第3章 恒定電流的電場和磁場

1、第三章第三章 恒定電流的電場和磁場恒定電流的電場和磁場 3.1 3.1 恒定電流的電場恒定電流的電場 3.2 3.2 磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度 3.3 3.3 恒定磁場的基本方程恒定磁場的基本方程 3.4 3.4 矢量磁位矢量磁位 3.5 3.5 磁磁偶極子偶極子 3.6 3.6 磁介質(zhì)中的場方程磁介質(zhì)中的場方程 3.7 3.7 恒定磁場的邊界條件恒定磁場的邊界條件 3.8 3.8 互感和自感互感和自感 3.9 3.9 磁場能量磁場能量 3.1 3.1 恒定電流的電場恒定電流的電場 3.1.1 3.1.1 電流密度電流密度 l流動方向VS1.1.體體電流密度電流密度設(shè)通過設(shè)通過SS的電流為的電流為

2、II，則該點(diǎn)處的電流密度，則該點(diǎn)處的電流密度J J為為 ndSdInSIJS0lim通過面積通過面積S S的電流就的電流就等于電流密度等于電流密度J J在在S S上的通量，即上的通量，即 SSdSJSdJicosvJ2. 2. 面電流密度面電流密度 ndldInlIJlS0lim3.1.2 3.1.2 電荷守恒定律電荷守恒定律 VSdVdtddtdqSdJdVtSdJVS0dVtJV要使這個積分對任意的體積要使這個積分對任意的體積V V均成立，必須使被均成立，必須使被積函數(shù)為零，即積函數(shù)為零，即 0tJ0t0 JSSdJ0由于由于3.1.3 3.1.3 歐姆定律的微分形式歐姆定律的微分形式 E

3、J材 料 電導(dǎo)率/(S/m) 鐵(99.98%) 107 黃銅 1.46107 鋁 3.54107 金 3.10107 鉛 4.55107 銅 5.80107 銀 6.20107 硅 1.5610-3 ABl dE0ll dElABl dEEdlE) (3.1.4 3.1.4 焦耳定律焦耳定律 在導(dǎo)體中，沿電流線方向取一長度為在導(dǎo)體中，沿電流線方向取一長度為l l、截面為、截面為S S的體積元，該體積元的體積元，該體積元內(nèi)消耗的功率為內(nèi)消耗的功率為 VEJSlEJIlEIUP 當(dāng)當(dāng)V V00，得導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的熱功率密度，得導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的熱功率密度20limEEJVPpVEJp焦耳定律的微分形式

4、。焦耳定律的微分形式。 3.1.5 3.1.5 恒定電流場的基本方程恒定電流場的基本方程 00EJlSl dESdJ00電源外部導(dǎo)體中恒定電場的基本方程：電源外部導(dǎo)體中恒定電場的基本方程： 與其相應(yīng)的積分形式為與其相應(yīng)的積分形式為 由于恒定電場的旋度為零，因而可以引由于恒定電場的旋度為零，因而可以引入電位入電位, , 。在均勻?qū)w內(nèi)部。在均勻?qū)w內(nèi)部( (電導(dǎo)率電導(dǎo)率為常數(shù)為常數(shù)) )，有，有 E0)(2E3.1.6 3.1.6 恒定電流場的邊界條件恒定電流場的邊界條件 0)(0)(1212JJnEEn或或 ttnnEEJJ2121恒定電流場的邊界條件為恒定電流場的邊界條件為 在恒定電場中，在

