屈小妹數(shù)學(xué)建模課件

1、微分方程和差分方程模型微分方程和差分方程模型 在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí), , 我們常常不能直接得出變量之我們常常不能直接得出變量之間的關(guān)系間的關(guān)系, ,但卻能容易得出包含變量導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的關(guān)系式但卻能容易得出包含變量導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的關(guān)系式, ,這就是微分方程這就是微分方程. . 在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中, ,又有許多變量是離散變化的又有許多變量是離散變化的, ,如人口如人口數(shù)、生產(chǎn)周期與商品價(jià)格等數(shù)、生產(chǎn)周期與商品價(jià)格等, , 而且離散的運(yùn)算具有可操而且離散的運(yùn)算具有可操作性作性, , 差分正是聯(lián)系連續(xù)與離散變量的一座橋梁差分正是聯(lián)系連續(xù)與離散變量的一座橋梁. . 不管是微分方程還是差分方程模型

2、，有時(shí)無(wú)法得到不管是微分方程還是差分方程模型，有時(shí)無(wú)法得到其解析解其解析解( (必要時(shí)必要時(shí), ,可以利用計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解可以利用計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解),),即使得即使得到其解析解到其解析解, ,尚有未知參數(shù)需要估計(jì)尚有未知參數(shù)需要估計(jì)( (這是可利用參數(shù)估這是可利用參數(shù)估計(jì)方法計(jì)方法). ). 1 微分方程模型微分方程模型 如果如果0)(limxtxt則稱平衡點(diǎn)則稱平衡點(diǎn)x0是是穩(wěn)定穩(wěn)定的的.) 1 ()(ddxftx稱代數(shù)方程稱代數(shù)方程 f (x)=0 的實(shí)根的實(shí)根x = x0為方程為方程(1)的的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)(或奇點(diǎn)或奇點(diǎn)). 它也是方程它也是方程(1)的解的解.設(shè)設(shè)（解的變化趨勢(shì)）穩(wěn)定性判

3、別方法穩(wěn)定性判別方法由于由于),)()(00 xxxfxf在討論方程在討論方程(1)的的)2()(dd00 xxxftx來(lái)代替來(lái)代替.穩(wěn)定性時(shí)，可用穩(wěn)定性時(shí)，可用 易知易知 x0也是方程也是方程(2)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn). (2)的通解為的通解為,e)(0)(0 xCtxtxf關(guān)于關(guān)于x0是否穩(wěn)定有以下結(jié)論：是否穩(wěn)定有以下結(jié)論： 若若, 0)(0 xf則則x0是穩(wěn)定的；是穩(wěn)定的； 若若則則x0是不穩(wěn)定的是不穩(wěn)定的. ., 0)(0 xf 關(guān)于常微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定關(guān)于常微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性性, 設(shè)設(shè))3().,(dd),(ddyxgtyyxftx代數(shù)方程組代數(shù)方程組. 0),(, 0

4、),(yxgyxf的實(shí)根的實(shí)根x = x0, y = y0稱為方程稱為方程(3)的的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn), 記記作作P0 (x0, y0). 它也是方程它也是方程(3)的解的解.如果如果,)(lim,)(lim00ytyxtxtt則稱平衡點(diǎn)則稱平衡點(diǎn)P0是是穩(wěn)定穩(wěn)定的的. 下面給出判別平衡點(diǎn)下面給出判別平衡點(diǎn)P0是否穩(wěn)定的是否穩(wěn)定的判別判別準(zhǔn)則準(zhǔn)則. 設(shè)設(shè),)()(00yPgxPfpyPgxPgyPfxPfq)()()()(0000 則當(dāng)則當(dāng)p0且且q0時(shí)時(shí), 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)P0是穩(wěn)定的；是穩(wěn)定的；當(dāng)當(dāng)p0或或q0時(shí)時(shí), 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的是不穩(wěn)定的.微分微分方程方程建模建模 根據(jù)函數(shù)及其變化率

