印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)

1、代數(shù)學(xué) 印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué) 4.1 印度數(shù)學(xué) 19211922年間印度河流域莫亨佐達(dá)羅、哈拉帕等古代城市遺址的考古挖掘，揭示了一個(gè)悠久的文明，史稱“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”這一文明的創(chuàng)造者是印度土著居民達(dá)羅毗荼人，其歷史可以追溯到公元前3000年左右 如果說希臘數(shù)學(xué)與其哲學(xué)密切相關(guān)，那么古代印度數(shù)學(xué)則更多地受到其宗教的影響雅利安人建立的婆羅門教(公元4世紀(jì)后改革為印度教)，以及稍后(公元前6世紀(jì))興起的佛教、耆那教等，形成了古代印度數(shù)學(xué)發(fā)展的濃厚的宗教氛圍 印度數(shù)學(xué)的發(fā)展可以劃分為3個(gè)重要時(shí)期，首先是雅利安人入侵以前的達(dá)羅毗荼人時(shí)期(約公元前3000一前1400)，史稱河

2、谷文化；隨后是吠陀時(shí)期(約公元前10世紀(jì)一前3世紀(jì))；其次是悉檀多時(shí)期(5世紀(jì)一12世紀(jì)) 4.1.1古代繩法經(jīng) 印度數(shù)學(xué)最早有可考文字記錄的是吠陀時(shí)代，其數(shù)學(xué)材料混雜在婆羅門教的經(jīng)典吠陀當(dāng)中，年代很不確定吠陀即梵文veda，原意為知識(shí)、光明。吠陀內(nèi)容包括對(duì)諸神的頌歌、巫術(shù)的咒語和祭祀的法規(guī)等，這些材料最初由祭司們口頭傳誦，后來記錄在棕櫚葉或樹皮上 這些吠陀中關(guān)于廟宇、祭壇的設(shè)計(jì)與測量的部分測繩的法規(guī)(Sulva strus)，即繩法經(jīng)，大約為公元前8世紀(jì)至公元前2世紀(jì)的作品其中有一些幾何內(nèi)容和建筑中的代數(shù)計(jì)算問題如勾股定理、矩形對(duì)角線的性質(zhì)等。給出了圓周率、根號(hào)2的近似值。 耆那教的經(jīng)典由宗

3、教原理、數(shù)學(xué)原理、算術(shù)和天文等幾部分構(gòu)成。其中出現(xiàn)了許多計(jì)算公式，如圓的周長、弧長等。4.1.2“巴克沙利手稿” 關(guān)于公元前2世紀(jì)至公元后3世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)；可參考資料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地區(qū)一座叫巴克沙利(Bakhashali)的村莊，發(fā)現(xiàn)了這一時(shí)期的書寫在樺樹皮上的所謂“巴克沙利手稿” 其數(shù)學(xué)內(nèi)容十分豐富，涉及到分?jǐn)?shù)、平方根、數(shù)列、收支與利潤計(jì)算、比例算法、級(jí)數(shù)求和、代數(shù)方程等，其代數(shù)方程包括一次方程、聯(lián)立方程組、二次方程特別值得注意的是手稿中使用了一些數(shù)學(xué)符號(hào) :（1）減號(hào)：“12-7”記成“12 7+” （2）零號(hào)：用點(diǎn)表示0 ，后來逐漸演變?yōu)閳A圈 。巴克沙利手稿中出

4、現(xiàn)了完整的十進(jìn)制數(shù)碼 ： 有一塊公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地區(qū)的瓜廖爾(GwMior)城而以瓜廖爾石碑著稱，上面已記有明白無疑的數(shù)“0”瓜廖爾數(shù)系為： 用圓圈符號(hào)“0”表示零，可以說是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明在數(shù)學(xué)上，“0”的意義是多方面的，它既表示“無”的概念，又表示位值記數(shù)中的空位，而且是數(shù)域中的一個(gè)基本元素，可以與其他數(shù)一起運(yùn)算 印度數(shù)碼在公元8世紀(jì)傳入阿拉伯國家，后又通過阿拉伯人傳至 歐洲零號(hào)的傳播則要晚，不過至遲在13世紀(jì)初，斐波那契算經(jīng)中已有包括零號(hào)在內(nèi)的完整印度數(shù)碼的介紹印度數(shù)碼和十進(jìn)位值制記數(shù)法被歐洲人普遍接受之后，在歐洲近代科學(xué)的進(jìn)步中扮演了重要的角色 4.1.3 “悉

