大學(xué)畫法幾何投影變換概要

1、V1X1 a1 b12a2 b2投 影 變 換 大學(xué)畫法幾何投影變換概要 4-1 概 述 第4章 投影變換 當(dāng)直線或平面相對于投影面處于特殊位置（平行或垂直）時，它們的投影反映線段的實長、平面的實形及其與投影面的傾角。 當(dāng)直線或平面和投影面處于一般位置時，則它們的投影面就不具備上述特性。 投影變換就是講直線或平面從一般位置變換為和投影面平行或垂直的位置，以簡便地解決它們的度量和定位問題。大學(xué)畫法幾何投影變換概要aabb 兩點之間距離aabbcc三角形實形aabbccdd 直線與平面的交點abcdabcd 兩平面夾角解決問題大學(xué)畫法幾何投影變換概要一、換面法原理及規(guī)律二、六個基本問題三、應(yīng)用舉例

2、42 換面法 換面法就是保持空間幾何元素不動，用新的投影面替換舊的投影面，使新投影面對于空間幾何元素處于有利于解題的位置。大學(xué)畫法幾何投影變換概要（一）、換面法的基本概念a1c1b1V1X1X1 換面法空間幾何元素的位置保持不動，用新的投影面來代替舊的投影面，使對新投影面的相對位置變成有利解題的位置，然后找出其在新投影面上的投影。V/H 體系變?yōu)閂1/H 體系c1b1a1bcabacX一、換面法原理及規(guī)律大學(xué)畫法幾何投影變換概要新投影面的選擇必須符合以下兩個基本條件：1新投影面必須和空間幾何元素處于有利解題的位置。2新投影面必須垂直于一個不變投影面。（二）、新投影面的選擇原則大學(xué)畫法幾何投影變

3、換概要1點的一次變換（變換V面）X1V1a1（三）、點的投影變換規(guī)律大學(xué)畫法幾何投影變換概要a1X1 V1a1X1HV1 V1a1點的投影變換有什么規(guī)律？大學(xué)畫法幾何投影變換概要 點的投影變換規(guī)律（1） 點的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸。（2） 點的新投影到新軸的距離等于被替換的投影到舊軸的距離。大學(xué)畫法幾何投影變換概要練習(xí)：41 求點A和B在新投影體系V1/H中的投影。a1b1大學(xué)畫法幾何投影變換概要H1X1 2點的一次變換（變換H面）X1H1Va1a1大學(xué)畫法幾何投影變換概要a23 點的兩次變換X2H2V12X2a2大學(xué)畫法幾何投影變換概要二、六個基本問題 （一） 把一般位置直

4、線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€ 1次 （二） 把投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€ 1次 （三） 把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€ 2次 （四） 把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?1次 （五） 把投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?1次 （六） 把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?2次線面 把線面轉(zhuǎn)換成特殊位置，不但可以解決線面求實形、傾角問題，而且也是解決各種應(yīng)用問題的基礎(chǔ)！大學(xué)畫法幾何投影變換概要V1X1（一） 把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€ a1 b1a1b1 X1V1H求對哪個投影面的傾角就平行那個投影作圖大學(xué)畫法幾何投影變換概要練習(xí)：42 用換面法求線段CD的實長和對V面的傾角VHcd11CD實長HV1X1求對哪個

5、投影面的傾角就平行那個投影作圖大學(xué)畫法幾何投影變換概要X1H1Va1 b1（二） 把投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€ bb1X1a1b1大學(xué)畫法幾何投影變換概要 （三） 把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€V1X1 a1 b12a2 b2大學(xué)畫法幾何投影變換概要把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€X2H2V1a2 b2X1HV1a1b1大學(xué)畫法幾何投影變換概要練習(xí)：42 用換面法把線段CD轉(zhuǎn)換成投影面的垂直線。VHcd11CD實長HV1X1X2H1V2d2(c2)大學(xué)畫法幾何投影變換概要a cXVHbb ac（四） 把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵鎐 ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1

