振型向量模態(tài)向量的正交性展開定理學習教案

1、會計學1振型向量模態(tài)向量的正交性展開振型向量模態(tài)向量的正交性展開(zhn ki)定理定理第一頁，共50頁。 如果將振型向量正則化，則稱振型向量為關(guān)于質(zhì)量(zhling)矩陣和剛度矩陣的正則正交性。式中rs為克朗(k ln)尼格符號，其數(shù)學定義為 若正則化是按照(nzho)方程(5.2-15)得到的，即( )T( )( ,1,2, )srrsuMur sn(5.3-10)( )T( )2( ,1,2, )srrsruKur sn (5.3-11)(0)(1srsrrs(5.3-12)那么振型向量應(yīng)滿足下面的關(guān)系式( )T( )1(1,2, )rruMurn第3頁/共50頁第2頁/共50頁第二頁，

2、共50頁。 例5.3-1 圖5.3-1所示三個彈簧(tnhung)懸掛著質(zhì)量m，三個彈簧(tnhung)位于同一平面內(nèi)，彈簧(tnhung)常數(shù)分別為k1，k2和k3，試寫出質(zhì)量m的運動微分方程。若彈簧(tnhung)剛度k1=k2=k3=k，并且1=0，2=120，3=210，求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，并驗證振型向量的正交性。 解：取直角坐標x-y如圖所示。如果只考慮微小位移，并設(shè)彈性恢復(fù)力為R1，R2和R3，則質(zhì)量m的運動(yndng)微分方程為3311cos,siniixiiyiimxRQmyRQ圖 5.3-1第4頁/共50頁第3頁/共50頁第三頁，共50頁。式中彈性力為Ri=-ki(

3、xcosi+ysini)將Ri的值代入運動(yndng)微分方程，得321321( cossincos)( sincossin)iiiixiiiiiyimxk xyQmyk xyQ寫成矩陣(j zhn)形式為23210cossincos0sincossinxiiiiiyiiiQmxxkQmyy 第5頁/共50頁第4頁/共50頁第四頁，共50頁。1111sin0,cos1,sincos0當1=0時，有2222sin3 2, cos1 2, sincos3 4 當2=120時，有3333sin1 2, cos3 2, sincos3 4 當3=210時，有將以上各i值和k1=k2=k3=k代入剛度

4、(n d)矩陣，得100241434343434343410001sincossincossincos2231kkkkkiiiiiiii第6頁/共50頁第5頁/共50頁第五頁，共50頁。代入質(zhì)量m的運動(yndng)微分方程為02000 xyQmxkxQmyky 特 征 值 問 題(wnt)為212202000ukmukm 由此得固有頻率( yu pn l)為122k mk m第7頁/共50頁第6頁/共50頁第六頁，共50頁。 由于運動微分方程(fngchng)是兩個獨立的方程(fngchng)，表明x，y正好是兩個固有坐標，因此固有振型為(1)(2)01,10uu 為了(wi le)驗證振型

5、向量的正交性，將振型向量u(1)和u(2)代入方程(5.3-6)，有(1)T(2)0101000muMum 滿足(mnz)正交性條件。第8頁/共50頁第7頁/共50頁第七頁，共50頁。第一(dy)階主振型第二(d r)階主振型第9頁/共50頁第8頁/共50頁第八頁，共50頁。二二.具有具有(jyu)重特征值重特征值的系統(tǒng)的系統(tǒng) 具有重特征值，也就是有相同的固有頻率( yu pn l)的系統(tǒng)，稱為退化系統(tǒng)。 當系統(tǒng)存在p(2pn)個相同的固有頻率( yu pn l)時，對應(yīng)重特征值的特征向量與其余的n-p個特征向量是正交的，但一般說來，對應(yīng)重特征值的特征向量之間并非一定正交。 當特征值問題是由實

6、對稱矩陣M和K來確定時，相應(yīng)于重特征值的特征向量有p個、但不超過p個相互正交的特征向量。 由于對應(yīng)于重特征值的特征向量的任一線性組合也是一個特征向量，所以特征向量不是唯一的。第10頁/共50頁第9頁/共50頁第九頁，共50頁。 一般來說，總可以選擇p個對應(yīng)于重特征值的特征向量的線性組合，使它們構(gòu)成相互正交的特征向量組，從而使得問題(wnt)中的特征向量唯一地確定。 假 定 系 統(tǒng) 的 固 有 頻 率1 和2 相 等(xingdng)，其他各固有頻率則與它們不同，則在特征值問題的n方程組中，只有n-2個是獨立的，這正是由于1是一個特征方程的二重根。 兩個固有振型u(1)和u(2)的取值具有一定的