5、恒定電場中， 用電位用電位表示的邊界條件為表示的邊界條件為 21nn2211 時，時， 分界面上的面電荷密度為零。分界面上的面電荷密度為零。 1122應(yīng)用邊界條件，可得應(yīng)用邊界條件，可得 2121tantan 可以看出，當(dāng)可以看出，當(dāng)1 12 2，即第一種媒質(zhì)為良導(dǎo)體，即第一種媒質(zhì)為良導(dǎo)體時，第二種媒質(zhì)為不良導(dǎo)體時，時，第二種媒質(zhì)為不良導(dǎo)體時， 只要只要1 1/2, /2, 2 200，即在不良導(dǎo)體中，即在不良導(dǎo)體中， 電力線近似地與分界面電力線近似地與分界面垂直。這樣，垂直。這樣，可以將良導(dǎo)體的表面看作等位面?？梢詫⒘紝?dǎo)體的表面看作等位面。 3.1.7 3.1.7 恒定電流場與靜電場的比擬恒

6、定電流場與靜電場的比擬 恒定電場與靜電場的比較恒定電場與靜電場的比較 當(dāng)某一特定的靜電問題的解已知時，與其當(dāng)某一特定的靜電問題的解已知時，與其相應(yīng)的恒定電場的解可以通過對偶量的代換相應(yīng)的恒定電場的解可以通過對偶量的代換（將（將D D、q q和和 換為換為J J、I I、 ）直接得出。這種）直接得出。這種方法稱方法稱靜電比擬法靜電比擬法。 靜電場中一個重要內(nèi)容是求電容，恒定電靜電場中一個重要內(nèi)容是求電容，恒定電場中重要內(nèi)容是求電導(dǎo)。利用靜電比擬法，若場中重要內(nèi)容是求電導(dǎo)。利用靜電比擬法，若已知電容已知電容C C就可以求出電導(dǎo)就可以求出電導(dǎo)G G。21l dESdEUqCS21l dESdEUIG

7、SaadnC1aadnG1例如，將金屬導(dǎo)體例如，將金屬導(dǎo)體1 1、2 2作為正、負(fù)極板置于無作為正、負(fù)極板置于無限大導(dǎo)電媒質(zhì)中，如上圖所示，可用靜電比擬限大導(dǎo)電媒質(zhì)中，如上圖所示，可用靜電比擬法從電容計(jì)算極板間的電導(dǎo)。法從電容計(jì)算極板間的電導(dǎo)。求電導(dǎo)的方法：求電導(dǎo)的方法：1 1、假設(shè)電極間流過電流、假設(shè)電極間流過電流I I，然后按照，然后按照I IJ J E E U U G G步驟（或假設(shè)兩電極間電壓步驟（或假設(shè)兩電極間電壓U U，然后按照，然后按照U UE E J J I I G G ）求得）求得G G。這種方法適用于。這種方法適用于場分布具有對稱性的情況。場分布具有對稱性的情況。2 2、求

8、解恒定電場的邊值問題，得到電位函數(shù)、求解恒定電場的邊值問題，得到電位函數(shù) ，再按照再按照 E E J J I I G G 步驟求步驟求G G。3 3、當(dāng)恒定電場與靜電場具有相同的邊界條件時，、當(dāng)恒定電場與靜電場具有相同的邊界條件時，利用靜電比擬法，若已求得靜電場中兩導(dǎo)體間的利用靜電比擬法，若已求得靜電場中兩導(dǎo)體間的電容，可由對偶關(guān)系電容，可由對偶關(guān)系 求出求出G G。 例例 3-1 3-1 電導(dǎo)率為電導(dǎo)率為的均勻無界電介質(zhì)中，有兩個半的均勻無界電介質(zhì)中，有兩個半徑分別為徑分別為r r1 1和和r r2 2的理想導(dǎo)體小球，兩球間的距離的理想導(dǎo)體小球，兩球間的距離d d r r1 1 ，drdr2