6、c1d1求對哪個投影面的傾角就做這個投影面的平行線，并緊鄰這個投影面作圖大學(xué)畫法幾何投影變換概要練習(xí)：48 用換面法求ABC對H面的傾角aaa111X1求對哪個投影面的傾角就做這個投影面的平行線，并緊鄰這個投影面作圖大學(xué)畫法幾何投影變換概要（五） 把投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?V1c1b1a1X1X1V1c1b1a1大學(xué)畫法幾何投影變換概要a1c1b1X1c大學(xué)畫法幾何投影變換概要 d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H1（六） 把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?實形大學(xué)畫法幾何投影變換概要三、應(yīng)用舉例（一）距離問題（二）角度問題（三）綜合問題 把線面轉(zhuǎn)換成特殊位置解決一

7、些實際度量和位置問題：大學(xué)畫法幾何投影變換概要4 求點S到平面ABC的距離 6 求兩平行平面間的距離 5 求直線與平面間的距離1 求點C到直線AB的距離 3 求兩直線AB與CD的公垂線 2 求兩平行線間的距離（一）距離問題 把線面轉(zhuǎn)換成垂直于投影面 即可解決距離問題！角度到直線的距離把直線轉(zhuǎn)換成投影面的垂直線換面2次到平面的距離把平面轉(zhuǎn)換成投影面的垂直面換面1次大學(xué)畫法幾何投影變換概要c2c1b1a1X2H1V2H1X1Vkkk1b2 k2a2距離例題1 求點C到直線AB的距離及垂足大學(xué)畫法幾何投影變換概要例題2 求兩平行線的距離H2V1Xlb2 (a2)d2 (c2)d1a1b1c1V1HX

8、1大學(xué)畫法幾何投影變換概要211121 1222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c121b例題3 求兩直線AB與CD的公垂線 。 大學(xué)畫法幾何投影變換概要k1X1H1Vb1a1c1 d1s1例題4 求點S到平面ABC的距離距離垂足？kkVHX大學(xué)畫法幾何投影變換概要3.兩平面的夾角（使交線投影面，換面2次） 2.直線與平面的夾角 3次 （二）角度問題1.兩直線的夾角（即求平面的實形，換面2次）綜合 求兩直線的夾角就是求由它們構(gòu)成的平面實形（投影面平行面），當(dāng)有平面時先把面轉(zhuǎn)換成線（投影面垂直面）。 大學(xué)畫法幾何投影變換概要例題5 求ABC的實形VX1H1c2b2a2a1(b1

9、)c1H2V1X2大學(xué)畫法幾何投影變換概要例題6 直線AB與平面CDE的夾角H3V2X3X2V2H1X1VH1b3e3c3c2d3a3e1b1e2b2c1a1d1a2d2ff通過變換使AB與投影面平行，CDE與投影面垂直。三次變換?？臻g分析大學(xué)畫法幾何投影變換概要例題6 直線AB與平面CDE的夾角大學(xué)畫法幾何投影變換概要H2V1X2Hv1X1cdbadacbd1c1a1d2b1c2a2 b2VHX例7 求平面ABC和ABD的兩面角。空間及投影分析： 由幾何定理知：兩面角為兩平面同時與第三平面垂直相交時所得兩交線之間的夾角。 當(dāng)兩平面的交線垂直于投影面時，則兩平面垂直于該投影面，它們的投影積聚成

10、直線，直線間的夾角為所求。.大學(xué)畫法幾何投影變換概要（三）綜合問題例8 求平面ABC與直線DE的交點 例9 求平面ABC與平面DEF的交線例11 E點在平面ABC上，距離A、B為15，求點E的投影 例10 E到平面ABC的距離為N，求E點的正面投影e例12 過C點作直線CD與AB相交成60角例13 在直線AB上找一點K,使K點到直線CD的距離等于L將其中一個面轉(zhuǎn)換成投影面的垂直面換面1次 主要是實形（含角度）和距離問題的逆向應(yīng)用：例14例16例15例17 過K點作一直線與交叉兩直線AB、CD相交例18大學(xué)畫法幾何投影變換概要歸納總結(jié): 作業(yè)：4-1、2、4、7、8、9、10、 11、12、13