5、之間的關(guān)系確定函數(shù)根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù). 根據(jù)建模目的和問(wèn)題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)根據(jù)建模目的和問(wèn)題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè). 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程.求解微分方程有三種方法：求解微分方程有三種方法： 1 1）求精確解；）求精確解；2 2）求數(shù)值解（近似解）；）求數(shù)值解（近似解）；3 3）定性理論方法。）定性理論方法。2 2 差分方程模型差分方程模型 對(duì)于對(duì)于k階差分方程階差分方程F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (6)若有若有xn = x (n), 滿足滿足F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k

6、) = 0,則稱則稱xn = x (n)是差分方程是差分方程(6)的的解解, 包含個(gè)任意常包含個(gè)任意常數(shù)的解稱為數(shù)的解稱為(6)的的通解通解, x0, x1, , xk-1為已知時(shí)稱為已知時(shí)稱為為(6)的的初始條件初始條件,通解中的任意常數(shù)都由初始條通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱為件確定后的解稱為(6)的的特解特解.k 若若x0, x1, , xk-1已知已知, 則形如則形如xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 )的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn). 若有常數(shù)若有常數(shù)a是差分方程是差分方程(6)的解的解, 即即F (n; a, a

7、, , a ) = 0,則稱則稱 a是差分方程是差分方程(6)的的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn). 又對(duì)差分方程又對(duì)差分方程(6)的任意由初始條件確定的解的任意由初始條件確定的解 xn= x(n)都有都有xna (n), 則稱這個(gè)平衡點(diǎn)則稱這個(gè)平衡點(diǎn)a是是穩(wěn)定穩(wěn)定的的. 一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)線性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中其中a, b為常數(shù)為常數(shù), 且且a -1, 0)的通解為的通解為xn=C(- - a) n + b/(a + 1) 易知易知b/(a+1)是其平衡點(diǎn)是其平衡點(diǎn), 由上式知由上式知, 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)|a|1時(shí)時(shí), b/(a +1)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn). 二

8、階常系數(shù)線性差分方程二階常系數(shù)線性差分方程xn+2 + axn+1 + bxn = r,其中其中a, b, r為常數(shù)為常數(shù). 當(dāng)當(dāng)r = 0時(shí)時(shí), 它有一特解它有一特解x* = 0； 當(dāng)當(dāng)r 0, 且且a + b + 1 0時(shí)時(shí), 它有一特解它有一特解x*=r/( a + b +1). 不管是哪種情形不管是哪種情形, x*是其平衡點(diǎn)是其平衡點(diǎn). 設(shè)其特征方設(shè)其特征方程程 2 + a + b = 0的兩個(gè)根分別為的兩個(gè)根分別為 = 1, = 2. 當(dāng)當(dāng) 1, 2是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí)是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí),二階常系數(shù)線二階常系數(shù)線性差分性差分方程的通解為方程的通解為xn= x*+ C1( 1)n + C2(

9、 2)n ; 當(dāng)當(dāng) 1, 2= 是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí)是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí),二階常系數(shù)線二階常系數(shù)線性差分性差分方程的通解為方程的通解為xn= x* + (C1 + C2 n) n; 當(dāng)當(dāng) 1, 2= (cos + i sin ) 是一對(duì)共軛復(fù)根是一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)時(shí),二階常系數(shù)線性差分二階常系數(shù)線性差分方程的通解為方程的通解為xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知易知,當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任一特征根當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任一特征根 | i |1時(shí)時(shí), 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)x*是穩(wěn)定的是穩(wěn)定的. 則則3 3 觀眾廳地面設(shè)計(jì)觀眾廳地面設(shè)計(jì)1 問(wèn)題的提出在影視廳或報(bào)告廳，經(jīng)常會(huì)為前邊觀眾遮擋住自己