9、 2，求兩導(dǎo)體球面間的電阻。，求兩導(dǎo)體球面間的電阻。 例例 3-2 3-2 設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a a，外導(dǎo)體內(nèi)半徑，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為為b b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為，內(nèi)外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為 的導(dǎo)電媒質(zhì)。求同的導(dǎo)電媒質(zhì)。求同軸線單位長度的漏電電導(dǎo)。軸線單位長度的漏電電導(dǎo)。abr3.2 3.2 磁磁 感感 應(yīng)應(yīng) 強(qiáng)強(qiáng) 度度 安培定律安培定律 1. 安培力定律：安培力定律：在真空中載有電流在真空中載有電流I I1 1的回路的回路C C1 1上任上任一線元一線元d dl l1 1對另一載有電流對另一載有電流I I2 2的回路的回路C C2 2上任一線元上任一線元d dl l2

10、2的的作用力表示為作用力表示為 31122012)(4RRl dIl dIFd31122012)(421RRl dIl dIFCC 31102212124RRl dIul dIFCC令令 131104CRRl dIB若電流不是線電流，而是具有體分布的電流若電流不是線電流，而是具有體分布的電流J J，則改為，則改為 ) (4)(30dVRRrJrBV) (4)(30dSRRrJrBSS2.2.磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度對以速度對以速度v v運(yùn)動的點(diǎn)電荷運(yùn)動的點(diǎn)電荷q q，其在外磁場，其在外磁場B B中受的力是中受的力是 BvqF 如果空間還存在外電場如果空間還存在外電場E E，帶電，帶電q q以速度以

11、速度v v運(yùn)動的點(diǎn)電運(yùn)動的點(diǎn)電荷在外電磁場荷在外電磁場( (E E，B B) )中受到的電中受到的電磁力為磁力為 )(BvEqF上式稱為洛侖茲力公式。上式稱為洛侖茲力公式。 例例 3-3 3-3 求載流求載流I I的有限長直導(dǎo)線外任一點(diǎn)的磁場。的有限長直導(dǎo)線外任一點(diǎn)的磁場。 例例 3-4 3-4 （習(xí)題（習(xí)題3-83-8）一個正）一個正n n邊形（外接圓邊形（外接圓半徑為半徑為a a）線圈中通過的電流為）線圈中通過的電流為I I，試證明線，試證明線圈中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度為圈中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度為nanIBtan20 作業(yè)：作業(yè)：如圖表示一條如圖表示一條“無線長無線長”傳送電流的扁平銅傳送電流的扁平銅片

12、，寬度為片，寬度為a，厚度不計(jì)，電流為，厚度不計(jì)，電流為I，求離銅片中心，求離銅片中心線正上方線正上方y(tǒng)處處P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。3.3 3.3 恒定磁場的基本方程恒定磁場的基本方程 3.3.1 3.3.1 磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理 磁感應(yīng)強(qiáng)度在有向曲面上的通量簡稱為磁通量磁感應(yīng)強(qiáng)度在有向曲面上的通量簡稱為磁通量( (或或磁通磁通) )，單位是，單位是WbWb( (韋伯韋伯) )，用，用表示表示： sSdB如如S S是一個閉曲面，是一個閉曲面， 則則 SSdBSCCSSRSdRlIdSdRRlIdSdB303044SSCSdRlIdSdB140由矢量恒定式由矢量恒定式 VSSd

13、AdVA則有則有 dVRlIdSdBVSC14001R所以所以 SSdB0使用散度定理使用散度定理SVdVBSdB00 B 上式是磁通連續(xù)性原理的微分形式，它表明磁感上式是磁通連續(xù)性原理的微分形式，它表明磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)強(qiáng)度B B是一個是一個無無散場散場。 3.2.2 3.2.2 安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律 安培環(huán)路定律總結(jié)了恒定磁場與場源電流間安培環(huán)路定律總結(jié)了恒定磁場與場源電流間的依賴關(guān)系。的依賴關(guān)系。 安培總結(jié)出磁感應(yīng)強(qiáng)度與電流的一般規(guī)律安培總結(jié)出磁感應(yīng)強(qiáng)度與電流的一般規(guī)律: : 真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度沿閉合路徑的線積分等于該閉真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度沿閉合路徑的線積分等于該閉合路徑包圍電流的代數(shù)和乘以合路

