同理可計(jì)算同理可計(jì)算 時(shí)的時(shí)的 和和 值值 。根據(jù)以上計(jì)算結(jié)根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果作的根軌跡如下圖所示。果作的根軌跡如下圖所示。 0lK01東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組62 當(dāng)滯后時(shí)間當(dāng)滯后時(shí)間

36、很小時(shí)，根軌跡與虛交點(diǎn)的值很小時(shí)，根軌跡與虛交點(diǎn)的值 將很大，臨界根軌跡放大系將很大，臨界根軌跡放大系數(shù)數(shù) 也是很大。這時(shí)時(shí)滯環(huán)節(jié)的影響減弱。因此，也是很大。這時(shí)時(shí)滯環(huán)節(jié)的影響減弱。因此，對(duì)于滯后時(shí)間對(duì)于滯后時(shí)間 為毫秒級(jí)為毫秒級(jí)的元件，我們常把它的傳遞函數(shù)近似地認(rèn)為的元件，我們常把它的傳遞函數(shù)近似地認(rèn)為 ，即把它等效成為，即把它等效成為一個(gè)慣性元件。一個(gè)慣性元件。lK11ses東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組634.2.3 4.2.3 零度根軌跡零度根軌跡 零度根軌跡：根軌跡的輻角條件不是零度根軌跡：根軌跡的輻角條件不是 ，而，而是是 的情況。的情況。 )21 (180 360 圖示系統(tǒng)有一個(gè)零點(diǎn)

37、在圖示系統(tǒng)有一個(gè)零點(diǎn)在S右半平面，它的傳遞函數(shù)為右半平面，它的傳遞函數(shù)為)()()1 ()1 ()(111psszsKsTssTKsWgakK東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組64 它的閉環(huán)特征方程式為它的閉環(huán)特征方程式為 0)()()()(11zsKpsssNKsDgggKpsszssDsN1)()()(11亦即亦即 gKpsszssDsN1)()()(11幅值條件幅值條件輻角條件輻角條件minjjipszssDsN11)()()()(11360(0,1,2)mnijij由于輻角條件是偶數(shù)個(gè)由于輻角條件是偶數(shù)個(gè) ，故名為零度根軌跡。，故名為零度根軌跡。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組65零度根軌跡的繪制

38、，改變了與幅角有關(guān)的規(guī)則：零度根軌跡的繪制，改變了與幅角有關(guān)的規(guī)則：（1 1）實(shí)軸上的根軌跡。實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的零點(diǎn)、極點(diǎn)之和）實(shí)軸上的根軌跡。實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的零點(diǎn)、極點(diǎn)之和應(yīng)是偶數(shù)。應(yīng)是偶數(shù)。（2 2）根軌跡的漸近線(xiàn)。傾角根軌跡的漸近線(xiàn)。傾角 （3 3）根軌跡的出射角與入射角。根軌跡的出射角與入射角。2,(0,1,2,)nm111360nmsrjiji111360nmscjiji入射角入射角出射角出射角東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組66 例例4-7 4-7 試?yán)L制下圖示系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制下圖示系統(tǒng)的根軌跡。 解解（1）二個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：二個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)： ， ； 一個(gè)有限零點(diǎn)：一個(gè)有限零點(diǎn)： 和一個(gè)

39、無(wú)限零點(diǎn)。和一個(gè)無(wú)限零點(diǎn)。 00p111TpaTz11東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組67 （2）實(shí)軸上根軌跡。確定這一系統(tǒng)實(shí)軸上軌跡的原則是，它實(shí)軸上根軌跡。確定這一系統(tǒng)實(shí)軸上軌跡的原則是，它右側(cè)的零、極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)是偶數(shù)。因?yàn)橹挥羞@樣，右側(cè)的零、極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)是偶數(shù)。因?yàn)橹挥羞@樣，才能滿(mǎn)足輻角條件。才能滿(mǎn)足輻角條件。 因此在實(shí)軸的因此在實(shí)軸的 和和 區(qū)間存在根軌跡。區(qū)間存在根軌跡。（3）分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn) 分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)分別為分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)分別為 110T1aT0)()()()( )()( 111psszsspssDsNsNsD11111aaTsTT21111aaTsTT東北大學(xué)自動(dòng)控