10、的視線而苦惱。顯然，場(chǎng)內(nèi)的觀眾都在朝臺(tái)上看，如果場(chǎng)內(nèi)地面不做成前低后高的坡度模式，那么前邊觀眾必然會(huì)遮擋后面觀眾的視線。試建立數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)良好的報(bào)告廳地面坡度曲線。建立坐標(biāo)系oo處在臺(tái)上的設(shè)計(jì)視點(diǎn)bb第一排觀眾的眼睛到x軸的垂 直距離xyadda第一排觀眾與設(shè)計(jì)視點(diǎn)的水平距離d相鄰兩排的排距視線升高標(biāo)準(zhǔn)x表示任一排與設(shè)計(jì)視點(diǎn)的水平距離求任一排x與設(shè)計(jì)視點(diǎn)o的豎直距離函數(shù)使此曲線滿足視線的無(wú)遮擋要求。)(xyy 問(wèn)題2 問(wèn)題的假設(shè)1) 觀眾廳地面的縱剖面圖一致，只需求中軸線上地面的起伏曲線即可。2) 同一排的座位在同一等高線上。3) 每個(gè)坐在座位上的觀眾的眼睛與地面的距離相等。4) 每個(gè)坐在座位

11、上的觀眾的頭與地面的距離也相等。5) 所求曲線只要使觀眾的視線從緊鄰的前一個(gè)座位的人的頭頂擦過(guò)即可。3 建模設(shè)眼睛升起曲線應(yīng)滿足微分方程),( yxFdxdy初始條件byaxobxyadd1）從第一排起，觀眾眼睛與o點(diǎn)的連線的斜率隨排數(shù)的增加而增加，而眼睛升起曲線顯然與這些直線皆相交，故此升起曲線是凹的。2）選擇某排),(yxM和相鄰排),(11ydxM),(22ydxMoyx-dC(x,0) C2(x+d,0)MM2M1x21MMxyMMKKK)(N1ABNABMNNM11dMABMABMAKMM11MAN1 相似于oMC xdyMAdxyMAdxyKMM1DdxyKMM1再計(jì)算2MMKoN

12、C 相似于22CoM xxdyyDM2yxyxdDM2xdxydMDDMKMM22dxxydxydxdydxxy4 模型求解 微分不等式（比較定理）設(shè)函數(shù)),(),(yxFyxf定義在某個(gè)區(qū)域上，且滿足1）在D上滿足存在唯一性定理的條件；2）在D上有不等式),(),(yxFyxf則初值問(wèn)題00yxyxfdxdy)(),(與00yxyxFdxdy)(),(的解)(),(xx 在它們共同存在區(qū)間上滿足0 xxxx當(dāng)),()(0 xxxx當(dāng)),()(dxydxdydxxybydxydxdyax111bydxxydxdyax222axxdxabxyln)(1)(ln)(12axaxxdxabxyaxx

13、dxabln)(xy)(ln1axaxxdxab所求曲線的近似曲線方程（折衷法）)(ln)(12axaxxdxabxy折衷法221yyy5 總結(jié)與討論有時(shí)只需求近似解。方法利用微分不等式建模；模型討論obxyadd1）視點(diǎn)移動(dòng)時(shí)升起曲線如何求得？2）怎樣減少地面的坡度？調(diào)整參數(shù)、相鄰排錯(cuò)位。3）衡量經(jīng)濟(jì)的指標(biāo)？座位盡量多、升起曲線占據(jù)的空間盡量少等。4 碳定年代法碳定年代法考古、地質(zhì)學(xué)等方面的專家常用14C測(cè)定法（通常稱碳定年代法）來(lái)估計(jì)文物或化石的年代。 v 14C的蛻變規(guī)律的蛻變規(guī)律v14C是一種由宇宙射線不斷轟擊大氣層，使大氣層產(chǎn)生中子，中子與氮?dú)庾饔蒙傻木哂蟹派湫缘奈镔|(zhì)。這種放射性碳