14、徑包圍電流的代數(shù)和乘以0 0, , 取與回路成右取與回路成右螺旋關(guān)系的電流為正螺旋關(guān)系的電流為正, , 反之為負(fù)。反之為負(fù)。數(shù)學(xué)表示式為：數(shù)學(xué)表示式為： Il dBC0Il dBC0 根據(jù)斯托克斯定理，可以得安培回路定律的微分形式：根據(jù)斯托克斯定理，可以得安培回路定律的微分形式： CCSdBl dB)(由于由于 SSdJISSSdJSdB0)(JB0 上式是安培環(huán)路定律的微分形式，它說明上式是安培環(huán)路定律的微分形式，它說明磁場磁場的渦旋源是電流的渦旋源是電流。 例例3-63-6半徑為半徑為a a的無限長直導(dǎo)線，載有電流的無限長直導(dǎo)線，載有電流I I，計(jì)算導(dǎo)計(jì)算導(dǎo)體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。體內(nèi)、外的

15、磁感應(yīng)強(qiáng)度。 例例3-7 3-7 半徑為半徑為a a的圓柱區(qū)域內(nèi)部有沿軸向方向的電的圓柱區(qū)域內(nèi)部有沿軸向方向的電流，其電流密度為流，其電流密度為計(jì)算柱內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。計(jì)算柱內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。arJeJz0注意：注意： 使用安培環(huán)路定律求使用安培環(huán)路定律求B B和和H H，必須根據(jù)磁，必須根據(jù)磁場的對稱性，選擇是場的對稱性，選擇是H H能提到積分號外或沿回能提到積分號外或沿回路的某段路的某段H H的方向與回路繞行方向垂直的環(huán)路。的方向與回路繞行方向垂直的環(huán)路。能用安培環(huán)路定律求能用安培環(huán)路定律求B B和和H H盡量用此方法。盡量用此方法。3.4 3.4 矢矢 量量 磁磁 位位 定義式定義式

16、 AB0 A庫侖規(guī)范庫侖規(guī)范 JA0AAA2JA02磁矢位的泊松方程磁矢位的泊松方程對無源區(qū)對無源區(qū)( ( ) )，磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程，磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程，即即 02 AzzyyxxAeAeAeA2222zzyyxxJAJAJA020202VzzVyyVxxdVRJAdVRJAdVRJA4440000J將其寫成矢量形式為將其寫成矢量形式為 VdVRJA40若磁場由面電流若磁場由面電流J JS S產(chǎn)生，其磁矢位為產(chǎn)生，其磁矢位為 SSdSRJA40線電流產(chǎn)生的磁矢位為線電流產(chǎn)生的磁矢位為 lRlIdA40磁通的計(jì)算也可以通過磁矢位表示：磁通的計(jì)算也可以通過磁矢位表示： SCSl

17、dASdASdB)( 例例 3-9 3-9 求長度為求長度為l l 的載流直導(dǎo)線的磁矢位。的載流直導(dǎo)線的磁矢位。例例 310 310 一根長直細(xì)導(dǎo)線，通有電流一根長直細(xì)導(dǎo)線，通有電流I I旁有一個矩旁有一個矩形回路。它的尺寸和位置如圖。試用矢量磁位計(jì)算形回路。它的尺寸和位置如圖。試用矢量磁位計(jì)算穿過矩形回路的磁通。穿過矩形回路的磁通。IABCxzba 一個載流回路的磁矩是一個矢量，其一個載流回路的磁矩是一個矢量，其方向與環(huán)方向與環(huán)路的法線方向一致，大小等于電流乘以回路面積，路的法線方向一致，大小等于電流乘以回路面積，即其定義為即其定義為 SIm 當(dāng)場點(diǎn)到載流小線圈的距離遠(yuǎn)大于它的尺寸當(dāng)場點(diǎn)到載