40、制原理課程組68 根軌跡如下圖所示。根軌跡如下圖所示。 不難證明，復(fù)平面上的軌跡是一個(gè)圓，圓心為有限零不難證明，復(fù)平面上的軌跡是一個(gè)圓，圓心為有限零點(diǎn)點(diǎn) ，半徑為，半徑為 。 aTz1111TTa東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組69 4.2.4 4.2.4 參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡 參數(shù)根軌跡（或廣義根軌跡）：以參數(shù)根軌跡（或廣義根軌跡）：以 以外的參數(shù)作為變以外的參數(shù)作為變量的根軌跡，稱(chēng)為參數(shù)根軌跡。量的根軌跡，稱(chēng)為參數(shù)根軌跡。1. 1. 一個(gè)參數(shù)變化的根軌跡一個(gè)參數(shù)變化的根軌跡 假設(shè)系統(tǒng)的可變參數(shù)是某一時(shí)間常數(shù)假設(shè)系統(tǒng)的可變參數(shù)是某一時(shí)間常數(shù)T T，原特征方程式變，原特征方程式變?yōu)闉間K( )( )

41、( )( )gTTK N sTNsD sDs式中，式中， 、 分別為等效的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)分別為等效的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式，式，T的位置與原根軌跡放大系數(shù)的位置與原根軌跡放大系數(shù) 完全相同。完全相同。( )TNs( )TDsgK東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組70 例例4-9 4-9 給定控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為給定控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試作出以為參變量的根軌跡，并利用根軌跡分析取何值時(shí)試作出以為參變量的根軌跡，并利用根軌跡分析取何值時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。解解 閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程 改寫(xiě)為改寫(xiě)為 等效的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為等效的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ,0(2)KsaWsassa

42、0) 1() 12(22sassasassa0) 12() 1(1sssa) 12() 1()(sssasWeq該系統(tǒng)在繪制以為該系統(tǒng)在繪制以為 參變量的根軌跡時(shí)，應(yīng)遵循零度根軌跡的繪制規(guī)則。參變量的根軌跡時(shí)，應(yīng)遵循零度根軌跡的繪制規(guī)則。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組71相應(yīng)的根軌跡繪于右圖。相應(yīng)的根軌跡繪于右圖。由圖可知，當(dāng)由圖可知，當(dāng) 時(shí)時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍： 例例4-9 系統(tǒng)的根軌跡系統(tǒng)的根軌跡本例說(shuō)明，盡管在許多情況下，都是繪制常義根軌跡，但是在本例說(shuō)明，盡管在許多情況下，都是繪制常義根軌跡，但是在繪制參數(shù)根軌跡、研究正反饋系

43、統(tǒng)、處理非最小相位系統(tǒng)時(shí)，繪制參數(shù)根軌跡、研究正反饋系統(tǒng)、處理非最小相位系統(tǒng)時(shí)，都有可能遇到繪制零度根軌跡的情形。都有可能遇到繪制零度根軌跡的情形。 1a 10 a東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組72 2. 幾個(gè)參數(shù)變化的根軌跡（根軌跡簇）幾個(gè)參數(shù)變化的根軌跡（根軌跡簇） 在某些場(chǎng)合，需要研究幾個(gè)參數(shù)同時(shí)變化對(duì)系在某些場(chǎng)合，需要研究幾個(gè)參數(shù)同時(shí)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。例如在設(shè)計(jì)一個(gè)校正裝置傳遞函數(shù)統(tǒng)性能的影響。例如在設(shè)計(jì)一個(gè)校正裝置傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)時(shí)，就需研究這些零、極點(diǎn)取不同值時(shí)的零、極點(diǎn)時(shí)，就需研究這些零、極點(diǎn)取不同值時(shí)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。為此，需要繪制幾個(gè)參數(shù)同時(shí)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。為此，需要繪制

44、幾個(gè)參數(shù)同時(shí)變化時(shí)的根軌跡，所作出的根軌跡將是一組曲線(xiàn)，變化時(shí)的根軌跡，所作出的根軌跡將是一組曲線(xiàn)，稱(chēng)為根軌跡簇。稱(chēng)為根軌跡簇。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組73例例4-104-10 一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，試?yán)L制以一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，試?yán)L制以K和和 為為 參數(shù)的根軌跡。參數(shù)的根軌跡。a解解 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 20sasK先令先令 ，則上式變?yōu)?，則上式變?yōu)榛驅(qū)懽骰驅(qū)懽?a 20sK210Ks東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組74令令據(jù)此作出據(jù)此作出 對(duì)應(yīng)的根軌跡，如下圖對(duì)應(yīng)的根軌跡，如下圖a所示。所示。這是這是 時(shí)，以時(shí)，以K為參變量的根軌跡。為參變量的根軌跡。其次考慮其次