5、檀多時(shí)期的印度數(shù)學(xué)” 悉檀多(梵文siddhanta，原為佛教因明術(shù)語，可意譯為“宗”，或“體 系”)時(shí)代是印度數(shù)學(xué)的繁榮鼎盛時(shí)期，其數(shù)學(xué)內(nèi)容主要是算術(shù)與代數(shù)，出現(xiàn)了一些著名的數(shù)學(xué)家，如阿利耶波多(Aryabhata，476一約550)、婆羅摩笈多(Brahmagupta，598665)、馬哈維拉(Mahavira，9世紀(jì))和婆什迦羅(Bhaskara，1114一約1185)等（一）阿耶波多 阿耶波多是現(xiàn)今所知有確切生年的最早的印度數(shù)學(xué)家，他只有一本天文數(shù)學(xué)著作阿耶波多歷數(shù)書(499)傳世該書最突出的地方在于對(duì)希臘三角學(xué)的改進(jìn)和一次不定方程的解法。 阿耶波多把半弦與全弦所對(duì)弧的一半相對(duì)應(yīng)(見圖

6、)，成為今天的習(xí)慣，同時(shí)他以半徑的 作為度量弧的單位，實(shí)際是弧度制度量的開始他還給出了第一象限內(nèi)間隔為345的正弦差值表 34381 阿耶波多最大貢獻(xiàn)是建立了丟番圖方程求解的所謂“庫塔卡”(kuttaka，原意“粉碎”)方法，采用輾轉(zhuǎn)相除法的演算程序，接近于連分?jǐn)?shù)算法 (二)婆羅摩笈多 婆羅摩笈多的兩部天文著作婆羅摩修正體系(628)和肯德卡迪亞格(約665)，都含有大量的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其代數(shù)成就十分可貴 比較完整地?cái)⑹隽肆愕倪\(yùn)算法則 利用二次插值法構(gòu)造了間隔為15的正弦函數(shù)表 獲得了邊長為 的四邊形的面積公式（有誤）：dcba,)()()(dpcpbpapS2/(dcbap 實(shí)際上這一公式只 適

7、用于圓內(nèi)接四邊形，婆羅摩笈多未意識(shí)到這一點(diǎn)，后來馬哈維拉，由這一公式出發(fā)將三角形視為有一邊為零的四邊形，得到了海倫公式。(三)馬哈維拉 7世紀(jì)以后，印度數(shù)學(xué)出現(xiàn)了沉寂，到9世紀(jì)才又呈現(xiàn)出繁榮如果說7世紀(jì)以前印度的數(shù)學(xué)成就總是與天文學(xué)交織在一起，那么9世紀(jì)以后發(fā)生了改變 耆那教徒馬哈維拉的計(jì)算方法綱要(The Ganita-Sra-Sangraha)可以說是一部系統(tǒng)的數(shù)學(xué)專著，全書有9個(gè)部分：(1)算術(shù)術(shù)語，(2)算術(shù)運(yùn)算，(3)分?jǐn)?shù)運(yùn)算，(4)各種計(jì)算問題，(5)三率法(即比例)問題，(6)混合運(yùn)算，(7)面積計(jì)算，(8)土方工程計(jì)算，(9)測影計(jì)算 給出了一般性的組合數(shù) 公式 knC給出橢圓

8、周長近似公式： .162422abC(四)婆什迦羅 婆什迦羅是印度古代和中世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，長期在烏賈因負(fù)責(zé)天文臺(tái)工作他有兩本代表印度古代數(shù)學(xué)最高水平的著作莉拉沃蒂(Llvat)和算法本源，天文著作有天球和天文系統(tǒng)之冠 莉拉沃蒂共有13章：第1章給出算學(xué)中的名詞術(shù)語；第2章是關(guān)于整數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，包括加、減、乘、除、平方、開平方、立方、開立方等；第3章論各種計(jì)算法則和技巧；第4章關(guān)于利率等方面的應(yīng)用題；第5 章數(shù)列計(jì)算問題，主要是等差數(shù)列和等比數(shù)列；第6章關(guān)于平面圖形的度量計(jì)算；第7至10章關(guān)于立體幾何的度量計(jì)算；第11章為測量問題；第12章是代數(shù)問題，包括不定方程；第13章是一些

9、組合問題 能夠熟地使用諸如和差與半角等三角公式 能夠認(rèn)識(shí)并廣泛使用無理數(shù) 4.2 阿拉伯?dāng)?shù)學(xué) “阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)”并非單指阿拉伯國家的數(shù)學(xué)，而是指815世紀(jì)阿拉伯帝國統(tǒng)治下整個(gè)中亞和西亞地區(qū)的數(shù)學(xué)，包括希臘人、波斯人和基督徒等所寫的阿拉伯文數(shù)學(xué)著作 在世界文明史上，阿拉伯人在保存和傳播希臘、印度甚至中國的文化，最終為近代歐洲的文藝復(fù)興準(zhǔn)備學(xué)術(shù)前提方面作出了巨大貢獻(xiàn) 他們掀起了著名的翻譯運(yùn)動(dòng)：在曼蘇爾哈里發(fā)時(shí)期，婆羅摩笈多等印度天算家的著作在766年左右已傳入巴格達(dá)，并譯成阿拉伯文；8世紀(jì)末到9世紀(jì)初的蘭希哈里發(fā)時(shí)期，包括幾何原本和大匯編在內(nèi)的希臘天文數(shù)學(xué)經(jīng)典先后被譯成阿拉伯文；9世紀(jì)最著名翻譯家伊本