18、流小線圈的距離遠(yuǎn)大于它的尺寸時，這個載流小線圈就是一個時，這個載流小線圈就是一個磁偶極子磁偶極子。可用。可用載流回路的磁矩來描述其磁性質(zhì)。載流回路的磁矩來描述其磁性質(zhì)。 磁介質(zhì)中分子或原子內(nèi)的電子運(yùn)動形成分子磁介質(zhì)中分子或原子內(nèi)的電子運(yùn)動形成分子電流，形成分子磁矩電流，形成分子磁矩3.5 3.5 磁偶極子磁偶極子3.6 3.6 磁介質(zhì)中的場方程磁介質(zhì)中的場方程 無外磁場作用時，分子磁矩不規(guī)則排列，宏無外磁場作用時，分子磁矩不規(guī)則排列，宏觀上不顯磁性。觀上不顯磁性。在外磁場作用下，分子磁矩定在外磁場作用下，分子磁矩定向排列，宏觀上顯示出磁性，這種現(xiàn)象稱為向排列，宏觀上顯示出磁性，這種現(xiàn)象稱為磁介

19、質(zhì)的磁化。磁介質(zhì)的磁化。 無外加磁場無外加磁場外加磁場外加磁場B3.6.1 3.6.1 磁化強(qiáng)度磁化強(qiáng)度 VmMV0lim如在磁化介質(zhì)中的體積元如在磁化介質(zhì)中的體積元V V內(nèi)，內(nèi)， 每一個分子磁矩的大每一個分子磁矩的大小小和方向全相同和方向全相同( (都為都為m)m)， 單位體積內(nèi)分子數(shù)是單位體積內(nèi)分子數(shù)是N N， 則則磁化強(qiáng)度為磁化強(qiáng)度為 mNVmVNM3.6.2 3.6.2 磁化電流磁化電流 可將磁矢位的表示式變形為可將磁矢位的表示式變形為 VVdSRnMdVRMA4400nMJMJmSm3.6.3 3.6.3 磁場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度 在外磁場的作用下，磁介質(zhì)內(nèi)部有磁化電流在外磁場的作用下，磁介

20、質(zhì)內(nèi)部有磁化電流J Jm m。 磁磁化電流化電流J Jm m和外加的電流和外加的電流J J都產(chǎn)生磁場，這時應(yīng)將真空中的都產(chǎn)生磁場，這時應(yīng)將真空中的安培環(huán)路定律修正為下面的形式：安培環(huán)路定律修正為下面的形式： SdJJIIl dBSmCm)()(00l dMIl dBCC00CIl dMB0令令 MBH0CIl dH與上式相應(yīng)的微分形式是與上式相應(yīng)的微分形式是 JH3.6.4 3.6.4 磁導(dǎo)率磁導(dǎo)率 )(0MHBM M與與H H間的關(guān)系為間的關(guān)系為 HMmHHHxMHBrm000)1 ()(3.6.5 3.6.5 磁介質(zhì)中恒定磁場基本方程磁介質(zhì)中恒定磁場基本方程 0BJHSSCSdBSdJl

21、dH0 例例3-11 3-11 通有電流通有電流I I，半徑為，半徑為R R的無限長圓柱導(dǎo)體的磁的無限長圓柱導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為導(dǎo)率為，其內(nèi)有一半徑為，其內(nèi)有一半徑為a a的不同軸的圓柱空腔，的不同軸的圓柱空腔，兩軸線距離為兩軸線距離為b b，求空腔內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，求空腔內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B B。3.7 3.7 恒定磁場的邊界條件恒定磁場的邊界條件 Bn的邊界條件 1.1.法向邊界條件法向邊界條件021SnBSnBnnBB12寫成矢量形式為寫成矢量形式為 0)(12BBnHt的邊界條件 2.2.切向邊界條件切向邊界條件SSdJllHlH)(12若界面上的電流可以看成面電流，若界面上的電流可以看成面電流，