14、可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作為動(dòng)物的食物，于是放射性碳被帶到各種動(dòng)植物體內(nèi)。v14C是放射性的，無(wú)論在空氣中還是在生物體內(nèi)他都在不斷蛻變，這種蛻變規(guī)律我們可以求出來(lái)。通常假定其蛻變速度與該時(shí)刻的存余量成正比。v設(shè)在時(shí)刻t（年），生物體中14C的存量為x(t),生物體的死亡時(shí)間記為t0=0,此時(shí)14C含量為x0,由假設(shè)，初值問(wèn)題 v （1.1）的解為v （1.2）v其中，為常數(shù)，k前面的符號(hào)表示14C的存量是遞減的。（1.2）式表明14C是按指數(shù)遞減的，而常數(shù)k可由半衰期確定，0)0(xxkxdtdx ktextx0)( v若14C的半衰期為T,則有v (1.3)v將（1.

15、3）代入（1.2）得v v即有 （1.4）2)(0 xTxln2T1ktTextx2ln0)(v碳定年代法的根據(jù)碳定年代法的根據(jù)v 活著的生物通過(guò)新陳代謝不斷攝取14C,因而他們體內(nèi)的14C與空氣中的14C含量相同，而生物死亡之后，停止攝取14C，因而尸體內(nèi)的14C由于不斷蛻變而不斷減少。碳定年代法就是根據(jù)生物體死亡之后體內(nèi)14C蛻變減少量的變化情況來(lái)判斷生物的死亡時(shí)間的。v碳定年代法的計(jì)算碳定年代法的計(jì)算v由（1.4）解得 v (1.5)v由于x(0),x(t)不便于測(cè)量，我們可把(1.5)作如下修改.v對(duì)(1.2)式兩邊求導(dǎo)數(shù)，得v (1.6)v而 (1.7)(ln2ln0txxTt )(

16、)(0tkxkextxkt0)0()0(kxkxxv(1.6)和(1.7)兩式相除，得 將上式代入(1.5)，得 v (1.8)這樣由(1.8)可知，只要知道生物體在死亡時(shí)體內(nèi)14C的蛻變速度 和現(xiàn)在時(shí)刻t的蛻變速度 ,就可以求得生物體的死亡時(shí)間了，在實(shí)際計(jì)算上，都假定現(xiàn)代生物體中14C的蛻變速度與生物體死亡時(shí)代生物體中14C的蛻變速度相同。)()()0(0txxtxx)()0(ln2lntxxTt)0(x )(tx v馬王堆一號(hào)墓年代的確定馬王堆一號(hào)墓年代的確定v馬王堆一號(hào)墓于1972年8月出土，其時(shí)測(cè)得出土的木炭標(biāo)本的14C平均原子蛻變數(shù)為29.78/s,而新砍伐木頭燒成的木炭中14C 平

17、均原子蛻變數(shù)為38.37/s,又知14C的半衰期為5568年，這樣，我們可以把 , ， T=5568 年代入(1.8)，得 v這樣就估算出馬王堆一號(hào)墓大約是在2000多年前。sx/37.38)0(stx/78.29)(203678.2937.38ln2ln5568tv兩個(gè)注記兩個(gè)注記v（1）馬王堆中的古代科技之謎）馬王堆中的古代科技之謎v素紗蟬衣素紗蟬衣：兩件輕薄的衣服，絲綢，極輕且兩千年不腐，南京云錦研究所接受國(guó)家科技攻關(guān)，用了二十年時(shí)間，于1990年成功研制出類似素紗蟬衣的復(fù)制品，但該復(fù)制品比漢代的還重50克，已不可能再輕了。v女尸千年不腐：病理知識(shí)女尸千年不腐：病理知識(shí)：女尸解剖顯示患有