7、 任 意 性 ， 可 以 把 任 意 的 組 合(zh)C1u(1)+C2u(2)看成是對應(yīng)于固有頻率1=2的一個固有振型(其中C1和C2為任意常數(shù))。 第11頁/共50頁第10頁/共50頁第十頁，共50頁。故C1u(1)+C2u(2)也可以看成是對應(yīng)于1或2的固有振型，所以可以認為有無窮多個(du )固有振型的解，其中只能任意選取兩個相互獨立的解，其他的解均可由這兩個解的線性組合得到。2(1)1()0KM u(5.3-13)2(2)1()0KM u(5.3-14) 將 ， 和u(1)、u(2)分別代入方程(5.2-10)，有212122因此(ync)，有2(1)(2)1122(1)2(2)1

8、1210KMC uC uCKM uCKM u(5.3-15)第12頁/共50頁第11頁/共50頁第十一頁，共50頁。 任意的兩個獨立的固有振型u(1)和u(2)一般不滿足(mnz)正交性條件，即但可以作一個向量(xingling) u(2)+Cu(1) (C為待定常數(shù))，要求這個向量(xingling)對質(zhì)量矩陣M與u(1)正交，即(1)T(2)(1)T(2)0,0uMuuKu(5.3-16)(1)T(2)(1)0uM uCu(5.3-17)由此可解出待定常數(shù)(chngsh)C為(1)T(2)(1)T(2)(1)T(1)1uMuuMuCuMuM (5.3-18)由這個C值而組合的向量u(2)+

9、Cu(1)，就是與u(1)對質(zhì)量矩陣M是正交的。第13頁/共50頁第12頁/共50頁第十二頁，共50頁。 不難進一步證明(zhngmng)它們對剛度矩陣K也是正交的，而u(1)與u(2)+Cu(1)是彼此獨立的固有振型。 這種既相互獨立又正交的固有(gyu)振型仍有無窮多組，其中任意一組都可以作為重特征值的特征向量。第14頁/共50頁第13頁/共50頁第十三頁，共50頁。 例5.3-2 在圖5.3-2所示的系統(tǒng)中，m1=m2=m，k1=k2=2k，k3=k，k4=k5=4k，試求作微幅振動(zhndng)時，系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。 解 ： 由 于 系 統(tǒng) 作 微 幅 振 動(zhndng)

10、，可以認為彈簧k1和k2在x方向的變形不影響其他彈簧的狀態(tài)，而其他彈簧在y方向的變形也不影響彈簧k1和k2的狀態(tài)。系統(tǒng)運動微分方程為11220040000005000050mxkxmykkymykky 圖 5.3-2第15頁/共50頁第14頁/共50頁第十四頁，共50頁?？梢姡讼到y(tǒng)(xtng)存在重特征值。特 征 值 問 題(wnt)為2122234000050050kmukmkukkmu 特征方程為02410)4(22422kkmmmk解得特征值為2221234,6k mk m第16頁/共50頁第15頁/共50頁第十五頁，共50頁。 將 代入特征值問題方程之中，求出第三階固有振型為23T(

11、3)01 1u將 代入特征值問題方程為2221( )1( )2( )300000110(1,2)0110rrruuru 可見 可取任意值，并有 )2 , 1()(1rur)2 , 1( )(3)(2ruurr第17頁/共50頁第16頁/共50頁第十六頁，共50頁。 取對應(yīng)于1和2的兩階(lin ji)固有振型向量為不難驗證，它們與u(3)是滿足(mnz)關(guān)于M和K的正交性條件，即(3)01 1 11 1 1101Mum(3)041 141 1101Mum TT(1)(2)1 1 1,-4 1 1uu第18頁/共50頁第17頁/共50頁第十七頁，共50頁。T(1)(2)41 1 11201uMu

12、mm 令新的第二(d r)階振型向量為由正交性條件(tiojin)T(2)(1)(2)411uCuuCCCT(1)(2)0041 1 10010001mCuMumCmC但它們(t men)之間不正交，即第19頁/共50頁第18頁/共50頁第十八頁，共50頁。解得32C于 是(ysh)T(2)10 35 35 3u 約去比例(bl)因子5/3，故取T(2)21 1u 所以(suy)對應(yīng)于1，2，3的固有振型為(1)(2)(3)1201 ,1,1111uuu 第20頁/共50頁第19頁/共50頁第十九頁，共50頁。(1)011u (2)100u (3)011u T(1)(2)101 1 000uM