10、科拉(Tabit ibn Qorra，836901)翻譯了歐幾里得、阿波羅尼奧斯、阿基米德、托勒玫、狄奧多修斯等人的著作；到10世紀(jì)丟番圖、海倫等人著作也被譯成阿拉伯文。4.2.1 阿拉伯的代數(shù)(一)花拉子米(代數(shù)學(xué)) 阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的突出成就首先表現(xiàn)在代數(shù)學(xué)方面花拉子米(Mohammed ibn Ms-Khowarizmi，約783-850)是中世紀(jì)對(duì)歐洲數(shù)學(xué)影響最大的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家，他的還原與對(duì)消計(jì)算概要(約820年前后)一書在12世紀(jì)被譯成拉丁文，在歐洲產(chǎn)生巨大影響阿拉伯語“al-jabr”，意為還原移項(xiàng)；“wal-muqabala”即對(duì)消之意傳入歐洲后，到14世紀(jì)“al-jabr”演變?yōu)槔?/p>

11、語“algebra”，也就成了今天的英文“algebra”(代數(shù))，因此花拉子米的上述著作通常就稱為代數(shù)學(xué) 書中用代數(shù)方式處理了線性方程組與二次方程，第一次給出了一元二次方程的一般代數(shù)解法及幾何證明，同時(shí)又引進(jìn)了移項(xiàng)、同類項(xiàng)合并等代數(shù)運(yùn)算等等，這一切為作為“解方程的科學(xué)”的代數(shù)學(xué)開拓了道路 代數(shù)學(xué)約1140年被英國人羅伯特(Robert of Chester)譯成拉丁文，作為標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)課本在歐洲使用了數(shù)百年，引導(dǎo)了16世紀(jì)意大利代數(shù)方程求解方面的突破. 代數(shù)學(xué)分六章敘述6種類型的一、二次方程求解問題 第1章討論“平方等于根”的方程，即 型方程；bxax2bax2bax qpxxpxqxqpxx

12、222,第2章討論“平方等于數(shù)”的方程，即 型方程；第3章討論“根等于數(shù)”的方程，即一次方程 ；第4、5、6章是關(guān)于三項(xiàng)二次方程求解問題，分別討論三種類型的二次方程： 都給出了相應(yīng)的求根公式 花拉子米還指出，任何二次方程都可以通過“還原”與“對(duì)消”(即移項(xiàng)與合并同類項(xiàng))的步驟化成他所討論的六種類型方程由此可見，代數(shù)學(xué)關(guān)于方程的討論已超越傳統(tǒng)的算術(shù)方式，具有明顯的代數(shù)特征 。 花拉子米的另一本書印度計(jì)算法(Algoritmi de numero indorum)也是數(shù)學(xué)史上十分有價(jià)值的數(shù)學(xué)著作，其中系統(tǒng)介紹了印度數(shù)碼和十進(jìn)制記數(shù)法，以及相應(yīng)的計(jì)算方法 該書書名全譯應(yīng)為“花拉子米的印度計(jì)算法”，其

13、中Algoritmi是花拉子米的拉丁譯名，現(xiàn)代術(shù)語“算法”(Algorithm)即源于此 正是花拉子米的這本書使它們?cè)诎⒗澜缌餍衅饋?，更值得稱道的是，它后來被譯成拉丁文在歐洲傳播，所以歐洲一直稱這種數(shù)碼為阿拉伯?dāng)?shù)碼 （三）奧馬海亞姆與三次方程 波斯人奧馬海亞姆(Omar Khayyam，1048?1131)是11世紀(jì)最著名且最富成就的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和詩人。 他在代數(shù)學(xué)方面的成就集中反映于他的還原與對(duì)消問題的論證(簡稱代數(shù)學(xué))一書中，其中有開平方、開立方算法，但該書對(duì)代數(shù)學(xué)發(fā)展最杰出的貢獻(xiàn)是用圓錐曲線解三次方程 奧馬海亞姆首先將不高于三次的代數(shù)方程分為25類(系數(shù)為正數(shù))，找到14類三次方