18、非常嚴(yán)重的冠心病；肺部有肺結(jié)核的鈣化，肺部鈣化是肺結(jié)核痊愈后的表現(xiàn)。2000年后的今天，要想控制肺結(jié)核，除自身的v抵抗力要強(qiáng)外，還要有好的營(yíng)養(yǎng)，要想痊愈是很困難的。兩處膽結(jié)石，其一在膽總管，有蠶豆大，膽道被堵得水泄不通。三種寄生蟲，其中竟有血吸蟲，其癥狀應(yīng)為腹脹如鼓，骨瘦如柴，但該女子皮下脂肪異常豐滿，顯然血吸蟲被有效的控制住了。該西漢貴婦生前病魔纏身，但從其遺體上未發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)期臥床養(yǎng)病的跡象。一個(gè)同時(shí)患有這么多疾病的人，能夠長(zhǎng)期穩(wěn)定控制病情，在今天也是一個(gè)奇跡，說(shuō)明漢代醫(yī)術(shù)已達(dá)到了相當(dāng)高的水平。v（2）碳定年代法的不足）碳定年代法的不足 現(xiàn)在，14C年代測(cè)定法已受到懷疑，在2500-10000年

19、前這段時(shí)間中與其他斷代法的結(jié)果有差異。1966年，耶魯實(shí)驗(yàn)室的Minze Stuiver 和加利福尼亞大學(xué)圣地亞哥分校的Hans E.Suess在一份報(bào)告中指出了這一時(shí)期使14C年代測(cè)定產(chǎn)生誤差的根本原因。在那個(gè)年代，宇宙射線的放射強(qiáng)度減弱了，偏差的峰值發(fā)生在大約6000年以前。v這兩位研究人員的結(jié)論出自對(duì)Brist/econe松樹所作的14C年代測(cè)定的結(jié)果，因?yàn)檫@種松樹同時(shí)還提供了精確的年輪斷代。他們提出了一個(gè)很成功的誤差公式，用來(lái)校正根據(jù)14C斷代定出的2300-6000年前這期間的年代：v真正的年代=14C年1.4900。3.4 范范. 梅格倫偽造名畫案梅格倫偽造名畫案 第二次世界大戰(zhàn)比

20、利時(shí)解放后，荷蘭保安機(jī)關(guān)開始搜捕納粹分子的合作者，發(fā)現(xiàn)一名三流畫家H.A.Vanmeegren曾將17世紀(jì)荷蘭著名畫家Jan.Vermeer的一批名貴油畫盜賣給德寇，于1945年5月29日通敵罪逮捕了此人。 Vanmeegren被捕后宣稱他從未出賣過(guò)荷蘭的利益，所有的油畫都是自己偽造的，為了證實(shí)這一切，在獄中開始偽造Vermeer的畫耶穌在學(xué)者中間。當(dāng)他的工作快完成時(shí)，又獲悉他可能以偽造罪被判刑，于是拒絕將畫老化，以免留下罪證。 為了審理這一案件，法庭組織了一個(gè)由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家等參加的國(guó)際專門小組，采用了當(dāng)時(shí)最先進(jìn)的科學(xué)方法，動(dòng)用了X-光線透視等，對(duì)顏料成份進(jìn)行分析，終于在幾幅畫

21、中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質(zhì)諸如現(xiàn)代顏料鈷藍(lán)的痕跡。 這樣，偽造罪成立， Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在獄中心臟病發(fā)作而死去。 但是，許多人還是不相信其余的名畫是偽造的，因?yàn)椋?Vanmeegren在獄中作的畫實(shí)在是質(zhì)量太差，所找理由都不能使懷疑者滿意。直到20年后，1967年，卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的科學(xué)家們用微分方程模型解決了這一問(wèn)題。原理原理著名物理學(xué)家盧瑟夫（Rutherford）指出： 物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)。設(shè) 時(shí)刻的原子數(shù)為 ，則有t)(tNNdtdN為物質(zhì)的衰變常數(shù)。初始條件00NNtt)()(00tteNtNNNtt001lnNNtt001ln半衰期21