13、um T( )(3)0011110010 1,2ruMumr第21頁/共50頁第20頁/共50頁第二十頁，共50頁。三三.模態(tài)矩陣模態(tài)矩陣(j zhn) 振型向量(xingling)可以排列成為n階方陣，稱為模態(tài)矩陣(或振型矩陣)，即u的每一列(y li)是一個振型向量u(r)(r=1,2,n)。引入振型矩陣u之后，由方程(5.2-14)所表示的特征值問題的所有n個解可以寫成簡潔的矩陣方程，即式中 2是固有頻率平方的對角矩陣。 (1)(2)( )nuuuu(5.3-19)2KuMu(5.3-20)第22頁/共50頁第21頁/共50頁第二十一頁，共50頁。 應(yīng)用振型矩陣u，可以把式(5.3-6)

14、和式(5.3-8)合并成一個(y )式子，即類似(li s)地，可將式(5.3-7)和式(5.3-9)合并為12TrnMMu MuMM(5.3-21)(5.3-22)12TrnKKu KuKK稱Mr為模態(tài)質(zhì)量矩陣(j zhn)，Kr為模態(tài)剛度矩陣(j zhn)。第23頁/共50頁第22頁/共50頁第二十二頁，共50頁。 由于固有(gyu)振型具有正交性，振型矩陣u可以用來作為使系統(tǒng)的運動微分方程不耦合的變換矩陣。 若振型向量按照方程(fngchng)(5.2-15)進行正則化，然后排列成正則振型矩陣u，則模態(tài)質(zhì)量矩陣為單位矩陣，模態(tài)剛度矩陣為固有頻率平方的對角矩陣，即(5.3-23)T111r

15、Mu MuI第24頁/共50頁第23頁/共50頁第二十三頁，共50頁。 由于振型向量只表示系統(tǒng)作固有振動時各坐標間幅值的相對大小(dxio)，所以模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度的值依賴于正則化方法，只有進行正則化后，才能確定振型向量各元素的具體數(shù)值，也才能使Mr和Kr具有確定的值。212T22rnKu Ku (5.3-24)第25頁/共50頁第24頁/共50頁第二十四頁，共50頁。四四.展開展開(zhn ki)定理定理 特 征 向 量 u ( r ) ( r = 1 , 2 , , n ) 形 成(xngchng)一個線性獨立組，即有 由于固有(gyu)振型的線性獨立性，于是系統(tǒng)的任何一個位形的n維向量w

16、可以由n個固有(gyu)振型的線性組合構(gòu)成，即(5.3-25)(1)(2)( )120nncuc uc u式中c1, c2 , cn是不同時為零的常數(shù)。 (5.3-26)(1)(2)( )( )121nnrnrrwC uC uC uC u式中w稱為 的線性組合，系數(shù)C1, C2 , Cn表示每一個振型的參與程度。 ,)()2()1(nuuu第26頁/共50頁第25頁/共50頁第二十五頁，共50頁。 改變系數(shù)C1,C2 ,Cn而得到的所有線性組合組成向量空間w,這個(zh ge)空間是由u(1), u(2), , u(n) 生成的。 向量組u(r)(r=1,2,n)稱為w的生成(shn chn)

17、系統(tǒng)，因為這個向量組是獨立的，所以生成(shn chn)系統(tǒng)稱為w的基。 屬于空間(kngjin)w的任何向量都可以表示成線性組合(5.3-26)的形式，即 系統(tǒng)的任何可能的運動都可以被描寫為振型向量的線性組合，也就意味著由任意激勵產(chǎn)生的系統(tǒng)的運動可以看作固有振型用適當?shù)某?shù)相乘后的疊加。 (1)(2)( )( )121nnrnrrwC uC uC uC u第27頁/共50頁第26頁/共50頁第二十六頁，共50頁。 如果用正則振型來表示系統(tǒng)的運動，就是把一組聯(lián)立的運動微分方程變換(binhun)成一組獨立的方程，這里的變換(binhun)矩陣就是振型矩陣u。 把聯(lián)立的運動方程變換(binhun

18、)成一組互不相關(guān)的方程來得出系統(tǒng)響應(yīng)的過程稱為振型分析或模態(tài)分析。 考慮(kol)固有振型的正交性條件，用u(s)TM左乘方程(5.3-26)的兩端，得( )T( )T( )1nssrrruMwC uMu(5.3-27)( )T1(1,2, )rrrCuMwrnM只有當r=s時，內(nèi)才有值，其余情況均為零，得第28頁/共50頁第27頁/共50頁第二十七頁，共50頁。 若u(r)為正則(zhn z)振型向量，則式(5.3-27)中的Mr=1，即系數(shù)(xsh)Cr表示第r階固有振型u(r)對w所起作用的一種度量。 方程(fngchng)(5.3-26)和方程( f n g c h n g ) ( 5