45、考慮 ，把閉環(huán)特征方程改寫(xiě)為，把閉環(huán)特征方程改寫(xiě)為 令令12( )KKWss1( )KWs0a 0a 210assK22( )KasWssK東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組75它的極點(diǎn)為它的極點(diǎn)為 ，零點(diǎn)為，零點(diǎn)為0。不難證明，對(duì)應(yīng)特征方程的根。不難證明，對(duì)應(yīng)特征方程的根軌跡為一圓弧，其方程為軌跡為一圓弧，其方程為 例如令例如令K=9，則，則22( )9KasWss2223下圖下圖b為為K取不同值時(shí)所作的根軌跡簇。取不同值時(shí)所作的根軌跡簇。3j東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組76 根軌跡繪出以后，對(duì)于一定的根軌跡繪出以后，對(duì)于一定的 值，即可利用幅值條值，即可利用幅值條件，確定相應(yīng)的特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）。如

46、果閉環(huán)系統(tǒng)的零件，確定相應(yīng)的特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）。如果閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)是已知的，則可以根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)的位置以及已點(diǎn)是已知的，則可以根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)的位置以及已知的輸入信號(hào)，分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性。知的輸入信號(hào)，分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性。gK東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組77 4.3.1 在根軌跡上確定特征根在根軌跡上確定特征根 根據(jù)已知的根據(jù)已知的 值，在根軌跡上確定特征根的位置時(shí)，可值，在根軌跡上確定特征根的位置時(shí)，可以采用試探法。以采用試探法。 gKgK取試驗(yàn)點(diǎn)取試驗(yàn)點(diǎn) 連接連接 與開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)0s0s東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組78 對(duì)于對(duì)于 的系統(tǒng)，可先在實(shí)軸上選實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，的系統(tǒng)，可先在

47、實(shí)軸上選實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，找出閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)后再確定閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)。找出閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)后再確定閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)。例例4-11 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函為試確定試確定 的閉環(huán)極點(diǎn)。的閉環(huán)極點(diǎn)。解解 閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征方程為3nm 14gKKWss ss 1140KgWss ssK10gK 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組79 由圖可知：在由圖可知：在 有一實(shí)根，設(shè)其為有一實(shí)根，設(shè)其為:11R 實(shí)根求法：實(shí)根求法：1. 試探法試探法 2. 作圖法作圖法由由140gs ssK求得求得 的一個(gè)特征根為的一個(gè)特征根為114.6R-=10gK 4 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組80 設(shè)另外兩個(gè)復(fù)根為：設(shè)另外兩個(gè)復(fù)根為：由特征方程得由特征

48、方程得:根據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系有：根據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系有：可求得二共軛復(fù)根可求得二共軛復(fù)根:2232RjRj 321231454ggs ssKsssKsRsRsR12312212325,0.24.6 0.20.2,1.46gRRRR R RjjK 2,30.21.46Rj 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組81 4.3.2 用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能用根軌跡法分析控制系統(tǒng)：用根軌跡法分析控制系統(tǒng)： 定性分析穩(wěn)定性分析。定性分析穩(wěn)定性分析。 定量分析暫態(tài)響應(yīng)分析，定量計(jì)算性能指標(biāo)。定量分析暫態(tài)響應(yīng)分析，定量計(jì)算性能指標(biāo)。 控制系統(tǒng)的性能是由閉環(huán)零、極點(diǎn)的位置決定的。根軌跡

49、控制系統(tǒng)的性能是由閉環(huán)零、極點(diǎn)的位置決定的。根軌跡是閉環(huán)特征根隨參數(shù)變化的軌跡，根軌跡法分析系統(tǒng)性能的是閉環(huán)特征根隨參數(shù)變化的軌跡，根軌跡法分析系統(tǒng)性能的最最大優(yōu)點(diǎn)大優(yōu)點(diǎn)就是可以就是可以直觀直觀地看出系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)的變化。地看出系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)的變化。選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，使閉環(huán)極點(diǎn)位于恰當(dāng)?shù)奈恢?，獲得理想的系選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，使閉環(huán)極點(diǎn)位于恰當(dāng)?shù)奈恢?，獲得理想的系統(tǒng)性能。統(tǒng)性能。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組82(1)(1)閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)極點(diǎn)閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)極點(diǎn)暫態(tài)過(guò)程主要決定于離虛軸近的暫態(tài)過(guò)程主要決定于離虛軸近的極點(diǎn)。極點(diǎn)。一般當(dāng)時(shí)一般當(dāng)時(shí) ，可忽略極點(diǎn)，可忽略極點(diǎn)的影響。的