22、lnT年5568T碳-14億年45T鈾-238年1600T鐳-226年22T鉛-210能測(cè)出或算出，只要知道 就可算出)(,tN0N這正是問(wèn)題的難處，下面是間接確定 的方法。0N斷代。油畫中的放射性物質(zhì)油畫中的放射性物質(zhì) 白鉛（鉛的氧化物）是油畫中的顏料之一，應(yīng)用已有2000余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過(guò)熔煉從鉛礦中提取來(lái)出的。當(dāng)白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來(lái)時(shí)， Pb210的絕大多數(shù)來(lái)源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時(shí)Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補(bǔ)足的為止。鈾238鐳22

23、6鉛210釙210鉛206億年45T年1600T年22T天138T（放射性）（無(wú)放射性）假設(shè)假設(shè)（1）鐳的半衰期為1600年，我們只對(duì)17 世紀(jì)的油畫感興趣，時(shí)經(jīng)300多年，白鉛中鐳至少還有原量的90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳的衰變數(shù)可視為常數(shù)，用 表示。（2）釙的半衰期為138天容易測(cè)定，鉛210的半衰期為22年，對(duì)要鑒別的300多年的顏料來(lái)說(shuō)，每克白鉛中每分鐘釙的衰變數(shù)與鉛210的衰變數(shù)可視為相等。r建模建模設(shè) 時(shí)刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量為 ，t)(ty0y為制造時(shí)刻 每克白鉛中含鉛210的數(shù)量。0t為鉛210的衰變常數(shù)。則油畫中鉛210含量00ytyrydtdy)(求解求解)()

24、()(0001tttteyerty)()()(1000tttteretyyrty ),(,均可測(cè)出?？伤愠霭足U中鉛的衰變率 ，再與當(dāng)時(shí)的礦物比較，以鑒別真?zhèn)巍?y礦石中鈾的最大含量可能 23%，若白鉛中鉛210每分鐘衰變超過(guò)3 萬(wàn)個(gè)原子，則礦石中含鈾量超過(guò) 4%。測(cè)定結(jié)果與分析測(cè)定結(jié)果與分析畫名畫名釙釙210衰變?cè)訑?shù)衰變?cè)訑?shù)鐳鐳226衰變?cè)訑?shù)衰變?cè)訑?shù)Emmaus的信徒們8.50.82洗足12.60.26讀樂(lè)譜的婦人10.30.3彈曼陀林的婦人8.20.17做花邊的人1.51.4歡笑的女孩5.26.0若第一幅畫是真品，3000tt)()()(1000tttteretyy)(1300300

25、erety222ln111502223002300lnee)(.1282058211150111500y每分鐘每克個(gè)/98050每分鐘每克個(gè)/30000鉛210每分鐘每克衰變不合理，為贗品。同理可檢驗(yàn)第2，3，4幅畫亦為贗品，而后兩幅畫為真品。微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(方程方程1, 方程方程2,方程方程n, 初始條件初始條件, 自變量自變量) 記號(hào): 在表達(dá)微分方程時(shí)，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等表示求高階微分.任何 D 后所跟的字母為因變量，自變量可以指定或由系統(tǒng)規(guī)則選定為確省.例如，微分方程 022dxyd應(yīng)表達(dá)為：D2y=0.

26、例例 1 求 21 udtdu 的通解.解解 輸入命令：dsolve(Du=1+u2,t)To Matlab（ff1） 結(jié) 果：u = tg(t-c)例例 2 求微分方程的特解. 15)0( , 0)0(029422yyydxdydxyd 解解 輸入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)結(jié) 果 為 : y =3e-2xsin（5x）To Matlab（ff2）微分方程的數(shù)值解微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義（一）常微分方程數(shù)值解的定義 在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大多得不出一般解。而在實(shí)際上對(duì)初值問(wèn)題，一般是要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個(gè)滿足精確度要