19、 . 3 - 2 7 ) 與 方 程(fngchng)(5.3-28)在振動分析中稱為展開定理。 ( )T(1,2, )rrCuMwrn(5.3-28)( )1nrrrwC u展開定理： ( )T1rrrCuMwM( )TrrCuMw或 第29頁/共50頁第28頁/共50頁第二十八頁，共50頁。 考察一個保守(boshu)系統(tǒng)，系統(tǒng)的動能和勢能為q1,q2,qnT為廣義坐標向量， 為廣義速度向量，M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，K為系統(tǒng)的剛度矩陣。 T12,nqq qqT111122nnrsrsrsTm q qq Mq (5.4-1)T111122nnrsrsrsUk q qq Kq(5.4-2)第30頁

20、/共50頁第29頁/共50頁第二十九頁，共50頁。 動能和勢能(shnng)分別是廣義速度和廣義坐標的二次型。 質(zhì)量矩陣M和剛度(n d)矩陣K都是實對稱矩陣。 按定義動能(dngnng)永遠是正的，且只有當速度全為零時才為零，所以質(zhì)量矩陣M是正定的。 勢能如取最小值為零，則它是非負的，它可以在坐標不全為零時等于零，可見剛度矩陣K既可能是正定的，也可能是半正定的，K為負定的情況這里不加以討論。第31頁/共50頁第30頁/共50頁第三十頁，共50頁。 如果振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣(j zhn)M和剛度矩陣(j zhn)K都是正定的，就稱為正定系統(tǒng)。 如果質(zhì)量矩陣M是正定的，而剛度(n d)矩陣K是半正

21、定的，就稱為半正定系統(tǒng)。 由于產(chǎn)生半正定系統(tǒng)的物理條件是系統(tǒng)具有不完全的約束，所以(suy)整個系統(tǒng)可能象剛體一樣運動。 可見半正定系統(tǒng)一定會出現(xiàn)零值的固有頻率，相應(yīng)的固有振型稱為剛體振型或零振型。 在一般情況下，對于一個半正定系統(tǒng)，系統(tǒng)的運動是剛體運動和彈性運動的復(fù)合。 第32頁/共50頁第31頁/共50頁第三十一頁，共50頁。 例5.4-1 如圖5.4-1所示系統(tǒng)，兩質(zhì)量m1=2m，m2=m，兩質(zhì)量之間的彈簧剛度為2k，求系統(tǒng)的固有頻率( yu pn l)和固有振型。 解 ： 系 統(tǒng) 的 運 動(yndng)微分方程為1 11222122 ()2 ()m xk xxm xk xx 寫 成

22、矩 陣 ( j zhn)形式1122202200220 xxmkkxxmkk 圖 5.4-1第33頁/共50頁第32頁/共50頁第三十二頁，共50頁。假定(jidng)運動是同步的，有 式中Xi(i=1，2)為常數(shù)，f(t)是簡諧函數(shù)(hnsh)，于是有特征值問題112222220220XXkkmXXkkm特征方程為0)62(22222det2222kmmmkkkmk)()(tfXtxii求得特征值為22120,3k m第34頁/共50頁第33頁/共50頁第三十三頁，共50頁。 代入特征值問題(wnt)方程，求出特征向量為(1)(2)11,12XX 此例題中的兩個質(zhì)量組成的系統(tǒng)是不完全(wnq

23、un)約束系統(tǒng)，存在著剛體運動(1=0，X(1)=1 1T)，作為整體的x方向移動。 因為由零固有頻率和剛體振型做所定義(dngy)的剛體運動是特征值問題的一個解，可見任何其他的特征向量必定與之正交，即應(yīng)滿足條件T1(1)2000mXXm第35頁/共50頁第34頁/共50頁第三十四頁，共50頁。 由于(yuy)X(1)是一個元素為同一常數(shù)的向量，上式的結(jié)果為根據(jù)同步(tngb)運動解上式也可以寫成02211xmxm這一式子的物理(wl)意義是：T1(1)11222000mXXm Xm Xm 半正定系統(tǒng)在這樣的自由振動時，其總動量守恒且恒為零值。所以剛體振型的正交性相當于動量守恒。第36頁/共5

