高三數(shù)列復習專題-證明不等式：函數(shù)放縮方向

1、高三數(shù)列復習專題證明不等式：函數(shù)放縮方向里水高中 蔡宏展題目 ?人教版必修5?第三章 不等式3.1不等關系與不等式習題3.1 A組題3，求證：說題意此題意在讓學生運用不等式的性質去證明不等式說此題意在結合不同的解法及拓展過程中，說清楚證明不等式的方法：構造函數(shù)法；并且結合數(shù)列，說清楚與數(shù)列及前項和有關的不等式的證明方法，其中運用到的知識點及思想方法在下面結合解法進行具體闡述說思維和思路解法1解題思路由可得，而要證：即證：，即假設，那么即證：差比法即證：由，易得 所以，即分析法高中數(shù)學課本中，還有兩組習題： eq oac(,1)?人教版必修5?第三章 不等式3.1不等關系與不等式習題3.1 B組

2、題1：比擬以下各組中兩個代數(shù)式的大小：1與； 2與；3當時，與； 4與 eq oac(,2)?人教版選修22?第一章 不等式1.3 導數(shù)研究函數(shù)習題1.3 B組題1： 利用函數(shù)的單調性，證明以下不等式，并通過函數(shù)圖像直觀驗證：1，； 2，3，； 4，證明不等式其中兩個常用思路，比擬法差比法及構造法構造函數(shù)，其中主要涉及了不等式的性質、導數(shù)研究函數(shù)、比擬法/分析法/構造法等知識，并且在其中運用了數(shù)形結合、分類討論等思想方法結合導數(shù)研究函數(shù)特別重視構造法構造函數(shù)這個思路以下先從正反兩個方向對構造函數(shù)的方法進行推廣，然后再結合數(shù)列不等式的證明進行拓展推廣12021年北京卷設為曲線在點處的切線1求的方

3、程；2證明：除切點之外，曲線在直線的下方變式122021年深圳一模，且直線與曲線相切假設對內的一切實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍拓展13設函數(shù)，其中1當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調性；2證明：對任意的正整數(shù)，不等式都成立通過上述推廣及拓展，可以得出下面幾點結論：其一，證明不等式問題，常先適當?shù)葍r轉化，然后選擇作差為切入點；其二，當遇到超越函數(shù)時，結合導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值來證明不等式；其三，數(shù)列其實一個特殊的函數(shù)，可以把涉及數(shù)列的問題先轉化為函數(shù)問題研究，然后在回歸數(shù)列問題解法2證明：由 所以假設，那么 因為，所以所以假設，那么 所以在上述證明不等式過程中運用了不等式的性質，在想深一

4、點我們證明數(shù)列不等式常用的放縮法不就是不等式性質的表達，數(shù)列相關題目常見形式為“通過遞推數(shù)列求通項公式求數(shù)列的和證明與和相關的不等式，這里就出現(xiàn)了幾個命題的切入點，其一，直接方向數(shù)列不等式明顯即直接給出或求和容易，然后怎么證？采用不等式的性質或構造函數(shù)的方法是一個很好的選擇，其二，間接方向數(shù)列不等式不明顯，即求和不容易如何處理？采用適當放縮轉化為常規(guī)數(shù)列求和是一個很好的選擇；其三，數(shù)列求和采用放縮也很難，如何處理？采用構造函數(shù)放縮，結合數(shù)列前項和的定義及同向不等式相加的性質處理在做各位都是高手，本人就不班門弄斧了以下只以幾個題目進行展示：推廣212021年佛山一模設，圓：與軸正半軸的交點為，與

5、曲線的交點為，直線與軸的交點為.1用表示和;2求證: ; 3略 點評推廣222021年江西卷正項數(shù)列的前項和滿足1求；2令，數(shù)列的前項和，證明：對任意的，都有點評1求和常規(guī)方法：裂項法；2假設，那么推廣232021年廣東卷設數(shù)列的前項和為,滿足,且、成等差數(shù)列1求的值；2求數(shù)列的通項公式；3證明：對一切正整數(shù),有推廣242021年廣東卷設數(shù)列的前項和為.,.1求的值；2求數(shù)列的通項公式；3證明:對一切正整數(shù),有.點評1放縮方向；常規(guī)數(shù)列；2假設，那么解法3運用均值不等式，不展開本選題個人覺得如果從另外一個角度來看，可能有一些不同高考的題目來源于課本，而解法1中涉及的課本的習題明顯難度不夠，而不

6、等式問題常作為數(shù)列不等式中出現(xiàn)，那么能不能把這些函數(shù)作為放縮方法中的“函數(shù)放縮的構造函數(shù)來用作為命題的切入點呢？它可以解決“其三，數(shù)列求和采用放縮也很難，如何處理？采用構造函數(shù)放縮，結合數(shù)列前項和的定義及同向不等式相加的性質處理反思近幾年廣東高考數(shù)列不等式的證明題，其實“函數(shù)放縮是一個很值得關注的方法拓展2021年佛山一模設，圓：與軸正半軸的交點為，與曲線的交點為，直線與軸的交點為.1用表示和;2求證: ;3設,求證:.1解題思路3由，易知 要證： 即證： 容易觀察到放縮不容易，那能否采取如下思路： 那么我們如下要解決的問題只需證明 即證明 即證明 轉化為構造函數(shù)證明 這就非常容易了，以下略拓展2021年深圳一模，且直線與曲線相切1假設對內的一切實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；2略；3求證：反思與小結此題如果只教會學生解題的方法，沒什么意義，但是如果作為高三回歸課本的題目，將問題設置在學生思維的最近開展區(qū)，結合高考考查內容，讓學生經過探索后能解決問題并且在解題之后引導學生反思、變式，領會解題過程中運用的數(shù)學思想方法，并且發(fā)