50、影響。 由根軌跡求出閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置后，就可以按由根軌跡求出閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置后，就可以按第三章所介紹的方法來(lái)分析系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。第三章所介紹的方法來(lái)分析系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。215RR2R東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組83 假設(shè)假設(shè) 不變不變隨著阻尼角隨著阻尼角 的改變，極點(diǎn)將沿著以的改變，極點(diǎn)將沿著以 為半徑的圓弧移動(dòng)。為半徑的圓弧移動(dòng)。arccosnn(2) (2) 閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)復(fù)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)復(fù)極點(diǎn)由由 （或阻尼角（或阻尼角 ）和）和 決定系統(tǒng)的暫態(tài)特性。決定系統(tǒng)的暫態(tài)特性。narccos東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組84 假設(shè)假設(shè) 不變不變則隨著則隨著 增大，極點(diǎn)將沿矢量方向延

51、伸。增大，極點(diǎn)將沿矢量方向延伸。n等阻尼線(xiàn)等阻尼線(xiàn)東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組85 是表征系統(tǒng)指數(shù)衰減的系數(shù)，它決定系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間。是表征系統(tǒng)指數(shù)衰減的系數(shù)，它決定系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間。 有相同有相同 的系統(tǒng)，將有相同的衰減速度和大致相同的調(diào)節(jié)的系統(tǒng)，將有相同的衰減速度和大致相同的調(diào)節(jié)時(shí)間。時(shí)間。nn等衰減系數(shù)線(xiàn)等衰減系數(shù)線(xiàn) 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組86 (3)(3) 閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)復(fù)極點(diǎn)外加一個(gè)實(shí)極點(diǎn)閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)復(fù)極點(diǎn)外加一個(gè)實(shí)極點(diǎn) 系統(tǒng)超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時(shí)間增長(zhǎng)系統(tǒng)超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時(shí)間增長(zhǎng)一對(duì)復(fù)極點(diǎn)和一個(gè)實(shí)極點(diǎn)一對(duì)復(fù)極點(diǎn)和一個(gè)實(shí)極點(diǎn) 當(dāng)實(shí)極點(diǎn)與虛軸的距離比當(dāng)實(shí)極點(diǎn)與虛軸的距離比復(fù)極點(diǎn)實(shí)部與虛軸的

52、距離復(fù)極點(diǎn)實(shí)部與虛軸的距離大大5倍以上倍以上時(shí)，可以不考時(shí)，可以不考慮這一負(fù)極點(diǎn)的影響，直慮這一負(fù)極點(diǎn)的影響，直接用二階系統(tǒng)的指標(biāo)來(lái)分接用二階系統(tǒng)的指標(biāo)來(lái)分析系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。析系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組87一對(duì)復(fù)極點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)一對(duì)復(fù)極點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn) （4）閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)復(fù)極點(diǎn)外加一個(gè)零點(diǎn)）閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)復(fù)極點(diǎn)外加一個(gè)零點(diǎn) 將增大系統(tǒng)超調(diào)量將增大系統(tǒng)超調(diào)量但是，如果但是，如果 ， 則可以不計(jì)零點(diǎn)的影響，直接用則可以不計(jì)零點(diǎn)的影響，直接用二階系統(tǒng)的指標(biāo)來(lái)分析系統(tǒng)的暫二階系統(tǒng)的指標(biāo)來(lái)分析系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。態(tài)品質(zhì)。10.5,4nz東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組88 （5）閉環(huán)系統(tǒng)中一對(duì)相距很近的實(shí)極點(diǎn)和零點(diǎn)稱(chēng)為）閉環(huán)系統(tǒng)中一對(duì)相距很近的實(shí)極點(diǎn)和零點(diǎn)稱(chēng)為偶子。偶子。 偶子對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的影響很小，可以忽略不計(jì)。偶子對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的影響很小，可以忽略不計(jì)。 用根軌跡法分析系統(tǒng)暫態(tài)品質(zhì)的最大優(yōu)點(diǎn)是可以用根軌跡法分析系統(tǒng)暫態(tài)品質(zhì)的最大優(yōu)點(diǎn)是可以看出開(kāi)環(huán)系統(tǒng)放大系數(shù)（或其它參數(shù)）變化時(shí)，系統(tǒng)看出開(kāi)環(huán)系統(tǒng)放大系數(shù)（或其它參數(shù)）變化時(shí)，系統(tǒng)暫態(tài)品質(zhì)怎樣變化。暫態(tài)品質(zhì)怎樣變化。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組89 4.3.3 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響 增加