24、0頁第35頁/共50頁第三十五頁，共50頁。 例5.4-2 圖5.4-2所示系統(tǒng)，三圓盤的轉(zhuǎn)動慣量分別I1，I2和I3，其間(qjin)兩段軸的抗扭剛度分別為k1和k2，求系統(tǒng)的第一階固有頻率及固有振型，并加以討論。 解：系統(tǒng)解：系統(tǒng)(xtng)(xtng)的動能為的動能為2221 12233T1()212TIIII式中轉(zhuǎn)動慣量矩陣(j zhn)為123000000IIII圖 5.4-2第37頁/共50頁第36頁/共50頁第三十六頁，共50頁。系統(tǒng)(xtng)的勢能為22T12123211 ()() 22UkkK式中剛度(n d)矩陣為1111222200kkKkkkkkk 代入拉格朗日方程(

25、fngchng)可得自由振動的方程(fngchng)為0211111kkI 0)(322211122kkkkI 0322233kkI 第38頁/共50頁第37頁/共50頁第三十七頁，共50頁。 寫成矩陣(j zhn)形式為0IK式中f(t)為簡諧函數(shù)(hnsh)，將此式代入運動微分方程得特征值問題為 系統(tǒng)(xtng)的特征方程為242121223123121 2 311110kkIIIIIIIk kI I I設(shè)同步運動解為 ( )f t2IK 第39頁/共50頁第38頁/共50頁第三十八頁，共50頁。固有(gyu)振型的相對幅值為 322223112112,IkkkIk顯然可見(kjin)，系

26、統(tǒng)的第一階固有頻率和相應(yīng)的固有振型由上面兩式可得可見系統(tǒng)按此振型振動時，各圓盤的扭角都相同，各圓盤之間不產(chǎn)生(chnshng)相對扭角，整個系統(tǒng)以相同的角位移轉(zhuǎn)動，也就是剛體運動。 一個不完全約束系統(tǒng)的一般運動是在剛體運動上疊加彈性振型的組合運動。 T(1)10,1 1 1第40頁/共50頁第39頁/共50頁第三十九頁，共50頁。 需要(xyo)再次指出的是，對于一個半正定系統(tǒng)，至少有一個零特征值，相應(yīng)的固有振型為剛體振型。 不能依據(jù)固有振型各元素相等(xingdng)來定義零固有頻率，實際上，有些正定系統(tǒng)的固有振型的各元素同樣相等(xingdng)，但并不存在零固有頻率。 因為零固有頻率和相

27、應(yīng)的剛體振型是特征值問題(wnt)的一個解，可見任何其他的特征向量必與其正交，即應(yīng)滿足條件(1)T0I所以上式的結(jié)果為0332211III第41頁/共50頁第40頁/共50頁第四十頁，共50頁。根據(jù)(gnj)同步運動的解，并求導(dǎo)可得0332211III 與彈性運動相關(guān)的系統(tǒng)的動量矩等于零。于是(ysh)得出，剛體振型的正交性相當于動量矩守恒。 另一方面的問題(wnt)是半正定系統(tǒng)的剛度矩陣是奇異矩陣，也就是說其不存在逆矩陣，這一點由剛度矩陣的系數(shù)行列式detK等于零顯然可見。 上式的物理意義是： 為了克服系統(tǒng)剛度矩陣的奇異性，必須限制剛體運動，消除剛體振型。 希望能夠?qū)⒁粋€不完全約束系統(tǒng)的特征

28、值問題變換成為一個僅僅尋求彈性振型的問題。 第42頁/共50頁第41頁/共50頁第四十一頁，共50頁。 利用(lyng)剛體振型與其他階固有振型(彈性振型)的正交性條件所建立起來的守恒方程(動量或動量矩守恒)加以約束處理。 0332211III 如以三圓盤(yun pn)系統(tǒng)為例，有2321313IIII得這樣，受約束向量(xingling)r與響應(yīng)向量(xingling)之間的關(guān)系表示如下式1112223312331001rIIII 第43頁/共50頁第42頁/共50頁第四十二頁，共50頁。對于角速度 也存在類似的結(jié)果，所以) 3 , 2 , 1( ii,rrrr(5.4-3)12331001rIIII 這里 起一個(y )約束矩陣的作用。 注意到，雖然受約束向量r和 有三個元素，但方程(5.4-3)中的響應(yīng)向量只有兩個元素1和2 。 r第44頁/共50頁第43頁/共50頁第四十三頁，共50頁。 線性變換(5.4-3)可以用來簡化動能(dngnng)和勢能，使其只含有1和2，依據(jù)動能(dngnng)和勢能的公式，有TTTT111222rrTIr IrI(5.4-4)TTTT111222rrUKr KrK(5.4-5)式中2T1 311 2231 22 321I III IIr IrII II IIT2221 32 11 32 123