11、、14、15、161、掌握換面法的基本原理和換面法作圖的投影變換規(guī)律。2、掌握用換面法求線段實長、平面實形及其對投影面傾角的基本作圖方法。（即六個基本問題）3、掌握用換面法解決一般空間幾何元素間的定位和度量問題。（距離、角度及其綜合應(yīng)用問題）大學(xué)畫法幾何投影變換概要點線面小結(jié) 內(nèi)容單一幾何元素 從屬關(guān)系 并列關(guān)系 點點的投影規(guī)律 直線三類七種線的投影特性直角法求一般線實長、傾角直線上的點的投影特性直線直線直線直線直線 直線直線直線 平面三類七種面的投影特性平面上的點和線的作圖方法直線平面平面平面換面法求線段實長求平面實形投影面傾角 距離問題 夾角問題 相交問題投影特性求交點（線）判別可見性綜合

12、應(yīng)用基本問題大學(xué)畫法幾何投影變換概要再見 大學(xué)畫法幾何投影變換概要（3）3（1） 例題8 求平面ABC與直線DE的交點a1fVH1X1b1c1d1e1kk1f 作X1軸垂直于a f k2121434作圖步驟：1.在三角形平面ABC上作正平線AF ；2.作X1軸垂直于a f ；3. 求三角形平面ABC和DE在垂直于AF的新投影面上的投影a1b1c1和d1e1； 4.求三角形平面ABC和DE的交點在新投影面上的投影k1，再求出k和k；5.利用重影點的特點判別可見性。大學(xué)畫法幾何投影變換概要 例題9 求平面ABC與平面DEF的交線HX1V1e1f1d1b1c1 a11mnmn1m1nc作X1軸垂直于

13、a 11大學(xué)畫法幾何投影變換概要eN ddX1VH1k1e1例題10 已知E到平面ABC的距離為N，求E點的正面投影e。b1a1c1d1大學(xué)畫法幾何投影變換概要V1x1HLLaVxHkkbbacck1b1c1a1例16已知三角形ABC的H面投影和BC邊的V面投影，點K到ABC平面的距離為定長L。試補(bǔ)全ABC平面的V面投影。變換思路：新投影面實距P作圖步驟：1.設(shè)新軸垂直于bc；2.作圖得b1c1 k1；3.以k1為圓心，L為半徑作圓；4.過b1c1作圓的切線，a1必在此線上；5.返回。大學(xué)畫法幾何投影變換概要例題11 已知E點在平面ABC上，距離A、B為15，求點E的投影。 d db1 a1c

14、1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2大學(xué)畫法幾何投影變換概要空間及投影分析：AB與CD都平行于投影面時，其投影的夾角才反映實大（60），因此需將AB與C點所確定的平面變換成投影面平行面。例12 過C點作直線CD與AB相交成60角。 dX1HP1X1P1P2ab a c bXVHc作 圖：c2c1a1b1a2d2db2 幾個解？兩個解！ 已知點C是等邊三角形的頂點，另兩個頂點在直線AB上，求等邊三角形的投影。思考：如何解？解法相同！60D點的投影如何返回？.大學(xué)畫法幾何投影變換概要m1VH1a1b1m1X2V2H160反映實形c2c1cc例14已知直線AB及線外一點M,試在直線上找一點C，使直線MC與直線AB的夾角為60。大學(xué)畫法幾何投影變換概要例15已知等腰三角形ABC的腰AB的兩面投影，并知底邊在直線BM上，完成等腰三角形ABC的投影mmbbaaDCMABm1c1a1b1ccd1XHV1大學(xué)畫法幾何投影變換概要xabddcabcL1xHV1x2V1H21a1bb22ac22d（）1d1ck1kk2kL例13