14、程，對(duì)每類三次方程給出相應(yīng)一種幾何解法。 例如解 ，首先將其化為 (這 里 ， 按照希臘人的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)， 是線段， 正方形， 為長方體)。 baxx3dcxcx223bdcac22,ba,2cdc2 方程 的解就是拋物線 與半圓 交點(diǎn)橫坐標(biāo)x dcxcx223cyx 2)(2xdxy 他首先畫出正焦弦為c的拋物線，再畫出直徑為d的半圓過它們的交點(diǎn)作垂線PS，則QS長度就是方程的解這一創(chuàng)造，使代數(shù)與幾何的聯(lián)系更加密切 4.2.2阿拉伯的三角學(xué)與幾何學(xué) 由于數(shù)理天文學(xué)的需要，阿拉伯人繼承并推進(jìn)了希臘的三角術(shù)，其學(xué)術(shù)主要來源于印度的蘇利耶歷數(shù)全書等天文歷表，以及希臘托勒玫的大匯編、梅尼勞斯的球面論(S

15、phaerica)等古典著作 對(duì)希臘三角學(xué)加以系統(tǒng)化的工作是由9世紀(jì)天文學(xué)家阿爾巴塔尼(al-Batta ni，858?-929)作出的，而且他也是中世紀(jì)對(duì)歐洲影響最大的天文學(xué)家其天文論著(又名星的科學(xué))被普拉托譯成拉丁文后，在歐洲廣為流傳，哥白尼、第谷、開普勒、伽利略等人都利用和參考了它的成果 在該書中阿爾巴塔尼創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學(xué)術(shù)語，如正弦、余弦、正切、余切他稱正弦為ji va，拉丁語譯作sinus，后來演變?yōu)橛⒄Zsine；稱正切為umbraversa，意即反陰影；余切為umbrarecta，意即直陰影后來演變拉丁語分別為tangent和cotangent，首見于丹麥數(shù)學(xué)家芬克(15611

16、656)的圓的幾何(1583)一書中 而正割、余割是阿拉伯另一天文學(xué)家艾布瓦法(Abul-Wafa，940997?)最先引入的 艾布瓦法和比魯尼等人進(jìn)一步豐富了三角學(xué)公式艾布瓦法曾在巴格達(dá)天文臺(tái)工作，其重要的天文學(xué)著作天文學(xué)大全繼承并發(fā)展了托勒玫的大匯編。其中除一些精細(xì)的三角函數(shù)表外，還證明了與兩角和、差、倍角和半角的正弦公式等價(jià)的關(guān)于弦的一些定理，證明了平面和球面三角形的正弦定理 比魯尼曾經(jīng)得到馬蒙(Mamun)哈里發(fā)的支持，在烏爾根奇建造天文臺(tái)并從事天文觀測，是一位有146多部著作的多產(chǎn)學(xué)者，其馬蘇德規(guī)律一書，在三角學(xué)方面有一些創(chuàng)造性的工作他給出一種測量地球半徑的方法。 比魯尼還證明了正弦

17、公式、和差化積公式、倍角公式和半角公式，后來阿爾卡西利用這些公式計(jì)算了sinl的值 如果說希臘以來，三角術(shù)僅是天文學(xué)的附屬的話，那么這種情況在納西爾丁那里發(fā)生了一些改變 他的天文學(xué)著作伊兒汗天文表(1271)是歷法史上的重要著作，其中測算出歲差51每年，其天文寶庫則對(duì)托勒玫的宇宙體系加以評(píng)注，并提出新的宇宙模型。 他的論完全四邊形是一部脫離天文學(xué)的系統(tǒng)的三角學(xué)專著該書系統(tǒng)闡述了平面三角學(xué)，明確給出正弦定理討論球面完全四邊形，對(duì)球面三角形進(jìn)行分類，指出球面直角三角形的6種邊角關(guān)系(C為直角)： .cottansin;sinsinsin;cottancos;sincoscos;cotcotcos;coscoscosBabBcbCbABaABAcbac并討論了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入極三角形的概念以解斜三角形他指出在球面三角形中，由三邊可以求三角，反之，由三角可以求三邊，這是球面三角與平面三角相區(qū)別的一個(gè)重要標(biāo)志納西爾丁的論完全四邊形對(duì)15世紀(jì)歐洲三角學(xué)的發(fā)展起著非常重要的作用 與希臘人三角術(shù)的幾何性質(zhì)相比，阿拉伯人的三角術(shù)與印度人一樣是算術(shù)性的例如由正弦值求余弦值時(shí)，他們利用恒等式 作代數(shù)運(yùn)算而求解，而不是利用幾何關(guān)系來推算，這是一種進(jìn)步1cossin22 與阿拉伯人的代