22、 則則 lbJSdJSSlbJlHHlS )(12考慮到考慮到l l= =b bn n, , 得得 bJHHnbS)()(12bJbHHnS)(12SJHHn)(12如果無面電流如果無面電流( (J JS S=0=0)0)(12HHnttHH12 3.3.折射定律折射定律11221122coscossinsinBBHH上式兩式相除上式兩式相除2121tantan這表明，磁力線在分界面上要改變方向。若介質(zhì)這表明，磁力線在分界面上要改變方向。若介質(zhì)1 1為鐵為鐵磁材料，介質(zhì)磁材料，介質(zhì)2 2為空氣，此時為空氣，此時2 2 1 1, , 則則2 2 1 1，B B2 2 B B1 1。 例例3-12

23、 3-12 如圖所示，無限長直線電流如圖所示，無限長直線電流I I位于磁導(dǎo)率位于磁導(dǎo)率為為 的磁介質(zhì)與空氣的分界面上。試求的磁介質(zhì)與空氣的分界面上。試求磁介質(zhì)內(nèi)外磁介質(zhì)內(nèi)外的磁場分布。的磁場分布。IOzx03.8 3.8 互感和自感互感和自感 1. 1.自感：自感：一個回路的自感定義為回路的磁鏈和回一個回路的自感定義為回路的磁鏈和回路電流之比，路電流之比， 用用L L表示，表示， 即即 IL11212IM22121IM可以用載流回路可以用載流回路C C2 2的磁場在回路的磁場在回路C C1 1上產(chǎn)生的磁鏈上產(chǎn)生的磁鏈2121與與電流電流I I2 2的比來定義互感的比來定義互感M M2121，即

24、，即 2.2.互感：互感：21221121222l dASdBSC1110124CRl dIA 21212101121221101244CCCCRl dl dIMRl dl dIMMM2112例例 313 313 一根長直導(dǎo)線與一邊長為一根長直導(dǎo)線與一邊長為a ab b的矩形線的矩形線圈共面圈共面。線圈。線圈b b邊與直線平行，接近直導(dǎo)線的邊與直線平行，接近直導(dǎo)線的b b邊到邊到直導(dǎo)線的距離為直導(dǎo)線的距離為d d，求兩導(dǎo)線間的互感。，求兩導(dǎo)線間的互感。IIabrddr思考題：（習(xí)題思考題：（習(xí)題3-273-27）一個直長導(dǎo)線和一個圓）一個直長導(dǎo)線和一個圓環(huán)（半徑為環(huán)（半徑為a a）在同一平面內(nèi)

25、，圓心與導(dǎo)線的）在同一平面內(nèi)，圓心與導(dǎo)線的距離為距離為d,d,求它們之間的互感。求它們之間的互感。 當(dāng)保持回路當(dāng)保持回路 2 2 的電流的電流i i2 2=0=0時，回路時，回路1 1中的電流中的電流i i1 1在在d dt t時間內(nèi)有一個增量時間內(nèi)有一個增量d di i1 1, , 周圍空間的磁場將發(fā)生改變，周圍空間的磁場將發(fā)生改變，回路回路1 1和和2 2 的磁通分別有增量的磁通分別有增量d d1111和和dd1212，相應(yīng)地在，相應(yīng)地在兩個回路中要產(chǎn)生感應(yīng)電勢兩個回路中要產(chǎn)生感應(yīng)電勢E E1 1=-d=-d1 11 1/d/dt t和和E E2 2=-=-dd1212/d/dt t。感應(yīng)電勢的方向總是阻止電流增加。感應(yīng)電勢的方向總是阻止電流增加。所以在所以在d dt t時間里，電源作功為時間里，電源作功為 111111111122111diiLdidtiEdtiUdtiU